一次元解析とは

河川工学 ( 第 5 回 )

河川流の一次元解析

( 河川流の分類・等流・不等流 )

一次元解析とは

• 一次元解析とは，河道の流れを縦断方向に一 次元的にとらえ，横断面内の水理量を断面平 均流速や径深などの平均量で代表させて，そ の縦断方向の変化を計算するもの．

• 河道の幅に比べて河川長が大きい場合に合

理的な方法

(1) 河川の分類

（２）等流・不等流

河川の分類

•

(

)

–

•

–

•

–

•

–

(

)

•

非定常流 定常流

不等流 等流

連続の式

（質量保存・体積保存）

一次元解析：河道の流れを縦断方向（流れ方向）に一次元的にとらえ，横断面 内の水理量を断面平均流速

V

Q

A

運動方程式

（運動量保存）

流水断面積

A

Q(=VA)

流速の時間変化

流速の場所的変化

重力による流れの加速

I

I

= 0

∂ + ∂

∂

∂

x Q t

A

( ^I

^I

)

x g g h x

V V t

V = −

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

( ^I

^I

)

x g g h x

V V t

V = −

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

省略

省略

Kinematic Wave

準定常流（洪水は水深や流速がゆっくりと変化する）

Diffusion Wave

省略なし

Dynamic wave

連続の式

運動方程式

流れの状況による一次元解析法の分類

= 0

∂ + ∂

∂

∂

x Q t

A ^Q(=VA): _A:

^V: _h:

Ib:

Ie:

x:

t:

表面流出による洪水の流れ 水理量が勾配と比べて 緩やかな急流河川の流れ

Kinematic Wave

準定常流

等流近似

幅広水路なのでR≒h

Manning

思いだそう

= 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

x g h x

V V t

V 0 = ^g ( ^I

− ^I

) I

= I

2 / 1 3 /

1

I

n h v =

b

e

I

I =

h v I n

I

=

=

3 / 7

2 2 2

3 / 1

2 3

/ 1

2 2

h q gn h

q h

gn h

v

ghI

gn  =



 



= 

= h

n q = I

河川のような幅広水路の場合→径深R≒水深h

I

gR ρ

τ

= I

gh

ρ τ

=

等 流

河道内の水塊に作用 する重力の流れ成分 等流とは：

流れの境界面

(

)

釣り合い

Q :流量， I_b:河床勾配(=sinθ)，L:区間長，

P₀ :潤辺長，A₀:流水断面積，

R₀ (= A₀ / P₀ ) :径深， ρ:水の密度

図

4.1

b

G

gA LI

F = ρ

重力の流れ方向成分

全河床面

での摩擦抵抗力

(

)

( = ^P

^L

)

b G

R

gR I

L P

F L

P F

0 0

0

ρ

=

=

等しい

この反作用として，河床面は流れにより せん断応力を受ける

I

gR

0

ρ

τ =

河床上にある砂礫の機動力となる．

この機動力のことを「掃流力」という．

掃流力を速度の次元に直したものを

「摩擦速度」と呼ばれ，

u

u

≡

= gR

I

ρ

τ

平均流速とエネルギー勾配の関係

シェジー

(Chezy)

マニング

(Manning)

e

e

R I

C

V

=

2 / 1 3 / 2 0 0

1

I

n R V =

C_e:シェジー係数，n:マニングの粗度係数

平均流公式

(

)

(

n = R

C

)

等流水深の計算

等流

(I

=I

)

2 0 3 / 4 0

2 2

A R

Q I n

I

=

=

1

I

n R A V

A

Q = =

A

R

h

Q, n

I

4.11

h

4.11式

実河川のような広幅長方形断面河道の場合

5 / 3

0

 





 



= 

I

B h nQ

0 0

0

0

Bh , R h

A = ≈

等流水深

河道の通水能

(

)

h

不 等 流

不等流とは： 断面の形状・勾配が変化する 定常流において，水深

(h)

(V)

( ) ( ) ^x

F x F dh

dA gA

Q

A Q R

n x

A gA

I Q dx

dh

2 1

3 2

2 3

/ 4

2 3

2

1

=

−

 

 



− 

∂ + ∂

=

運動方程式

4.13式

連続式：

Q=AV V=Q/A

エネルギー勾配

I

1

I

n R V =

T:

( )

3 / 4 2 2 3

/ 4

2

2

/

R

A Q n

R V I

= n =

水面 勾配

流下距離xの関数

F

(x)

0

= 0 dx

dh

長方形断面水路では

…

~

~ ,

h R

h B

A = ≈

( ) ^~ { ^~

^/ ( ^{2 ~}

) }

^~

^~

⁰

2 3

0 3

2

1

 =





 



− +

∂ + ∂

= B h

Q h

B Q h

B h

B

n dx

dB B

A h

gB I Q

x

F

水路幅

B

dB/dx

は逐次計算によって求められる．

0

h ~

局所部の等流水深

( ) ( ) ^x

F x F dh

dA gA

Q

A Q R

n x

A gA

I Q dx

dh

2 1

3 2

2 3

/ 4

2 3

2

1

=

−

 

 



− 

∂ + ∂

=

運動方程式

(F

(x)

0

)

T:

F

(x)

0

= ∞ dx

dh

(

)

( ) ( ) ^x

F x F dh

dA gA

Q

A Q R

n x

A gA

I Q dx

dh

2 1

3 2

2 3

/ 4

2 3

2

1

=

−

 

 



− 

∂ + ∂

=

運動方程式

(F

(x)

0

)

T:

流水がある一定の比エネルギー

(

+

)

かつ最大の流量を流しうる状態の水深のことを限界水深

(h

)

2 .

