５章 微分
5.1 微分とは
微積分は自然科学だけでなく経済学等の社会科学においても重要な基礎知識です。 特に微分は様々な分析で必要不可欠です。この節では微分の定義とその意味を考えて みます。 ある関数y
= ( )
f x
について、x
=
a
における微分は以下のように定義されます。h
a
f
h
a
f
h)
(
)
(
lim
0−
+
→ (5.1) この定義を用いて、図からその意味を考えてみます。 y = f(x) x y f(a) f(a+h) a a+h 接線 B A 図 5-1 接線の傾きと微分 図 5-1 は関数y
= ( )
f x
のx
=
a
における微分の定義を表したものです。定義式の分 子f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
はx
=
a
+
h
とx
=
a
の２点におけるy
の値の差です。分母のh
はh
a
x
=
+
とx
=
a
との差と考えられます。これらを合わせると微分の定義式における 分数式は、y
軸上の差をx
軸上の差で割ったものであり、A 点と B 点を結ぶ直線の傾 きを表わすと考えられます。 0lim
→ h はa
+
h
をa
に限りなく近づけることを意味しますが、 これは A 点と B 点の間隔を縮めて行くことになります。その際２点を結ぶ直線は、こ の場合次第に傾きが小さくなって行きます。これが極限まで近づいたとき、この直線 は A 点における接線に一致することが分かると思います。即ち、微分の定義式 (5.1) はa
x
=
における接線の傾きに一致します。これは非常に大事で決して忘れてはならない ので標語のようにまとめておきましょう。微分は接線の傾きである。
ここで１つ注意すべき重要なことがあります。そ れは微分の定義式が値を持つかどうかです。微分の 定義式がある一つの値を持てば、f
(x
)
はx
=
a
に おいて微分可能であると言います。また、結果が発 散する場合や極限の取り方（左や右から近づける） によって値が異なるときは、x
=
a
において微分可 能でないと言います。グラフがx
=
a
において不連 続な場合や、折れ曲がっている場合には微分可能でありません。例えば、図 5-2 に見る ように、y
=
| x
|
はx
=
0
において微分可能でありません。1
|
|
lim
)
0
(
)
(
lim
0 0=
=
−
−
− → − →h
h
h
f
h
f
h h1
|
|
lim
)
0
(
)
(
lim
0 0=
=
−
+ → + →h
h
h
f
h
f
h hx
=
a
における微分が定義されましたが、a
の値が動くにつれ微分の値も変化しま す。即ち、微分もx
の関数になります。この関数を例えばdx
dy
と表し、以下のように定 義します。h
x
f
h
x
f
dx
dy
h)
(
)
(
lim
0−
+
=
→ (5.2) このようにx
をそのまま残して微分を求める、即ちx
の各点において微分を求めるこ とを単にx
で微分するとも言います。また微分された関数をf
(x
)
の導関数と呼びます。 以後の計算にはこの定義を利用します。 微分を表す書式はいろいろで、以下によく使われている例を書きます。)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
f
dx
d
dx
x
df
dx
dy
dx
dy
′
=
′
=
=
=
=
この本では状況に応じて使い分けますので、ご容赦下さい。 さて、これからべき乗関数に微分の定義を適用してみましょう。 最 初 の 例 はy
=
f
(
x
)
=
1
と い う 定 数 の 関 数 で す 。 定 義 に 従 っ て 計 算 す る と1
)
(
)
(
x
=
f
x
+
h
=
f
であり、x
における微分は常に 0 になります。0
0
lim
1
1
lim
0 0=
=
−
=
→ →h
h
dx
dy
h h x y 0 図 5-2y =
| x
|
のグラフこれはこの関数を表すグラフが図 5-3a のように、傾き 0 の直線になることから納得で きます。 x 1 y x y 傾き=1 x y 図 5-3a 図 5-3b 図 5-3c 次は
y
=
f x
( )
=
x
ですが、f
(
x
)
=
x
，f
(
x
+ )
h
=
x
+
h
を利用すると、以下のよ うに微分は常に 1 になります。dy
dx
x
h
x
h
h
h
h h=
+
−
=
=
→ →lim
(
)
lim
0 01
これは図 5-3b で、グラフの傾きが常に 1 になることと一致しています。 関数がy
=
f x
( )
=
x
