2つ目は、被積分関数に分岐点があるような複雑な積分の場合である

第 ⁶ 章

複素積分の応用

展望：

前章で複素積分の原理と計算方法について学んだ。複素積分には関数の性 格の理解が必要でありまた沢山の応用分野のあることを既に例で示してきた。

さらに複素積分の応用として忘れてならないのは、それが実関数の積分にも おおいに役に立つことである。それを紹介し実際に使えるようになろうとい うのが本章の主題である。

この章では大きく分けて²つのことについて述べる。第一に、複素積分特 に留数定理を用いた実定積分の計算を考え、実際にいろいろ具体的な積分を やってみる。考える積分にもう少し積分区間を足してやることによって積分 を留数計算に帰着させることができることがある。そこで重要なのはジョル ダンの補題である。

2つ目は、被積分関数に分岐点があるような複雑な積分の場合である。複 素関数のリーマン面の構造を考えて積分路を工夫すると、計算が実行できる 場合について述べる。この場合は、リーマン面の構造を先ず理解し、変数^z の偏角、被積分関数の偏角をきちんと知ることにより積分がとっても簡単に なる。複素積分を使いこなすことにより、積分の世界が大きく広がることが 実感できるであろう。

その他のもっと広い応用の分野のいくつかについては第⁹章で再び述べる ことにする。

6.1 留数定理の応用^:定積分の計算

複素積分を用いると、実数だけに限っていては困難だった定積分を容易に 実行できることがある。

例 ⁴⁰

I = Z

2

0

d

504cos

: (6.1)

z =e

iとおくと^{cos = 1}

2 (z+

1

z

);dz =ie i

d =izdである。が⁰から²ま で変わるとき^zは単位円周^jzj=1の上を¹周する。したがって^Iは書きなお して

I = I

jz j=1 dz

iz

1

502(z+ 1

z )

=i I

jzj=1 dz

1

2z 2

05z+2

= i

2 I

jzj=1 dz

1

(z0 1

2

)(z02) :

積分路の内側にある特異点は¹位の極^{z =1=2}だけであるから、留数は

I = i

2

12iRes

1

2

=0 lim

z !1=2 (z0

1

2 )1

1

(z0 1

2

)(z02)

= 2

3

: (6.2)

例 ⁴¹

I = 1

2 I

jz j=2 jdzj

jz01j 2

: (6.3)

z =2e

iとおくと^{dz =2ieid ;jdzj=2d}である。書きなおして

I = Z

2

0 d

1

(2e i

01)(2e 0i

01)

= Z

2

0

d

504cos

である。これは先の例⁴⁰と同じであるから

I = 2

3

: (6.4)

もう少し一般的な積分を行なうために、次の準備をしておこう。

6.1 留数定理の応用^:定積分の計算 ¹⁰⁷

図 ^6.1 ジョルダンの補題における積分路^CR

:半径^Rの半円^.

補題 ¹ ジョルダンの補題^{: z}平面の上半平面（^{0 argz} ）で、^{jzj ! 1} としたとき^f(z)は一様に⁰に近づくと仮定する。このとき^{a >0}とすると

I

R

= Z

C

R e

iaz

f(z)dz!0 (R!1): (6.5)

ただし積分路^CRは、半径^Rの円周上^{z =Rei}を上半平面で ⁼⁰からまで 動く半円周である（図^6.1）。

（証明）^jIRjを次のように評価する。

jI

R j =j

Z

C

R e

iaz

f(z)dzj Z

C

R je

iaz

jjf(z)jjdzj: (6.6)

図^{6.2 sin2 =.}

z =R e

iとおくと^{dz = iReid , jdzj =Rd, jeiazj= e0aRsin.} これらを代入 して

jI

R j

Z

0 e

0aRsin

jf(R e i

)jRd : (6.7)

jf(z)jは^jzj!1で一様に⁰に近づくから、任意の正数^"に対して半径^{R (")} を充分大きくとれば、積分路^CR上で

jf(z)j<" (6.8)

となる。故に

jI

R

j"R Z

0 e

0aRsin

d=2"R Z

=2

0 e

0aRsin

d : (6.9)

さらに ^{0 =2}では常に^{sin 2 =}である⁽図^6.2）から

jI

R

j2"R Z

=2

0 e

0(2aR= )

d=

"

a

(10e 0aR

)

a

" (6.10)

