非線形常微分方程式の実際的解法
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(2) . 第７ 巻 第 １ 号. 昭和３１年７月. 北海道学芸大学紀要 （第二部）. 非線形常 微分 方程 式の実 際的 解法 田. 奥. 恵. 孝. 北海道学芸大学旭川分校数学教室. ｉ。ｉ ｉｃａＩ ＳＯ１ｕｔ Ｅｋ６ ０ＫＵ１ ）Ａ ： Ｐｒａｃｔ ｌｓ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉａ Ｉ Ｅｑｕａｔ ｉｏｎｓ ｌ ｉｎｅａｒ Ｄｉ ｆ ｆ Ｎｏｎ‐ ｅｒｅｎｔ ，. 緒. 言. 線形の函数方程式では解の重ね合わせができるが非線形の方程式ではこの性質が失われるために ｌ の方程 取扱いが著しく困難になる。 自然現象を記述する微分方程式には電磁場に関する Ｍａｘｗｅｌ. 式や量子力学の Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ の方程式のように線形のものもあるが、 質点や剛体をはじめ流体や 弾性体の運動方程式な ど多くの場合非線形である。 従来数理物理学では主として線形の方程式が考 何等かの意味で微小と見なされる場合にのみ実際の現 察されている。 これは考える物理量の変化が・ 象を表わし得るのであって、 この仮定の許されないときには、 たとえば有限振幅の波動、 弾性体の. 有限変形のように非線形の問題が重要になる。 そこで Ｎ． Ｗ． Ｍｃｌａｃｈｌａｎ： ｏｒｄｉｎａｒｙ ｎｏｎ‐ｌｉｎｅａｒ. ｉ ｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｃ ｉ ｅｎｃｅｓ ｄｉ性ｅｒ ｅｎｔ ａ ， に よ っ て現 在 い ， ｏｘｆｏｒｄ （１９５０）. かなる方法でこの問題を解いているか、 及びその原理を考察してみた。 一般的な坂扱い方としては、 適当な変数変換によって厳密に積分できる場合に直す、 摂動法など. の適当な方法で問題を線形化する、 図的或は数値的に計算する、 の三方向が考えられる。 常微分方 ｆ と ０ 年頃から Ｎ． Ｋｒｙｌｏｆ ９３ 程式の場合に関 しては質点系や電気回路における振動現象について１ ｆ を中心とするソ連の学者によって特に非線形力学叉は非線形振動の名で盛に研究 ｌ ｉ Ｎ． Ｂｏｇｏ ｏｕｂｏｆ. された。 質点に働く力が時間 Ｚ ， 速度 ％＝”幻郷 によって変化するとき運動方程式は、 ， 場所 キ ｉ ）ｆ の函数形が簡単な場合には求積法で厳密に積分でき、 特に ｆ ） の形に書ける。 （ 弟＝ｆｏ，劣 ，％ ２ 完 更に ′ 「 が％ ，の が定数ならば減衰 ， に つ い て 線形 の場 合 に は 匁十２に匁十の キ＝ｇ（キ） の形 に な り、 ｉ ｉ ）／ が複雑な場合には摂動法を用い、 たとえを 緩和振動の方程式 ＃－ｅ（ヱ－が） 振動を表 わす。 （. ｉ ｉ ｉ ）ｅ が大きいと摂動法の近似 の解を最初の近似とすればよい。 （ ｌ ｉｍｉ ｉｎｃａｒ６ に 始ま る位相幾何学的方法で極限軌道 （ ｔ ） を調べて定性的結論 ｃｙｃ ｅｌ ｅ は悪 い か ら Ｐｏ ｉ ｉ ｉ ）に ） に第１ ｉ を得る。 （ ｖ） 具体的に数値的或は図的に積分を行う。 本稿においては （ ，２節を、 （. －＃＝０ ％＋匁＝ ０ に 対 して は 匁→. ｉ ｉ ｉ ｉ ） ｖ） に 第 ７ 節 を 割 当 て た。 第３ ，（ ，６ 節 を、 （ ，４ ，５. ＳＩ ． 適当な変換によって厳密に積分可能となる場合について 周知の実例が極めて多いが、 古くは一階の 方／ｄ第＋／＠）γ一８（鄭）〆 が ”＝ｙｌ－帥 と お い て 未 知 函 数 露γ／”“＋”デ ーもメ ー０. ｌ Ｂｅｒｎｏｕｌ ｉ の方程式. （ｆ ，ｇ が 席 の連続函数で メミリ，ヱ） ｕ. に関する線形方程式に帰せられ、 また. （偽 る が定数で ”＼ －ヱ， －３） ７４ －１. （ヱ ，ヱ） Ｒｉｃｃａｔ ｉ. の方程式. （ヱ， ２）.
(3) . 非線形常微分方程式の実際的解法. が “＝ 〆. ＃ 形ｄ. とおいて二階線形方程式 夢幻〆静 め 灼 ＝０ ，. ／”尤十ｇ（鴬）＝０ 函数を用いて厳密に積分可能となる。 なお一般に、 αｙ十α〆＋γヂ（鴬） の形の方程式が後者の方法で解ける。. に帰し. Ｂｅｓｓｅｌ. ２桝 ／〆γ） ／メデ十を 二 階 の 方 程 式 と して 星 座 に 於け る ガス状対 座 の 引 力 平 衡 に 関 す る ヱ／γ２・ｄ（〆 ・ｄげ ２ Ｚ（字・α″／〆き）／αき十“糾＝○ 即 ち ＝０ （を ， ，” は 定 数） が あ り、 ぎ＝た〆 と お け ば、 〃き ・‘ ″／蒔２十 繋－１・‘粥 だぎ十″仏一〇 ば２. と変形されるが、 これは. （ヱ，３）. Ｌａｎｅ Ｅ ｍｄｅｎ. の方程式として知られている。 ”＝◇ ，ヱ でなければ線形と. は な ら な い が γ＝０ で ヴ＝ヱ，ぐ＝０ なるとき ｄ″／〆；＝０ なる制限を与えて指数 ” の幾つかの値に ２ ｌ ｉ ｌ ｌ ／ つ い て 函 数表 が 作 ら れ て い る （ ｊ ｔ ｏｎｓ ｅｓ ｆｏｒ ｎ＝３ ｅｒ： Ｅｍｄｅｎ Ｆｕｎｃ ， ，３ ，２ ， Ｃ． Ｐ． Ｍｉ ， ｔａｂ ｉ ｉ Ｂｒ ｌ ｉ Ｔ ｂ １ ３ ２ ｔ Ｃ ９ ｔ ｔ ｓｈ Ａｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ Ｍａｑｌ ｓ ｏｍｍ ） ａ ｅ ｅ ｅ ． ．。 ，. ぎ＝鴬‐１ と お け ば、 キ４・ ボク ／メギ十 御 ＝０， い ま特 に ” ＝５ の場合に解が求められることを示そう：. ヴ－（÷）もち とおいて 〆 ，捌 蘇十裏伽 励－÷ 即 －“－ｏ膨 隣 れ、 て、. ぼり″〆 → 火ヱーの. ，. さらに に α“〆” とお 撒 か αメメジー ナ タ”－〆） ， ’一０， こ れ は 積 分 で き て、 γ＝◇ な る と き き＝”″ ／αぎ＝０， 従っ て ｙ＝〃＝０． つ ぎに “→ ｍ の とき ２ か ら ”－－２′メガ１ ぬ. →. ）“. を. 十Ｃ ， ，（Ｃ は任意定数）. さらに ト リ で β コ メのメ ド ｏ を用いて、 ついに ヴ. 十一キ ゼ）－を. Ｓ２ ． 楕円積分に録 し得る場合 ｄう′ ′』 ○ （α＞ 仏 ろミリ： ） ／‘友２十αツ ＋る ）. （２ ． ヱ）. 初期条件 ： Ｚ＝０ な る と き γ＝ｙｏ ，夕＝０ を解くことから論じよう。 この方程式は. 能が ｓＩγ十ｓ３ｙ３ ， 重み. ｉｎｇ ｉｎｇ の機 構 に現 われ る も の であ る。 ｓｐｒ ｍａｓｓｓｐｒ. （ｍａｓｓ ） がブ タも 制 動 作用 が な い と す れ ば、. ２十ｓ 十ｓ ー０ Ｚ ‘ ｍ・ぼり／‘ ザ ，ｙ ３. （２． ２）. ／ な る 方 程 式 が 成 立 し、 ｓ ’ ７ ２＝” １ ３β〃＝ろ とお け ば （２ ．１） に な る。 ，ｓ １ ” ｄ ” ） （２ ． ． ） に 於 て の＝ 勤 Ｚ と おけ ば、 ・ぼり／ ｙ＝ －（αｙ十 砂３. ２ ４ ） 十 三 訊 ｙ４－ｙ ） 積分 して ザ ー”（ｙ２－ｙ ， ２一 〆）を ” ＋る（２の－ ツメ十〆）Ｆ ， ／ｄｚ二 一 講 じ。 負根 を と り、 リニメ） ．. サメ メ ２－ のを 嬉 頒２の－ ２ザ） ．（ｙ ニ 殉じ ｝２ 故に ｚニ ー 。 ．. ’ Ｚ＝］ ，蝦 ≠ ， ，皿. 例’肋 と 紺 ば、ｚ. －リｉ 朔｛ ２ ヱ 叔 ２α ）～ ｙ （ヱ＋ 鵬 の｝を ｅ ，. －を ｎの ２ さらに だ 考 雄（叶 馴） 姉 けば、ｚ ”＋ 塀） だ 朔（ヱ一 絶ｉ ， これは不完全第１種楕円函数で標準記号で書くと － １８ －. の性.
(4) . 奥. 田. 恵. 孝. む－ －（ルトリ の せＺね， の，. （２ ． ３）. つぎに単振子の振幅 少 と周期 て ｏ との関係がまた楕円函数で表わされることを示そう。 β″ 〆 十ｇ ｄ２ Ｚ－ｌ ｓｉｎ ヴー○．. （２. ４）. ｌ ／ｄｚ り＝”ヴ ， ｇｒ ＝” と お け ば … αジ／ｄ″＋α ｓｉｎ β－ｏ ．. （２． ５）. 積分 して、 が ＝２α ｃｏｓ β十Ａ，（Ａ は任意定数） ，. ２ ÷ の－ｓｍ２一身 の１ ｉ 振幅を ≠ とす れま、 リ ゴ ２ 衣 ｓ ｎ ． 参－ － ｎ－ 振れの最も大きい瞬間から測るとき 跡 ≠の増減に反することを考えて負根をとギ ド ｉ ｉ ｓ ｎ 毒 』 遍 ｎ 夢 とおけば. た ，. （２． ６）. が だカーリー －２α％ ｃｏｓヂ．. さて. 毒 鵬. ト メター 如 ｓ〆の でぁるから. が 一 貌 Ｃｏｓ メキ バヱー がｓｉｎ２ の も. （２． ７）. （２ ．６） ．７） か ら ，（２. 燐 － －ｄヂ／－（ヱー. ｉｎ２ の受 ｓ ．. （２ ． ８）. 一 参 リ ー キて ）なるとき ヴ. ≠＝ｏ な る と き に り で. ◎ ｏ である。 （２・８）. 卿 の. 区間 （三一燭 ｏ） で積分して、. ）を（★）』＠→ の， キ ヒ メふｆ拠 姐 ー挑鱈字 こ ”こ Ｆ＠ →－ 朔 ま第１種完全楕円積分でぁる （』 絢 毒 ≠. 楕円積分表から Ｆ が た と. 増減を共にするこ とが知れるので周期が振幅とともに増加することがわかる。 普通には振れの角 ヴ ｉ ２ ） を線形化して振子の等時”性を認めているが、 実際 〃 を比較的小と見なし ｓ ｎ〃キク とおき （ ．４. 淋）なり大きなとき 蹴 球 立しなー なお 鯵－ ｄ. ３として近似解 ｉ ならば ｓ ｎタ コ ー ÷ ″. で 冗（÷ ド ←＋ ★ 〆）が得られる。 、に ２ ２ その他に線状弾性体に歪力を加えた或る場合 （ ） と同形の方程式が得られ、 また次の形の 方 ．４. 程 式 α２ ｙ／メガ十α十 砂２ご０. は. Ｗｅｉ ｅｒｓｔｒａｓｓ. （α ，ろ は定 数）. の 中 函数の解を持つ。. Ｓ３ ． 周期解を有する場合の近似－－機動法 Ｌｉｎｄｓ ｔｅｄｔ と Ｐｏｉｎｃａｒｅ とが天体力学の摂動問題の解に広く用いたこの方法をば 自己振動熱イ 、. オン管回路に現 われる方程式 ２ γ一も（ヱ一γ）γ十 の′＝０. （偽 ろ は 定 数 ミ の. （３． ヱ）. を例にとり近似解を得るために用 いよう。 周期解が － １９. －.
