ホモロジーレンズ空間の 2 重分岐被覆となる S 上の曲面束

(1)

ホモロジーレンズ空間の

2

^{重分岐被覆となる}

S¹

^上の曲面束

宮下純平

(広島大学大学院)^∗ 2020

年

1

月

27

日

概要

作間 [4] ^は，S³ ^の2 ^{重分岐被覆となる}S¹ 上のトーラス束を完全に分類し，

さらに，ホモロジー3球面の2重分岐被覆となるS¹ 上の曲面束の1次元ホモロジー群の特徴付けを与えた．本稿では，レンズ空間L(p, q) ^の2^重分岐被覆となるS¹ 上のトーラス束の分類，及びホモロジーレンズ空間の2 ^重分岐被覆となるS¹ 上の1 次元曲面束のホモロジー群の持つ性質について報告する．ここで，3 次元多様体 M がホモロジーレンズ空間であるとは，M がレンズ空間と同じ整数係数ホモロジーを持つときをいう．

1.

イントロダクション

1.1.

曲面束

定義

1.1.

種数

g

の連結な有向閉曲面

F_g

上の自己同相写像

ϕ

に対して，以下で定義される

3

次元多様体

Mϕ:=Fg×[0,1]/(x,0)∼(ϕ(x),1)

を

ϕ

をモノドロミーとする

S¹

上の

F_g

束（曲面束）と呼ぶ．

∗〒739-8526 広島県東広島市鏡山一丁目3 番1号広島大学大学院理学研究科

e-mail:[email protected] web: http://mathsoc.jp/~hanako/

(2)

命題

1.2. M_ϕ

の

1

次元整数係数ホモロジー群

H₁(M_ϕ) := H₁(M_ϕ;Z)

は次で与えられる．

H₁(M_ϕ) ∼= Z⊕Coker(ϕ_∗−1)

∼= Z⊕ ( _2g

⊕

i=1

Zni

)

, n_i ∈N∪ {0}, n_i |n_i+1 (1≦i≦2g−1).

1.2.

作間

[4]

の結果

定理

1.3. S³

内の絡み目

K

が

T²

束

M_ϕ

を

2

重分岐被覆に持つための必要十分条件は，K が次の形の絡み目

K(α, β)

とイソトピックとなることである．

図

1.1: K(α, β)

また，

M_ϕ

のモノドロミー

ϕ

は

A(α, β) :=

( −1 −α β αβ −1

)

で与えられる．

定理

1.3

から次の系が得られる．

系

1.4. T² =F₁

束

M_ϕ

が

S³

の

2

重分岐被覆であり，

H₁(M_ϕ)∼=Z⊕Zn1 ⊕Zn2, n₁ |n₂

と表すとき，

n_g =n₁ = 1

または

2

である．

定理

1.5.

ホモロジー

3

球面の

2

重分岐被覆を

M_ϕ

とするとき，

n_g = 1

または

2

である．逆に，

n_i |n_i+1, n_g = 1

または

2

を満たす任意の

(n₁, . . . , n_2g)∈(N∪ {0})^2g

に対して，S

³

の

2

重分岐被覆となる

F_g

束

M_ϕ

で

H₁(M_ϕ)∼=Z⊕ ( _2g

⊕

i=1

Zni

)

を満たすものが存在する．

(3)

2. L(p, q)

の

2

重分岐被覆となる

S¹

上のトーラス束の決定

2.1.

得られた結果

定理

2.1. L(p, q)

内の絡み目

K

が次の形の絡み目

K(p, q;α, β)

とイソトピックとなるなら，

K

は

T²

束

M_ϕ

を

2

重分岐被覆に持つ．

また，

M_ϕ

のモノドロミー

ϕ

は

A(p, q;α, β) :=

( r s p q

) (

1 β

0 −1

) ( −q s p −r

) (

1 α

0 −1 )

である．ただし，

r, s

は

rq−ps=−1

を満たす整数である．

上の図は

L(p, q)

の種数

1

の

Heegaard

分解を表しており，ハンドル体

V₁, V₂

それぞれに

α

回，

β

回ひねられた曲面

S_i

が埋め込まれている．

S₁, S₂

の境界をそれぞれ

K(α), K(β)

としたとき，K(p, q;

α, β) = K(α)∪K(β)

である．

定理

2.2. p

が奇数であるとき，

T²

束

M_ϕ

が

L(p, q)

の

2

重分岐被覆であるなら，分

枝集合

K

は

K(p, q;α, β)

とイソトピックである．

(4)

2.2.

