NII-Electronic Library Service 【研 究 論 文】 UDC ：550
曾
34 ：519．
2 ：624曾
042．
7 日本 建築 学 会 構 造 系 論 文 報告 集 第 349 号・
昭 和 60 年 3 月時
変 自
己
回帰
モ
デ
ル
に
よ る 三
次 元 地 震 動
の
合 成
正 会 員 正 会 員 正 会 員富
松
出
澤
村
水
恒
俊
稔
＊夫
＊＊彦
＊＊ ＊1
．
序 水 平 動 直 交2成 分 と上 下 動 1成 分か ら成る記 録地 震動 波 形の 組に，
3次元の 時 変 （time varying ）自己 回 帰 （auto−
reg【essive、略し て
AR
）モ デルを当て は め， 定 まっ たモデルから模 擬 地 震 動 を作 成す る手 法 を，
筆者ら は文 献 レで述べ た。 本 論は，
こ の模 擬 地 震 動 作 成 手 法の 地 震工学 的 意味を明ら かにする と共に，
さ らに多 数の実 記 録 地 震 動 波 形に3
次元時 変AR
モ デル を当て は め，
そ の成 果 を基 礎に，
実 際の設 計に供し得る合 成 地 震 動の 生 成 方 法を提 案し た もの である。
本 論 文は，
理 論 予 想と理 論 検 証の 2つ の 部 分よ り構 成 さ れ ている。 理論 予想の部 分で は，
ま ず模 擬 地 震 動の生 成を 記述す る に は，
イノ ベー
ション過程 （innovation
procgss
）を 入力とする確 率 差 分 方 程 式が最も一
般 的な 表 現で あ ること を論 じ，
そ の特 別な場 合と して多次元時 変AR
モ デル を導 入し て い る。
次い で， パ ル ス伝 達 関 数が地 形 や 地 盤 特 性 等の観 測 点情報を， イノベー
ショ ン 過 程の共分 散 行 列が震 源および地 震 波 動の伝 播 経 路の情 報を計量 してい る こと を理 論 的に予想し， 適 当なパ ル ス 伝 達関数を有す る系に，
必 要なイノ ベー
ション過 程 を入 力する ことによっ て合成地震 動を作 成する ことを 提 案し て い る。
理論 検 証の部分で は， ま ず デー
タ とし て用い た 実記録 地震 動 波 形につ い て説 明した後，
パ ル ス伝 達 関 数 が観 測 点情報を表し，
イノ ベー
ショ ン過 程の共 分 散 行 列 が震 源と伝播 経路情報を表し て い る こと を，
具 体 例 を通 じて明 らか に して いる。 さ らに，
本 論の 目的である合成 地震動の作成例を提 示し，
そ の合 成 手 法が合 理 的 な もの であ ること を，
や はり具 体 例を通じ，
検 証して いる。
そ して最 後に，
設 計 用 3次 元 合成 地 震 動の作成 手順を提案 し結 論と して いる。 な お，
本 論で取 り扱っ て い る時 変AR
モ デル の 当て は め が，
記録地震 動 単 成 分 波 形で なく3成 分の組に対し 事 東京 理科大学 教授・
工博 1＊ 東京理科 大 学 助手 拿 ＃ 東 京 理 科 大 学 大 学 院 生 （昭 和 59 年 4月21日原 稿受理日，
昭和59年10月27日改 訂原稿 受 理 日，
討 論 期 限 昭 和60年6月 末 日1 て行っ て いる理 由は，1
次元モ デル よ りも3次 元モ デル の 方が，
記 録 波形の周波数 特 性に，
より精 度よ く追従 （tracking）で き る か らである21。2．
模 擬 地 震 動の生成シ ス テ ム模 擬 地 震 動を 生 成 す る 動 的 シ ス テ ム （
dynamical
system ）につ い て考え よ う。 考 察の順 序とし て，
最も 簡 単なモデ ルを基に し た シ ス テムか ら始め，
現 実に観 測 さ れ る地 震 動に等 価な地 表 面 運 動 を 生 成し得る シス テム に至る記 述を行 う。
最 初に，
地 震 動 を受 けて い る地 盤の最 も簡単な モデル と して，
図一1
に示す ような，
いわゆる基 盤一
土 柱モ デ ル を考え る。
この モデル は，
地震 基 盤な る剛 体 版の上に，
水平に広が る成層 地 盤を考え，
基 盤 を 白 色ノイズ過 程 と な る よ う な運 動で駆 動し，
地 震 時の地 表 面の動きを模 擬 し よ う とす る もの で，
地 盤の動き は単 位 断 面 積の土 柱の 動きで代 表さ せ る。 土 柱 を少なく と も層 数よ り多い任意 の質点数 n を もつ集 中 質 点 系で近 似す る と，
その運 動 は次 式で表せ る。ME
＋L
右＋K9 ＝− MIE
。…・
…・
…・
…・
・
……一
（1
） こ こ で，
質点の基盤 に対す る相対変位を，
水 平 直交2
方 向変位ξ，
ηと垂直方 向変位 ζに 考え，
変位ベ ク トル を E （t
）＝［e
，一
・
一
驫i
η匸…
ηηi9
，…
9n
］’
と採れ ば，
剛 性マ ト リッ ク スK
は それ らの変 位に対 応 し たもの と し て定 義さ れ る。