2 の場合は、接線の傾きは図 5-3c のように場所によって異な ってきます。実際に計算してみると、 2)
(
x
x
f
=
， 2)
(
)
(
x
h
x
h
f
+
=
+
より、以下のよ うになることが分かります。x
h
x
h
h
xh
h
x
h
x
dx
dy
h h hlim
(
2
)
2
2
lim
)
(
lim
0 2 0 2 2 0=
+
=
+
=
−
+
=
→ → → ここに、 2 2 22
)
(
x
+
h
=
x
+
xh
+
h
を利用しています。 最後に関数がy
=
f x
( )
=
x
3 の場合を見てみましょう。グラフは省略させて下さい。 微分は 3 3 2 2 33
3
)
(
x
+
h
=
x
+
x
h
+
xh
+
h
を用いて、以下のように求められます。dy
dx
x
h
x
h
x h
xh
h
h
x
xh
h
x
h h h=
+
−
=
+
+
=
+
+
=
→ → →lim
(
)
lim
lim(
)
0 3 3 0 2 2 3 0 2 2 2
3
3
3
3
3
以上の結果を少し書き換えて並べてみましょう。0
1
→
=
=
dx
dy
y
，=
→
=
1
dx
dy
x
y
，x
dx
dy
x
y
=
2→
=
2
， 3 23x
dx
dy
x
y
=
→
=
これを見るとある規則性があることが分かります。即ち、以下の関係です。 nx
x
f
y
=
(
)
=
のとき=
n−1nx
dx
dy
上の計算は、n
=
0
,
1
,
2
,
3
の例です。この計算において次数のn
は 0 以上の整数ですが、 実はすべての実数について上の関係が成り立つことが知られています。即ち任意の実数
a
に対して以下の公式が得られます。 公式 ax
y
=
のとき=
a−1ax
dx
dy
(5.3) 問題 以下の関数の微分を求めよ。 1) 5x
y
=
2)y
=
x
20 3)y
= x
−3 4)y
=
x
12 5)y
=
x
3 解答 1)y
′
=
5x
4 2)y
′
=
20x
19 3)y
′
=
−
3
x
−4 4) 122
1
−=
′
x
y
5)y
=
x
3=
x
3/2より、y
x
x
2
3
2
3
12=
=
′
5.2 算術関数の微分
前節でx
のべき乗についての微分を学びましたが、その他のいわゆる算術関数を微 分するとどうなるのでしょうか。ここではこれらの関数の中で代表的なものについて 微分した式を公式として与えます。この中には他の式から導けるものもありますが、 これくらいは覚えておいた方が計算が速いようです。これら以外の関数については計 算して求めることにします。この中に xe
y
=
の形の指数関数がありますが、これは度々 現われる基本的な関数で、定数e
は前節で説明したネーピアの数です。また、対数関 数に対してもネーピアの数e
が使われています。底を 10 とする対数を常用対数、これ に対して底をe
とする対数を自然対数と言います。自然対数の場合は、底のe
を省略し てlog
x
と書くこともありますし、自然 (natural) を強調するためにln
x
と書くことも あります。しかし、混乱を避けるために、この本ではlog
ex
のように底をきちんと書 くことにします。 公式y
e
dy
dx
e
x x=
→
=
(5.4a)y
x
dy
dx
x
e=
log
→
=
1
(5.4b)y
x
dy
dx
x
=
sin
→
=
cos
(5.4c)y
x
dy
dx
x
=
cos
→
= −
sin
(5.4d)x
dx
dy
x
y
2cos
1
tan
→
=
=
(5.4e) ここでは上の公式の中で基本となる xe
y
=
とy
=
sin
x
とについて求め方を説明して おきましょう。他の公式については、後の節で追い追いに説明して行きます。 xe
y
=
について ネーピアの数e
の定義から以下のことが分かります。α
+
=
+
e
n
n1
1
但し、n
→
∞
のときα
→
0
になります。両辺の1
/
n
乗を求め、書き直して以下のよう にします。1
1
1
)
(
1=
−
+
n
e
α
n ここでh
=
1
/
n
とすると、h
→
0
でα
→
0
となることを用いて、以下の関係が成り立 つことが分かります。1
1
lim
0=
−
→h
e
h h (5.5) この準備のもとに定義に従って計算を実行します。 x x h h x x h x hh
e
e
e
e
h
e
e
dx
dy
=
−
=
−
=
⋅
=
→ + →1
1
lim
lim
0 0 最後から 2 番目の等号で上の関係を使 いました。この結果により、 xe
y
=
