数学単元末テスト

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数学単元末テスト

5 章 図形と相似 k

氏名（      ）

中 

３

(5点×3=15点)

(1)

(2)

(3) BC= cm

Step１説明

１ 単元末テスト 5 章 図形と相似

Name ( ）

点数

下の図△ABC∽△DEFであるとき, 次の問 いに答えなさい。

１ １

100

下の図形をみて, 次の問いに答えなさい。

2 2

図で, AB//DCのとき, △ ABO∽△CDOであ ることを証明しなさい。

3

下の図の△PQRで, 線分PQ上に点 S, 線分PR上に点T をとる。

PS=6cm,SQ=4cm,PT=5cm,TR=7cm のとき△PQR ∽△PTSであること を証明しなさい。

4 (5点×3=15点)

(1) AB:DE= : (2)

(3) △ABC : △DEF= :

(1) AB:DEの値を求めなさい。

(2) ∠Cと同じ角度を答えなさい。

(3) △ABCと△DEFの相似比を求めなさい。

AB :DE = 3 : 9

= 1 : 3

∠F

△ABC :△DEF = 1 : 3

(1) 相似な三角形の組を見つけ, その関係を記号 を使って表しなさい。

△ABCと△EBD

(2) このときに使う相似条件をいいなさい。

(3) AB=6cm,AC=8cm,BD=4cm,BE=2cmのとき, BC の長さを求めなさい。

2組の角がそれ ぞれ等しい

AB :BE = 6 : 2

= 3 : 1 3 : 1 = x : 4 x = 12(cm)

(10点)

△ABOと△CDO で

△ABC∽△HBA 錯角は等しいので,

①, ②より, 2組の角がそれぞれ等しいので, 対頂角は等しいので, ∠AOB=∠COD ・・・①

∠BAO=∠DCO ・・・②

(10点)

△PQRと△PTSで

∠SPT=∠RPQ ・・・② PR=2PSから, PR : PS =2 : 1

よって, AO : CO = DO : BO ・・・① PQ=2PTから, PQ : PT =2 : 1

∠①, ②より, 2組の辺の比 とその間の角がそれぞれ 等しいので,

△PQR∽△PTS 3

1

12

1 3

cm

3 5

図で, AB// CD//EFでAB=8cm,CD=10cmのとき, 次 の問いに答えなさい。

6

6

(5点×5=25点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(4点×2=8点)

(1) AE:ED= : (2) EF= cm 3 : 7.5 = 4 : x

3x = 30 x = 10

12 : 9 = 10 : x 12x = 90 x = 152

4 : x = 8 : 6

8x = 24 x = 3

8 : 6 = x : 3 6x = 24 x = 4

(4) (5)

5 : 7.5 = 6 :x 5x = 45 x = 9

(1) AE:EDを求めなさい。

(2) EFの長さを求めなさい。

A E:ED = A B:CD A E:ED = 8 : 10

= 4 : 5

A D :ED = 9 : 5 A D :ED =A B :EF

なので,

A E :ED = 4 : 5 9 : 5 = 8 :x 9x = 40 9x = 40 x = 409

中点連結定理より,

よって, FE= 5cm,FD = 4.5cm,DE= 3.75cm FE = 12BC,FD = 12AC,DE = 12A B(cm)

△DEFの周の長さは, FE+FD+DE = 5 + 4.5 + 3.75 = 13.25(cm)

(5点×2=10点)

(1) ㎠

(2) ㎤

相似比が1:3の相似な2つの直方体A, Bがあ る。このとき, 次の問いに答えなさい。

8 8

(1) Aの表面積が60 ㎠^のとき, Bの表面積を求め なさい。

(2) Bの体積が, 72 ㎤^のとき, Aの体積を求めなさ い。

60 :x = 1²: 3²

Bの表面積をx㎠とすると

60 :x = 1 : 9 x = 540(cm²)

y : 72 = 1³: 3³ y: 72 = 1 : 27

Aの体積をy㎤とすると 27y = 72

= 83cm³ y = 7227

10

15 2

3 4 9

4 40 9

5

13.25

540 8 3

(5点×3=15点)

(1)

(2)