ダッシュ は転 置 を 示 す。
M とL
は，
そ れ ぞ れ適 当 成 層 地 盤 単 位 断面土 柱覊
・
。
σ1
！ o o マ・
の
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。再 。−
i許
綱
1
矧
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一
，
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1γ ド ト冨躍
’し ド Pt’t
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ノ
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ノ
ノ
ノ
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ノ
ノ
tノ
ノ
ノ基 盤
（
モ デル ） 図一
1 基 盤一
土柱モデル一
10
一
N工 工一
Eleotronio Libraryな質量マ トリックスおよ び減 衰マ ト リックスで ある
。
言
。（t
）は基 盤の 3次 元 運 動 を示 し，3
次 元 正 規 性 白色 ノイ ズ・
ベ ク トル tV（t
｝＝tr
。（t
）＝
［ξ
oEo
90
］’
と す る。 ま た，
，島
一［
き
llllll
揖
ヨ
：
：
：
1
：
：
：
譜
ll
∫
∫
1
：
1
：
1
］
であ る。地 表 面の動きに対応す る最 上 質 点の挙 動 を
，
観 測雑音 v（t）が附 加さ れ た絶対 速 度の形で観 測し た と す る と，
文 献3）の手法に従 っ て， 次の連 続 形 拡 大システム方 程 式 が提示でき る。
x
（t
＞＝＝AX （t）十Bw （t）・
…………・
…・
・
t・
…・
（2）Z
（の＝CX
（の十σ（の ただし，
X
（t
〕＝
［言iSiX6n
＋1Xs n＋2Xe
n＋s］’
、Z
（t
＞＝
［衙 z” Zt ］’
， v〈’
t
）＝
：
［Vt Vn Vg］
’
，A
＝ 〔Gn＋
s〕xl6n＋
3 ）B
：
（6n十3ix3O
i
置
io
．
．
．
一
．
齟
一
一
幽
．
闇
■
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■
丁
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r
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r
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一
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一
一
．
．
一
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．
一
．
．
一
一
．
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，
．
齟
．
幽
．
．
．
一
一M −
IK ；−
M−
iLi
O ［一
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1Ki−
M−
iL］の1
0
ξ
π ，bn
，ξ
．に対 応 する3行0
一
i
0C ＝
［0……
OI ］ SX【6n 十3b す な わ ち， 入力が基 盤 運 動 ω （t
）で，
出 力が雑 音 v（t）を 伴 う地 震 動 Z（t）とみ る訳であ る。 次に，
も う少し複 雑な 地盤モ デルを考え る。
図一1
の モ デルで， 注 目 して いる土 柱の剛性と∫ その土柱 以外の 地 盤の 剛性と が若 干 違 う場 合を考え る のであ る。
す る と，
注目土 柱の側 壁に周 囲の地 盤か ら の干渉が存在して く る 成 層 地 盤 土柱 剛 性の異な る地 盤Y
｝
禰曽
醗 鞍鬟 讖撚灘 蕋韃一
’．
一一
驪・
繼’
5愬飃，
魍 霊腫葦一
一
¶
”
酌
「
媚
’
鯨
几
｛
⇔
「
’
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鑼
一
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＿−
Lt’
＿
罫孅 ノ”
1 ノノ
ノ
，
，
，
鵬簾
邏
・
攤
’
ノ
尸
’
’
’
’
”
ρ
’
ノ
ノ
ノノ
iノ
ノノ
基 盤 図一
2，
’
，
Zt，’
，’
／（
連成モ デル ） 連 成し た基 盤一
土 柱モデル 図一
3一
般の基 盤一
土 柱モデル 任 意 地 盤 の で， 図一
2に示す よ う な連 成モ デ ル が提 示で き る。 こ の と き，
土 柱の挙 動 を表す状 態 方 程 式は次の形と な る。
X
（t）＝ AX （t）十B
ω （t）十DX