(5) . 非線形常微分方程式の実際的解法 （３． ２）. ｙ コ 脆 十も％ ＋ 〆ｙ ＋ … … の 形 に 表 わ さ れ る と 仮定 しよ う。. こ. に ｙ，ｙ」 ，…… は. Ｚ. に関 して連続な二回微分可能の未定函数. で あ っ て、 ０くる《ヱ は 摂 動 バラ メ タ ー とす る。 ま た ２ α＝ 物 十わα ，十わ 吻 ＋ … …. （３． ３）. り ◇ ＪＡ とす る。 こ れ ら と し αｏ ， αＩ ，… … も 定 めよ う と す る 定 数 と す る。 初 期 条件 を ）く ）＝ ，ｙ（の ＝ｑ ’（の ＝γ・ （０）＝ … … ＝０，ｙ （の ＝の Ａ，ッ・（０）＝ッ２（０） は りくる≦るＪ に対して成立す べきであるから ） － … … ＝ひ と な る。 （３ ．２） ．３） を （３ ．１） に 代 入 す れ ば ，（３ ２） － － ら （ノープ２）一心２じ （Ｚ－ｙ２） －えγ ｙ 挑ま－ … … －る（ヱ－こ ｙ ヅ ｏ， ， ， 。 ， ｏ. （３ ，４）. 十 〆γ ＋ … 〆. γ ＝ 恥 十わｙ，. ）＋が（顕施 十αが。十ぬ％）＋ … … の』 α ，先 十衡ｙ ， ，腕 十杖α か の 係 数 を γ＝０， Ｚ， ２ゞ…－に 対 して 零 と す る。 ろ０：. γ十 叩も－ Ｏ. 故に. γ。－ ４。ｓｉｎ（物‘＋ β。ｃｏｓ 勤‘ ，. Ｇ， ５） 但し. α 。－ の〆. （３． ６）. Ｚ とすれば ｙ（の ＝０， 弘 ＝の Ａ で あ る か ら β ＝０， Ａ ＝△ と な り 中＝のｏ. も：. 麹 〒 ” ｓｉｎ 子，. （３． ７）. ）２ ％ ＋″唯 一 －α ．物 十〆（Ｚ－ｙ。. （３ ． β）. ＝”. ｉｎ≠十 ゑの。ｃｏｓ少（ノ ー 月２ｓｉｎ の ｓ. ｉ －㈱ｓ ｎ≠十 ぬ （ヱー ÷ ″） 鵬 ≠＋キ ル，醐 岬 （３ ，９） ｉ ］ａｒ ｓｏｌｕｔ ｉ ｔ ）ａｒ ｃｕ ｏｎ は そ れ ぞれ 周期形 で な い Ｚｃｏｓ少 ｓｉｎ 少 ．９） ， ， ｃｏｓ中 の 項 に対 応す る （３ ・の １. ｉｎ少 ｉｎ少 と な る。 し か る に 今求 め る 解 は 周 期 的 で な けれ ば な らな い か ら ｓ ′ の係 数 は 独立 Ｚｓ ，ｃｏｓα. に零でなければならない。 故に よつて. 〃 ．繍０， 月. （３， ヱ０）. ２．. ′ ’ ÷ リー２ｓｉｎヂ ．. （ユ ヱヱ）. そ こ で （３ ．９） は、 （３ ． 理）. ％ ＋ 偽γ，一２のりｃｏｓ３≠，. となりこの完全解は ｉ γ，一 召，ｓｉｎ 少十 β．ｃｏｓ雲－（４の － ｃｏｓ３≠. （３． ヱ３）. で 艶（０）＝夕． ）‐１ が わ か る。 （０）＝０ か ら Ａ・＝０， β，＝（４のｏ １（ｃｏｓ少－Ｃｏｓ３ の り ）－ ％ －（４て 。 ． ２： る （ヱーツも）－ 勿′ ｙ 十 偽物 － －（偽物 十 的％）＋プ， 。釣. 三 ヱ４） （ｉ （３． ヱ５）. （３ ．１１） ．１４） を （３ ，１５） の 右辺 に代 入す る と、 ，（３. ｉ ｎ “ト叩セー－ 為 ｓ. ＋ （－ お ｎ≠ ＋－ ｉ ｎ の ロー 懸ｎの －ｓｍ２≠（倣 ≠－ 鵬 ３の （＆ ヱ６） 【 ２０ －.
(6) . 奥. 田. ｉ ｉ － －（２均一を）ｓ ｎ≠－号ｓ ｎ聾. 恵. 孝. ３ （ ．ヱ７）. ｉ 一ｓ ｎ幼. ｉ 解は周期的でなければならないから ｓ ｎ少 の係数はまた零となる筈で （３ ．ヱの そ こ で （３ ．１７） は. ′計 り′ ） こ. ｉ 一 身ｓ ｎ 紗十. ｉｎ５≠. （３ 之 ９）. となり完全解は ２ 冊ｌ ｉｎ３≠－５（９６ １ｓ ｉｎ５少 ｉｎ≠＋ ＆ ｃｏｓ≠十３（ヱ リ ）一 （物２ 物 一月 ｓ 。） ｓ ．２０） ． （３ ’ ）－１ ｙ （０）＝ｊ ２（０）＝０ か ら Ａ２＝ －２９（９６の２ ， β２＝０， そ こ で ２ ．ｓｉｎ 委十３（馬ｉ ２ －ｉ ｉｎ３≠一５（９６ ２ ． ｉｎ 号三 （３ ２ヱ） ノ ｑ （ り “ － －２９（９６（の ）－ ｏ） ｓ 。）－ ｓ ３ ３ ３ （ ．２） ．１１） ．１４） ．２１） に よ り ｂ の ２ 次 ま で の 項 に対 して （３ ，１） の 解 は、 ，（３ ，（ ，（ ｙ 一γ。十 辱．十る編. （３ ． ２２）. ２－麦欝 ）血≠＋ 為 ◎ ≠－嫌 の十逮』 趣ｉ雌 号 耐 の －（ （３ ． ２３） ３ ３），（３ とな る。 ま た （３ ．１８） によ っ て ｂ の二次までの項に対 して ． ．１０），（. ２ α －的＋ 去る』 励 写 ふる ．. （３ ２４）. よ っ て、. （３ ，２５） 初期条件を満足する線形微分 方程式を解くことによって遂次近似を得る方法がこの解法である。 ｉｎｇ に現われる γ十の 十砂２＝０ （ ‐ ｓｐｒ 減 衰 しな い ｍａｓｓ α ，る＞ の も、 粘性減衰効果を表わす. ３ γ十２卿＋”＋砂２＝０ （た は十分小） も同様に解ける。 また一定の強制力 ′ｃｏｓのＺ ， 制動力 の 十 秒 ｉｎｇ 機 構に 対 す る 方 程 式 γ十 の 十 毎３＝′ｃｏｓ仏Ｚ （α＞０，る畿 の は エ ネ ル ギー 無 損 失 の ｍａｓｓｓｐｒ 、 た と え ば、 αｙ十 砂３ が ｙ の 奇 函 数 で ある こ と か ら γ＝４Ｉｃｏｓ中十Ａ３ｃｏｓ３少十 Ａ５ｃｏｓ５少十 …… …… （中＝①≠） と Ｆｏｕｒｉｅｒ 展開し条件によって適当な項まで定めることができる。. Ｓ４ ． 振幅及び位相を緩変する方法 振幅 Ａ と 位か甘角 の と が Ｚ の函数でその変化の割合が角速度 の に比 べて小さい場合、 解が、 プー ４α）Ｓｉｎ ドぉ十字（み“. （４． ヱ）. Ｚ ｆ ） は変っても 夢（ ） が変らないと の形を持つとき非線形方程式に適用される近似法を述 べる。 Ａ（ Ｚ ） が変っても Ａ（ ） が変らないときがある。 また短時間の後 Ａ（ Ｚ き、 或は ”≠ ） はかなり定常と なっ た りま た ≠一節 のとき漸近的に Ａ（の・一０ となることもある。 後者の例として電流が Ｉぜ鮮ｓｉｎ（ １一 Ｃ （堀 十 の. （冬． ２）. で与えられる線形 ＬＣＲ 回路の自由振動の場合が挙げられる。 こ １－ －２. で 少 は一定の位相角であるが.
