1.2 ベクトル空間（解答） 担当：市原

線形代数学 2 No.2 2004.10. 4

1.2 ^{ベクトル空間（解答） 担当：市原}

問題

4

次の集合は

R

ⁿの部分空間になりますか

.

(1) W

1

=

( Ã x

1

x

2

! ¯ ¯

¯ ¯

¯ x

1

− 8x

2

= 0 )

W

₁

3 Ã a

1

a

2

! ,

à b

1

b

2

!

に対し,

à a

1

a

2

! +

à b

1

b

2

!

=

à a

1

+ b

1

a

2

+ b

2

! .

ここで

, (a

1

+ b

1

) − 8(a

2

+ b

2

) = (a

1

− 8a

2

) + (b

1

− 8b

2

) = 0.

よって

,

à a

1

a

2

! +

à b

1

b

2

!

∈ W

1

.

また

, W

1

3

à a

1

a

2

!

に対し

, c à a

1

a

2

!

= Ã ca

1

ca

2

! .

ここで

, (ca

1

) − 8(ca

2

) = c(a

1

− 8a

2

) = 0.

よって

, c

à a

1

a

2

!

∈ W

1

.

以上より

, W

1は部分ベクトル空間

.

(2) W

2

=

( Ã x

1

x

2

! ¯ ¯

¯ ¯

¯ x

1

+ x

2

= 2 )

W

2

3 Ã 2

0

! ,

à 1

1

!

を考えると

, Ã 2

0

! +

à 1

1

!

= Ã 3

1

! .

しかし

, 3 + 1 = 4 6= 2

なので

,

à 2

0

! +

à 1

1

!

6∈ W

2

.

従って

, W

2は部分ベクトル空間でない

.

(3) W

3

=

 

 

 





 

 x

1

x

2

x

3



 



¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

6x

1

+ 2x

2

= x

3

 

 

 



W

3

3



 

 a

1

a

2

a

3



 

 ,



 

 b

1

b

2

b

3



 



に対し

,



 

 a

1

a

2

a

3



 

 +



 

 b

1

b

2

b

3



 

 =



 



a

1

+ b

1

a

2

+ b

2

a

3

+ b

3



 

 .

ここで

, 6(a

1

+b

1

)+2(a

2

+b

2

) = (6a

1

+2a

2

)+(6b

1

+2b

2

) = a

3

+b

3

.

よって

,



 

 a

1

a

2

a

3



 

 +



 

 b

1

b

2

b

3



 

 ∈ W

3

.

また

, W

3

3



 

 a

1

a

2

a

3



 



に対し

, c



 

 a

1

a

2

a

3



 

 =



 

 ca

1

ca

2

ca

3



 

 .

ここで

, 6(ca

1

) + 2(ca

2

) = c(6a

1

+ 2a

2

) = ca

3

.

よって

, c



 

 a

1

a

2

a

3



 

 ∈ W

3

.

以上より

, W

3は部分ベクトル空間

.