である。半径^Rを大きくすると^"はいくらでも小さくできる、すなわち

"!0 (R!1)

であるから

lim

R !1 jI

R

j=0 (6.11)

を得る。（証明終わり）

上では^z平面の上半平面を考えた。もし^f(z)が下半平面（^2argz ） で^jzj!1としたとき一様に⁰に近づくならば、^a>0として

Z

C 0

R e

0iaz

f(z)dz!0 (R!1) (6.12)

となる。ただし積分路^CR⁰ は半径^Rの円周上^{z =Rei}を下半平面で ⁼から

2 まで動く半円周であるとする。

複素積分を実行する際に、^CRまたは^CR⁰ のような半円の積分路を付け加え ることによって閉じた積分路を作り、留数の計算に帰着することができる。

6.1 留数定理の応用^:定積分の計算 ¹⁰⁹

図 ^6.3 例⁴²の積分路^C1 .

例 ⁴²

I = Z

1

0

xsinax

x 2

+1

dx (a>0): (6.13)

sinax =(e iax

0e 0iax

)=(2i)を用いて書き換える。

I = 1

2i Z

1

0 x

x 2

+1 (e

iax

0e 0iax

)dx= 1

2i Z

1

01 xe

iax

x 2

+1

dx (6.14)

ここで

f(z)= z

z 2

+1

(6.15)

とおくとジョルダンの補題により図^6.1の積分路^CR上の複素積分

Z

C

R e

iaz

f(z)dz (6.16)

は ^{R !1}の極限で⁰に収束する。これを加えて

I= lim

R!1 1

2i I

C1 ze

iaz

z 2

+1

dz: (6.17)

積分路^C1は実軸上を^0Rより^Rまで動き、その後半円周^CR上を動いて閉じ る（図^6.3）。（^6.17）で被積分関数の極は^{z =6i}であるが、^C1内には^{z = i} のみがある。留数は

lim

z!i

(z0i) ze

iaz

2

=lim

z !i ze

iaz

= e

0a

:

図 ^6.4 例⁴³の積分路^C2 .

故に

I = 1

2i 2i

e 0a

2

=

2 e

0a

: (6.18)

f(x)は実軸上の区間^[a;b]内の特異点^cを除いて連続であるとする。^">0 として^{z =c}の両側に同じ巾^"だけ領域を除外し

lim

"!0 f

Z

c0"

a

f(x)dx+ Z

b

c+"

f(x)dxg (6.19)

が有限の確定値を与えるとき、これを（コーシーの）主値積分といい

Pv Z

b

a

f(x)dx (6.20)

と書く。

例 ⁴³

I = Z

1

0

sinx

x

dx: (6.21)

これはコーシーの主値積分の意味で次の様に書きなおすことができる。

I = lim

R!1;r !0 Z

R

r sinx

x

dx= lim

R!1;r !0 Z

R

r e

ix

0e 0ix

2ix dx

= 1

lim

R!1;r !0 (

Z

0r

e ix

dx+ Z

R

e ix

dx):

6.1 留数定理の応用^:定積分の計算 ¹¹¹ ここで半径^Rおよび^rの²つの上半平面上の半円を付け加えて閉じた積分 路^C2を用いて新しい積分を考える（ 図^6.4）。

J = I

C2 e

iz

z dz

= Z

0r

0R e

ix

x dx+

Z

z =r e i

; = !0 e

iz

z dz+

Z

R

r e

ix

x dx+

Z

z =R e i

; =0!

e iz

z dz

= J

1 +J

2 +J

3 +J

4

(6.22)

原点から有限の距離にある^eiz=zの極は^{z =0}のみであるから、積分路^C2の 内側には極は存在しない。故に

J =0: (6.23)

（^6.22）式の第¹項^J1＋第³項^J3は

J

1 +J

3

= Z

0r

0R e

ix

x dx+

Z

R

r e

ix

x dx

であるから

lim

R!1; r !0 (J

1 +J

3

)=2iI (6.24)

となる。半径^rの半円周上の積分^J2は次のように計算できる。

lim

r !0 J

2

= lim

r!0 Z

z =r e i

; = !0 e

iz

z

dz=lim

r !0 i

Z

0

d e

ircos 0rsin

=i Z

0

d

= 0i (6.25)