(7) . 非線形常微分方程式の実際的解法 Ｚ一ｍ の と き Ａ（Ｚ）＝ Ｃｅ－”→０ で あ る。. 非線形項 ６ｇ（ｙの が比較的小で ｇ が変位 ッ とその一次 導函数 夕 との函数であるとき （４， ３）. リラ ニ０ γ 十８ｇ（γ， ｙ）＋（. なる形の微分方程式を考えよう。 この項 ｅｇ（ ｙ ，ｙ） を無視すれば線形方程式 （４ ， ４） になりこの完全解は Ａ１ ， β１ を 任 意 定 数 と して. ５）. （４. ｉｎ のむ γ＝ ４，Ｃｏｓ（必 十 β，ｓ. ２十 である。 これは非線形の性質を備えていないが或る意味で第一近似と見なされよう。 Ａ ＝ （Ａ１. ２ ‐１ β， ） と して、 ）き ，， ＝ ｔａｎ （Ａ／β，. こ れ ら は 定 数 で あ る が （４ ．１） の 形 に表 わ し得 る。 ．５） が （４. の≠＋ヂ＝ズ と 書 ける 解は. （４ ． ６）. プー ４ ｓｉｎ ｚ. の形をとり、 従って （４ ． ７）. りＣｏｓズ γ 一 β（ ． いま Ａ と. ４ ） を微分 して と が ≠ とともに極めて徐々に変ずると考えれば （ ，６ （冬． ８）. γ 一 ゑ ｓｉｎｚ十 ４（の 十 の ｃｏｓＺ. ４ ） に代入すれば を得る。 （ ，８ ．７） の γ を （４ （４． ９）. ４ ｓｉｎ Ｚ＋ ４ヂｃｏｓ Ｚ＝○ ４ が導かれる。 （ ） を微分して ，７. （冬， ヱ０）. ひＣｏｓズー 月（ リ（の 十 の ｓｉｎｚ γコ イ（. ４ ４ ４ ）を（ （４ ．１０ ，３） に代入すれば ，７） ．６） ，（ ，（ １ （月 ｓ ｉｎ ａ ｃ。ｓＺ－ ４字ｓｉｎ Ｚ ニ ーミ ジー （ ｇ. ４①ＣｏｓＺ）．. （冬． ”）. （４ ．９） ．１０） か ら Ａ， り を 求 め る と ，（４ １ （β ｓｉｎ ４ ＝ －ｅリー ｇ. ４（ リＣＯＳＺ）Ｃｏｓ. １ｇ（４ｓｉ ４ りＣｏｓｚ）ｓ ｉｎ １ Ｉｚ 字淋ｅ（のβ）‐ ， （. （４， 鳶） （４． ヱ３）. 仮定によって Ａ と 妙 と は 周 期 ２〃如 の間 で少 し変 わ る だ け で ある。 な お こ の 周 期 は の＝のま の 周 期 ２冗 に対 応す る も の で あ る。 そ こ で Ａ と ヂ と の 少 の 周期 ２７ｒ 上の平均値が我々の要求する ４ ） を用いて平均値 近似度に於て十分精密と考えよう。 故に （ ．１２. 』 － ＊ Ｊｒｇ （４ｓｍ ， 血 ｏ”） 鮎 卿≠. （４ ， 趣）. ４ ） から平均値 が、 また一方 （ ．１３. ヂラ 島. ｉｎヂメｚ ｉｎ偽 ″ 鯛ｏｓ の ｓ 輝 ｓ ，. Ｚ＝①≠＋り だ か ら ２－ －２. （４ー５）.
(8) . 奥. 田・. 恵. 孝. お の十参‘ ｉ ≧メ ド※ゑｓ ｎゑ 如 ｏ ｓ≠） 帥 ≠α≠. ４ 逓） （. が生ずるｏ. ３ ｉｎｇ ｆｏｒｃｅ） 或 は ス プ リ ングの 制 動 力 が ｙ２ ｔｏｒ 戻る力 （ｒｅｓ ，ッ …… の形 の 項 を 含ん で いて も Ａ は 影 響さ れ な い、 と い う の は （４ ．１４） で 対 応す る 積 分 が零 とな る か ら で ある。 しか し の は 対 応 す る. ２ は Ａ に影 響するが 夢 には 積分が零とならないから影 響を受ける。 同様の理由から減衰項 γ ，ｙ 影響しない。 従って第一近似では非線形の制動項は角振動数に影響するが振幅に影響せず、 減 衰項 は振幅に影響するが角振動数には影響しないのである。 より高い近似では各型の項が振動数、 振幅 の両方に影響する。 ） －ｙ２）夕→ 例 １ ト －γ－ －Ｃ ． γ－ｅ（ヱ－ ，. （４． ヱ７）. ひく く６《ヱ. － －あ を ｅ と お き か えた も の で あ る こ これ は （３ 。 ，１） で、 す を α も，α. ｉメ ズ）忍のＣｏｓＺ －（ヱ－ －（ヱ一月２ｓ －デガ ー－ ｇ（γ， の ＝－. では ４ ； （ ．ヱ８）. ） に代入し ズ の代りに 少 と書けば （４ ．１４. だヱ 』 誓～ ；（ －β戦ｎの 晒≠酔 キ ーヱ÷. ）. （４・９）. 定常の状態を呈するときは Ａ＝０ で Ａ ＝２， Ａ を振動の発展するまでの ≠ の 函数 と して 定 め る た ２ ， ゆ から ２４４一 十 ８（４Ａ２ーＡ４ ｝ を得る。 積分して Ａ Ｍ 磨と ） ー ÷ｅ ｛４－（Ａ２‐２） めに （４ のり．（β は積分定数）≠＝０ な る と き ／ （ヱ十ββ. Ａ＝Ａ） ならば 容 易 に. ２き ４ 一 ４，粛 “ ” ÷β， ，（ｅ し り 槍. （４ ，２０）. ま た （４ ．１５） を 用 いて ．１８） で ズ の 代 り に 少 と して （４. ，ニ ー ヂ. ” ｉ叫ば≠ ｉ ヱ－Ａ２ｓ ｎの ｍ ≠ｓ ★ ～；（. の＝ヱ で あ る か ら. こ. に 恥 は Ｚ＝０. の と き の ズ の 任 意 の 値 で ある。 よ っ て （４ ．２０） ．２１） か ら当 ．１） と （４ ， （４. ４ ７ ） の解は 面の近似度に対する （ ．１. ） ＦＡＯ瞳 掛 物 Ｚ一ｍ の と き. ‘ 一 針 帆）バヱ十 三一Ａ０ ２ 謙り ｝登 （メ ーヱ）. ｉｎ（ 一 ２ｓ Ｚ十字）. 例 ２， 水 力 発 電 設 備 に 於 て 負荷 調 整 を 目 的 とす る ｓｕｒｇｅ ｃｈａｍｂｅｒ と い う 装 置 があ る。. この. ‘十２に””＋α“＝〆 （だ ｓｕｒｇ ｅ（波動） の方程式 ２ ，α ， α は定 数）. を考える － － “－－％ に 浮，” が とおいて変形すれ. キ＋２ 申 十Ｃ）＃十の２％－０・. 実際に減衰項 ２に（メ十 Ｃ）〆 が割合に小 ならば （或る場合にはそうでないことがあり数値解法が必要 になる） １ ＋Ｃ）尤 の形 、 この解法が適用される。 摩擦減衰の係数は常に正であって減衰項を ２に（ に書かねばならない。 そこで ３－ 一２.