2

const g

V g

p + = ρ

比エネルギー

max Q =

and

最大流量

0

1

2

=

− T

gA Q

g Q T

A

=

長方形断面水路では

A = Bh , T = B

3 / 2 1

 

 



= 

gB h

Q

( )

g Q B

Bh

=

参考資料① ( 水面形の分類 )

水面形の分類 ^水深hの位置によって水面勾配dh/dxが どの様に変化するか?

分類の方法

①水路タイプを決める(限界勾配i_cを基準) i<i_c → 緩勾配水路(mild slope)

i>i_c → 急勾配水路(steep slope) i=i_c → 限界勾配水路(critical slope) i=0 → 水平勾配水路(horizontal slope) i<0 → 逆勾配水路(anti-slope)

②等流水深h₀と限界水深h_cの 位置関係を決める

i<i_c → h₀ > h_c (緩勾配) i>i_c → h₀ < h_c (急勾配) i=i_c → h₀ = h_c (限界勾配) i=0 → h₀ → ∞ (水平勾配) i<0 → h₀ (存在せず)(逆勾配)

③水深hを変化させdh/dxの変化 を表す式から推測する

M c

N

h h

h h dx i

dh



 



−



 



−

= 1

1 ⁰

(例)緩勾配水路(i<i_c)→ h₀ > h_c h> h₀ > h_c

h₀ > h> h_c

h₀ > h_c> h

→ _分母^分子₍⁽⁺₊₎^{) >0　　(水深増加=背水)}

) (

) 0 (

)

( 　　低下背水

分母 分子 >

+

−

) ( ) 0 (

)

( 　　背水

分母 分子 >

−

−

→

→

参考資料②の(c)のパターン

参考資料② ( 水面形の分類 )

水路の分類 定義 水深h,等流水深h₀, 限界水深h_cの関係

射流 常流

背水・

低下背水

dh/dx 符号

水面 記号

(a)急勾配水路 (steep slope)

i >i_c h_c> h₀

h> h_c> h₀ h_c> h > h₀ h_c> h₀ > h

常流 射流 射流

背水 低下背水

背水

正 負 正

S₁ S₂ S₃ (b)限界勾配水路

(critical slope)

i =i_c h₀ = h_c

h> h₀=h_c h₀ = h = h_c h₀ = h_c > h

常流 限界流

射流

背水 等流 背水

正 ゼロ

正

C₁ C₂ C₃ (c)緩勾配水路

(mild slope)

i <i_c h₀ > h_c

h> h₀> h_c h₀ > h > h_c h₀ > h_c > h

常流 常流 射流

背水 低下背水

背水

正 負 正

M₁ M₂ M₃ (d)水平勾配水路

(horizontal slope) i =0 h> h_c, h₀→ ∞ h< h_c, h₀→ ∞

常流 射流

低下背水 背水

負 正

H₂ H₃ (e)逆勾配水路

(anti-slope) i <0 h> h_c

h< h_c

常流 射流

低下背水 背水

負 正

A₂ A₃

参考資料③ ( 水面形の分類 )

(a)急勾配水路(i>i_c)

(b)限界勾配水路(i=i_c)

(c)緩勾配水路(i<i_c)

(d)水平勾配水路(i=0)

(e)逆勾配水路(i<0)

h→h_c (急)

h→h₀の時 dh/dx=0

h→h₀の時 dh/dx=0

h→h_c (急)

h→h_c (急)

h→h_c (急)

M c

N

h h

h h dx i

dh

 

 



− 

 

 



− 

= 1

1

dh/dx

※矢印の向き(波が伝わる方向を表す) 常流(h>h_c)の時：下流から上流へ 射流(h<h_c)の時：上流から下流へ

水面形の計算 1

流量・断面形状が一定の場合→限界水深h_cは勾配に関わらず一定

等流水深h₀は勾配は勾配が小さくなると大きくなる

射流→常流の間に跳水

常流→射流の間に支配断面

等流水深h₀は勾配が

一定の状態が続くと発生する

緩勾配

(h₀>h_c) 急勾配

(h₀ < h_c)

急勾配 (h₀ < h_c)

緩勾配(i<i_c)→急勾配(i>i_c)→ 急勾配(i>i_c)

5 / 3

0 









=

Ib

B h nQ

3 / 2 1



 



= 

gB h_c Q

水面形の計算 2

緩勾配(i<i_c)→急勾配(i>i_c)→緩勾配(i<i_c)

水面形の計算 3

緩勾配(i<i_c)→急勾配(i>i_c) →水門→緩勾配(i<i_c)

急勾配(i>i_c) →緩勾配(i<i_c) →水門→急勾配(i>i_c)