これは^eiz=zの^{z = 0}における留数の半分（に⁰²ⁱを掛けたもの）であるこ とに注意せよ。（なぜそうなのか考えてみよ。）半径^Rの半円周上の積分^J4は ジョルダンの補助定理により^R!1の極限で⁰となる。

lim

R!1 J

4

=0 (6.26)

以上をまとめて

0= lim

R!1;r !0 (J

1 +J

3

)+lim

r !0 J

2

+ lim

R!1 J

4

=2iI +(0i)+0 (6.27)

であるから

I =

: (6.28)

この積分では半径^rの半円を上半平面で閉じたが、下半平面で閉じてもよ い。そのとき^eiz=zの極^{z =0}は積分路の内にある。極からの寄与、半円周か らの寄与を正しく計算すれば同じ値を得る。

例 ⁴⁴

I = Z

1

01 dx

1+x 2

: (6.29)

1=(1+z 2

)の極は^{z =6i}。例⁴²の積分路^C1（図^6.3）を考える。^C1内には¹ 位の極^{z =i}があるから次の積分が計算できる。

J = I

C

1 dz

1+z 2

=2ilim

z !i

(z0i) 1

1+z 2

=: (6.30)

一方積分^Jを書き直せば

J = Z

R

0R dx

1+x 2

+i Z

0 d

Re i

1+R 2

e 2i

: (6.31)

第¹項は^{R ! 1}で^Iになり、第²項は^1=R程度の量で^{R ! 1}とすれば⁰ になる。

Z

0 d

Re i

1+R 2

e 2i

Z

0 d

R e

i

1+R 2

e 2i

= Z

0 d

R

p

1+R 4

+2R 2

cos2

Z

0 d

R

R 2

01

= R

R 2

01

!0 (R!1):

故に

I =: (6.32)

例 ⁴⁵

I = Z

1

01 e

0x 2

cos2bx dx: (6.33)

図^6.5のような積分路^C3を選び^e0z2を積分する。積分路^C3内に^e0z2の極はな いから

0 = I

C3 e

0z 2

dz

= Z

R

0R e

0x 2

dx+i Z

b

0 e

0(R+iy ) 2

dy+ Z

0R

R e

0(x+ib) 2

dx+i Z

0

b e

0(0R+iy ) 2

dy

= Z

R

0R e

0x 2

dx+ Z

0R

R e

0x 2

+b 2

02ibx

dx

+i Z

b

e 0R

2

+y 2

02iR y

dy+i Z

0

e 0R

2

+y 2

+2iR y

dy:

6.2 分岐点のある場合の定積分 ¹¹³

図 ^6.5 例⁴⁵の積分路^C3 .

R!1とすると最後の式の第³、⁴項の積分はそれぞれ⁰となる。

0 = Z

1

01 e

0x 2

dx0 Z

1

01 e

b 2

e 0x

2

(cos2bx0isin2bx)dx

= p

0e b

2 Z

1

01 e

0x 2

cos2bxdx:

故に¹

I =e 0b

2 p

: (6.34)

6.2 分岐点のある場合の定積分

分岐点がある場合の積分はリーマン面の構造を考えて積分路が偏角を含め て閉じるようにするなど、注意して行なわねばならない。いくつかの例を見 ることにしよう。

1ガウス積分

R

1

01 e

0x 2

dxは次のように計算する。

Z

1

01 e

0x 2

dx

2

= Z

1

01 Z

1

01 dxdye

0x 2

0y 2

= Z

1

0 rdr

Z

2

0 d e

0r 2

= 21 1

2 Z

1

0 e

0t

dt=:

よって

Z

1

01 e

0x 2

dx= p

:

図^6.6 例⁴⁶の積分路^C4

.切断は⁰から¹まで正の実軸部分にある^. 例 ⁴⁶

I = Z

1

0 x

p01

1+x

dx (0<p<1): (6.35)

図 ^6:6の積分路^C4（点^Aは^{z =r}、点^Bは ^{z = R}、点^Cは^{z = Rei)}に 沿って

J = I

C

4 z

p01

1+z

dz (6.36)