（t）十f
（t）……・
・
（3 ） こ こで，DX
（t
＞は周 囲の地 盤か ら の状態フィー
ド・
バ ッ クで あ り， f（t
）は周 囲の地 盤か らの作用 力である。
し か し， こ の 場 合 で も，
A＝
A＋D
と お き，
f（t）十Bw （t
）＝B
（t
）w （t
）とな るよ うに時変入力変換行 列B
（t
）を採 ることに よっ て，
次の シ ス テ ム方程式が成 立 する。x（t）
−
4x ω＋B
（t
）w （t＞．
．
．
．
＿．
．
．
．
＿＿．
＿
（4 ） Z（t）＝CX
（の十v（t
） さ ら に， 図一3
に示す よ う な， 平坦でない地形お よび 非均等な土 質構成 をもつ一
般の地 盤と，
必ずし も水平な 表面を有し な く と も よい基 盤とを 考え， 地 表 観 測 点 直 下 に土 柱 を設 定す ると， 土 柱へ の状 態ワィー
ド・
バ ッ クも 時 変 となる と考え る方が自然である。
したがっ て，
これ ま で の文脈か ら次 式が形 式 的に提 示で き る。互
1
：
1
：
跚 階
伽 ω1
……・
……・
…
（・・ こ の （5 ）式の状 態ベ ク トル は，
現 実の地 盤内に任 意に 想 定した土 柱の挙 動 を表わす もの で あ る か ら， 3次 元の 可 変 形 物 質が示 すすべ て の変形 成 分を要素と し な け れば な ら な い し，
次 数もま た高 次と な る。
ま た， この土 柱に 対 する周 囲の地 盤か らの作 用 力も， 現実の地 殻の地 震 時 挙動 を知ら な け れば 決ま ら ない ところか ら，
シ ス テ ム行 列［F
（t
），E
〔切 を決 定 論 的に定める こ と は非 常に困 難 で あ る。
しか し， 後 述するよ うに，
（5）式を 3次元地 震 動Z
（t
）を 生 成するた めの最 も一
般 的な動 的シ ス テム と見て，
それに等 価 なシス テム を 同 定 （identification
） する の で あれ ば可 能で ある。
以 下， （5 ）式の状 態ベ ク・
トルや シス テム行 列の 次 元 を，X
（t
）；3mXl
， w （t
）；3Xl
， v（t
）；3Xl ，
Z
（t
）；3
×1
，NII-Electronic Library Service
F
（t）；3mX3m，
E
（t
）；3m
×3，
C
；3
×3m
と して論 を進める。 こ こ で m は 3以 上の任 意の整 数。3．
生成システム の差 分 表 現 ディ ジ タ ル計 算 機に よ る演 算 処 理を予 定し て，
連続形 シ ステム方 程 式 （5）式を離 散 形シス テム方 程 式に変換 し て おく。
F
（t
）に対 する基 本 行 列 （遷 移 行 列 ）V
〔t，t
。） が存 在す る と すれ ば，
次の （6）式が書ける4｝。
x
｛・）− v
（・，
・・）・（te
）・加
・，・）・（・）・ （r）・・…
（6）Z
（t
）＝CY
（t
｝十v（t
） こ こ で ，to＝k・
At
，t＝to
十At＝
（h
十1）At，
w（T）＝
Of
to） ；t
。≦τくt
とおけ ば，
（6）式の サンプル値 離 散 形システ ム方 程 式5｝が 次 式の ご と く定まる。 た だし，
At は省 略 し て表 記 してある。 X（h十1）＝
『（k十1，
h
）X〔k
） 十r
（h
十1，h
）w （k
｝ Z（h
）＝CX
（h
）十 v｛k
），
r
（h
十1
，
h
）一
∫
静 1臨 ・｝E
〔・）d
・……
（7） こ の （7）式の 基 本 行 列V
（h
＋1，
k
）は， 一
般に，
い わ ゆ るフル・
マ トリックス になると 考えられ る から，
これ を以下の ごと く最小の有意要素数 を もつ 同伴標準 形 式に 変換し た方が便利で あ る。
こ の変 換は， 下 記に示 す 時 変 可 観 測 行 列T
（k
）お よ び T（h
＋1｝が正 則の と き達 成さ れ， （8 ＞式の形とな る5）。
Y
（k
十1）ニ
φ（h
十1，
h
）Y
（k
） 十G
（k
十1，
h
）w （h
）・
…・
…・
…・
（8
） Z（h
）＝ ・Hr （k
）十v（h
） た だ しY
（h
）＝T
（h
｝X
（h
），
［3観×
L卜 φ（k
十1
．k
｝＝T
（k
十1
）Ψ（h
十Lh
）T一
置 （ん） 但 mx3 働O
I
O・
．
…・
・
……・
・
…・
………
00
0ご1丶』
馳
・
丶噛
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：＼
．
丶丶一
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丶0
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…・
…・
一
………『
『
．
一
．
0丶
丶
1−
a．
（k
），一
α嗣 （h
＞ド…・
…・
，
一
α匚 ［−
am （h
），−
am−
i（h
