数学Ａ 第３章 整数の性質

- 1 -

数学Ａ 第３章 整数の性質

第１節 約数と倍数

１限目 Ｐ１０６～Ｐ１０８ 約数と倍数 ２限目 Ｐ１０９～Ｐ１１２ 素因数分解

３限目 Ｐ１１３～Ｐ１１５ 最大公約数・最小公倍数

４限目 Ｐ１１６～Ｐ１１８ 互いに素，最大公約数・最小公倍数の性質 ５限目 Ｐ１１９～Ｐ１２２ 商と余り，余りによる整数の分類

６限目 Ｐ１２３～Ｐ１２５ 研究，発展，補充問題

第２節 ユークリッドの互除法

１限目 Ｐ１２６～Ｐ１２９ ユークリッドの互除法 ２限目 Ｐ１３０～Ｐ１３２ １次不定方程式（１）

３限目 Ｐ１３３～Ｐ１３４ １次不定方程式（２）

４限目 Ｐ１３５ 補充問題

第３節 整数の性質の活用

１限目 Ｐ１３６～Ｐ１３９ 分数と小数 ２限目 Ｐ１４０～Ｐ１４２ n 進法 ３限目 Ｐ１４３ 補充問題 ４限目 Ｐ１４４ 章末問題Ａ ５限目 Ｐ１４５ 章末問題Ｂ

- 2 -

第３章 整数の性質(第１節) 練習問題 解答

練習１

（１）±１，±２，±３，±４，±６，±１２

（２）６，１２，１８，２４，３０

練習２

（１）a^，b は４の倍数であるから，整数k^，l を用いて a^＝4k^，b^＝4l と表せる。

このとき，a－b＝4k－4l＝4(k−l) であり，

k^－l ^{は整数であるから，}a^－b は４の倍数である。

（２）a^，a^＋b は５の倍数であるから，整数k^，l を用いて a^＝5k^，a^＋b^＝5l と表せる。

このとき，b＝(a^＋b)－a^＝5l^－5k^＝5(l−k) であり，

l－k は整数であるから，b は５の倍数である。

練習３

（１） ２５１７ ３の倍数 ○ ９の倍数 × （２＋５＋１＋７＝１５）

（２） ７３１４８ ３の倍数 × ９の倍数 × （７＋３＋１＋４＋８＝２３）

（３）３２７４６５ ３の倍数 ○ ９の倍数 ○ （３＋２＋７＋４＋６＋５＝２７）

練習４

１２３□ が５の倍数であるから，□ は０ または５ であり，１２３０ は３の倍数で，１２３５ は ３の倍数ではないので，□ は０ である。

練習５

（１）１４４＝12^2＝2⁴3²

（２）１８０＝1810^＝2²3²5

（３）５２５＝2521^＝35²7

練習６

１６８＝2³37 ^{であるから，} 168n が自然数になるような最小の自然数n は，

n＝237＝４２

練習７

（１）４５＝3²5 ^{の正の約数は，}3^a5^b（a^{＝０，１，２} b＝０，１）であるから，

１，３，５，９，１５，４５

（２）５６＝2³7 ^{の正の約数は，}2^a7^b（a^{＝０，１，２，３} b＝０，１）であるから，

１，２，４，７，８，１４，２８，５６

（３）６０＝2²35 ^{の正の約数は，}2^a3^b5^c（a^{＝０，１，２} b^＝０，１ c＝０，１）であるから，

１，２，３，４，５，６，１０，１２，１５，２０，３０，６０

練習８

（１）７５＝35² の正の約数の個数は，(1+1)(2+1)＝６個

（２）１９６＝2²7^{2 の正の約数の個数は，}(2+1)(2+1)＝９個

（３）４５０＝23²5² の正の約数の個数は，(1+1)(2+1)(2+1)＝１８個

- 3 - 研究 練習１

（１）xy+4x−3y＝１５

x(y+4)−3(y+4)+12＝１５ (x−3)(y+4)＝３ より，

(x−3, y+4)＝(１，３)，(３，１)，(－１，－３)，(－３，－１) (x, y)＝(４，－１)，(６，－３)，(２，－７)，(０，－５)

（２）xy−5x−y−1＝０ xy−5x−y＝１

x(y−5)−(y−5)−5＝１ (x−1)(y−5)^＝６ より，

(x−1, y−5)＝(１，６)，(６，１)，(－１，－６)，(－６，－１)，

(２，３)，(３，２)，(－２，－３)，(－３，－２) (x, y)＝(２，１１)，(７，６)，(０，－１)，(－５，４)，

(３，８)，(４，７)，(－１，２)，(－２，３)