を考える。積分路上の各点^A〜^Fでの^zおよび^zp01の偏角は表^6.1 のとおり である。この積分路は^{z = 0}の分岐点をさけて切断を横切っていないから、

閉じている。

同じリーマン面上で積分路の内側には¹位の極^{z =01=ei}を含むから

J =2iRes(e i

)=2ie i(p01)

である。ここで^{z =01}の偏角は⁰、³などでなくであることが重要であ る。^A〜^Fと同じリーマン面上にあるからである。また^Jは書き直して

J = Z

R

r x

p01

1+x dx+

Z

2

0

d iR e i

R p01

e i(p01)

1+Re i

表 ^6.1 積分路^{C4 (}図^6.6)に沿う偏角^{argz;argzp01.}

A B C D E F

argz 0 0 2 2

argz p01

0 0 (p01) 2(p01) 2(p01) (p01)

6.2 分岐点のある場合の定積分 ¹¹⁵

図 ^6.7 例⁴⁷の積分路^C5

. 切断は^x=01と²を結ぶ実軸上の線分^.

+ Z

r

R (xe

2 i

) p01

1+x

dx+ Z

0

2 d ire

i r

p01

e i(p01)

1+re i

:

D!Eでは偏角が²であるから^{z =xe2 i}と書いた。上式右辺第²項は^p<1 であるから^R!1とすると⁰となる。右辺第⁴項は^p>0であるから^{r !0} とすると⁰となる。よって

J !(10e i(p01)2

) Z

1

0 x

p01

1+x

dx : (R!1 ; r !0):

結局

Z

1

0 x

p01

1+x dx=

2 ie i(p01)

10e i(p01)2

=

0

sin(p01)

=

sinp

(6.37)

となる。

I =

sinp

: (6.38)

この積分は第⁹章ベータ関数の項でもう一度考える。

例 ⁴⁷

I = Z

2

01 dx

x 2

+1

: (6.39)

この積分を

J = Z

C 1

z 2

+1 log

z+1

z02

dz (6.40)

と関連づけて考えてみよう。² 積分路^C5は図^6:7に示した。

点^Aと点^Bの間 ^x>0では^zの偏角を⁰とし、^A点では ^arg(zA02)=,

arg (z

A

+1) = 0 であるとする。リーマン面の分岐に関する切断は実軸の

01x2の部分にある。

log z+1

z02

=ln

z+1

z02

+iarg z +1

z02

(6.41)

であるから積分路上では次のようになる。

A!B :z =x; z+1=x+1; z02=x02=j20xje i

;

log z+1

z 02

=lnj x+1

x02

j+i(00): (6.42)

B !C :z =01+"e i

; z+1="e i

; z02=03+"e i

'3e i

; =0!2 ;

log z+1

z02

=lnj

"e i

30"e i

j+i(0 ): (6.43)

C !D:z=x; z+1=(x+1)e 2 i

; z02=j20xje i

;

log z+1

z02

=lnj x+1

x02

j+i(20): (6.44)

D!A:z =2+"e i

; z+1=3+"e i

3e 2 i

; z02="e i

; =!3;

log z+1

z02

=lnj 3+"e

i

"e i

j+i(20): (6.45)

したがって積分^Jは次のように書き直される。

J = Z

01

2 dx

1

x 2

+1 flnj

x+1

x02

j0ig

+ "i Z

2

0 d e

i

1

(01+"e i

) 2

+1 flnj

"e i

30"e i

j+i(0)g

+ Z

2

01 dx

1

x 2

+1 flnj

x+1

x02

j+ig

+ "i Z

3

d e

i

1

(2+"e i

) 2

+1 flnj

3+"e i

"e i

j+i(20 )g: (6.46)

" !0とすると、^{lim"!0"ln" =0} に注意すると第²項、第⁴項は⁰となり、

第¹項、第³項の^ln部分は打消しあい、

lim

"!0

J =2i Z

2

01 dx

x 2

+1

=2iI (6.47)

2この方法は岩波講座応用数学 森正武、杉原正顯 著 「複素関数論」 による^.

