区間推定

(1)

.

... 区間推定

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

使える統計 ! L13(2013-01-09 Wed)

今日の目標 .

..

1

標本から , 正規分布を使った区間推定ができる

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L13区間推定使える統計!(2012) 1 / 13

(2)

母集団と標本

Quiz 解答 : 推定

母平均の推定値は , ^{標本平均で与えられ} , x =

¹₅

[10 + 20 + 30 + 30 + 110] = 40( 分 ) 母分散の推定値は , 不偏分散で与えられ ,

s

²

=

₅₋¹₁

[(10 − 40)

²

+ (20 − 40)

²

+ (30 − 40)

²

+ (30 − 40)

²

+ (110 − 40)

²

] = 1600( ^分

²

)

母標準偏差の推定値は , 不偏分散の平方根で与えられ , s = √

1600 = 40( 分 )

(3)

復習 : 標本抽出と ( 点 ) 推定

(4)

区間推定

点推定と区間推定

点推定

母平均は , きっと A 円 . でも

その精度は毎回同じじゃない

区間推定

母平均が , B 円以上 C 円以下である ‘ 確率 ’ は 0.95.

推定の正確さが表現されている

ここに ‘ 確率 ’ という言葉を使うのは本当は正しくない . 信頼係数 95% の信頼区間は B 円以上 C 円以下

というのが正しい言い方 . この授業では正しい言い方をしますが , この区

別を理解するのは授業の到達目標を超えています .

(5)

標本平均の分布標本平均は標本を作るたびに変わる…

. 標本平均の分布 ..

...

標本平均は , 大きさ n → + ∞ ^で ( 標準でない ) 正規分布に従う . 標本平均の平均値 = µ = 母平均 .

標本平均の分散 =

^σ_n²

=

_{標本の大きさ}^母分散

なぜなら , ^{中心極限定理から} , X

1

+ · · · + X

n

は正規分布ただし平均値 nµ, ^分散 nσ

²

に近づく .

よって Y =

¹_n

[X

1

+ · · · + X

n

] ^{は正規分布ただし} 平均値 1

n × nµ = µ, ^母分散 1

n

²

× nσ

²

= 1 n σ

²

に近づく .

(6)

区間推定

復習 : 正規分布 ( ガウス分布 ) のグラフに関係した面積をおぼえよう !

- 4 - 2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

μ σ σ

1σ 2σ 3σ 0.6827 0.9545 0.9973

- 4 - 2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

μ σ σ

1.96σ 2.58σ 0.9500

0.9900

(7)

母平均 µ, 母分散 σ

²

の母集団から , 大きさ n の標本を何回も取り出して , 毎回 , ^標本平均 x ¯ ^{を計算すると} , ^確率 0.95 ^で ,

µ − 1.96 × √

σ²

n

< x < µ ¯ + 1.96 × √

σ² n

の範囲に収まる . 逆に言うと ,

¯

x − 1.96 × √

σ²

n

< µ < x ¯ + 1.96 × √

σ² n

の確率は 0.95.

. 区間推定

..

...

信頼係数 95% の信頼区間は

¯

x − 1.96 × √

σ²

n

< µ < x ¯ + 1.96 × √

σ² n

信頼係数 99% ^{の信頼区間は}

¯

x − 2.58 × √

σ²

n

< µ < x ¯ + 2.58 × √

σ² n

同じポリシーで何回も推定したときに , ^{区間に含まれて} ‘ ^当たる ’ ^確率を言っている .

(8)

区間推定

母分散なんてわかってないけど ?

標本サイズ n ^{が大きいとき} , σ

²

^{の代用として} , ^{推定値である不偏分散} s

²

を使っちゃってもかまわない .

n が小さいとき ( 小標本のとき ), 正規分布でなく t 分布というものを使っ

て考えるのが正しい .

(9)

. Quiz(区間推定) ..

...