(9) . 非線形常微分方程式の実際的解法 Ａ. －箸益子だセー幽メド 耐 励. －≧平 手 鵬２“＠“）－争 覇ｉ偏 りα 一. ● －－ －灯ＣＡ． . ／ ” この積分は β を積分定教として ４／ （Ａ→ － ÷ 冗の ‐β 〆， 但し β＝ れ ＝”” ′ β Ｚ＝○ の と き Ａ ＝ ＆｝ ならば Ａ（Ｚ）＝Ａｏ ｇ‐ ／” ＋４α（３バの‐ＩＡ （ヱ－ｅ‐８つ｝ ．. だ ま た 労 わー ÷ た （川 由 雄 ｃ）娠 ≠ 幽 妙 －ｏ であるから の 叩 （任意の 鈍 角）となる。. ｉｎｇ を 表 わ 電 気 的 同調 装 置 と か 調 音 叉 に現 れる γ－２だｙ十ｃｙ３十αｙ＝０， 粘 性 減 衰 を 持 つ ｍａｓｓｓｐｒ す ッ十 為ッ十αｙ十 郎３＝０， 安 定 装 備 を した 船 の ｒｏｎｉｎｇ の 際 に 起 る け一イ ー２に 十 （α－〃田十 鰯３一 ）｝＋の２ヴ＝０ 等の諸方程式の近似解がこの方法で求められる。 γ″３. Ｓ５ ． 線形化の理論的考察 前節で得られた非線形方程式の近似解法は γ十力（リン十ｑ（Ｚ）ツニリ. なる型の線形微分方程式を満足させることによって得られるといっても過言ではない。こ にＰ（の， Ｚ ） とが Ｚ Ｚ ） と ヂ（ ｑ（Ｚ） は 定 数 ま た は、 Ｚ の連続函数である。 前の近似で用いられた解の形は、 Ａ（ に 対 して 徐々 に 変 る 函 数 で あ る と して、. ｉｎ む）ｓ γ鰯月（. （５． ヱ）. ｚ一（鯵 十字（む）. で あ る。 （５ ，１） の 初 め の 式 を ｆ で微分して （５， ２）. っと ４ ｓｉｎｚ十 月ｚｃｏｓｚ ， また １ズ 十； １ てＡ ｃｏｓズ ｙ； Ａ ｓｉｎ Ｚ十 ２４ｚｃｏｓｚ － Ａズｓｉ ｉｎ ズー ２Ａｚｃｏｓズ ー２ＡＡ一１ｙニ ー２ＡＡ 一 ｓ ’＝ 匁２ ）. Ａｚｓｉｎ ｚ. 加えて ′－２召ゑ－’＋Ｚリニ（召－２ ２月－１）ｓｉｎ Ｚ っ. （５， ３）. ２ ） ／Ａ は とも に ０（６ が生ずる、 但し ｚ が ○（〆） と して 省略 さ れ て い る。 ま た （４ １４） か ら Ａ， Ａ２ であるから、 （５ ） の右辺を近似度 ６ に対し無 視して差支えないであろう。 この条件の下で線形 ．３. 方程式. ｌ ２ γ －２召ゑーｙ十ｚヅ＝○. （５． ４）. は非線形方程式 ２ γ 十６君（ツ， γ）＋ｍ ツ＝○. と同等となる。 広い意味で係数 ２Ａ／Ａ. （５． ５） と ｚ とは ｔ. ４－ －２. の函数であって、 我々は ｇ が分数指数の項.
(10) . 奥. 田. 恵. 孝. ５ ）を を持たないと仮定する （ ，４ ２′一〇 ノ γ 十２９′＋” つ. （５ ．６）. の形に置くと便利である、 但し. 〃＝ － △月－１ ， の ；ズ． ま た. だ ‐ 商 議 爪４ 叫， 』ｏの 倣 勲. ．１４） か ら. ′ Ｇ ｍ. ５ ） （ ・７. 一 方 の （４ ，１６） で与 え ら れ る。. ５ ５ ） が同 上記の数学的事実に物理 学的 エネルギー上の考察を試みる。 当面の近似度で （ ．５ ．４） ，（ 等 であ る こ とか ら各 から計算された周期毎の仕事は互に等しくなければならない。 或る場合には. ／① 或は て 方程式が減衰振動に関係するかもしれないので周期は場合によって時間区間 て ｏ＝ ｏ＝２冗 ２〃／① と 定 め ねば な らな い。 （５ ／”ｙ十８ｇ（ｙ ，ｙ）＋のり＝ひ ．５） は り＝γ と お けば リメリ ′燐 を乗 じ て 周期 て’ で積 分す れ ば と書 け る。 の’＝〕. 岸 吻 十〆青 みｄ ｙ十８岸 卿， か 砕 Ｃ ，（定数） ，. 故に. ÷ 》＋み２Ｆ＋ｅ岸 蹄， 卿 岡. 周期性のために 〔 〕＝ｏ であるから （減衰振動は周期的でないが減衰が十分小ならばこの項は相当 して 小 さ い）. （５ 冴 ）. ｅ～青ｇ （ 卿 ）だ －Ｃ ，. これ はそ の 周期 の 間 に消 散 さ れ た エ ネ ル ギー で あ る。 （５ ，４） か ら同 様に して. 友Ｊ誓っ伽 ４. （５ ，ヱ６）. ＠ － －４ だ）. （５ ．１５） に 代 入す れ ば ．５） か らの γ ，γ を （５. ” 一 パ～ｉｇ（β 血. 腫 鯛 叫 加ｓｚｄｚ ，. （５ ， ″）. γ；Ａのｃｏｓズ を （５ ，１６） に 代 入す れ ば ｃ. ２鍔 鵬２卿 老ゑ可 』２ Ａも ｚ砕 伽 認．. ５ ） のそれと同一となる。 当面の近似 故に Ｃ， ＣＩ を等 しい とす れ ば、 （５．１７） か ら 〃 の値は （ ．７ の程度で周期毎に消散されるエネルギーは非線形系とそれ と同等な線形系とに於て等 しいというこ とが 出 た。 簡 単 の ために 周 期 （０， ２冗たり） を選 ん だ が、 Ａ の適当した値が用いられ ば、 い か なる ／ ／ 周 期 （２形？ “） に対 して も 同 一 原 理 が 成 立す る。 減 衰 振 動 の場 合 に は Ａ が時間の ‘ （ リ ， ２だ（“＋ヱ））. 増 加 と と も に 減小 す る か ら Ｃ， ＣＩ も同様であろう。 －２ガン十の２ 例 １ ｙ十 の３＝ひ ． ｙ一. ２ －１ と 同等 な 線形 方程 式を 求 め る と、 に＝尾 ， の＝①＋３るＡ （＆“） で ある か ら 一 ２５ 一.
(11) . . 非線形常微分方程式の実際的解法 ）２ γ十２に少十（の十３ろＡ２（８の）－１ ツニリ と な る。 Ｚ＝０ の と き の Ａ の値を Ａｏ とす れ ば 月（Ｚ）＝Ａｏ ｅ‐緩 で あ り、 ｙ の係数は ≠ の函数で １ Ｚ＝０ の と き （の十３るＡ （８の）‐ ’ が Ｚ の増加とともに減小するにつれ ）２ なる値を持つ かくて ） て. 。. の十３る△２（８の）‐１一の．. ３＝０ ’＋”） ’＋ろ ’ 例２ ） ． ） ．. （る《”！）. に ひ で Ａ は 磁気 ゐ ご ”十三－輝 であるから同等な線形徴分方程式は ＊｝ うた◇ で あ る。 い ま ッ十αｙ十る〆＝／ｃｏｓの≠. を考えるとこれと同等な線形方程式は. ｙ十 の２ｙ ＝ｆｃｏｓ‘ －“．. この強制振動に対する周期解は. ２に／鵬 の沢α十三 胡２－のり， げ … ①歌メーの Ｓ ６ 周期係数の方程式について ｉ （Ｍａｔｈｉ ｅｕ 函 数の 理 論 に 基 づ い た、 Ｆｏｕｒ ｅｒ 展開を仮定しての近似周期解）. ２ 次元の Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ の 方 程 式 （４＋た２ ｉｎｈきｓ ｉｎガ ）中＝０ を 楕 円座 標 匁＝Ｃｃｏｓｈｇｃｏｓ“ ， γ＝Ｃｓ. し. 雪. 看瀦為. 然－ ，′. ゑ. 峯. 〆蔓言 孝. ・. ０ぢ. ： メ 選鞍. 榛鵠 ｒ. 〆 髪 “・ワー. ゑ 酵 墨. Ｊ. ；舘テキ ーリ ．ゐ. 努ぞ. ルにα３. ’ ′ ′. ゐ. ‐ご. ・＼. ー. ミ＼÷＊. ３. 一 ４ ′. ”. ５. ミ～. － ２６ －.
