ホモロジーレンズ空間の
2重分岐被覆となる
S1上 の曲面束
宮下 純平
広島大学大学院理学研究科博士課程前期数学専攻
2019年 12月 20日
動機的問題
問題
どのような曲面束が S
3の 2 重分岐被 覆になるか？
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先行研究
定理[Fox(1972), Montesinos(1974) and Hirsh-Neumann(1975)]
g≧1のとき，Fg×S1 は S3 の2 重分岐被覆ではない．
注意
F0×S1 =S2×S1 は 2成分自明絡み目で分岐する S3 の2 重分岐被覆 である．
定理[Ochiai-Takahashi(1982)]
任意の g >0 に対して，Heegaard genus 2（従ってS3 の2 重分岐 被覆）となる Fg 束が存在する．
Heegaard genus 2のT2 束の分類を与えた．
注意
g(M)≦2なら，M はS3 の2 重分岐被覆である．
曲面束
定義
Fg :種数 gの連結な有向閉曲面，ϕ:Fg →Fg :向きを保つ同相写像 とするとき，以下の 3次元多様体
Mϕ:=Fg×[0,1]/(x,0)∼(ϕ(x),1)
を ϕをモノドロミーとする S1 上の Fg 束（曲面束） と呼ぶ．
1
S3
の
2重分岐被覆となる
S1上の
T2束の分類
定理[Sakuma(1981)]
S3 内の絡み目L がT2 束Mϕ を2 重分岐被覆に持つための必要十分条 件は，Lが次の形の絡み目 K(α, β) とイソトピックとなることである．
また，モノドロミー ϕはA(α, β) :=
( −1 −α β αβ−1
) .
S3
の
2重分岐被覆となる
S1上の
T2束の分類
系[Sakuma]
T2 束Mϕ がS3 の 2重分岐被覆であるとき，
H1(Mϕ)∼=
{Z⊕Z1⊕Z|4−αβ| ifα orβ is odd.
Z⊕Z2⊕Z|4−αβ| 2
ifα andβ are even.
1
曲面束の
1次元ホモロジー群
事実
Mϕ をFg 束とするとき，
H1(Mϕ) ∼= Z⊕Coker(ϕ∗−1 :H1(Fg)→H1(Fg))
∼= Z⊕ ( 2g
⊕
i=1
Zni
)
, ni∈N∪ {0}, ni|ni+1 (1≦i≦2g−1).
ただし，Z0 =Z とみなす．
特に，g= 1のとき，
H1(Mϕ)∼=Z⊕Zn1 ⊕Zn2, n1 |n2.
系[Sakuma]により，T2 =F1 束 Mϕ がS3 の2 重分岐被覆であるなら，
ng =n1 = 1 or 2である．
S3
の
2重分岐被覆となる
S1上の曲面束のホモロジー による特徴付け
定理[Sakuma(1981)]
Fg 束Mϕがホモロジー S3 の2 重分岐被覆であるなら，ng= 1 or 2 で ある．
逆に，ni |ni+1,ng = 1 or 2を満たす任意の(n1, . . . , n2g)∈(N∪ {0})2g に対して，S3 の2 重分岐被覆となるFg 束Mϕ で次を満たすものが存在 する．
H1(Mϕ)∼=Z⊕ ( 2g
⊕
i=1
Zni
) .
1
問題
問題
S3 またはホモロジーS3 をL(p, q) またはホモロジーL(p, q) に変えると 何が言えるか？
ここで，3 次元多様体M がホモロジーレンズ空間 であるとは，
H∗(M;Z)∼=H∗(L(p, q);Z) が成立するときをいう．
L(p, q)
の
2重分岐被覆となる
S1上の
T2束の分類
定理 1[Miyashita]
L(p, q) 内の絡み目L がT2 束 Mϕを2 重分岐被覆に持つための必要十 分条件は，L が次の形の絡み目K(p, q;α, β) とイソトピックとなること である．
また，モノドロミー ϕは A(p, q;α, β) :=
( r s p q
) ( 1 β 0 −1
) ( −q s p −r
) ( 1 α 0 −1
) . ただし，r, s はrq−ps=−1 を満たす整数である．
1
定理
1の十分性の証明
定理
1の十分性の証明
2 重分岐被覆は次のようにして構成される．
1
L(p, q)
の
2重分岐被覆となる
S1上の
T2束の分類
系[Miyashita]
T2 =F1 束Mϕ がL(p, q) の2 重分岐被覆であり，
H1(Mϕ)∼=Z⊕Zn1 ⊕Zn2, n1 |n2. と表すとき，ng=n1|2p である．
注意
上の系の 逆 は(p, q) = (3,1)のときは不成立．実際，
H1(Mϕ)∼=
Z⊕Z1⊕Z3k k6≡0 mod 3 Z⊕Z2⊕Z6k k6≡0 mod 3 Z⊕Z3⊕Z3k k is arbitrary.