），…・
一
…・
，
−
al （h
）］＝
αr
（h
十m ，h
）T
−
i （h
｝，7
＝
〔3皿 x3 圃 cC 『（h
十1，
h
）C
『（ic
十2，
k
）C
『（h
十m−
1，
h
） T 〔k
＋1）＝
13mxlm 十一
12
一
，
c
CV
（k
十2，
k
十1）C
『（h
十3
，k十1〕C
『（k
十 m，
h
十1），
，
C
（陀十1
，h
）； T （た十1〕r（h十1，鳶） 〔3mx3i＝
［9i（k
），・
…一
・
，
9．（h
）］’
ll ＝
CT
−
L｛k
）＝
［1，
O，一
一
．
．
一
一
．
一
一
，
0
】 ｛3xsm ） こ の 同 伴 標 準 形 式 （8）式の場 合は，
要 素 行 列 α 1，
9t（h
）；i
＝1
，……
，m カ i判 明 すれ ばシス テム行 列 すべ て がわ か る の で，
（7）式よ りは確か に取 扱い易い。
し か し，
（5 ）式ひ い て は （8 ）式の シ ス テ ム で地 震 動 Z を生 成し よう とす れば， 入 力 w （k
｝と 観 測 雑 音 v（h
）の 2種 類の 時 系 列 を 設 定 し な けれ ば な らず，
入力に対 して Z が一
意に定まら な い。 そ こで，
シス テム（8
）式に対し て離 散 形カルマ ン・
フ ィ ル ター
理 論7）の適 用 を考え る 。 観測雑音v（h
）が，
w （k
）とは独立に，
非 負 定の共 分 散 行 列を有す る3
×1の 正規 性 白 色ノイ ズ・
ベ ク トル の時 系列と す る と， カルマ ン・
フィ ル ター
理論よ り，
レヴィ の固有標 準形 式8） と呼ばれ る下 式が書け る。
Y
（h
＋11k
）＝ φ（k
＋1
，k
）y
〔hlh −
1） 十 Φ（彦十1，
k
）K
（た）e（k
）・
・
・
・
…
（9
＞Z
（h
）＝HY
（hlic−
1）十 e（h
） こ こで，r
硫＋11h
）はh
時 刻まで の観 測 時 系．
列IZ
（h
）｝ を も と に，h
＋1
時刻の状態ベ ク トル を最 適に予 測し た ベ ク トルを表 して い る が，
今の場 合，
単に状 態ベ ク トル の変種と 認識すれ ば よい。K
（k
）は カル マ ン・
ゲ イン行 列で あ り， e（k
｝は イノベー
ショ ン過 程と呼ばれ る正 規 性 白 色ノイズ・
ベ ク トル時 系 列であ る。
こ の （9）式を，
Z（k
）の生 成シス テ ムと見る と，
入力 e（h
）に よっ て出 力Z
が一
意に定まっ てい ること が分か る。 次に，
文献3 ）の手法 に従っ て （9
）式 を変形 す る と確率 差 分方程 式 （10
）式 が得ら れ る。
Z
（k
）十Σα‘（k
）・
Z
（h− i
） t＝
1 m＝
e（k
）十£B
，（h
）e（h
−
1
）・
……・
・
…・
…・
・
……・
（10） i＝
1 こ こ で，
β は ム の要 素．
と し て次 式で定 義される。
A
（h
）＝ θ（産）Φ（h
十1
，h
）K
（h
）十Σ〔h
）……・
………一
（11） ただ し， 4（h）＝
θ＝
β 忍 ＆1
al1
0
a2 （k
）α 1〔h
）i α胴 〔h
），
α儒一
，，
一
．
一
．
．
：；’
a 、．
辱
i
， N工 工一
Eleotronio LibraryΣ
＝
α 1
a：（
k
）。。
副
（10）式は
，
多 次 元の時 変 自己 回帰 移 動 平 均k
デル （time varying auto−
regressive moving average model ）ま たは時 変
ARMA
モ デル と呼 ばれ る非 定常確率過程の数学 モ デル で ある。
さ らに，
カル マ ン・
ゲイン行列K
（h
）は 重み行 列である か ら， ［θ（h
）O
（h
十1，
h
）］K （k
）十 Σ（h
）＝
O………・
…・
（12） を満す よ うに K （k
）を選び，
r ≧ m な る次 数r ま で考え る と す る と，
（10
｝式の特 別な場 合と して（13 ）式が提 示で き る。
TZ
（k
）十 Σα 己（ん）Z
（h− i
）＝
e（h
）・
・
…・
…・
…・
・
・
・
……
（13
） i＝
］ こ こで， at（h
）キai（k
）で あ る。
こ の（13 ）式が， 多次 元の 時 変 自 己 回 帰モ デル または時 変AR
モ デル と 呼ば れ，
や は り非定 常 確 率過程の数 学モデル で あ る。
以 上の論 述 が， 正規性 白色ノイ ズ・
ベ ク トル時 系列e（h
）を入力 と’
して用 い，
模 擬 地 震 動Z
｛h
）を生 成す る た めの動 的シス テム と して， 時 変AR
モ デル （13）式を本 論で採用ずる 理由で あ る。
前 述 し たよ うに，
実 際に（5 ）式 を定め，
そ れ か らの演．
繹とし て （13）式を決 定する こ と は ほ と ん ど 不 可 能に近 い。し か し逆に，
ある平 均 値 既 知の記 録 地 震 動 波 形が（13