練習９

２４＝2³3^{， ３６＝}2²3² であるから，

２４と３６の最大公約数は，2²3＝１２

練習１０

９＝3²， １５＝35 であるから，

９と１５の最小公倍数は，3²5＝４５

練習１１

（１）６０＝2²35^{， ７２＝}2³3² であるから，

最大公約数は 2²3＝１２，最小公倍数は 2³3²5＝３６０

（２）２８０＝2³57^{，５２５＝}35²7 であるから，

最大公約数は 57＝３５，最小公倍数は 2³35²7＝４２００

練習１２

２８＝2²7^{， ８４＝}2²37^{， １８０＝}2²3²5 であるから，

最大公約数は 2²＝４，最小公倍数は 2²3²57＝１２６０

練習１３

１８＝23^{2， １８０＝}2²3²5 であるから，

１８との最小公倍数が１８０である正の整数は，2²3^a5（a＝０，１，２）より，

n＝２０，６０，１８０

練習１４

１２＝2²3 であるから，１２と互いに素な１２以下の自然数は，

１，５，７，１１

- 4 - 練習１５

a^＋１，a＋２ は自然数m^，n ^{を用いて，}a^＋１＝5m^，a^＋２＝9n と表せる。よって，

a^＋１１＝(a+1)+10^＝5m+10^＝5(m+2)

a^＋１１＝(a+2)+9^＝9n+9^＝9(n+1) であり，

a＋１１ は５の倍数かつ９の倍数であるので，４５の倍数である。

別解 a＋１ は５の倍数であり，これに１を足して９の倍数になる最小の自然数は，a＋１＝３５ より，

a＝３４ である。これに４５ずつ足した数も条件を満たすので，k を０以上の整数として，

a^＝45k+34 とおける。このとき，

a＋１１＝(45k+34)+11＝45(k+1) より，a＋１１ は４５の倍数である。

研究 練習１

２つの自然数a^，b ^{の最大公約数を}g^{，最小公倍数を}l とすると，

a＝ga， b＝gb とおいて，l＝gab である。よって，

最大公約数が１５，最小公倍数が１８０ であるとき，g＝１５，l＝15ab＝１８０ より，

b

a ＝１２（ a， bは互いに素な自然数で，a＜b）であるから，

( a，b)＝(１，１２)，(３，４) よって，

(a^，b)＝(１５，１８０)，(４５，６０)

練習１６

（１）２８＝64+4 であるから，

２８を６で割ったときの商は４，余りは４

（２）－２０＝3(−7)+1 であるから，

－２０を３で割ったときの商は－７，余りは１

練習１７

a^＝7(−4)+6＝－２２

練習１８

a，b は整数k^，l を用いて，a＝5k+3，b＝5l+4 と表せる。よって，

（１）a^＋b^＝(5k+3)+(5l+4)^＝5(k+l+1)+2 より，

a^＋b を５で割った余りは２

（２）2a^＋3b^＝2(5k+3)+3(5l+4)^＝5(2k+3l+3)+3 より，

a

2 ^＋3b を５で割った余りは３

（３）ab^＝(5k+3)(5l+4)^＝5(5kl+4k+3l+2)+2 より，

ab を５で割った余りは２

（４）a^2＋b^2＝(5k+3)²+(5l+4)^2＝(25k²+30k+9)+(25l²+40l+16) ＝5(5k ²+6k+5l²+8l+5) より，

a2＋b² を５で割った余りは０

練習１９

連続する２つの偶数は，整数k ^{を用いて，}2k，2(k+1) と表せる。よって，

4k²+4(k+1)²−4^＝4k² +4(k² +2k)^＝8k²+8k^＝8k(k+1) ^であり，k(k+1) は偶数で あるから，4k² +4(k+1)²−4 は１６の倍数である。