定理

2.1

の証明

V_i

を

S_i

で切り開いて得られた

3

次元多様体を

Vˆ_i

とする．このとき，

Vˆ_i ∼=T²×[0,1]

である．

Vˆ_i

の

2

つの連結成分のうち，

S_i

の境界を含むものを

C_i⁻

，もとのハンドル体の境界と対応するものを

C_i⁺

とする．

Vˆ_i

のコピー

Vˆ_i^′ (i= 1,2)

を用意し，次の図式で示されるように貼り合わせると，K で分岐する

L(p, q)

の

2

重分岐被覆が得られる．

C₁⁻

γ1

⊂ Vˆ₁ ⊃ C₁⁺ ^f ^//C₂⁺ ⊂ Vˆ₂ ⊃ C₂⁻

γ2

C₁⁻^′ ⊂ Vˆ₁^′ ⊃ C₁⁺^′

f //C₂⁺^′ ⊂ Vˆ₂^′ ⊃ C₂⁻^′.

ここで，写像

f :C₁⁺→C₂⁺

は誘導準同型

f_∗

が

( r s p q

)

と対応する同相写像であり，

γ_i :C_i⁻→C_i⁻^′

は

(γ₁)_∗

が

(

1 α

0 −1 )

と対応し，(γ

₂)_∗

が

(

1 β

0 −1 )

と対応する対合である．よって，ϕ

:=γ₁⁻¹◦f⁻¹◦γ₂◦f

とすると，2 重分岐被覆

M_ϕ

は

S¹

上の

T²

束で，モノドロミーは

( r s p q

) (

1 β

0 −1

) ( −q s p −r

) (

1 α

0 −1 )

である．よって，

定理

2.1

を示すことができた．

2.3.

定理

2.2

の証明

この定理の証明は，

Tollefson [6, Theorem 2]

から導かれる次の定理に本質的に依存している．

定理

2.3. S¹

上の

Fg

束

Mϕ

が

L(p, q)

の

2

重分岐被覆であるとする．このとき，

Mϕ

上の被覆変換

h

は次で定義される

M_ζ :=F_g×R/(x, t)∼(ζ(x), t+ 1)

上の対合

h^′

と

(5)

同値になる．

h^′([(x, t)]) := [(γ(x),1−t)].

ただし，

ζ

が

ϕ

とイソトピックな

Fg

上の同相写像であり，

γ

は

T²

上の向きを逆転する対合で

γ =ζ◦γ◦ζ

を満たす．

次の命題は良く知られている（作間

[5, p.164]

参照）．

命題

2.4. T²

上の向きを逆転する対合

γ

は次の

γ₁, γ₂, γ₃

のいずれかと同値になる．

γ_i(θ₁, θ₂) (γ_i)_∗ T²/γ_i Fixγ_i

γ₁ (θ₁,−θ₂) (

1 0 0 −1

)

円環

2

つの円周

γ₂ (θ₁+θ₂,−θ₂) (

1 1 0 −1

)

M¨obius

の帯

1

つの円周

γ₃ (θ₁+π,−θ₂)

( 1 0 0 −1

)

Klein

の壺空集合

ただし，

T²

上の対合

γ

と

γ^′

が同値であるとは，次の図式が可換になる

T²

上の同相写像

f

が存在するときをいう．

T²

γBBBBBB

BB ^∃∼=^f //T²

γ^′

~~||||||||

T²

定理

2.2

を示す．

M_ϕ

を

L(p, q)

の

2

重分岐被覆とし，分枝集合を

K

とする．このとき，ϕ をイソトピーの範囲で取り換えることにより，M

_ϕ

上の向きを保つ対合

h

が存在し，

(M_ϕ,Fixh)/h= (L(p, q), K)

を満たすとして良い．定理

2.3

により，

h([(x, t)]) = [(γ(x),1−t)]