とい う関数は微分しても同じ形になる特殊 なものであることが分かりました。 さて、今の計算で重要なところは何と 言っても、(5.5) の関係です。これはど ういう意味を持っているのでしょうか。 グラフを用いて考えてみましょう。 y = ex y x h 0 1 eh B A 図 5-4 xe
y
=
の接線図 5-4 で A 点と B 点を結ぶ直線の傾きは
(
e
h−
1
)
/
h
で与えられます。それ故h
→
0
で のこの値の極限は、A 点における接線の傾きになります。即ち、この傾きが 1 になる ことから、 xa
y
=
のグラフでx
=
0
での傾きが 1 となるようにa
の値を定めたものが、 xe
y
=
であると言えます。ネーピアの数e
にはこのような意味が含まれています。x
y
=
sin
について この微分を考える前に少し準備をしておく必要があります。まず、4 章で説明した倍 角の公式を用いて以下の関係を得ます。θ
θ
θ
θ
2 2 2sin
2
1
sin
cos
2
cos
=
−
=
−
ここで、θ
=
h
/
2
とおいて以下のようになります。)
2
/
(
sin
2
1
cos
h
−
=
−
2h
この関係を用いると、以下のような極限が求まります。0
2
/
)
2
/
sin(
)
2
/
sin(
lim
)
2
/
(
sin
2
lim
1
cos
lim
0 2 0 0=
⋅
−
=
−
=
−
→ → →h
h
h
h
h
h
h
h h h ここでは、lim
sin
1
0=
→x
x
x の関係も用いています。 いよいよこれらの関係を用いてy
=
sin
x
の微分を考えてみます。x
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
dx
dy
h h h hcos
sin
cos
1
cos
sin
lim
sin
cos
)
1
(cos
sin
lim
sin
sin
cos
cos
sin
lim
sin
)
sin(
lim
0 0 0 0=
−
+
=
+
−
=
−
+
=
−
+
=
→ → → → ここで最後の等号には上で述べた極限の値を利用しました。この計算法を用いると、x
y
=
cos
の微分も同様に計算されます。 問題y
=
cos
x
の微分がy
′
=
−
sin
x
になることを上の方法に習って示せ。 解答x
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
dx
dy
h h h hsin
sin
sin
1
cos
cos
lim
sin
sin
)
1
(cos
cos
lim
cos
sin
sin
cos
cos
lim
cos
)
cos(
lim
0 0 0 0−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
+
=
→ → → →5.3 関数の定数倍と和の微分
基本的な関数の微分の結果が分かりましたので、ここからは関数を組合せた場合の 微分について説明して行きます。この節では定数倍と関数の和についてです。 基本的な関数に定数が掛かった場合微分はどうなるでしょうか。f
(x
)
の微分f ′
(x
)
が分かっているとして、y =
af
(x
)
の微分を考えます。ここにa
は定数です。定義に従 って計算します。)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0 0h
a
f
x
x
f
h
x
f
a
h
x
af
h
x
af
dx
dy
h h′
=
−
+
⋅
=
−
+
=
→ → 以上のように、y =
af
(x
)
の微分は、微分した関数に定数a
を掛けたものになります。 この関係を式に表わしておきましょう。)
(x
af
y
=
→a
f
(x
)
dx
dy
′
=
少し例を見てみましょう。 1) 23x
y
=
→x
x
dx
dy
6
2
3
⋅
=
=
2)y
=
5
sin
x
→x
dx
dy
cos
5
=
1) の場合、a
=
3
， 2)
(
x
x
f
=
と考えて、a
f
′
(
x
)
=
3
⋅
2
x
となり、2) の場合、a
=
5
，x
x
f
(
)
=
sin
と考えて、a
f
′
(
x
)
=
5
cos
x
となります。 次に関数の和についての微分です。２つの関数f
(x
)
とg
(x
)
の微分f ′
(x
)
とg′
(x
)
と が分かっているとして、y
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
の微分を定義に従って考えます。dy
dx
f x
h
g x
h
f x