） 式で生成さ れ た と し た と きの，
時 変AR
係 数 行 列 ai〈k
） と・f
ノベ「 シ ョ ン共 分 散 行 列 （ま た は残差共分散行 列） σ訳た）；
E［e（h｝e’
（h）］を求めてお き， その at（k
）と 諺 （k
） な る共 分 散 を有 する正 規 性 乱 数 列 θ とで，
（13
）式に よっ て非 定 常の模 擬 地 震 動 を作 成し よ う．
と す ること は可 能で ある。
3次 元記録 地 震動波 形に時 変AR モ デル を当 て はめる に は， 地 震 動の局所 的定常かつ エ ル ゴー
ド性 成 立の仮 定 が 必要である。 適 切な時聞窓 ［S，
T ］；S≦h
≦ T 内．
で地 震 動が定常だ と す る と（14 ）式が提 示で きる。r Z（h）十 Σα矯尹Z（
h −
i）需 e（h
）・
・
…・
・
…・
………
（14） t＝
1 時 間窄
［S，T ユ；S
≦k
≦T
内の デー
タに対し て定ま るAR
パ ラ．
メー
タai （k
）とσ乙（k
）は， 時間 窓 内で は定 値で ある か ら，
α ‘（T
）お よ び aき（T
＞と表現 で き る。
時間窓 を1時 刻つ つずら し な が ら，Z
〈k
）に対して， 文 献 1）の 手 法でAR
パ ラメー
タを求めると次 式が定まる。
’
r Z（h
）十Xal （τ）・
Z（k一
の t＝
1 ； e（k
＞，
S
≦h
≦ T・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
，
・
・
…
−t・
・
・
…
（15） すな わ ち，
任意の記 録 地 震 動 波 形が属 して い るとみ な し 得る非定常確率過程を生 成す る数 学モ デ ル が（15＞式の形 で定まる訳で ある。
な お
，
（2）式は（5）式の特 別な場 合で あ ること に留 意 す る と，
（2
）式 よ り，Z
（t
）ひいではZ
（h
）が加速度で は な く 速度の単 位を持っ てい る こと が分か る。4．
伝 達 関 数 とイノ ベー
ション過程の意味時 間 窓［
S
，
T
］内のAR
モ デル （15
）式に z 変換を施す と次 式が得ら れ る。
β（之）＝ 〔｝r（2
，
T）e（2｝・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
…
∴
・
・
一・
・
…
（16 ） す な わ ち
，
地 震動はパ ル ス伝 達 関 数 砧 （Z，
．
T
）を有す る 系に，
イノ ベー
ショ ン過程を入 力 す ることによっ て得ら れ る。 こ の パ ル ス 伝 達 関 数の地震工学 的な意 味は，
以 下 の ごと き もの で あ る と考え ら れ る。
まず， 考え を（2 ）式に まで 戻そ う。 （2 ）式で 出力をZ
（t
）−
v（t
）とす る と， （2
）式は運 続 形システみ 方 程 式で あ る か ら，
ラプラ ス変 換 を とる ことによ り伝 達 関 数は次 式で示さ れ る。
σo（ε）
＝C
［81−
A］一
匸8・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
17
） た だ しs は複素数。
この（17
）式で，
入 力ベ クト
ル と 出 力ベ ク トル の次 元お よび観測量 が速 度か 変位か によ り，
行 列B とC ．
の要素配 列 が変わ るこ と，
すな わち行 列 B が 入 力の仕様， 行 列C
が観測 仕様を それぞれ示し てい る ことに注 意す ること，
（17 ）式の伝 達 関 数は，
（2）式の よ うな簡 単な シス テムで す ら，
行 列A が表す地 盤の振 動 特 性のみ で は決ま ら ない こと を示してい る。 さ らに，
最 も一
般 的な生 成シ ズ テム （9
）式
に注 目しよう。
（9）式 の場 合，
出 力 Z（幻
は非 定 常過 程 と な る が，
局 所 的 定 常 区 間 ［∫，
T］内の過 程は， 次に示す（18
）式 で生 成さ れ る と み な し得る。 た だ しdils
’
D＝
φ（k
＋1．
k
） ；S
≦．
k｛
1T −
1γ（
k
ナ11h ）・
φ（Slnr （klk −
1） 十φ（s’
ηKcs’
ne （k
）…
（18 ）Z
（h
）＝ HY （klh −
1）十 e（k），
S≦h≦T こ の（18＞式の z 変 換 をと れば，
離 散形 シス テム方 程 式 （18
）式のパル ス伝 達 関数は次 式と な る。GCi
・
n （z）＝H
［zl一
φエs・
D］，
1 φ〔s・
nK （s・
〇十 亘・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
（19 ） （19
）式の地震工学的意味は， （1 ）式か ら（9）式に至る文 脈か ら，
イノベー
ショ ン入 力の入b
方，
地 盤の振 動特性，
観測 器の種 別 等に関連する伝 達 特 性を示してい る と考え られ る。
し たがっ て （19）式の値は，