(12) . 奥. 田. 恵. 孝. ‐ ｒ ） ズ（ぎ） はそれ を用いて変数分離し り＝×（の γ（り） とし ｙ （ ガ） ガ， ， 又（き） の形の解を求めると ｙ（. ぞれ ｄ２γ／〆ｚ２十（α－２ダｃｏｓ２ｚ）ｙ＝０， かｙ／〆ｚ２ー（α－２４ｃｏｓ２ｚ）ｙ＝０. ２ なる形の方程式を満足する（α は任意定数、 ｑ＝た Ｃ ４） この初めの方程式を Ｍａｔｈｉｅｕ の 微分 方程. 式とい＞線形ではあるが、 これに帰着される非線形の周期係数方程式がかなり多いので Ｆ １ ｔの ｏｑｕｅ 理論や安定図表等を既知として論を進める。 ｌｏ Ｍａｔｈｉｅｕ 方 程 式の 解 の 形. α ，ｑ・の 値 によ っ て 解 の類 別 をす る た め に、 （α ，ｑ） 平 面 が 曲 線 に よっ て 安 定 と不 安 定 と の 領 域 に. 分かれている安定図表を使用せねばならない。 こふで ダ≧０ なる範囲に限定する。 ｉ （ ） （α ，ｑ） が安定域内にあるとき、 ２ 線形独立解は ”ー. ｃｏｓ（ｍ十β）ｚ. ｘ. （６ ，Ｚ）. と. （６ ．２） なる形をとり Ｃ弼 は ” と ｑ と に よ る 実 の 定 数 で あ る。 ０ ＜β＜ヱ で あ り （６，１） は Ｚ の偶函数、 （６ ） に ある と きそ れ ぞ れブ タ ⑦＝２γ ．２） は 奇 函 数 を 表 わ し （α ％＋） 叉 は （α釣け・ ，ｑ） が （α例 る２ ， 物叶２ ， ２γ十ヱ で ある。 β が 有理分 数 Ｐ／ ｓ であれば解は周期 ２ｓだ（ｓ≧２） で 乙 に関 して 周 期 的 で あ る。 β が無理数ならば非周期的であるが実際には β を小数で表わし近似的周期解を得ている。 上の型の 解はすべて有界であり、 α ，Ｑ の或る範囲の若干の β＝（定数） の曲線は安定図表に画かれている。 ｉ ｉ （ ） （α ，ｑ） が不安定域の内にあるとき、 ２ 線形独立解はそれぞれ非周期形 γ．一 メ. ヱ. デコ０. ル ｃｏｓ（ｍｚ 十. ）. （６ ．３）. と 乃Ｚ －≠弼） 物 －ｅ一蹴 ヱ ｐ粥ｃｏｓ（′. ．の. . を持 つ、 而 して ｐ肋 の偶 は ”， ｑ に よ る 実 の 定 数 で ある。 こ で ” ＞０ は 実 数 ７ ｚ＝０ な る と き 、 ７ ろ ） （ α あ ２ の ＝０，（α，ｑ） が （ゐ弼 ） る に 従っ そ ２ Ｚ α に て れ ２ ぞれ ブ タ ｚ＝ γ で解 は 奇函 数 ね ％ γ十 ％ る ， ， 十， ，. でも偶函数でもない。 これらはその一方で 乙 の代りに －Ｚ と書いて互に交換される。 Ｚ一の な るとき ｙ・→ ± 仰 で γ２一ひ だ か ら、 ｙＩ は不安定と考えられるが 物 は ひくＺ＜の で安定である。. 一ｍ＜Ｚ＜の なる全範囲では解はともに不安定といわなければならない。 ｉ ｉ ｉ （ ） （α ，ｑ） が安定図表の曲線の一つに載っているとき、 線形独立解は次の形を有する ：. ＠，ｑ 踊. 躍 山 上にぁるとき ， 雑 多 ” に対して. ％ － × ４泌Ｃｏｓｍ ｚ，. （６ ，５）. 物 一 α のＺｙ ，十．忙Ｚ） ，. （６ ．６）. 小口Ｏ. （ 巧 鰯 亀 ＝嬉 にぁるとき｛ ； ｌ ｉ； ； ；＝ に対して ルｚ， γ１ － × β粥ｓｉｎ７. （６ ． ７） － ２７ －.