ある賞金が確率分布に従うスピードくじを 10 回ひいたところ , 賞金は , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 10 ^円 , 10 ^円 , 30 ^円 , 100 ^円

だった . 賞金の母平均を , 信頼係数 95% の信頼区間で区間推定しよう .

(10)

区間推定

. Quiz(区間推定) ..

...

瀬田学舎の龍大生の通学時間の分布を知るために , 無作為に 5 人を選んで質問したところ次のようだった . ^母平均を , ^信頼係数 99% ^{の信頼区間で} 区間推定しよう .

10 分 , 20 分 , 30 分 , 30 分 , 110 分 .

(11)

. Quiz(区間推定) ..

...

某ハンバーガーチェーンのポテト M の重さを , ショップ A,B,C で調べたところ次のようになった ( ^単位は g)

A 135,136,133,136 B 136,138,132,138

C 135,136,133,136,135,136,133,136

それぞれのショップのポテト M ^{の重さの平均値を} , ^信頼係数 95% ^で区間推定しよう .

(12)

区間推定

連絡

今週は授業内で Quiz ^用紙を 1 ^枚提出 ( ^{過程も書こう} )

加減乗除と平方根 ( ルート ) の使える電卓持ってきてね . 関数電卓でなくてもいいです . 携帯電話の機能・アプリでもかまいません . 履修完了宣言レポート

今週 , 来週とも予習復習問題はありません . e ラーニングシステム上で ,

100 ピーナッツに追加 5 ピーナッツとなる , 履修完了宣言レポート (200

字の予定 ) ^{を書いてください} . e ラーニングシステム上に説明があります .

締切 2013-01-23 ^水 23:55.

(13)

ファイナルトライアル計画 ! ..

日時 2013-01-23水3 (60分) 場所いつもと同じ3-107

形式ペーパーテスト.計算問題が多いけど選択肢問題群もあるかも.関数電卓持込なし.

参照 A4×1枚両面持込可(教務課からの掲示では持込不可と表示していますが,この文書の情報が正しいです).

手書き,コピー等何でも.ただし縮小コピー,貼り付けは不可.

この配布資料の大きさがA4です. A4未満の用紙は使わないでください (拡大コピーすればいいだけでしょ)

A4を縦長に置いたとき,右上に学籍番号と名前を書いておいてください.

終了後に回収します.

配点 100点50ピーナッツ公欠通常の追試規定に従います.

出題計画2014-01-16水の授業でより詳細化します.

(離散的)確率分布が与えられたとき,平均値,分散,標準偏差をもとめる(L08)

(連続的)確率分布(のグラフ)が与えられたとき,確率,平均値を求める(L09)

標準とは限らない正規分布について,どの範囲ならこんな確率,こんな確率ならこの範囲,をもとめる(L10,L12)

標本が与えられたとき,母集団の平均値,分散を推定する(L12) 区間推定(L13)

未定(L14)

区間推定

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... 区間推定

樋口さぶろお

使える統計 ! L13(2013-01-09 Wed)

今日の目標 .

..

標本から , 正規分布を使った区間推定ができる

Quiz 解答 : 推定

母平均の推定値は , 標本平均で与えられ , x =

[10 + 20 + 30 + 30 + 110] = 40( 分 ) 母分散の推定値は , 不偏分散で与えられ ,

s

=

[(10 − 40)

+ (20 − 40)

+ (30 − 40)

+ (30 − 40)

+ (110 − 40)

] = 1600( 分

)

母標準偏差の推定値は , 不偏分散の平方根で与えられ , s = √

1600 = 40( 分 )

復習 : 標本抽出と ( 点 ) 推定

点推定と区間推定

点推定

母平均は , きっと A 円 . でも

その精度は毎回同じじゃない

区間推定

母平均が , B 円以上 C 円以下である ‘ 確率 ’ は 0.95.

