偏微分方程式（１）
１. 偏微分方程式の形 偏微分（偏導関数） 2 つの独立変数x,
y
をもつ関数u
(
x
,
y
)
があるとき、変数y
が一定値をとって、x
だけが変化したとす るとu
はx
だけの関数となる。このときu
をx
について微分して得られる関数を、関数u
のx
に関する 偏微分係数（略して偏微分）、あるいは偏導関数(partial derivative)といい、次のように表される。)
,
(
x
y
u
x
、 あるいはx
u
、あるいはu
x (1-1)y
についても同様な偏微分を定義できる。)
,
(
x
y
u
y
、 あるいはy
u
、あるいはu
y (1-2) これらをさらにx
あるいはy
について偏微分すると、二階の偏微分（偏導関数）が得られる。 2 2 x u uxx 、 y x u uxy 2 、 2 2 y u uyy (1-3) さらに高階の偏微分（偏導関数）についても同様に定義することができる。 偏微分方程式 一般に独立変数x
, y
,...
の関数u
(
x
,
y
,...)
、及びその偏導関数u
x,
u
y,....,
u
xx,
u
xy,
u
yy,...
の間の関係0
,...)
,
,
,....;
,
,....;
,
(
x
y
u
xu
yu
xxu
xyu
yy
F
(1-4)を偏微分方程式（partial differential equation）と言う。ここで
F
は与えられた関数である。この 方程式を恒等的に満たす関数u
(
x
,
y
,...)
を偏微分方程式の解(solution)、あるいは積分(integral)とい う。微分方程式に含まれている導関数の最高階数がｎであるとき、ｎ階の偏微分方程式という。 偏微分方程式が関数u
とその導関数に関して一次式の時は線形偏微分方程式といわれる。例えば、)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
u
b
x
y
u
c
x
y
u
d
x
y
u
f
x
y
a
xx
xy
x
(1-5) は線形の二階偏微分方程式である。さらにこの方程式において、右辺がf
(
x
,
y
)
0
の時、方程式は線 形かつ同次(homogeneous)と言われる。f
(
x
,
y
)
0
ならば非同次(inhomogeneous)と言われる。 最高階の偏導関数についてだけ一次式である方程式は、準線形(quasi-linear)と言われる。例えば、)
,
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
x
y
u
u
xu
yu
xxb
x
y
u
u
xu
yu
yyf
x
y
u
u
xu
ya
(1-6) は準線形の二階偏微分方程式である。また、最高階偏導関数の係数に未知関数が含まれていないときは 特に半線形(semi-linear)といわれる。 ここでは、一般的に独立変数が2 個の場合を取り扱う。多くの場合が一次元波動方程式、あるいは一 次元熱伝導方程式に代表されるように、時間的な変数t
と空間的な変数x
を各１つ含む。空間的な変数y
x,
を含む場合の偏微分方程式の解u
(
x
,
y
)
は空間内の曲面として解釈できる。 一般の多変数、ｎ階の偏微分方程式の解析的な初期値問題に対しては、解の存在と一意性に関する定 理（コーシー・コワレフスカヤの定理）がある。2. ポアソン方程式とラプラス方程式 物質の密度分布
(
x
,
y
,
z
)
が与えられたときの重力ポテンシャル関数
(
x
,
y
,
z
)
に関する線形非同次 の二階偏微分方程式)
,
,
(
4
2 2 2 2 2 2z
y
x
G
z
y
x
(2-1) この式の形は、ポアソン方程式とよばれている。特に右辺が０である時、同次方程式となるが0
2 2 2 2 2 2
z
y
x
(2-2) これは、ラプラス方程式とよばれている。この方程式を満足する関数は調和関数(harmonic function) とよばれる。左辺の微分演算子に関しては、後のベクトル解析においても述べられるが、 2 2 2 2 2 2z
y
x
(2-3) と書き、これをラプラス演算子、またはラプラシャン(Laplacian)という。また、
z
y
x
grad
,
,
(2-4) は、ナブラ(nabla)とよばれる。ラプラシャンとナブラの間には、
2
（ベクトルの内積演 算）という関係がある。 ポテンシャル関数
(
x
,
y
,
z
)
に対し、grad
(
x,
y,
z)
は
のx
,
y
,
z
各方向における勾配を表している。また、ベクトル
grad
の方向m
への成分(
grad )
mは、その方向の
の勾配を 表している。すなわち、m
を単位ベクトルとして、ベクトルm
の方向の変数をｍで表すとm
grad
grad
m
)
m
(
(2-5) と書くことが出来る。grad
は等ポテンシャル面
(
x
,
y
,
z
)
=constant に垂直である。ベクトル解析においてさらに学ぶ。 境界条件と初期条件 偏微分方程式の解を求める際には、方程式だけでなく他の条件 が 課 せ られ る こと が ある 。 その 1 つが境界条件 (boundary condition)とよばれ、ある領域の内部で問題が与えられたときに、 その境界上で関数値ないしはその導関数、あるいはそれらの両方 が指定される。例えば、方程式が長方形領域で定義されていると きには上下の辺や左右の辺で特定の値（ディリクレ問題）、ある 1
2
3
m
grad
1
2
3
m
grad
x
)
,
(
x
y
a
a
b
b
)
(
)
,
(
x
b
f
1x
)
(
)
,
(
1y
g
y
a
)
(
)
,
(
2y
g
y
a
x
)
,
(
x
y
a
a
b
b
)
(
)
,
(
x
b
f
1x
)
(
)
,
(
1y
g
y
a
)
(
)
,
(
2y
g
y
a