- 5 - 練習２０

n2が４で割り切れないとき，n ^は整数k ^{を用いて，}n^＝4k+1，または n^＝4k+3 と表せる。

・n^＝4k+1 のとき，

n^2＝(4k+1)^2＝16k² +8k+1^＝4(4k² +2k)+1 より，

n²を４で割った余りは１である。

・n^＝4k+3 のとき，

n^2＝(4k+3)^2＝16k²+24k+9^＝4(4k² +6k+2)+1 より，

n²を４で割った余りは１である。

第３章 整数の性質(第１節) 補充問題 解答

１．

（１）a，b は整数k，l を用いて，a＝3k，b＝3l と表せる。よって，

2a^＋b＝6k+3l^＝3(2k+l) より，

a

2 ^＋b は３の倍数である。

（２）a，b は整数k^，l を用いて，a＝3k，b＝3l と表せる。よって，

2

2 ab b

a + + ^＝9k²+9kl+9l^2＝9(k²+kl+l²) より，

2

2 ab b

a + + は９の倍数である。

２．

（１）下２桁が４の倍数 （２）下３桁が８の倍数

第３章 整数の性質(第２節) 練習問題 解答

練習２１

（１）６２９，２５９ （２）８４１，３７７

６２９＝２５９×２＋１１１ ８４１＝３７７×２＋８７ ２５９＝１１１×２＋３７ ３７７＝８７×４＋２９ １１１＝３７×３ ８７＝２９×３

よって，最大公約数は ３７ よって，最大公約数は ２９

（３）１４６３，３０４

１４６３＝３０４×４＋２４７

３０４＝２４７×１＋５７

２４７＝５７×４＋１９

５７＝１９×３

よって，最大公約数は １９

練習２２

（１）26x+11y＝１

２６＝１１×２＋４ １＝４－３＝４－(１１－４×２)

１１＝４×２＋３ ＝－１１＋４×３＝－１１＋(２６－１１×２)×３ ４＝３×１＋１ ＝２６×３－１１×７

ここから逆に， よって，x＝３，y＝－７

- 6 -

（２）26x+11y＝５

（１）より，x^＝１５，y＝－３５

練習２３

（１）4x+7y＝１

x^＝２，y＝－１ はこの不定方程式の１組の解であるから，すべての解は，

x＝7k+2，y＝−4k−1 （k は整数）

（２）5x−7y＝１

x^＝３，y＝２ はこの不定方程式の１組の解であるから，すべての解は，

x＝7k+3，y＝5k+2 （k は整数）

練習２４

43x+32y＝４

43x+32y＝１ の解を１組求めると，

４３＝３２×１＋１１ ３２＝１１×２＋１０

１１＝１０×１＋１ であるから，逆に，

１＝１１－１０＝１１－(３２－１１×２)＝－３２＋１１×３

＝－３２＋(４３－３２)×３＝４３×３－３２×４ より，

x^＝３，y＝－４

よって，もとの不定方程式の１組の解は，x＝１２，y＝－１６ であるから，すべての解は，

x^＝32k+12^，y^＝−43k−16 ^（k は整数）

練習２５

求める自然数をn とすると，n は整数x，y を用いて，

n^＝17x+7^， n^＝12y+10 と表せるので，

7

17x+ ^＝12y+10 とおくと，

y x 12

17 − ＝３

17x−12y＝１ の解を１組求めると，

１７＝１２×１＋５ １２＝５×２＋２

５＝２×２＋１ であるから，逆に，

１＝５－２×２＝５－(１２－５×２)×２＝－１２×２＋５×５

＝－１２×２＋(１７－１２)×５＝１７×５－１２×７ より，

x＝５，y＝７

よって，もとの不定方程式の１組の解は，x＝１５，y＝２１ であるから，すべての解は，

x＝12k+15，y＝17k+21 （k は整数）

よって，n＝17x+7＝17(12k+15)+7＝204k+262 （k は整数）であるから，

４桁の最小のn は，k＝４ のとき，n＝１０７８

別解 求める自然数をn とすると，n－７は１７の倍数，n－１０は１２の倍数であり，

１７の倍数のうち，それから３を引いて１２の倍数になる最小のものは，n－７＝５１ より，n＝５８ である。これに１２×１７＝２０４ずつ足した数も条件を満たすので，k を０以上の整数として，n＝204k+58 とおける。このとき，