(3) AD= cm

Step１説明

2 単元末テスト 5 章 図形と相似

Name ( ）

点数

四角形ABCD∽四角形EFGHであるとき, 次の問いに答えなさい。

１ １

100

図の△ABCで, AB=10cm,

AC=8cm,∠B=∠ACD であると

き, 次の問いに答えなさい。

2 2

2つの線分ABとCDが点Oで交わっていると き,AO=2CO, DO=2BOならば, △AOD∽△COBで あることを証明しなさい。

3

下の図で, 平行四辺形ABCDの点Aから辺BC上 に垂線を引き, 垂線とBCの交点をEとする, 同 様に点 Aから辺CD上に垂線を引き, 垂線とCD の交点をFとするとき, △FAD∽△EABである ことを証明しなさい。

4 (5点×3=15点)

(1) :

(2) AB= cm (3) ∠G= ° (1) 四角形ABCDと四角形EFGHの相似比を求め

なさい。

(2) ABの長さを求めなさい。

(3) ∠C=60°のとき, ∠Gの大きさを求めなさい。

(1) △ABCと相似な三角形をいいなさい。

(2) このときに使う相似条件をいいなさい。

(3) ADの長さを求めなさい。

2組の角がそれ ぞれ等しい

(10点)

(10点)

6.4 12:10=6:5

6

6 : 5 = AB : 8

AB = 9.6(cm) 5AB = 48

9.6 60

△ACD

AB : AC = 10 : 8

= 5 : 4

5 : 4 = 8 : x 5x = 32

x = 6.4(cm)

△AODと△COBで

△AOD∽△COB AO : CO =2 : 1

対頂角は等しいから,

①, ②から, AO=2COから,

DO=2BOから, DO : BO =2 : 1 よって, AO : CO = DO : BO ・・・①

∠AOD=∠COB ・・・②

2組の辺の比とその間の角がそ れぞれ等しいので,

△FADと△EAB で

△FAD∽△EBA 仮定より,

①, ②から, 2組の角がそれぞれ 等しいとき

平行四辺形の対頂角は等しいので,

∠FDA=∠EBA ・・・②

∠AEB=∠AFD=90° ・・・①

5

3 5

図は, AD//BCの台形ABCDで, EF//BCである。EF と対角線ACとの交点をGとするとき, 次の問いに 答えなさい。

6

6

(5点×5=25点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(4点×2=8点)

(1) EG= cm (2) GF= cm

(4) (5)

(1) EGの長さを求めなさい。

(2) GFの長さを求めなさい。

(10点)

(1) 秒

図のような円錐形の容器に, 深さ10cmの水を入れるのに7 秒かかった。深さ20cmまで の水を入れるには, 水を入れ 始めてから何秒かかるか求 めなさい。

8 8

8 : 6 = x : 4 6x = 32 x = 163

12 : 4 = 18 : x 12x = 72 x = 6

9 : 12 =x : 5 12x = 45 x = 154

12 : 6 = 8 : x 12x = 48

x = 4 3 : 2 = 4.5 : x

3x = 9 x = 3

14 : 8 = 21 :EG 14EG = 168 A B: A E =BC :EG

EG = 12(cm) A E :EB =DF :FC = 8 : 6

DC :FC = 14 : 6

A D :FG =DC :FC = 14 : 6

14 : 6 = 14 :GF GF = 6(cm)

(1) AQ:QCを求めなさい。

BC // PQなので, 中点連結定理 より, 点Qは辺AC の中点であ る。

よって, AQ : QC = 1 : 1

(2) BC=9cmのとき, PQの長さを求 めなさい。

PQ = 12BC

4.5 (2) PQ= cm

PQ = 4.5(cm)

相似比は10 : 20 = 1 : 2 体積比は1 : 8

1 : 8 = 7 : x

x = 56 56秒

163

6

15 4

3 4

12 6

56

(5点×3=15点)

(1)

(2)

(3) DA= cm

Step１説明

3 単元末テスト 5 章 図形と相似

Name ( ）

点数

下の図の△ABC∽△DEFであるとき, 次の 問いに答えなさい。

１ １

100

図をみて次の問いに答えなさ い。

2 2

図の△ABCで, ∠B=∠ACDであるとき,

△ABC∽△ACDであることを証明しなさい。

3

図の四角形ABCDで, 点Oは, AC, BD の交点 である。このとき, 次の問いに答えなさ い。

4 (5点×3=15点)