となる

T²

上の対合

γ

が存在する．このとき，

(M_ϕ,Fixh)/h ∼= (T²×[0,1/2],(Fix(ϕ⁻¹◦γ)×0)∪(Fixγ ×1/2))/∼

∼= (N₀, K₀)∪(N₁, K₁)

と書ける．ここで，

1

行目の

∼

は，

(x,0)∼((ϕ⁻¹◦γ)(x),0)

かつ

(x,1/2)∼(γ(x),1/2)

を表す．また，2 行目の

(N₀, K₀), (N₁, K₁)

はそれぞれ次で定義される．

(N₀, K₀) := (T²×[0,1/4],Fix(ϕ⁻¹◦γ))/(x,0)∼((ϕ⁻¹◦γ)(x),0), (N₁, K₁) := (T²×[1/4,1/2],Fixγ)/(x,1/2)∼(γ(x),1/2).

(N₀, K₀)

に着目して考える．命題

2.4

により，K

₀

は

2

つの円周の和，円周，空集合のいずれかになる．ここで，次の補題を示す．

補題

2.5. K₀, K₁

はともに空集合ではない．

証明

.

例えば

K₀

が空集合であったとする．このとき，

Klein bottle⊂N₀ ⊂N₀∪N₁ = L(p, q)

を満たしている．よって，

H₁(L(p, q);Z2)̸= 0

である（

Rubinstein [3, p.187]

参照）．

ところが，

p

は奇数と仮定していたので，

H₁(L(p, q);Z2) = 0

となり矛盾が生じる．よっ

て，補題

2.5

を示すことができた．

□

(6)

定理

2.2

の証明に戻る．補題

2.5

により，

N₀ ∼=N₁ ∼=S¹×D²

だから，

{N₀, N₁}

は

L(p, q)

の種数

1

の

Heegaard

分解を一意的に与える．よって，

L(p, q) =V₁∪V₂

において，N

₀ =V₁, N₁ =V₂

として良い．よって，

(V1, V1 ∩K) ∼= (N0, K0)

∼=

{(S¹×D², ∂(annulus))

(S¹×D², ∂(M¨obius band))

だから，ある

α ∈Z

に対して，

V₁∩K

は

K(α)

とイソトピックである．同様にして，

ある

β ∈Z

に対して，

V₂∩K

は

K(β)

とイソトピックである．よって，分枝集合

K

は絡み目

K(p, q;α, β)

とイソトピックである．よって，定理

2.2

を示すことができた．

3. L(p, q)

の

2

重分岐被覆となる

S¹

上のトーラス束の

1

次元ホモロ

ジー群の計算結果

定理

2.1

から次の系が得られる．

系

3.1. T² =F₁

束

M_ϕ

が

L(p, q)

の

2

重分岐被覆であるなら，

H1(Mϕ)∼=Z⊕Zd⊕Zdk

で与えられる．ただし，

d, k

は次の

2

条件

• d|2p

• k = |det(A(p, q;α, β)−E)| d²

を満たしている．

注意

.

上の系の逆は一般には成立しない．すなわち，

d, k

が

• d|2p

• k = |det(A(p, q;α, β)−E)| d²

を満たしていても，

L(p, q)

の

2

重分岐被覆となる

T²

束であって

H₁(M_ϕ)∼=Z⊕Zd⊕Zdk

を満たすように実現できないものが存在する．そのことを例

3.2

で見る．

例

3.2. (1) (p, q) = (2,1)

のとき，次が成立する．

H₁(M_ϕ)∼=









Z⊕Z1⊕Z4k k

は奇数

Z⊕Z2⊕Z2k k̸≡0 mod 4 Z⊕Z4⊕Z4k k

は任意

逆に，右辺の形の

abel

群は

L(2,1)

の

2

重分岐被覆となる

T²

束

M_ϕ

の

1

次元

ホモロジー群として実現できる．従って，特に，

Z⊕Z2⊕Z2k (k ≡0 mod 4)

は

L(2,1)

の

2

重分岐被覆となる

T²

束

M_ϕ

の

1

次元ホモロジー群として実現でき

ない．

(7)

(2) (p, q) = (3,1)

のとき，次が成立する．

H₁(M_ϕ)∼=











Z⊕Z1⊕Z3k k̸≡0 mod 3 Z⊕Z2⊕Z6k k̸≡0 mod 3 Z⊕Z3⊕Z3k k

は任意

Z⊕Z6⊕Z6k k

は任意

4.