基盤 振 動の主 軸 方 向， 地 盤の土 質とそ の構 成，
地形，
観測器の取 付け方 向 等で．
異なっ て くる。
、
次に， （18 ）式か ら，
文 献3）の 手法と まっ た く同じ方法 で誘 導され る確 率 差分方 程 式 （20 ）式 を考え る。
mZ
（h
）十 Σα‘（T）Z
（h
−
i）i
＝
lm．
＝
e（k
）十 Σβi（T）e（k一
の，S
≦h
≦T ………
（20 ） 1＝
1 こ こ で，
at（T）とβ（T）の 時 刻 T の 意 味は， （15 ）式の 場 合 と 同じ である。
（20 ）式の z 変換をと る と，
次の 有 理 型パ ル ス伝 達関数が得られ る。
NII-Electronic Library Service
Gm
（2，
T
）＝
〔12m十魚，
1（T｝zm−
i 十……
…
十β胴一
1（τ｝z十Bm
．
m 〔T
）］×［12m十α 殫 （
T
）2M−
1十……
…
十α叩一
1（T
）2十 am．
m （T
）］−
1− ・
（21
） （19）式 と（21）式 とは，
まっ た く同じ伝 達 関 数 を表し てい る。 さ ら に， （2
の式の特別な場 合でも ある（15
）式に対 応 す るパ ルス伝達 関 数 を求め る と， 次 式 を得る。Gr
（z，
T
｝＝
［1
十 a。1（T
｝z−
1十……
十 ar
，
r−
L（T
）z−
〔’
−
1） 十ar，
r（T
）z−「
］−
1…・
（22） こ の と き，
係 数 行 列 α（T ）を適当に と ることによっ て，
Cm
（z，
T｝会G
，（z，
T
）と す るこ と が可能であ る。（22 ）式で， z−
1＝
e“
Jb’At＝
e−
IMfdt ， ノ；》＝丁と お く と， 次の周 波 数 伝 達 関 数（23）式が得られ る。
rGr
⊂デ，
T
）＝
［1
十 Σar，
i（T
）exp （−
j2
πノ’
Ati
）］一
亅・
…
（
23
） i＝
1 ただし，
（− 1
／2At
）≦f
≦（1
／2At
），
At
；サン プリン グ 時 間 間 隔。 結局，AR
係数行 列の み によっ て定まる伝 達 関 数（23
）式が， 地形， 地 盤 特性を含む すべての観 測 点 惰 報を表してい る と言え る。
次に，
イノベー
ショ ン過程 e（h
）の 地 震工学 的 意 味に つ い て考え よ う。 （16
）式と（22
）式か ら分か る よ うに，
イ ノ ベー
ショ ン過 程 e（紛は，
地 震 動か らすべ て の観 測点 情 報を除い た残 りを表し てい る。
し たがっ て e（h
）は，
震 源お よ び伝 播 経 路の情 報の搬 送 波で あ る と考え られ る。
e（k
〕に関する こ の よ うな解 釈の，
より直 接 的な裏 付 けとし て は，
「
（9）式 を変形 し て得られ る次 式が あ る。
ア（k
十11h）ニ
ゆ（允十1，
h
）一
φ（h
十1，
h
）K
（h
）ff
］へ
・
y（hlll−
1）十 φ（k
十1，
旬κ（k
）Z（h
）θ（
h
）＝− 1
丑厂
（klk −
1）十Z
（k
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
Ψ
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（24
） こ の（24）式は，
いわ ゆ る白 色 化 （whitening ＞フ ィ ル ター
と呼ばれ る もの で，
地 震 動 Z（h）を入 力し て，
白色ノイ ズ・
ベ ク トル時 系 列e（k
）を 生成す る 逆 システムを表す。
Φ佛＋1，
h
＞や K（k
｝がAR
係 数 行 列の．
み か ら定ま るこ と を考え る と，
θ が，
地震動か ら すべ て の観測 点情報 を 除いた残りを表 して いること は明ら かであ る。5
．
合成 地 震 動の作成手 法 以 上の考 察か ら，
地震 動の観 測点情報を計 量す る もの と し て C．
げ，
T）を，
震 源プラ ス伝 播 経 路 情 報 を計 量す る もの と して残 差 共 分 散 行 列 協 （T＞を， 多 数の平 均 値 既 知の記 録 地 震 動 波 形に対 する多 次 元 時 変AR モ デル の当て はめを通じ て取得し整理 す れ ば，
異な る記 録 波 形 か ら得ら れ た種々のC
，（f
，
T
）とa｝（T
）の組み合わ せ と な る合 成 地 震 動を， （15 ＞式の形で提 示で きる。
地 震 動の観 測 点 情 報 を実 際に分 類，整 理する に当っ て，G ，
（f
，T
〕の ま まで は観 測 地 点 間の特 性 比 較とい う点で 不 便である。
な ぜ なら， 前 述の ごと く， 同じ観 測地 点で も 震 源の 方 向に よっ てG ，
（f
，T
）のマ トリッ ク ス要 素 値 が異なっ て く る， と考え られ る か らで あ る。 そこで本 論 で は，
下 式の ご とくAR
係 数 行 列の ノル ム をと り，