g x
h
f x
h
f x
g x
h
g x
h
f
x
g x
h h=
+
+
+
−
+
=
+
−
+
+
−
= ′
+
→ →lim
{ (
)
(
)} { ( )
( )}
lim
{ (
)
( )} { (
)
( )}
( )
' ( )
0 0 以上のように関数の和の微分は、関数を微分したものの和になります。これを式で表 わしておきましょう。)
(
)
(
x
g
x
f
y
=
+
→f
(
x
)
g
(
x
)
dx
dy
=
′
+
′
この場合の例を見てみましょう。1)
y
=
x
3+
x
→= x
3
2+
1
dx
dy
2)y
=
e
x+
cos
x
→e
x
dx
dy
xsin
−
=
1) の場合、 3)
(
x
x
f
=
，g
(
x
)
=
x
として、′
(
)
+
′
(
)
=
3
2+
1
x
x
g
x
f
となり、2) の場合、 xe
x
f
(
)
=
，g
(
x
)
=
cos
x
として、f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
=
e
x+
(
−
sin
x
)
となります。 以上の結果を公式にまとめておきます。 公式)
(x
af
y
=
→a
f
(x
)
dx
dy
′
=
(5.6a))
(
)
(
x
g
x
f
y
=
+
→f
(
x
)
g
(
x
)
dx
dy
=
′
+
′
(5.6b) 関数の定数倍と和については、関数が何倍かになれば微分もそうする、和は素直に １つずつ微分するというように、公式より直感に頼った方が分かり易いようです。こ のことから上の公式は特に覚えておく必要はないでしょう。次はこれらの複合形につ いて例を見てみましょう。 1)y
=
ax
+
b
→a
a
dx
dy
=
+
⋅
=
1
0
2)y
=
2
x
2−
3
x
+
1
→= x
4
−
3
dx
dy
3) 3x
e
y
=
x−
→ 23x
e
dx
dy
=
x−
4)y
=
2
sin
x
+
3
cos
x
→x
x
dx
dy
sin
3
cos
2
−
=
5)x
x
x
y
2
2−
+
=
→ 2 22
1
2
1
x
x
dx
dy
−
=
−
=
− 5) については 12
1
+
−−
=
x
x
y
と変形すると簡単です。その他については特に説明の必 要はないと思います。 問題以下の関数の微分を求めよ。 1)
y
=
x
3+
2
x
2+
4
x
+
1
2)y
=
2
x
5−
3
x
2+
4
3)y
=
−
3
x
4+
5
x
4)y
=
(
x
+
1
)(
x
−
1
)
5) 21
1
21
x
x
x
x
y
=
+
+
+
+
6)y
=
x
+
log
ex
7) 2/33
tan
2
x
x
y
=
+
8)∑
==
n i ix
y
0 解答 1)y
′
=
3
x
2+
4
x
+
4
2)y
′
=
10
x
4−
6
x
3)y
′
=
−
12
x
3+
5
4)y
′
=
2
x
5) 2 31
22
31
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
y
′
=
+
−
−−
−=
+
−
−
6)x
x
x
x
y
1
2
1
1
2
1
1/2+
=
+
=
′
− 7) 1/3 22
cos
2
+
−=
′
x
x
y
8)∑
∑
= − = −=
=
′
n i i n i iix
ix
y
1 1 0 15.4 関数の掛け算の微分
前節で微分できる関数の範囲が少し広がりましたが、ここでは微分の分かっている 関数同士の掛け算の微分について考えてみます。即ち、f
(x
)
とg
(x
)
との微分が分か っているとして、y
=
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
の微分を定義に従って求めてみましょう。dy
dx
f x
h g x
h
f x g x
h
f x
h g x
h
f x g x
h
f x g x
h
f x g x
h
f x
h
f x g x
h
f x g x
h
g x
h
f
x g x
f
h h h=
+
+
−
=
+
+
−
+
+
+
−
=
+
−
+
+
+
−
= ′
+
→ → →lim
(
) (
)
( ) ( )
lim
(
) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( ) ( )
lim
{ (
)
( )} (
)
( ){ (
)
( )}
( ) ( )
(
0 0 0x g x
) ( )
′
