図のように分布荷重

材料力学 試験（ 2K1 ^{年度 第} 1 ^回）

^2001/05/25

^{（ 金}

⁾

^得点

  番号 氏 名

1.

^{図のように分布荷重}

ω

を受ける片持ちはりについて以下の問に答えよ．ただし ，ヤング率を

E

^， 断面二次モーメントを

I

^とする．

L L

A B

C

ω

(a)

せん断力，曲げモーメントの分布を 求め，

SFD,BMD

^を描け．

(10

^点

) (b)

^{たわみ曲線を求めよ．}

(30

^点

)

(c)

最大たわみを生じ る位置と，最大 たわみ量を求めよ．

(10

^点

)



［解答例］

(a)

せん断力および 曲げモーメントをそれぞれ，

F

^および

M

^{とすると，}

A

^点から

x

^{の距離にある}

x−x

^{断面において}

-L

-L²/2

-3L²/2 0

0

L

L

2L

2L x

x SFD

BMD

i) 0

≦

x

≦

L

のとき

F = −ωx M = −ωx·x

2 =−ω 2x²

ii) L

^≦

x

^≦

2L

^のとき

F = −ωL M = −ωL

x−x

2

=−ωLx+ωL² 2

これより

SFD

^および

BMD

^{はそれぞれ，左}

図のようになる．

(b)

たわみ，ヤング率および 断面二次モーメントをそれぞれ，

y

^，

E

^および

I

^{とすると次の関係が} 成立する．

EId²y

dx² =−M

解答

(a)

^より

i) 0

≦

x

≦

L

のとき

EId²y

dx² = ω 2x²

両辺をそれぞれ順次積分すると

EIdy

dx = ω

6x³+C₁ (1) EIy = ω

24x⁴+C1x+C2 (2)

ii) L

≦

x

≦

2L

のとき

EId²y

dx² =ωLx−ωL² 2

EIdy

dx = ωL

2 x²−ωL²

2 x+C₃ (3) EIy = ωL

6 x³−ωL²

4 x²+C3x+C4 (4)

固定端

C(x= 2L)

においてたわみ角，たわみが

0

^{であるから，式}

(3)

^，

(4)

^より

2ωL³−ωL³+C3 = 0

^∴

C3 =−ωL³ 4ωL⁴

3 −ωL⁴−2ωL⁴+C4 = 0

^∴

C4 = 5ωL⁴ 3 B

^点

(x=L)

においてたわみ角，たわみが連続であるから

ωL³

6 +C1= ωL³

2 −ωL³

2 −ωL³

^∴

C1 =−7ωL³

6 ωL⁴

24 −7ωL⁴

6 +C2 = ωL⁴

6 −ωL⁴

4 −ωL⁴+ 5ωL⁴

3

^∴

C2= 41ωL⁴ 24

得られた積分定数

C₁

^〜

C₄

^を式

(2)

^，

(4)

に代入し整理すると，たわみ曲線は次式で与えられる．

y = 1 EI

ω

24x⁴−7ωL³

6 x−41ωL⁴ 24

!

        

(0≤x≤L

^のとき

) y = 1

EI ωL

6 x³−ωL²

4 x²−ωL³x+5ωL⁴ 3

!

= 1 EI

"

ωL 6

x−L

2 ₃

−9ωL³

8 x+27ωL⁴ 16

#

    

(L≤x≤2L

^のとき

) (c)A

^点

(x= 0)

において最大たわみは生じ ，その大きさは解答

(b)

^第一式に

x= 0

^{を代入すると}

ymax= 41ωL⁴ 24EI

2.

^一辺が

a

の正方形断面のはりについて，

(a)

^図

(A)

^，

(B)

^，

(C)

^のように

X

軸を中立面として曲げられる場合について，断面

2

^{次モーメントを} それぞれ求めよ． （

30

^点）

a b

図

(A)

^図

(B)

^図

(C)

x

[

^解答例

]

^{各図の断面}

2

次モーメントをそれぞれ

IA

，

IB

，

IC

とする． （ 各

10

点，答えのみ

5

点減点）

図

(A) -a/2

a/2

dA=ady I_A = Z a

2

−^a₂ y²a dy = 2a Z a

2

0 y²dy

= 2a

"

y³ 3

#^q

2

0

= 2a 3

a³ 8 = a⁴

12

図

(B)

√

2 a 2

√

2 a

√

2 a 2 2

dA=2xdy y=-x+

^√

2 a

2

I_B = 2 Z ^√2a

2

0 y²dA= 2 Z ^√2a

2

0 y² · 2x dy

= 4 Z ^√2a

2

0 y²

(

−y+

√2a 2

) dy

= 4 Z ^√2a

2

0

(

−y³+

√2a 2 y²

) dy

= 4

"

−y⁴ 4 +

√2a 2

y³ 3

#^√2a

2

0

= 4 (

−a⁴ 16 +

√2a 2

a³ 2√ 2

)

= 4a⁴

−1 16 + 1

12

= a⁴ 12

図

(C) a b

加法（ 減法）定理を用いて

IC =IB − IB_{辺の長さ=b} = a⁴ 12 − b⁴

12 = 1

12(a−b)(a+b)(a²+b²)

(b)

^図

(A)

^と

(B)

のはりについて，同じ 曲げモーメントが加わった場合に生じ る最大応力の比を求め よ．

(10

^点

)

[

^解答例

]



加わっている曲げモーメントを

M

^{とし， 図}

(A)

^，

(B)

のはりに生じ る最大応力をそれぞれ

σA

，

σB

，断面係数をそれぞれ

ZA

，

ZB

とすると

σA = M

ZA, σB= M

ZB, ZA = I_A

a2 =

a⁴ 12a

2 = a³

6, ZB = I_B

√2a 2

=

a⁴

√12 22a

=

√2a³ 12

したが って最大応力の比は

σB

σ_A =

ZMB

ZMA

= ZA

Z_B =

a³

√6 2a³ 12

= 12 6√

2 =√ 2

(c)

^問

1

^{のはりの断面形状を図}

(A)

^，

(B)

の正方形とした場合について，生じ る最大たわみの比を求 めよ．

(10

^点

)

[

^解答例

]

 はりのたわみの基礎式は

d²y dx² = M

E I

であり，他の条件が同じであれば，断面

2

次モーメントが等しければ，たわみ曲線も同一となる．

前問より，図

(A)

^，図

(B)

^{の断面ではど ちらも}

I = ^a₁₂⁴

^で断面

2

次モーメントが等し く，したがっ て生じ る最大たわみも等しい（ 最大たわみの比は

1:1)

^．

3.

講義の感想，コメントなど 自由に（ 採点には無関係！）