ホモロジーレンズ空間の

2

重分岐被覆となる曲面束のホモロジー群に関する予想

定義

4.1. 3

次元多様体

M

が

p

型ホモロジーレンズ空間あるいはホモロジー

L(p,∗)

であるとは，

M

の整数係数ホモロジー群とレンズ空間

L(p, q)

（ただし，

q

は

p

と互いに素な整数）の整数係数ホモロジー群が一致するときをいう．

前章の結果を一般化して，次の予想を立てた．

予想

4.2. p

を奇素数とする．

S¹

上の

F_g

束

M_ϕ

が

p

型ホモロジーレンズ空間の

2

重分岐被覆を

M_ϕ

であるとき，

n_g |2p

である．

観察

. n_g |2p

であることは次の

3

つの主張を満たすことと同値である．

主張

1.

奇素数

k

が

k ̸=p

を満たすとき，

gcd(n_g, k) = 1,

主張

2. gcd(n_g,4) = 1

または

2,

主張

3. gcd(n_g, p²) = 1

または

p.

上の観察はつまり，

ng

を素因数分解したとき，

2

と

p

の重複度は高々

1

で，

p

以外の奇素数は現れないということを意味している．

本稿では，主張

1

の証明を与える．

5.

主張

1

の証明

観察

.

主張

1

は次と同値である．

•

奇素数

k

が

k ̸=p

を満たすとき，

dim(H₁(M_ϕ;Zk))≦g+ 1

である．

主張

1

の証明には次の補題を用いる．

補題

5.1. p

を奇素数とし，

k

を

p

とは異なる奇素数とする．また，

N

をホモロジー

L(p,∗)

とし，M を

N

の

2

重分岐被覆とする．さらに，写像

h:M →M

が被覆変換であるとき，次が成立する．

(1) i= 1,2

のとき，

1 +h_∗i :Hi(M;Zk)→Hi(M;Zk)

は零写像である．

(2) H₂(M;Zk)

の任意の

2

つの元

x, y

に対して，

int(x, y) = 0∈H₁(M;Zk)

が成立

する．

(8)

主張

1

を示す．背理法で示す．

dim(H₁(M_ϕ;Zk))≧g+ 2

と仮定して矛盾を導く．

背理法の仮定により，dim(Coker(ϕ

_∗−1))≧g+ 1

である．

次元公式により，

dim(Im(ϕ_∗−1))≦g−1 dim(Ker(ϕ_∗−1))≧g+ 1

であることが分かる．

η :H₁(F_g;Zk)↠ Coker(ϕ_∗ −1)⊂ H₁(M_ϕ;Zk)

を自然な射影とする．このとき，

η(Ker(ϕ_∗−1))∼= Ker(ϕ_∗−1)/(Ker(ϕ_∗−1)∩Im(ϕ_∗−1))

なので

dim(η(Ker(ϕ_∗−1))) ≧ dim(Ker(ϕ_∗−1))−dim(Im(ϕ_∗−1))

≧ (g+ 1)−(g−1) = 2

が得られる．よって，次の

2

条件を満たす

z ∈Z₁(F_g;Zk)

が存在する．

• [z]∈Ker(ϕ_∗−1)⊂H1(Fg;Zk),

• ord(η([z])) =k.

ここで，[(ϕ

_#−1)(z)] = (ϕ_∗ −1)([z]) = 0∈ H₁(F_g;Zk)

なので，∂c

= (ϕ_#−1)(z) ∈ Z₁(F_g;Zk)

となる

c∈C₂(F_g;Zk)

が存在する．

ˆ

z :=z×[0,1]−ϕ⁻_∗¹(c)×0∈C₂(M_ϕ;Zk)

で定義する．このとき，

∂zˆ = ∂(z×[0,1]−ϕ⁻_#¹(c)×0)