6.2 分岐点のある場合の定積分 ¹¹⁷

となる。

Jの計算は、無限遠点の側から見ると積分路の内側にはたかだか極しか含 まない。極は^{z =6i}であり、^C5に関して無限遠点と同じ側に存在する。した がって

1

2 i

J = 0fRes(i)+Res(0i)+Res(1)g

= 0

n

1

2i log

i+1

i02 0

1

2i log

0i+1

0i02 +0

o

: (6.48)

ここで（^6.42）〜（^6.45）式の偏角のとり方に従えばⁱ⁺¹⁼

p

2e i =4

; 0i+1=

p

2e i7 =4

; i02 = p

5e i0

; 0i02 = p

5e i(2 00)

となり（^{0 =0arctan1}

2

=

2

+arctan2）、

1

2i

J = (

0 0

4 )=

4

+arctan2: (6.49)

故に

I =

4

+arctan2: (6.50)

この結果は実の不定積分の公式

Z

x

dx

x 2

+1

=arctanx (6.51)

によりすぐ 求められるが、ここで示した方法は一般的に使うことのできるも のである。

例 ⁴⁸ シュワルツ・クリスト ッフェルの公式^: 実軸にそった積分

z =f(t)= Z

t

0 s

0 1

2

(s01) 0

1

2

ds (6.52)

を考える。実軸に沿った積分路は、分岐点^{s =0; s=1}においては図^6.8のよう に上半平面をまわることにする。³また^s>1では^{args01=2 =arg (s01)01=2 =}

0であるとする。これにより積分路上の他の偏角も一意的に決まる。

s>1 : args 1=2

=arg (s01) 1=2

=0 (6.53)

1>s>0 : args 1=2

=0; arg (s01) 1=2

= =2 (6.54)

0>s : args 1=2

=arg (s01) 1=2

==2 (6.55)

3実軸上を動くとき分岐点での周り方によって積分結果は変わってくる。

図 ^6.8 例⁴⁸の実軸に沿った積分路^.

したがって積分は次のように書かれる。

t <0:(t=jtje i

; s=r e i

; s01=(1+r)e i

)

z = Z

jtj

0

(0dr)r 01=2

(1+r) 01=2

e 0 i

=+ Z

jtj

0

dx

q

x(1+x)

; (6.56)

0<t<1:(s=r; s01=(10r)e i

)

z = Z

t

0 dr r

01=2

(10r) 01=2

e 0i =2

=0i Z

t

0

dx

q

x(10x)

; (6.57)

t >1:(s=r; s01=r01)

z=0i Z

1

0

dr

q

r (10r ) +

Z

t

1

dr

q

r (r01)

=0i+ Z

t

1

dx

q

x(x01)

: (6.58)

これから^{z =f(t)}は^tをパラメータとして複素^z平面上で図^6.9のような図形 を描く。

6.3 第⁶章問題 ¹¹⁹

図 ^6.9 例⁴⁸シュワルツ・クリストッフェルの公式による写像 ^z=f(t).

6.3 第 ⁶ 章問題

問^1. 次の定積分を求めよ。

(1) Z

2

0

d

102acos+a 2

(jaj<1) (2) Z

2

0

d

(a+bcos ) 2

(a>b >0)

問^2. 図^6.10の積分路を用いて

Z

1

0

sin(x 2

)dx;

Z

1

0

cos(x 2

)dx

を計算せよ。（フレネル積分）

問^3. 次の積分を計算せよ。

(1) Z

1

0

cosax

x 2

+b 2

dx

(2) Z

1

0

x

x 2

+x+1

dx (01<<1)

問^4. 図^6.11の積分路を考えて

R

0

log (sinx)dxを計算せよ。

問^5.（ ）内に示した積分路を用いて次の積分を行え。

(1) Pv Z

1

0 x

x01

dx (0>>01) (図^6:12)

(2) Z

1

0

logx

(1+x) 3

dx (図^6:13)

(3) Z

1

0

logx

x 2

+a 2

dx (a>0) (図^6:14)

図 ^6.10 問題²の積分路^.

図 ^6.11 問題⁴の積分路^. 問^6.

w= Z

z

0

(10z n

) 02=n

dz

は^jzj<1の領域を^w平面上の正ⁿ辺形内部に写像することを示せ。

6.3 第⁶章問題 ¹²¹

図^6.12 問題⁵⁽¹⁾の積分路^.

図^6.13 問題⁵⁽²⁾の積分路^.

図^6.14 問題⁵⁽³⁾の積分路^.