推定の正確さが表現されている

ここに ‘ 確率 ’ という言葉を使うのは本当は正しくない . 信頼係数 95% の信頼区間は B 円以上 C 円以下

というのが正しい言い方 . この授業では正しい言い方をしますが , この区

別を理解するのは授業の到達目標を超えています .

標本平均の分布 標本平均は標本を作るたびに変わる…

. 標本平均の分布 ..

...

標本平均は , 大きさ n → + ∞ で ( 標準でない ) 正規分布に従う . 標本平均の平均値 = µ = 母平均 .

標本平均の分散 =

=

なぜなら , 中心極限定理から , X

+ · · · + X

は正規分布ただし 平均値 nµ, 分散 nσ

に近づく .

よって Y =

[X

+ · · · + X

] は正規分布ただし 平均値 1

n × nµ = µ, 母分散 1

n

× nσ

= 1 n σ

に近づく .

復習 : 正規分布 ( ガウス分布 ) のグラフに関係した面積をおぼえよう !

μ σ σ

1σ 2σ 3σ 0.6827 0.9545 0.9973

μ σ σ

1.96σ 2.58σ 0.9500

0.9900

母平均 µ, 母分散 σ

の母集団から , 大きさ n の標本を何回も取り出して , 毎回 , 標本平均 x ¯ を計算すると , 確率 0.95 で ,

µ − 1.96 × √

< x < µ ¯ + 1.96 × √

の範囲に収まる . 逆に言うと ,

¯

x − 1.96 × √

< µ < x ¯ + 1.96 × √

の確率は 0.95.

. 区間推定

..

...

信頼係数 95% の信頼区間は

¯

x − 1.96 × √

< µ < x ¯ + 1.96 × √

信頼係数 99% の信頼区間は

¯

x − 2.58 × √

< µ < x ¯ + 2.58 × √

同じポリシーで何回も推定したときに , 区間に含まれて ‘ 当たる ’ 確率を 言っている .

母分散なんてわかってないけど ?

母平均の推定値は , ^{標本平均で与えられ} , x =

] = 1600( ^分

標本平均の分布標本平均は標本を作るたびに変わる…

標本平均は , 大きさ n → + ∞ ^で ( 標準でない ) 正規分布に従う . 標本平均の平均値 = µ = 母平均 .

なぜなら , ^{中心極限定理から} , X

は正規分布ただし平均値 nµ, ^分散 nσ

] ^{は正規分布ただし} 平均値 1

n × nµ = µ, ^母分散 1

の母集団から , 大きさ n の標本を何回も取り出して , 毎回 , ^標本平均 x ¯ ^{を計算すると} , ^確率 0.95 ^で ,

信頼係数 99% ^{の信頼区間は}

同じポリシーで何回も推定したときに , ^{区間に含まれて} ‘ ^当たる ’ ^確率を言っている .

標本サイズ n ^{が大きいとき} , σ

^{の代用として} , ^{推定値である不偏分散} s

ある賞金が確率分布に従うスピードくじを 10 回ひいたところ , 賞金は , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 0 ^円 , 10 ^円 , 10 ^円 , 30 ^円 , 100 ^円

瀬田学舎の龍大生の通学時間の分布を知るために , 無作為に 5 人を選んで質問したところ次のようだった . ^母平均を , ^信頼係数 99% ^{の信頼区間で} 区間推定しよう .

某ハンバーガーチェーンのポテト M の重さを , ショップ A,B,C で調べたところ次のようになった ( ^単位は g)

それぞれのショップのポテト M ^{の重さの平均値を} , ^信頼係数 95% ^で区間推定しよう .

今週は授業内で Quiz ^用紙を 1 ^枚提出 ( ^{過程も書こう} )

加減乗除と平方根 ( ルート ) の使える電卓持ってきてね . 関数電卓でなくてもいいです . 携帯電話の機能・アプリでもかまいません . 履修完了宣言レポート

字の予定 ) ^{を書いてください} . e ラーニングシステム上に説明があります .

締切 2013-01-23 ^水 23:55.