Z⊕Z6⊕Z6k k is arbitrary.
結果
簡単のため，p:odd primeとする．
予想
Fg 束Mϕがホモロジー L(p, q) の2 重分岐被覆であるなら，ng |2p で ある．
注意
ng |2p であることは次と同値である．
(i) k: odd prime s.t. k6=p =⇒ k/n| g, (ii) 4/n| g,
(iii) p2/n| g.
定理 2[Miyashita]
上において (i),(ii)が成立する．
1
定理
2 (i)の証明
観察
(i) は次と同値である．
k: odd prime s.t. k6=p =⇒ dim(H1(Mϕ;Zk))≦g+ 1.
観察内の主張の証明には次の補題を用いる．
補題
k:p とは異なる奇素数，
N : homologyL(p,∗),M :N の2 重分岐被覆，
h:M →M :被覆変換
=⇒ 次の (1),(2)が成立する．
(1) 1 +h∗i= 0 :Hi(M;Zk)→Hi(M;Zk) if i= 1, 2.
(2) ∀x, y∈H2(M;Zk),int(x, y) = 0∈H1(M;Zk).
補題
(1)の証明
π :M →N を射影，τ∗:C∗(N)→C∗(M) をtransfer とするとき，
Hi(M;Zk) 1+h∗i //
π∗i
''
Hi(M;Zk)
Hi(N;Zk)
τ∗i
77
. i= 1,2 のとき，Hi(N;Zk) = 0 だから，
1 +h∗i = 0 :Hi(M;Zk)→Hi(M;Zk) が従う．
注意
transfer とは，次で定義される鎖準同型写像 τ∗:C∗(N)→C∗(M) のこ とである．
C∗(N)3σ 7→π−1(σ) = ˜σ+h(˜σ)∈C∗(M).
1
補題
(2)の証明
任意に x, y∈H2(M;Zk) をとる．このとき，次の等式が成り立つ．
int(x, y) = int(−x,−y)
= int(h∗2(x), h∗2(y))
= h∗1(int(x, y))
= −int(x, y).
gcd(2, k) = 1 だから，int(x, y) = 0∈H1(M;Zk)が従う．
定理
2 (i)の証明
背理法で示す．dim(H1(Mϕ;Zk))≧g+ 2と仮定して矛盾を導く．
背理法の仮定により，dim(Coker(ϕ∗−1))≧g+ 1である．
次元公式により，
dim(Im(ϕ∗−1))≦g−1 dim(Ker(ϕ∗−1))≧g+ 1 であることが分かる．
1
定理
2 (i)の証明
η :H1(Fg;Zk)↠Coker(ϕ∗−1)⊂H1(Mϕ;Zk) を自然な射影とする．こ のとき，
η(Ker(ϕ∗−1))∼= Ker(ϕ∗−1)/(Ker(ϕ∗−1)∩Im(ϕ∗−1)) なので
dim(η(Ker(ϕ∗−1))) ≧ dim(Ker(ϕ∗−1))−dim(Im(ϕ∗−1))
≧ (g+ 1)−(g−1) = 2
が得られる．よって，次の 2条件を満たす z∈Z1(Fg;Zk) が存在する．
[z]∈Ker(ϕ∗−1)⊂H1(Fg;Zk), ord(η([z])) =k.
ここで，[(ϕ#−1)(z)] = (ϕ∗−1)([z]) = 0∈H1(Fg;Zk) なので，
∂c= (ϕ#−1)(z)∈Z1(Fg;Zk) となるc∈C2(Fg;Zk)が存在する．
定理
2 (i)の証明
ˆ
z:=z×[0,1]−ϕ−∗1(c)×0∈C2(Mϕ;Zk) で定義する．このとき，
∂zˆ = ∂(z×[0,1]−ϕ−#1(c)×0)
= ∂z×[0,1] + (−1)(z×∂([0,1]))−ϕ−#1(∂c)×0
= z×0−z×1−ϕ−1# (∂c)×0
= z×0−ϕ−#1(z)×0−ϕ−#1(∂c)×0
= (z−ϕ−#1(z)−ϕ−#1(∂c))×0
= (z−ϕ−#1(z)−ϕ−#1((ϕ#−1)(z)))×0
= 0
より，zˆ∈Z2(Mϕ;Zk) である．よって，[ˆz]∈H2(Mϕ;Zk) が定義できる．
1
定理
2 (i)の証明
[Fg] := [Fg× 12]∈H2(Mϕ;Zk) とする．このとき，
int([ˆz],[Fg]) =η([z]) であることが分かる．補題 (2)により，
η([z]) = int([ˆz],[Fg]) = 0∈H1(Mϕ;Zk) となるが，これは ord(η([z])) =kであることに矛盾する．
よって，dim(H1(Mϕ;Zk))≦g+ 1が得られた．
ご清聴ありがとうございました．
1