(1) ：

(2) AB= cm (3) ∠G= ° (1) △ABCと△DEFの相似比を求めなさい。

(2) DEの長さが5cmのとき, ABの長さを求 めなさい。

(3) ∠B=30°のとき, ∠Eの大きさを求めなさい。

(1) 相似な三角形の組を見つけ, その関係を記号 を使って表しなさい。

(2) このときに使う相似条件をいいなさい。

(3) AB=6cmのときDAの長さを求めなさい。

(10点)

(10点)

4.8 2

30

AB :DA = 5 : 4 5 : 4 = 6 : x 5x = 24

x = 4.8(cm)

4:6=2:3

ABの長さをxcmとすると, 2:3=AB:DE

2:3=x:5

3x=10 x = 103

10 3

△ABC∽△DAC

2組の辺の比とその 間の角がそれぞれ 等しい

△ABCと△ACD で

△ABC∽△ACD

共通な角なので,

①, ②より, 2組の角がそれぞれ等しいので, 仮定より,

∠BAC=∠CAD ・・・①

∠BAC=∠CAD ・・・②

△OADと△OCB で

△OAD∽△OCB

①, ②より, 2組の辺の比とそ の間の角がそれぞれ等しいの で,

OC=2OAから, OC : OA =2 : 1 OB=2ODから, OB : OD =2 : 1 よって, AO : CO = DO : BO ・・・① 対頂角より, ∠AOD=∠COB ・・・②

3

(2) DE:AF= :

3 5

△ABCの辺BC上にBF:FC=3:5となるように点Fをとる。点Fか ら辺AB, ACに平行になるように直線をひき, 辺 AB,ACとの交点 をそれぞれD,Eとする。このとき, 次の問いに答えなさい

6

6

(5点×5=25点)

(1) x=

(2) x=

(3) x=

(4) x=

(5) x=

(4点×2=8点)

(1) FE:AB= : (2) FD:AC= :

AB D , BC 3

等分する点をBに近い方から 順にE,Fとする。線分 AFとCD の交点をGとするとき, 次の問 いに答えなさい。

(4) (5)

(1) FEとABの比を求めなさい。

(2) FDとACの比を求めなさい。

(10点)

(1) (2)

右の図で正四角錐OABCDの辺 OA上 にOE:EA=3:4となる点Eをとる。点E を通り, 底面ABCDに平行な平面で正 四角錐OABCDを2つの立体P,Qにわけ る。次の問いに答えなさい。

8 8

(1) DE:AFを求めなさい。 (2) DE:AFを求めなさい。

21 : 14 = 24 : x 21x = 336

x = 16

9 : 6 = x : 8 6x = 72

x = 12 x = 15

2 9 : 6 = x : 5

6x = 45

4 : 10 =x : 15 6x = 60

x = 10

1.8 : 1.2 = x : 3.5−x 1.2x = 6.3−1.8x

3x = 6.3 x = 2.1

BC :FC = 8 : 5 BC :FC = AB :FE = 8 : 5 なので,

BF : FC = 3 : 5

BC :BF = AC :FD = 8 : 3 BF:FC=3:5なので,

BC:BF=8:3

E,DはそれぞれBF,ABの中点なので, 中点連結定理より

よって, DE :AF = 1 : 2 DE = 1

2A F

よって, GF = 14AF,AF = 34AF より, DE: AF = 1 : 2,DE:GF = 2 : 1

AF:GF = 4 : 1 AG:GF = 3 : 1

3

(1) 正方形EFGHの面積が27㎠のとき, 正方形ABCDの面積を求めよ。

(2) 立体Pの体積が54 ㎤のとき, 立体Qの体積を求めよ。

正方形EFGH∽ 正方形ABCDなので, 相似比は3:7である。

OE:EA=3:4より, OE:OA=3:3+4=3:7。 よって, 面積 比は9:49である。

9x = 1323 9 : 49 = 27 :x

x = 147

体積比は,3³: 7³= 27 : 343 立体Qの体積=立体P+Qの体積-立体Pの体積 立体Pの体積が54㎤なので, 立体P+Q

の体積をxとすると

27 : 343 = 54 : x 27x = 18522

x = 686−54 = 632 16

12 15 2 10 2.1

8 8

5 3

1

147 632