関数の掛け算の微分は、それぞれの関数を 1 つずつ微分して足し上げて行けばよいこ とが分かります。これを公式としてまとめておきましょう。 公式)
(
)
(
x
g
x
f
y
=
→f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
dy
′
+
′
=
(5.7)さらに以下のように３つの関数の掛け算
y
= ( ) ( ) ( )
f x g x h x
の微分を求めてみましょ う。例えばg
(
x
)
h
(
x
)
をまとめて１つの関数と思えば、結果は容易に導けると思います。)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
)
(
)
(
)[
(
)]
(
)
(
)[
(
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
x
h
x
g
x
f
dx
dy
′
+
′
+
′
=
′
+
′
=
関数の掛け算の微分について具体的な例を見てみましょう。 1)y
=
x
3sin
x
→x
x
x
x
dx
dy
cos
sin
3
2+
3=
2)y
=
(
x
2+
x
+
1
)
log
ex
→x
x
x
x
x
dx
dy
e1
log
)
1
2
(
2+
+
+
+
=
1) については、 3)
(
x
x
f
=
，g
(
x
)
=
sin
x
とすると、 23
)
(
x
x
f
′
=
，g
′
(
x
)
=
cos
x
とな り 、f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
と し て 上 の 結 果 を 得 ま す 。 ま た 、 2) に つ い て は 、1
)
(
x
=
x
2+
x
+
f
，g
(
x
)
=
log
ex
とすると、f
′
(
x
)
=
2
x
+
1
，g
′
(
x
)
=
1
x
となり、上 の結果を得ます。 問題 以下の関数の微分を求めよ。 1)y
=
x
2(
2
x
4+
1
)
2)y
=
(
x
4+
x
2+
1
)(
x
3+
x
)
3)y
=
e
x(
x
2+ +
x
1
)
4)y
= log
x
ex
5)y
=
e
xsin
x
6)x tan
x
解答 1)y
′
=
2
x
(
2
x
4+
1
)
+
x
2⋅
8
x
3=
12
x
5+
2
x
2)y
′
=
(
4
x
3+
2
x
)(
x
3+
x
)
+
(
x
4+
x
2+
1
)(
3
x
2+
1
)
3)y
′
=
e
x(
x
2+
x
+
1
)
+
e
x(
2
x
+
1
)
=
e
x(
x
2+
3
x
+
2
)
4)′
=
1
⋅
log
+
⋅
1
=
log
x
+
1
x
x
x
y
e e5)
y
′
=
e
xsin
x
+
e
xcos
x
=
e
x(sin
x
+
cos
x
)
6)
x
x
x
x
y
2cos
1
tan
2
1
+
=
′
注意 試験を採点しているとよく以下のような間違いを見かけます。例えば微分する問題で、正しくは
y
=
e
xcos
x
→y
′ =
e
xcos
x
+
e
x( sin )
−
x
となるところを、( ) を付け忘れてx
e
x
e
y
′
=
xcos
+
x−
sin
のような間違った答えを書いています。十分な注意するようにして下さい。5.5 関数の割り算の微分
微分の分かっている関数同志の割り算y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
の微分は、定義に従って以下 のように計算されます。 2 0 0 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
h
x
g
h
x
g
h
x
g
x
f
x
g
h
x
f
h
x
f
x
g
h
x
g
h
h
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
h
x
f
x
g
h
x
g
h
h
x
g
x
f
x
g
h
x
f
h
x
g
x
f
h
x
g
h
x
f
dx
dy
h h h h′
−
′
=
+
−
+
−
−
+
=
+
⋅
+
−
+
−
+
=
+
⋅
+
−
+
=
−
+
+
=
→ → → → この関係をまとめると以下の公式を得ます。 公式)
(
)
(
x
g
x
f
y
=
→ 2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
dy
′
−
′
=
(5.8) この公式を用いた例を計算してみましょう。 1)1