= ∂z×[0,1] + (−1)(z×∂([0,1]))−ϕ⁻¹_# (∂c)×0

= z×0−z×1−ϕ⁻_#¹(∂c)×0

= z×0−ϕ⁻_#¹(z)×0−ϕ⁻_#¹(∂c)×0

= (z−ϕ⁻_#¹(z)−ϕ⁻_#¹(∂c))×0

= (z−ϕ⁻_#¹(z)−ϕ⁻_#¹((ϕ_#−1)(z)))×0

= 0

より，ˆ

z ∈Z₂(M_ϕ;Zk)

である．よって，[ˆ

z]∈H₂(M_ϕ;Zk)

が定義できる．[F

_g] := [F_g×

1

2]∈H₂(M_ϕ;Zk)

とする．このとき，

int([ˆz],[F_g]) =η([z])

であることが分かる．補題

(2)

により，

η([z]) = int([ˆz],[Fg]) = 0∈H1(Mϕ;Zk)

となるが，これは

ord(η([z])) =k

であることに矛盾する．よって，

dim(H₁(M_ϕ;Zk))≦ g+ 1

が得られ，主張

1

を示すことができた．

(9)

謝辞

講演の機会を与えてくださった日本大学の市原一裕先生，茂手木公彦先生に心より感謝致します．また本研究を進めるにあたり，非常に適切かつ丁寧にご指導いただいた指導教員の作間誠先生にこの場をお借りして感謝申し上げます．また，先輩の片山拓弥さん，坂井駿介さんには貴重な助言をいただきました．あわせてお礼申し上げます．

参考文献

[1] A. Hatcher, Basic Topology of 3-Manifolds, unpublished notes available online at http://www.math.cornell.edu/˜hatcher

[2] D. Rolfsen,Knots and links. Mathematics Lecture Series, No. 7. Publish or Perish, Inc., Berkeley, Calif., 1976.

[3] J. H. Rubinstein,One-sided Heegaard splittings of3-manifolds, paciﬁc J. Math.76(1978), no. 1, 185–200.

[4] M. Sakuma, Surface bundles over S¹ which are 2-fold branched cyclic coverings of S³, Math. Sem. Notes, Kobe Univ., 9 (1981) pp. 159–180.

[5] M. Sakuma, Involutions on torus bundles over S¹, Osaka J. Math. 22 (1985), no. 1, 163–185.

[6] J. L. Tollefson, Periodic homeomorphisms of 3-manifolds ﬁbered over S¹. Trans. Amer.

Math. Soc. 223 (1976), 223–234.

ホモロジーレンズ空間の 2 重分岐被覆となる S 上の曲面束

ホモロジーレンズ空間の

重分岐被覆となる

上 の曲面束

宮下 純平

年

月

日

イントロダクション

曲面束

定義

種数

の連結な有向閉曲面

上の自己同相写像

に対して，以下で定義 される

次元多様体

を

をモノドロミーとする

上の

束（曲面束） と呼ぶ．

命題

の

次元整数係数ホモロジー群

は次で与えら れる．

作間

の結果

定理

内の絡み目

が

束

を

重分岐被覆に持つための必要十分条件 は，K が次の形の絡み目

とイソトピックとなることである．

図

また，

のモノドロミー

は

で与えられる．

定理

から次の系が得られる．

系

束

が

の

重分岐被覆であり，

と表すとき，

または

である．

定理

ホモロジー

球面の

重分岐被覆を

とするとき，

または

で ある．逆に，

または

を満たす任意の

に 対して，S

の

重分岐被覆となる

束

で

を満たすものが存在する．

の

重分岐被覆となる

上のトーラス束の決定

得られた結果

定理

内の絡み目

が次の形の絡み目

とイソトピックとな るなら，

は

束

を

重分岐被覆に持つ．

また，

のモノドロミー

は

である．ただし，

は

^{重分岐被覆となる}

^上の曲面束

宮下純平

に対して，以下で定義される

束（曲面束）と呼ぶ．

は次で与えられる．

重分岐被覆に持つための必要十分条件は，K が次の形の絡み目

である．逆に，

に対して，S

とイソトピックとなるなら，

それぞれに

，もとのハンドル体の境界と対応するものを

と対応する対合である．よって，ϕ

束で，モノドロミーは

から導かれる次の定理に本質的に依存している．