４桁の最小のn は，k＝５ のとき，n＝１０７８

- 7 -

第３章 整数の性質(第２節) 補充問題 解答

３．

30x+17y＝５

30x+17y＝１ の解を１組求めると，

３０＝１７×１＋１３ １７＝１３×１＋４

１３＝４×３＋１ であるから，逆に，

１＝１３－４×３＝１３－(１７－１３)×３＝－１７×３＋１３×４

＝－１７×３＋(３０－１７)×４＝３０×４－１７×７ より，

x^＝４，y＝－７

よって，もとの不定方程式の１組の解は，x＝２０，y＝－３５

４．

33x−19y＝２

33x−19y＝１ の解を１組求めると，

３３＝１９×１＋１４ １９＝１４×１＋５ １４＝５×２＋４

５＝４×１＋１ であるから，逆に，

１＝５－４＝５－(１４－５×２)＝－１４＋５×３

＝－１４＋(１９－１４)×３＝１９×３－１４×４

＝１９×３－(３３－１９)×４＝－３３×４＋１９×７ より，

x^＝－４，y＝－７

よって，もとの不定方程式の１組の解は，x^＝－８，y^＝－１４ であるから，すべての解は，

x＝19k−8，y＝33k−14 （k は整数）

第３章 整数の性質(第３節) 練習問題 解答

練習２６

（１）10

9 ＝0.9 （２）

8

1＝0.125 （３）

6

7＝1.16 _（４）

33

74＝2.24

練習２７

13

9 ＝0.692307 であるから，１００＝６×１６＋４ より，小数第１００位の数字は３

練習２８ 有限小数は

4 7，

40 9 ，

125 1

練習２９

（１）100100₍₂₎^＝2⁵1+2²1＝３２＋４＝３６

（２）2012₍₃₎＝3³2+3¹1+3⁰2＝５４＋３＋２＝５９

（３）1421₍₅₎^＝5³1+5²4+5¹2+5⁰1＝１２５＋１００＋１０＋１＝２３６

（４）106₍₇₎＝7²1+7⁰6＝４９＋６＝５５

- 8 - 練習３０

（１） （２） （３）

４５＝101101₍₂₎ ５５＝110111₍₂₎ １００＝10201₍₃₎

練習３１

0.8125＝

10000 8125 ＝

16 13＝

16 1 4 8+ +

＝

16 1 4 1 2

1+ + ^＝0.1101₍₂₎

第３章 整数の性質(第３節) 補充問題 解答

５．

（１） （２）111010₍₂₎＝2⁵+2⁴+2³+2¹

＝３２＋１６＋８＋２＝５８

５８＝2011₍₃₎ ９８＝142₍₇₎

６．

a＝1011₍₂₎＝2³+2¹+2⁰＝８＋２＋１＝１１

b＝211₍₃₎＝3²2+3¹1+3⁰1＝１８＋３＋１＝２２ より，

a^＋b＝３３＝２５＋５＋３＝5²1+5¹1+5⁰3^＝113₍₅₎

第３章 整数の性質 章末問題 解答

１．

（１）１４０＝2²57 であるから， 140n が自然数になるような最小の自然数n は，

n＝57＝３５

（１）６０＝2²35 ^{であるから，}

n

60 が自然数になるような最小の自然数n は，

n^＝35＝１５ ２．

３６０＝2³3²5^{，１８００＝}2³3²5² であるから，３６０との最小公倍数が１８００である 自然数は，2^a3^b5²（a＝０，１，２，３ b＝０，１，２）であるから，全部で１２個