2
+
=
x
e
y
x → 2 2)
1
2
(
)
1
2
(
)
1
2
(
2
)
1
2
(
+
−
=
+
⋅
−
+
=
′
x
x
e
x
e
x
e
y
x x x 2)x
x
y
cos
sin
=
→x
x
x
x
x
x
y
2 2cos
1
cos
)
sin
(
sin
cos
cos
=
−
⋅
−
⋅
=
′
3) nx
y
=
1
→ 1 2 11
0
⋅
−
⋅
−=
−
− −=
′
n n n nnx
x
nx
x
y
1) について、 x
e
x
f
(
)
=
，g
(
x
)
= x
2
+
1
として、公式を用いると結果が右側のように 求まります。2) についてもf
(
x
)
=
sin
x
，g
(
x
)
=
cos
x
としますが、さらに三角関数 におけるsin
2x
+
cos
2x
=
1
の関係を使うと上の最終的な結果が求まります。ここで気 付かれた方もおられるでしょうが、2) の関数はy
=
tan
x
と同じです。これについて はすでに証明無しで、y
′
=
1
cos
2x
という公式を示しました。この例がtan
x
の微分の 公式の証明となります。3) については、f
(
x
)
=
1
， nx
x
g
(
)
=
としますが、これはべ き乗関数 ax
y
=
のa
=
−
n
の場合に相当し、微分が′
=
a−1ax
y
で与えられることを示し ています。 問題 以下の関数の微分を求めよ。 1)y
x
x
=
+ 1
2)y
x
x
x
=
+ +
2 21
3)x
x
e
y
xcos
sin
+
=
4)x
x
x
y
cos
sin
+
=
5) xe
x
x
y
+
=
1
sin
解答 1) 2 2)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
+
=
+
⋅
−
+
⋅
=
′
x
x
x
x
y
2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
2
(
)
1
(
2
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
=
′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
3) 2 2)
cos
(sin
sin
2
)
cos
(sin
)
sin
(cos
)
cos
(sin
x
x
x
e
x
x
x
x
e
x
x
e
y
x x x+
=
+
−
−
+
=
′
4) 2 2)
cos
(
1
sin
cos
)
cos
(
)
sin
1
(
sin
)
cos
(
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
+
+
−
=
+
−
⋅
−
+
⋅
=
′
5) 2)
1
(
sin
)
1
)(
cos
sin
1
(
x x xe
e
x
x
e
x
x
x
y
+
⋅
−
+
+
⋅
=
′
2)
1
(
))
sin
(cos
(sin
cos
sin
x xe
x
x
x
x
e
x
x
x
+
−
+
+
+
=
この問題の 5) では、割り算の微分の中に掛け算x sin
x
の微分の要素が入っています。 理解できたでしょうか。これまで、例でも問題でも結果はできるだけ整理して書くようにしていますが、微 分の方法を学ぶ上でこの数式の整理は必要ない（むしろ余計なことに気を使う分だけ じゃまな）ように思います。基本はいかに微分の公式をきちんと使えるかで、きれい にまとめることはまた別の問題です。解答の
y
′
=
の次の式が微分の公式を素直に使っ たものです。ここまで結果を出せば取り敢えず十分な気がします。5.6 汎関数の微分
汎関数とは、y =
f
(z
)
という形の関数で、さらにz
がz =
g
(x
)
のようにx
の関数と して表わされるものを言います。一まとめにして書くと、y= ( ( ))
f g x
の形になってい る関数です。例えば、以下のように見ると、 2 5)
1
(
+
+
=
x
x
y
や x2e
y =
等が汎関数で す。 5 2)
1
(
+
+
=
x
x
y
については、 5z
y
=
，z
=
x
2+
x
+
1
2 xe
y
=
については、 ze
y
=
， 2x
z
=
このような関数について微分を考えてみましょう。dy
dx
はx
の微小な変動に対す るy
の変動の極限を表わしていますから、間にz
=
g
(x
)
についての微小な変動を加え ることも可能です。即ち、)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