観 測 地 点1個 所につ き 1 個だけ定ま るス カ ラー
伝達 関 数を 定 義し， 観測 地 点 間の特 性比．
較を行っ た。瓦
（∫，
τ）一
［
1＋盞
ll
婦刎
1
・
・・p（
−
」・f・f
・A
・・i
）］
マ
Ila
，
，
‘〔T
〕ll
＝ ［置¢ 砿‘（Tl’
ar．
1（T）］ 1／2・
・
…
（25） こ の（25）式は．
あ く まで観 測地点 間の 特 性 比 較の た め に， 指 標と して定 義さ れ たもの で，
これ自体の物 理 的な意 味 は こ こ で は問わな い。 残 差 共 分 散に つ い て は， 共 分 散 行 列 魂 〔T）の 固 有 値 ん（T），i＝
1
，2
，3
， す なわち主 分 散 値で表 示し比 較 を行っ』
て いる。
表一
1 時変AR モ デル を当て は め た記 録 地震波形 麗o．
記 録 地 震 波 形 震 央 域 マ グニ チュー
ド 震 源 距 離 （ω 謙 （秒） 発生年 月 日 （時 刻） 1 田 子 の 瀚 （S−
1055 ） 伊 豆 半 島 中 央 5．
8 46 301978 年 1月藍5日 （7：31） 2 釧 路 （S−
674 ） 釧 路 沖 5．
8 85 281972 年5月n日 （9：45） 3 鹿 島 事 （S−
882 ） 銚 子 沖 6．
1 62 30 且974年11月16日 （8：32） 4 衣 浦 （S−
585 ） 愛 知 県 沖 6．
且 72 30 夏97量年 1月 5日 （6：03） 5 大 分 （S−
924 ） 大 分 県 6．
4 43 291975 年 4月2旧 （2：跼） 6 塩 釜 工 場 （S−
782 ） 宮 城 県 沖 6，
4 124 2719 笥年11児19日 （22：02） 7 細 島 （S−
544 ） 宮 崎 県 沖 6，
7 74 321970 年？月26日 （7；41） 8 宮 古 （S一
ユ104 ） 1978年 宮 城県沖 （前 震 ） 6．
7 107 58 且978年 2月20日 （且3．
；37） 9 塩 釜 工 場 （S−
1118 ） 1978年宮 城 祭 沖 （前震 ） 6，
7 124」 601978 年 2月20日 （B：37） 10 細 島 （S −
213 ） 1968 年 日 向 灘 7．
5 127 50 且968年 4月1日 （9：42） 11 室 蘭 （S−
24 且） 1968 年 十 勝 沖 （余 震 ） 7．
5 194 561 嬲8年 明 16日 （19：39） 12 宮 古 （S−
236 ） 1968 年 十 勝 沖 （本 震 ） 7．
9 189 60 ＊ 1368年 5月16日 （9：49） 13 八 戸 （s−
252 ） 1 9 6 B 年十 勝 沖 （本 震 ） 7．
9’
189 60 ＊ 1368年 5別 6日 （9：49） ＊ 60 （粉 以上のデー
タtt、
解 析対 敷から除い た。
一
14
一
N工 工一
Eleotronio Library6
・
．
解 析対象と した記録波形 本 論で，
これ まで に述べ て来た理論上の主張を検証 す る ために，
表一1
に示す実 記 録地震 動波形13
組に対し て，
3次 元 時変AR
モ デルの 当て はめ を実 行し結 果 を検 討し た。 当ては め は，
そ れ ぞ れ，
水平 動 直交 2成 分お よ び上 下動1
成分よ り成る速度 波形の組に対 し て行っ た。
デー
タ と して の速度波 形は，
運輸省港湾技研資料に 公 表 さ れて い る 加 速 度 記 録 波 形S ｝ に対 してディジ タル・
フ ィル ター
による補正を行い， 積分実行し て求め た もの で あ る。
補 正フィル ター
の遮断振 動 数は，
バ イパ ス・
フィ ル ター
につ いては （0，
05−
（0．15
）＞Hz，
ロー
パ ス・
フ ィ ル ター
につ いては （（10．
0
）〜20，0
）Hz
を標準的に用い，
速度波形に ド リ フ トが現れ た場合に は，
こ れ ら の値を修 正 してい る。 当ては め に際して必 要と な る時 間 窓 長さNw ’
At
の決 定に は，
以 下の個条書き に述べ る時 間窓長さ 選 択 の た め の ガ イ ドラ イン に拠っ た。
この ガイドラ インは，N
。 と 0，
oTlME （SEC 冫 20 30 40 釦 60 S−
le55脚
一肥
CNmOS；
15＞ S−
674 鱒 聞 廻 脚 90 凹 （Nnei匚
2e｝ 5−
882 団 fNmtX置
15冫 5−
585 邑o 乳o 眇 鶉 〔N 聞亘
■
IS ， 一 S−
924 5ρ【
NMtt415〕
S−
18250⊂N
閥
齟
零
15⊃ 5−
5LL ” 愈ρ 75 〔N閥
卩
5eコ 5一
丿lq4 丘o （NT−1＝
T5｝ S−
M 、6 sn−
δ
ρ
一
一一
一了
o：
‘
凹一
（N徊
凾
μ
．
〜o ）、
s−
u3 5．
o 〔N匡
■
L5） S−
241 鶉 くN聞
犀
■
i5｝ S−
236 ” 聰 〔NN局
＝
IS ， s−
2s2 CHnernso］ の鴇
＿
」＿