３．

３６０と５２５の最大公約数を求める。

３６０＝2³3²5，５２５＝2521^＝35²7 であるから，最大公約数は１５ よって，a＝１５

２）４５ ２）２２ … １ ２）１１ … ０ ２） ５ … １ ２） ２ … １ １ … ０

２）５５ ２）２７ … １ ２）１３ … １ ２） ６ … １ ２） ３ … ０ １ … １

３）１００ ３） ３３ … １ ３） １１ … ０ ３） ３ … ２ １ … ０

８）９８ ８）１２ … ２

１ … ４

３）５８ ３）１９ … １ ３） ６ … １ ３） ２ … ０

- 9 - ４．

nを３で割ったときの余りにより分類する。kを整数として，

・n^＝3kのとき，

n(n²+2)^＝3k(9k²+2) より，３の倍数である。

・n^＝3k＋１のとき，

n(n²+2)^＝(3k+1){(3k+1)²+2}^＝(3k+1)(9k² +6k+3) より，３の倍数である。

・n^＝3k＋２のとき，

n(n²+2)^＝(3k+2){(3k+2)²+2}^＝(3k+2)(9k²+12k+6) より，３の倍数である。

５．

４９４－１７＝４７７，２２４３－１７＝２２２６，３１９７－１７＝３１８０ の最大公約数を 求めればよい。

４７７＝3²53，２２２６＝23753，３１８０＝2²3553 であるから，

最大公約数は 353＝１５９

６．

（１）33x−14y＝１ の解を１組求めると，

３３＝１４×２＋５ １４＝５×２＋４

５＝４×１＋１ であるから，逆に，

１＝５－４＝５－(１４－５×２)＝－１４＋５×３

＝－１４＋(３３－１４×２)×３＝３３×３－１４×７ より，

x^＝３，y＝７

よって，すべての解は，x＝14k+3，y＝33k+7 （k は整数）

（２）30x+11y＝２

30x+11y＝１ の解を１組求めると，

３０＝１１×２＋８ １１＝８×１＋３ ８＝３×２＋２

３＝２×１＋１ であるから，逆に，

１＝３－２＝３－(８－３×２)＝－８＋３×３

＝－８＋(１１－８)×３＝１１×３－８×４

＝１１×３－(３０－１１×２)×４＝－３０×４＋１１×１１ より，x＝－４，y＝１１

もとの不定方程式の１組の解は，x^＝－８，y^＝２２ であるから

すべての解は，x＝11k−8，y＝−30k+22 （k は整数）

７．

求める自然数をn とすると，n は整数x，y を用いて，

n＝7x+3， n＝5y+2 と表せるので，

3

7x+ ＝5y+2 とおくと，

x y 7

5 − ＝１ であり，この方程式の１組の解は，x＝２，y＝３ であるから，

すべての整数解は，x＝5k+2，y＝7k+3 （k は整数）と表せる。

よって，n^＝7x+3^＝7(5k+2)+3^＝35k+17 ^（k は整数）であるから，

n を３５で割った余りは，１７

- 10 -

別解 求める自然数をn ^{とすると，}n^{－３は７の倍数，}n－２は５の倍数であり，７の倍数のうち，

それに１を足して５の倍数になる最小のものは，n－３＝１４ より，n＝１７ である。

これに３５ずつ足した数も条件を満たすので，n＝35k+17（kは０以上の整数）とおける。

よって，n を３５で割った余りは，１７

８．

（１）20212₍₃₎＝3⁴2+3²2+3¹1+3⁰2＝１６２＋１８＋３＋２＝１８５ １８５＝１２５＋２５×２＋５×２＝5³1+5²2+5¹2+5⁰0^＝1220₍₅₎

（２）0.011₍₂₎＝ 8 1 4

1+ ＝0.25＋0.125＝0.375 （ 8 1 4 1+ ＝

8 3＝

1000

375 ＝0.375 でもよい。）

（３）0.4375＝

10000 4375 ＝

16 7 ＝

16 1 2 4+ +

＝ 16 1 8 1 4

1+ + ＝0.0111₍₂₎

９．

（１）１から１００までの１００個の自然数の中に，５の倍数は２０個あり，そのうち４個は

２５の倍数であるから，Ｎの中の素因数５の個数は，２０＋４＝２４個

（２）１から１００までの１００個の自然数の中に，偶数は５０個，４の倍数は２５個，８の

倍数は１２個，１６の倍数は６個，３２の倍数は３個，６４の倍数は１個あるから，

Ｎの中の素因数２の個数は，５０＋２５＋１２＋６＋３＋１＝９７個

よって，（１）と合わせるとＮの中の因数１０の個数は２４個であるから，

Ｎの末尾には０が２４個連続して並ぶ。

１０．

条件を満たす自然数は，2⁴3²＝１４４，2²3⁴＝３２４，2⁴5²＝４００ の３個

１１．

（Ｂ）b，cの最大公約数は３０，最小公倍数は４２０ であるから，

b^＝30b^，c^＝30c^（b＜c）とおくと，30bc^{＝４２０ より，}bc＝１４ ・b＝１，c＝１４ のとき，b^＝３０，c＝４２０

・b＝２，c＝７ のとき，b^＝６０，c＝２１０

（Ｃ）a^，bの最大公約数が６，最小公倍数が１８０ のとき，

a＝6a，b＝6b（a＜b）とおくと，6ab＝１８０ より，ab＝３０ （Ｂ）より，b≧５ であるから，

・a＝３，b＝１０ のとき，a＝１８，b＝６０，c＝２１０

（Ｃ）a^，bの最大公約数が１２，最小公倍数が１８０ のとき，

a^＝12a^，b^＝12b^（a＜b）とおくと，12ab^{＝１８０ より，}ab＝１５ （Ｂ）より，b≧５ であるから，

・a＝３，b＝５ のとき，a^＝３６，b^＝６０，c＝２１０

１２．

a^{を自然数とするとき，}a^，a＋１の最大公約数が１であることを示す。

s，t，G を自然数とする。 a^＝sG^，a^＋１＝tG^（s，t は互いに素）とおくと，

G ^はa^とa＋１ の最大公約数である。ここで，(a＋１)－a^＝(t−s)G^＝１ であり，

s，t は自然数で， t－s＞０ であるから，G＝１

よって，a^とa＋１ の最大公約数が１であるから，a^とa＋１ は互いに素である。