数理の世界

(1)

数理の世界

数学の考え方

ゲーデルの不完全性定理公理と証明，

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第

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回の講義

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渕野昌

神戸大学大学院システム情報学研究科

神戸大学年後期の講義於教室，月曜

!" #

(2)

前回のリアクションペーパーでのコメントの一つに対する答

^{数理の世界}

「が無理数である」ことの証明と同じ証明で「が無理数である」ことも証明できてしまうのではないでしょうか

同様の証明は成り立たないことが示せる．

次の同値が成り立つことが証明できるすべての自然数に対し，

は無理数であるつまり ^! となる自然数が存在しない．

証明．となる自然数が存在するなら，は明らかに有理数である．

となる自然数が存在しないと仮定して，が無理数であることを示す．

(3)

前回のリアクションペーパーでのコメントの一つに対する答

^{数理の世界} 背理法で証明する．つまり，となる自然数は存在しないが，

"!

となる全数 ^# は存在する，として矛盾を示す．

は既約分数表示になっているとしてよい．仮定からである．を素因数分解して，

とする．ただし，

#

はすべて素数で，

##

は互いに異るとする．仮定から，である．

"! から，

である．このときは

の倍数だから，は

の倍数である．

¼ とすると，

""!

¼

となる．

(4)

前回のリアクションペーパーでのコメントの一つに対する答

^{数理の世界} したがって， ^¼^! は

の倍数だが，

##

は互いに異なる素数だから，^¼ も

の倍数でなくてはならないことがわかる．

よって，^¼

¼¼ と書けるから，これを ""!に代入すると，

¼¼

!

となる．したがって，上と同じ議論でもの倍数でなくてはならないが，このことから，表現

が，

で約分できることになってしまい，

が既約表現である，という仮定に矛盾である．

(5)

公理

^{数理の世界} 一連の数学的議論で前提とする命題の集まり^! を公理 ^{$% !}

公理系^# ^{$% !} とよぶ．

公理や公理系は「正しい」数学で，その「正しさ」に疑問の余地のないようなもの，という捉え方のできるものが多いが，近代の数学では，必ずしも「正しさ」が公理の採用基準にならない場合も多い．

通常の平面幾何の公理系で，平行線公理「直線とに含まれない点をとるとき，を通る直線でと交じわらないものがちょうど一つ存在する」^!の代わりに，この公理の否定「ある直線とに含まれない点でを通る直線はすべてと交じわるようなものが存在する」^! を他の公理と合せたもの ^¼ は，矛盾しない．

たとえば，単位球面の上の点を，「点」だと考え，この球面上の大円を「直線」だと考えると，^¼ の公理はこの解釈ですべて成り立つことが示せる．

(6)

公理

^{数理の世界} この場合も^¼ も同じように可能な幾何学のベースとなっているので，どちらが正しいか，というような議論は適当でない．

一方，すべての数学を展開できる体系の基礎というような意味あいを持つ公理系も考えることができる．この場合には，公理系に含まれる公理は，ある意味で「正しい」必要がある．

(7)

デデキント

ペアノの公理系

^{数理の世界} 以下は，デデキント^&ペアノ公理系として知られている初等数論の公理系である．この公理系では，^' の次の数⁽ をあらわす ^! という関数記号と，定数 ^#加算と乗法をあらわす ^)#および，

等号が固定された記号として用いられている．また，変数は自然数の上を走るものと考えている．

デデキント^&ペアノの公理系は次のような複数無限個^!の公理からなる

なら，^!^!

!

なら， ^! となるが存在する

)

) ! )! ! !)

帰納法の原理^! すべての性質 ^!に対し，

! かつ

すべてのに対し， ^! なら ^!^! が成り立つなら，

すべてのに対し， ^! となる．

(8)

等号の公理

^{数理の世界} ペアノ^* ^+$# 安政^!年 ^,昭和^-!年^!によるデデキント^&ペアノの公理系の定義では，現在では論理の公理とみなされている，次のような等号の公理も含まれていた

すべてのに対しである．

すべての^# に対し，ならである．

すべての^#^# に対し，かつならである．

すべての^#^¼ に対し ^¼ なら ^! ^¼^!である．

すべての^#^¼^#^#^¼ に対して， ^¼ かつ ^¼ なら，

)

¼

)

¼ かつ ^¼^¼ である．

すべての^#^¼ とすべての性質 ^! に対し，^¼ なら，

!

¼

! である．

デデキント^&ペアノの公理系の問題点 ^'すべての性質⁽ といったときの^'性質⁽ が何かどの範囲で考えているものなのか^! が明らかでない．

(9)

２つの不完全性定理が証明されたゲーデルの昭和年の論文の最初のページ．ただし，この論文では，「不完全性定理」という名称はまだ使われていない．

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