)
(
)
(
lim
))
(
(
))
(
(
lim
0 0x
g
h
x
g
x
g
f
h
x
g
f
h
x
g
h
x
g
h
x
g
f
h
x
g
f
dx
dy
h h−
+
−
+
×
−
+
=
−
+
=
→ → ここで、g
(
x
)
=
z
,
g
(
x
+
h
)
=
z
+
h
′
とおくと、h
→
0
でもちろんh
′
→
0
となります。dz
dy
dx
dz
h
z
f
h
z
f
h
x
g
h
x
g
h h×
=
′
−
′
+
×
−
+
=
→ ′)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0 , これによって以下の公式が導かれます。 公式y
= ( ( ))
f g x
→y
= ( )
f z
，z
= ( )
g x
とおいて、dz
dy
dx
dz
dx
dy
=
×
(5.9) この方法を上の例に適用してみましょう。1) 2 5
)
1
(
+
+
=
x
x
y
→ 2 4)
1
)(
1
2
(
5
+
+
+
=
x
x
x
dx
dy
2) x2e
y
=
→2
xe
x2dx
dy =
1) では、 5z
y
=
，z
=
x
2+
x
+
1
として、以下のようになります。 4 2 4)
1
)(
1
2
(
5
5
)
1
2
(
+
⋅
=
+
+
+
=
=
x
z
x
x
x
dz
dy
dx
dz
dx
dy
ここでdy
dz
の式のz
はもとのx
の式に戻しておきます。2) については、 ze
y
=
， 2x
z
=
として、以下のように求まります。 22
2
x
e
zxe
xdz
dy
dx
dz
dx
dy
=
=
⋅
=
さて、最後に今までやり残してある 2 つの関数の微分について見てみましょう。x
y
=
log
e について この場合、対数の定義に従った関係 ye
x
=
を利用します。 ye
x
=
の両辺をx
で微分 してみましょう。y
の関数のx
についての微分には、え汎関数微分の方法を応用しま す。 左辺x
=
1
dx
d
右辺x
dx
dy
e
dx
dy
e
dy
d
dx
dy
e
dx
d
y=
y=
y=
これらを比較して以下の公式が示されました。1
=
dx
dy
x
即ち、x
dx
dy
1
=
ax
y
=
（a
が整数でない場合）について べき乗の中で次数が整数でない場合の微分を考えて見ましょう。これはまず、両辺 の対数を取ります。x
a
y
e elog
log
=
次にこの両辺をx
で微分します。 左辺y
dx
dy
y
dy
d
dx
dy
y
dx
d
e e1
log
log
=
=
右辺
x
a
x
a
dx
d
e=
log
両辺が等しいとして、以下のべき乗の公式を得ます。 1 −=
=
=
a aax
x
x
a
y
x
a
dx
dy
最後に、ネーピアの数e
から離れて、一般的な xa
y
=
やy
=
log
ax
の微分について 触れておきます。 xa
y
=
については、 eae
a
=
log の性質を利用します。 x a xe
ea
y
=
=
log ⋅ より、 x e x a ea
e
a
a
dx
dy
=
⋅
e ⋅=
⋅
log
log
log これはまた、両辺の対数をとってlog
ey
=
x
log
ea
とし、これをx
で微分しても簡単で す。自分で試して見て下さい。x
y
=
log
a については、底の変換の公式a
x
x
e e alog
log
log
=
を用います。a
x
x
y
e e alog
log
log
=
=
より、x
a
dx
dy
e1
log
1
⋅
=
問題 以下の関数の微分を求めよ。 1) 5)
1
2
(
+
= x
y
2)y
=
(sin
x
+
cos
x
)
3 3) xe
y
=
sin 4)y
=
e
ex5)
y
=
sin(
3
x
+
4
)
6)y
=
tan(
x
+
sin
x
)
7)
y
=
log
e(
x
2+
x
+
1
)
8)=
log
(
+
1
)
x ee
y
解答 1) 4 4)
1
2
(
10
)
1
2
(
5
2
⋅
+
=
+
=
′
x
x
y
2) 2 2)
cos
)(sin
sin
(cos
3
)
cos
(sin
3
)
sin
(cos
x
x
x
x
x
x
x
x
y
′
=
−
⋅
+
=
−
+
3) xe
x
y
′
=
cos
⋅
sin 4) x e xe
e
y =
′
5)y
′
=
3
cos(
3
x
+
4
)
6))
sin
(
cos
cos
1
2x
x
x
y
+
+
=
′