(13) . 非線形常微分方程式の実際的解法 （６ ． ８）. ％ ーｄ（のＺ％ ＋ｇ（Ｚ） ．. Ａ の函数、 ′（Ｚ） ，ｇ（Ｚ） は ｙー と 同 じ周 期を 持 っ た Ｚ の 周 期 函 数、 伽 β粥 は が ゑ の周期は 冗 で、 α物 α と ｑ と に よ っ て 定 ま る 実 定 数 で あ る。 （α 叫１ 上にあれば ｙＩ ，の て である。 この解は安定解でも不安定解でもないので中性 α％十１６加＋： 上 に あ れ ば ｙ・ の 周 期 は ２ ，. ｃ（の，ｄ（の は. ｑ. と い う こ と に な る。 ｙ２ は因数 Ｚ のために非周期的である。 また不安定で Ｚ→ ＋ の な る と き ±閃 に 近 づ く。 ｙ１ が Ｚ について奇函数ならば ｙ は 侭 函 数 で あ り この逆 に な る こ と も あ る。. ２ｏ 不安定解の実際 Ｍａ ｔｈｉ ｅｕ の方程式に於て α ・ との間にあると ，〃 が安定図表の不安定域、 たとえば曲線 あ と α Ｌよう。 系の何らかの制限で抑制 されるまで、 エネルギー損失を別として運動は解 メニ. 刃 物十 ，ｃｏｓｌ（２ｒ十ヱ）Ｚ十 も ”を 〆＞り ， 実数）. . （６ ，９）. ’ に従って 指数函数的に時間とともに増加するであろう ０ ２ は初めは重要であるがβ‐好 によって零 に近づくので省略） 。 エネルギーを消散する系に対しては線形微分方程式 〃 ′ Ｇγ′＋（α－２ｑｃｏｓ２Ｚ）ブ一０ γ 十２. （６ ． ｍ）. ｚ”（Ｚ） と お け ば ”（Ｚ） は Ｚ の ２ 回 微 分 可 能 の 函 数 で （６ ｔｈｉ ｅｕ の方 が 成立 し、 ｙ＝〃‐Ｋ ，１０）は Ｍａ. 程式 〆′＋. （６ ・ ”）. －２ｑｃｏｓ ｚ）”＝。. ２ ｉ－′ ‘ に 変形 さ れ る、 但 し α＝Ｚ ． 故 にこの 適当な 解 は 均 コｅ膨 又 物十，Ｃｏｓｌ（２ｒ十ヱ）Ｚ 十 . （６ ， 賜）. … ． 十. ｉ一 彦 の 値 の た め に こ の ｐ と の と は （６ の 形 を 持 つ が、 α＝Ｚ ．９） の ｙ１ の 値と 異な っ て い る。 も し に＞” な らば Ｚ一の につれて零に近づくから運動は ０＜ Ｚ＜ の で安 定 と な る で あ ろ う。 こ. ‘＜” ならば、 運動は ひくＺ＜ｍ で不安定となる。 従って初めの場合には一度起きた れに反 して ′ 運動の振幅は Ｚ 従って Ｚ一ｍ とともに指教函数的に零に 傾くが、 後の場合には無制限に指数函数 的に増大する。 “＝に ならば中性である。 に＜〆 の場合は非線形の要素を含む周期的に変わるイ ンダ る。 クタ ンスを持った回路で実験され・. ′十（α十 砂２－２４ｃｏｓ２Ｚ）ｙ＝０ ′ ′十２にｙ ３ｏ ｙ. の近似解. ｌｄｅ の実験で振動糸の方程式は Ｍｅ γ′十２にγ 十（α十もデ ー２ワｃｏｓ２Ｚ）γ ＝○. （ろ＞○， Ｚ＝①‘）. （６ ， ヱ３）. ０ ６ ） に非線形の頃 毎３ を加えただけである。 （α の形を持つがこれは （ ， の が安定図表の あ と ．１ 顕 と の 間 に あ る と し、 第 １ 近 似 と して. ー ｙ ； 月，ＣＯＳＺ 十 ＆ ｓｉｎ Ｚ 一 月 Ｃｏｓ（Ｚ －‘”ル 男．／イ．）. （６ ．ノ４）. ２ ｉｎ Ｚ の 係 数を 零 と置 き ）きで あ る。 こ れ を （６ ．１３） に 代 入 し ｃｏｓＺ を採る、 勿論 Ａ＝（Ａ．十Ａ． ，ｓ. ２ ）Ａ （ メ ー 叶 曇ろＡ ー＋ 那 －. ２ ）距 り －挑 貼 （ 〆 十叶一三るＡ. を を得る。 これから振幅の平方は Ａ２＝４．（３る）‐１｛（ヱ－”）±（ －４だ）｝．. 条件 ｛｝＝０ は. Ａ＝◇ に対応するから‐ 一度起きた振動は ｛｛＞０ でなければ減衰するであろう。 ８－ －２.
(14) . 奥. 田. 恵. 孝. ま た 月 が 実 で あ る た め に は ｌｑｌ＞２に で な け れ ば な らな い。. ０ 振動支点を持った単振子の微分方程 式 ４ 付図を参照 して考える。 もし支点 ０ が静止しておれば質量 ７ ７ ｚ ， 長さ ‘ の無損失の単振子の方程. 式は 夕 “. ブ＝０， ｄ２功の２十ブ タ ｚｇｓｉｎｆ. ｏが ←き ｏ ｓ２ 噺 定まる垂直運動 射 れば対応 ｏｃ. 謀穆 蜜 当 「. す る 加 速度 は ぎ＝ －４の２き ｃｏｓ２のＺ で ある。 振 子 の. 」 －. も. 糸 が常 に 張 っ て いる と 仮 定 す れ ば 錘 に 働 く タト カ は. 徽 ，. …. タ フ ｚ（ｇ－ ４の２ぎ ｃ ） ｏ ｓ２のｚ. －４（ ７ ７那 ＋“ も（ｇ－ リモｏｃｏｓ２（必）ｓｉｎ″＝』. “？ “？ る 仁 ′. だから運動方程式は （６ ． ヱ５） . . と な る、 こ ＞に. び は動麦点 り を原点として考えて. ２ α＝（のｏ Ｚ＝のｏ ／の）２ し・る。 ｇ ／ ７二２章月， のガニｚ と ， ，Ｉ. 〃０、. Ｓ リノ テ ノ. 書き減衰項を導入して非線形方程式. β〃十２形／＋（αー 勿 ｃｏｓ２ｚ）ｓｉｎ〃－○. ｉ を得る。 もし －〃 に も－冗 ならば ｓ ｎヴ ニヴ－－も が. （６ ， ヱ６）. ３Ｈま とおぃてもよ め ら （. ３ ′ ノー ÷ ヴ ″キ 獅 斗 （α一２？ 伽 ２Ｚ）（ ）一ｏ な る 形をと る。 以 前 の （２ ．６） の よ う に. （６Ｊ７）. 〃 一 喜 働こ関する戻すヵ 鰹 伽ｒ ｉ ｎｇ ｆｏｒ. の導函数. は び の 増 加 と と も に 減 小 す る こ と に 注 意す る。. さ て解 が 周 期 的 で あ る こ と を考 え第 １ 近 似 と して ″－ △ ｓ ｉｎ ｚ 十 β１ｃｏｓｚ. （６ ． ヱ８）. を と り （６ ．１７） に 代 入 し ｓｉｎ Ｚ， ｃｏｓ Ｚ の係数を独立に零とおいて Ａ・ βＩ に関する二方程式 を得. ２十 則 る。 を ｑ４２ － －”（Ａ・ ， 一ムー 戯 《一喜. き について からこの二項を無視し振幅 Ａ＝（Ａ 梓 ＆３ ）. ２ ）２十（α－ヱ）＞０ な ら ば Ａ が 突 で ある。 が得られる。 故に 夕＞２ で （メ ー４に. の方程式を現わす運動機構は簡単に作られ、側面が直円錐である Ｌｏｕｄｓｐｅ ｒ の膜の ａｋｅ 振動な どもそれに近い実例である。 Ｍａｔｈｉ ｅｕ. Ｓ７ ． 図式解法について ｌ ｉｎｅ ｍｅ ｌｏ 等 傾 法 （ｉ ｌ ｌ ｉｍｉ ｔ ｔｃｙｃｌｅ） ｓｏｃ ・ ｏｄ） と極限軌道 （ ，. 等傾法 ＝ 撒 分方程式に於て に の／鑓 とおいて ｙ－り 曲線を画き ｚ－～；－テー によって ｚ－γ 積分曲線を得る 図式解法である。 これを方程式 ）ｙ十ツニリ ； ｅ； リヱ， ヱ．０， ＺＱＯ． ツーｅ（ヱ‐γ２. に適用して見ると ２ ’ ）ひ十ツニリ， リニンパｅ（ヱーツ２ ）ーαり／〆“ の．ｄり／”ジー６（ヱ－） － ２９ －.