r『一
コ＿＿＿＿＿＿＿
＿＿
＿＿
＿＿
＿＿
図一
4 時 間 窓長さの変 化At
の選択に 関する数 値 的な検 討2）を基 礎に ， 最 適な 3 次 元 時 変AR モ デル探 索の た めの判断 基 準で あ るAIC
が，
次 式の ご と く次 数 r，
時 刻T
のほ かNw
の関数でも ある点を利用して定め たもの で ある。
AIC
（r，T，IVw
）＝Nw ・
log
［detlNw’
σ；（7・
，
T）｝］十
2・
（3
）2・
r・
…………・
…・
・
…・
・
…
（26
） （1＞ サンプリング 時 間 間 隔At
は0．
04秒 （一
定 ） とし， 最 小の時間窓長 さは 5 秒と す る。 す な わ ち， ナ イ キス ト周 波 数 および 有 限 記 録 長さ に対す る サンプリング 効 果からみて，
解 析 対 象の少な く と もO．1〜12．
5Hz
の 変 動に対応で き る最 小の時間 窓 長 さ を設定す る訳で あ る。
（2
＞ 時間窓長さ の選択は，5
秒以 上 1 秒きざみ の値 か ら採る。
（3）当て は め始 発で は，
最 小 時 間 窓 長さ，
す な わ ち 5秒で 当て は め を開 始す る。 （4）当て はめ 実 行中に，
残差共分散 行列の正定 値性が破れ実 行 不 能と なっ た 場 合に は，
時間窓 長 さ を 大 き く し，
始 発か ら実 行 を や り直す。
（5 ）当て はめ途中で，AIC
の値が単調 減 少 型 とな り最 適AR
モ デル が探 索 不 能と なっ た場 合に は，
その時 点 を 当てはめ開 始 時 点と読み替え，
再 び最 小 時 間 窓 長さ を設 定し て か ら実 行を再 開する。
以 上の ガイ ドラ イン に基づ き当て は めを実 行 した結 果，
表一
1の 13組の記 録 波 形に対し て選 択された時 間 窓 長さ を図一
4に示す。 図 中の Nmax は，
最 適AR 次 数 の検 索 範 囲 を 示し，15
を標 準と して，
時 間 窓長さを5〜
10秒と変 化さ せ て もAIC 値が単 調 減 少 型と な る場 合に，
上 限 を30と して範 囲 を拡 げた。
7．
観 測 点 情 報 と して の伝 達 関 数 記 録 波 形No ．
8と No．
12は，
同一
観 測 点；宮 古で採 録さ れ た震 源の異な る記 録で ある。 こ の 2組の記 録 波形 に 3次 元 時 変AR
モ デル を当て は め た結 果，
得ら れ た 残差共分散行列 σ訌丁）の主分散値を 示し たのが図一
5と 図一6
で あ る。
両 図 を 比較すると，一
方は単 峰の卓 越 強 度を もつ変動を示し てい るの に対し， 他 方は双峰の卓 越 強 度 を もつ等，
明らか に異な る様 相 を 示 して い る。 これ に対して， こ れ ら2組の記 録 波 形か ら定まる 2つ の周波 数 伝 達 関 数 行 列Gr
（f
，T
）の そ れ ぞ れ要 素の う ち，
N−
S 成 分の特 性 変 化 を 示 し たのが図一
；7と 図一
8で ある。 こ れ らの 図 か ら， 入力であるイノベー
シ ョ ン過 程の共 分 散 （残 差 共 分 散）が まっ たく異なっ てい るに もか か わらず，
観 測 点；宮 古の伝 達 関 数は， 図一
7と 図一8
の ど ちらも6．
OHz
附 近 で ピー
ク を も ち，
比 較 的 近い特 性 を 示し て い る。
周波数 伝 達 関 数が観 測 点 情 報 を計 量 して い る ことをさ らに 明 確に す るため，
観 測 点；細 島に お け る記 録 波形 No，
7とNo．
10に注 目 し よ う。
図一9
が記録 波 形No ．
7 に対 して定ま る周 波 数 伝 達 関 数N −S
成分であ り， 図一
10が記録波形No ．10
に対して定 まる ものである。 こ のNII-Electronic Library Service 冒
−
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8
．
口
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四
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5 残 差主 分 散 値 （No，
8，
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二
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周波数
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成分
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波
数伝達
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闢<TAB>01<TAB>
■駈 開 し 啅