３. 方程式の誘導 １）波動方程式 弦の振動 ｘ軸上の２点間に聴力T で張られている弾性弦を考える。単位長さあたりの弦の重さと分布加重の大 きさを
w
(x
)
、f
(
x
,
y
,
y
,
t
)
とする。さらに、以下の仮定を行う。 運動は平面内で起こり、平面内では各質点は弦の平衡状態の位置に対して直角方向に運動する。 弦のたわみは十分小さく、弦の長さの変化は張力 T に影響を与えない。 長さ方向にのみ力を伝える。 弦のたわみ曲線の傾きは非常に小さく、接線の傾角をαとする時sin
tan
とすることが出来る。 以上の仮定に基づくと運動方程式は、 (3-1) (3-2) (3-3) 式(3)を 1 次元の波動方程式という。 2a
の次元は 2 2 2]
/
[
]
/
[
]
[
]
/
[
]
[
]
[
T
L
L
N
T
L
N
単位長さ
重さ
重力加速度
力
x
x
x
x
y
x
x
x
x
y
T
T
1
2
g x x w m ( )x
t
y
y
x
f
(
,
,
,
)
T
T
1
2
g x x w m ( )x
t
y
y
x
f
(
,
,
,
)
ねじれ振動 単位体積重量がρ、剪断弾性係数Es 軸構造物を考える。軸の一端から距離ｘにおける断面積 A(x)と その断面において重心周りの極慣性モーメントJ(x)が既知である。また、その軸構造物には、単位長さ あたりには大きさ
f
(
x
,
,
,
t
)
のトルクの分布荷重が作用しねじれが生じているとする。θがそのねじ れ角の大きさを表している。さらに次のように仮定する。 軸構造物のすべての断面はその回転中、平面を保持する。 各断面はその重心の周りに回転する。 断面の形はほぼ円である。 距離
x
だけ離れた2 つの断面に囲まれた微少要素を考える。その質量と回転半径は、 (3-4) (3-5) 従って、その慣性モーメントは (3-6) ｘの位置での断面に作用するトルクの大きさをT(x)として、Newton の法則を適用すると (3-7) 材料力学でのねじれの定義から (3-8) またJ(x)が定数であり、f
(
x
,
,
,
t
)
が恒等的に０である場合には、 (3-9)薄膜振動
y
x
平面上の閉曲線C の上に薄膜が張られ、単位面 積あたりf
(
x
,
y
,
z
,
z
,
t
)
の力が作用してｚ方向に振動し ている。張られた後の薄膜の単位面積あたりの重さ)
,
(
x
y
w
は既知である。さらに、次のように仮定する。 各粒子はx
y
平面上に垂直に動く 単位長さあたりの張力は全ての方向に対して等しい 薄膜の微小要素
x
y
に作用する力を考える。外力はy
x
t
z
z
y
x
f
(
,
,
,
,
)
張力T は、y
x
f
y
x
T
x
y
T
t
z
g
y
x
y
x
w
tan
tan
)
,
(
2 2y
z
x
z
tan
tan
f
y
x
w
g
y
z
x
z
y
x
w
Tg
t
z
)
,
(
)
(
)
,
(
2 2 2 2 2 2
t
z
z
y
x
f
y
x
w
g
y
z
x
z
y
x
w
Tg
t
z
,
,
,
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
2 2 2 2 2 2
0
)
,
,
,
,
(
x
y
z
z
t
f
w
Tg
a
y
z
x
z
a
t
z
2 2 2 2 2 2 2 2)
(
２）熱伝導方程式 断面積が一定均質材で、側面が断熱性のまっすぐな棒の中の温度分布を以下の仮定のもとに考える。 物体内部の点(x,y,z)の近傍での密度が
(
x
,
y
,
z
)
、比熱を
、体積要素
V
とするとき、質量
V
の温 度を
u
だけ変化せせるのに必要な熱量は、
u
(
A
V
)
として与えられる。 時間
t
の間に断面積
A
を通過する熱量ｑは、
A
の法線方向の温度勾配と
A
t
に比例し、熱伝導率 をK とするとき、q
K
(
u
/
x
)
A
t
と表される。 任意の断面x
1とx
2に挟まれた部分における温度変化と熱の出入りを考える。断面ｘにおける微小要素の質 量は
A
x
であり、
t
の間にそこの温度が
u
だけ増加したとすると、そこでの熱量の増加
Q
は (3-15) (3-16) という関係があるので (3-17) 従って、任意の部分
x
1, x
2
における熱量の増加は (3-18) 単位質量あたり、単位時間あたりの発熱量をF
( t
x
,
)
としたときの、
t
時間で発生する熱量 (3-19) と両端での熱の流出入 (3-20) との和に等しい。 1x
x
x
x
x
2A
x
A
m
x
A
V
x
xu
K
x xx
u
K
3 2 1
Q
Q
Q
からσ
F(x,t)
f(x,t)
K
where
dx
dt
t
x
f
x
u
x
t
u
A
dxdt
x
u
K
x
A
dx
dt
t
x
F
A
dx
dt
t
u
A
x x t t t t t t x x x x t t t x x t t t
0
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
2 1 2 1 2 1 2 1
(3-21))
,
(
)
(
f
x
t
x
u
x
t
u
(3-22) 式(8)を熱伝導方程式という。媒質が一様である時には、)
,
(
2 2t
x
f
x
u
t
u
(3-23) 2 次元、3 次元の場合の熱伝導方程式は、それぞれ)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
(
)
(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t
z
y
x
f
z
u
y
u
x
u
t
u
t
y
x
f
y
u
x
u
t
u
(3-24) ラプラス演算子
を用いると式(9)(10)はf
u
t
u
(3-25)u
が物質の濃度であるときには、拡散方程式という。演習問題 １）梁の縦振動 縦方向