(15) . 非線形常微分方程式の実際的解法 と変形 し αメメｙ に 種 々 の 値 を 与 え て ツーリ 曲 線 を画 く こ と にな る。 ｅ＝◇．ヱ の とき は 一 定 の 円形 の 閉曲線に近づき γ－Ｚ 曲線は安定で周期的正弦波に近い。 つぎに ｅ＝ヱ．０， ヱク．をこ対 して 得 ら れ た. ツーリ 曲 線 と 対 応す る 解 を 図 示 して考 え る と、 ｅ＝ヱ な る と き り－ｙ 閉曲線はかなり円形からかけ離. れ従って ッ－≠ 曲線は周期的ではあるが正弦形ではない。ｅ＝ヱ０ な る と き の リーッ 曲 線 は ｅ→＋の の極 限の形に近づ きはじめる。γ－云 曲線はいま正弦形とは遥かに異なり、 また究極の周期波形が 既 に １ 回 の 振 動 の 後 に得 られ て い る。 ｅ＝ＺＯ の γ－Ｚ 曲線は各半周期の初めと終りの変位の急激な. ．〆彰少考. 裟誠澱. Ｍ′. 一家・ ．. . 孫膨 ，孝 一・. . . ★３. 立. イ. リ. ′. 『 ． 貯. － ３０ －. え. ３.
(16) . . 奥. （射. 田. 恵. 孝. 曇７一つ （. ‐３ ０. ２０. 喜ド 一. り. －３ り. ３ふ. ６０. ′００. ヘハ ハ. め８. 舟β. 嘉一－－ き. ′。. 葛， ２. 即. ３２．名. クＯ. 増加 （叉は減小） と途中の段階の緩慢な減小 （或は増加） によって著しく変化している。 またｅが ｌ ｉ ｌ ｔ ｌ ｉ ｔ ｏｎ） と称 せ ら れ て ３ ａ ｒ ｏｎ ｏｓｃｉ 増すにつれて定常振動の周期も増す。 この型は緩和振動 （ ｅ ａｘａ が十分大なるときにだけ起り. Ｖａｎ ｄｅ ｒ Ｐｏｌ によって研究された。. ｉ ｅ によって極限軌道 ｒ 拡がったり或は縮んだりする渦状曲線の漸近する閉曲線の存在は Ｐｏ ｎｃａ ｌ ｉｍｉ ｔ （ｃｙｃ ｅｌ ） と名づけられた。 これは周期運動をする自己振動系のすべてが有する位相幾何学的 ｅ ｏ 特性である 更に別の例は時計に現われる。 振子または振子が小運動を受けると時間の増加につれて究極の値. まで振幅が増大する。 ところが初めの振動の与え方がかなり大きくても振子叉は振子は徐々に究極 の周期運動に落ちつくであろうから、 涙子または振子は安定な自己振動子と見なされる。. の作図法と緩和振動 －階の形に帰着される二階の或る型の微分方程式 を 解 く 別 の 方 法 で あ る （Ａ， これは適当な－ Ｌｉｅ・ ｌａｒｄ. － ３１ －.
(17) . 非線形常微分方程式の実際的解法. ‐（観 ぜ） ｖ. （鰯の. Ｐ（鴇 ％） . ｏ. . . ／. Ｂ１ １ １ ， ＆ －－ ｉａｔ ｉ ｉ ． ２３ ｉｏｎｓ ｅｎｔｒｅｔｅｍ・ｅｓ Ｌｉ ｅｎａｒｄ ： Ｅｔｕｄｅ ｄｅ ｓ ｏｓｃｉｌ ， ９０ ， ９２８ ， Ｒｅｖ， Ｇｅｎ， ｄ ｅｃｔｒｃｔを. ｌｍ，３ ｌ ｉ ｌ ｉ ｏｓｃ ）。 帰 ｏｎｓ ａｕｔひｅｎｔｒｅｔｅｎｕｅｓ， Ｐｒｏｃ． Ｔｈｉｒｄ Ｃｏｎｇ ａｔ ， ． Ｓｔｏｃｋｈｏ ， ＡＰＰ， Ｍｅｃｈ ，１７３ ，１９３１. 着された形を ぼり〃ツニ ゼ. （７ ． ヱ）. ）－ “ ／り. では Ｆ（の を例えば り の奇函数と考えよう。 まず Ｆ（り） 曲線を画き、 初期条件 点 Ｐ を 定め る。 ＰＲ を ｙ 軸に平行に、 ＲＭ ｙ ＝夕， ＝ 幼 か ら， ， Ｑル を り 軸に平行に引く、 但し １ Ｑ は ＰＲ が Ｆ（り ） 曲線と交わる点である。 そのとき ～Ｐ は点 Ｐ に於 け る リーッ 曲 線 Ｃ の動径 であって Ｃ の接線は Ｐ～ に垂直である。 というのは Ｐ疋＝ｙ， Ｐ 財＝“ ， 一対 肌／ＡＭ「＝｛Ｆ（の －“／〃 と しよ う。 こ. ７孔 財 な ら ば （７ で あ る か ら ぱり／”ｙ＝ － Ｎれ４ ．１） が 出る か らで あ る。. この 作 図を 続 け る こ と に よ っ. ｉ ｉ ｉ ） 連続的に外向きの渦状曲線が ） 最後に閉曲線に漸近する内 向きか外向きの渦状曲線或は （ て（ ｉ ） に於ては二階微分方程式の解は安定で周期的であり、 たゞ一つの究極の閉曲線が 得られる。 （ ｉ ｉ ） では運動は不安定で Ｚ一十ｍ のとき無制限に増 ツーリ 平面上に存在することが示されよう。 （ 大 す る。. この方法を緩和振動に適用 してみよう。 熱イオン管回路に起るこの型の方程式は通例 ２ ‘ ‘ ｚ ，一〇 ，一Ｇ（ヱール）錫十ｚ. （７ ． ２）. な る 形 が と られて い る が、 こ の 目 的 のた め に は. （７ ．３） ‘ とおいて導かれる。 を 用 い る の が 便利 で あ る。 （７ ．２） は （７ ．３） か ら Ｚ に関して微分して ｙ ＝？. ７ ” （ Ｚ け れば （ リー チ り＝◎／ ．３“ お ば れ，一ｅ れ 紗 一定. 即ち ー の“ 』 艮. 一喜』つ づ りひ. を画きつぎに Ｃ と印された積 となる。 に ＤＪ，ヱ ，ヱ０ 等に対して 放り） 曲線 ｙ‐ 中 一 切 分曲線を得る。 ｈｏｄ ｏｆ ６ｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ をはじめ幾多すく れた方法が案出され非線形 ｔ 数値解法は定差法 （ｍｅ の場合に限らず広汎に実用化されているが、 こ. では省略 する。. － ３２ －.
(18) . 奥 引. 田. 恵. 用. 女. 孝 献. ｉ ｉ什ｅｒｅｎｔ ｉ ｉｏｎｓｉ ｉｎｅｅｒ ｉ ｉ ｉ １ ｔ １） Ｎ． Ｗ． ＭｃＬハ Ｃｍ」 ＡＮ ｎｅａｒ ｄ ａｌｅｑｕａ ｎ ｅｎｇ ｎｇａｎｄＰｈｙｓ ｎａｒｙ ｎｏｎ一 ｃａｌｓｃ ｅｎｃｅｓ ． ， ｏｒｄｉ ～ ｏｘｆ ｏｒｄ （１９５０） ．. ｉ ｒ ｓｏＮ ３５） ２） 丑． Ｔ． ＷＨｒｒｍＫＥＲ ＆ Ｇ． Ｎ． ＷＡｒ ｓ ｙｓ ． ． ＸＩＸ （１９ ， Ｍｏｄｅｒｎ ａｎａｌ ，ｃｈａｐ ５４） ３） 日本数学会編、 数学辞典 （岩波、１９ ．. － ３３ 『.
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