7)1
1
2
2+
+
+
=
′
x
x
x
y
8)1
+
=
′
x xe
e
y
5.7 一般的な関数の微分
これで関数の組合せについて、ほぼ完全な微分の方法が確立できました。この節で はさらに複雑な関数の組合わせについて、微分が計算できるよう練習します。微分は 基本的なルールが分かれば単純な作業ですので、すべて暗算で計算できます。誰でも 必ずできますので、訓練して下さい。 これまでの公式と重複しますが、微分の計算をする際の最低限の暗記事項を以下に まとめておきます。 微分公式 1.y
=
x
n →y
′ =
nx
n 1− 2.y
=
e
x →y
′ =
e
x 3.y
= log
ex
→y
′ =
x
1
4.y
= sin
x
→y
′ =
cos
x
5.y
= cos
x
→y
′ = −
sin
x
6.y
= tan
x
→y
′ =
x
1
2cos
7.y
=
af x
( )
→y
′ =
af
′
( )
x
8.y
=
f x
( )
+
g x
( )
→y
′ = ′
f
( )
x
+ ′
g x
( )
9.y
= ( ) ( )
f x g x
→y
′ = ′
f
( ) ( )
x g x
+
f x g x
( )
′
( )
10.y
= ( ) ( )
f x g x
→y
′ =
f
′
x g x
−
f x g x
′
g x
( ) ( )
( )
( )
( )
2 11.y
=
f g x
(
( )
)
→z
= ( )
g x
として、y
′ =
dz
dx
df z
dz
( )
さて、これまでの微分の要素を複合した問題を考えてみましょう。以下に例を示し ますので検討して下さい。 例y
=
(
2
x
+
1
) (
43
x
+
4
)
5f x
( )
=
(
2
x
+
4
)
4f
′
( )
x
= ⋅
2 4 2
(
x
+
1
)
3=
8 2
(
x
+
1
)
3g x
( )
=
(
3
x
+
4
)
5g x
′
( )
= ⋅
3 5 3
(
x
+
4
)
4=
15 3
(
x
+
4
)
4′ = ′
+
′
=
+
+
+
+
+
y
f
x g x
f x g x
x
x
x
x
( ) ( )
( ) ( )
(
) (
)
(
) (
)
8 2
1
33
4
515 2
1
43
4
4
y
e
x
x
x
x=
+ +
sin
21
f x
( )
=
e
xsin
x
f
′
( )
x
=
e
xsin
x
+
e
xcos
x
=
e
x(sin
x
+
cos )
x
g x
( )
=
x
2+ +
x
1
g x
′
( )
=
2
x
+
1
′ =
′
−
′
=
+
+ + −
⋅
+
+ +
y
f
x g x
f x g x
g
x
e
x
x x
x
e
x
x
x
x
x x( ) ( )
( )
( )
( )
(sin
cos )(
)
sin
(
)
(
)
2 2 2 21
2
1
1
y
x
x
=
+
sin
2
1
z
x
x
=
+
2
1
y
= sin
z
dz
dx
f
x g x
f x g x
g
x
x
x
x
x
= ′
−
′
=
+ − ⋅
+
=
+
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2 2 22
1
2
2
1
1
2
1
dy
dz
z
x
x
=
=
+
cos
cos
2
1
′ =
=
+
+
y
dz
dx
dy
dz
x
x
x
1
2
1
22
1
(
)
cos
問題 以下の関数の微分を求めよ。 1)2
3
+
=
x
xe
y
x 2))
1
(
cos
+
=
xe
x
x
y
3)y
=
x
sin(
2
x
+
1
)
4)y
=
(
x
2+
1
)
e
2x 5)1
)
2
3
sin(
+
+
=
xe
x
y
6)3
4
)
1
(
log
2+
+
=
x
x
y
e 7)=
(x−1)2/2e
y
8)y
=
e
xex 解答 1) 2 2 2)
2
3
(
)
2
2
3
(
)
2
3
(
3
)
2
3
)(
(
+
+
+
=
+
⋅
−
+
+
=
′
x
x
x
e
x
xe
x
xe
e
y
x x x x 2) 2 2[
]
)
1
(
)
1
(
cos
)
1
(
sin
+
+
+
⋅
−
+
⋅
−
=
′
x x x xe
x
xe
e
x
e
x
x
y
3)y
′
=
sin(
2
x
+
1
)
+
x
⋅
2
cos(
2
x
+
1
)
4) x x xe
x
x
e
x
xe
y
′
=
2
2+
(
2+
1
)
⋅
2
2=
2
(
2+
+
1
)
25) 2
