第２６章　電磁誘導(2)　(12/25)

第２６章 電磁誘導(2)

交流回路

交流電圧波形

発電機によって発生する起電力は、 時間とともに変動する電圧で、これ を交流電圧（_{Alternating Voltage）と} いう。交流電圧波形における瞬間電 圧 _V(t) は、最大値（振幅） _V0 と角 速度  を用いて、 となる。ここで、 は位相角（初期位 相）、すなわち t = 0 でどの角度に相 当するかを示す。 ２つの正弦波 V₁、V₂ を考える。 これら２つの正弦波を合成すると、 となり、同形式になる。ただし、この ときの振幅 V_T と位相角 _T は、 となる。 0 ( ) sin( ) V t V

 

t V t V₀ V₀ T = 2 / 波形の合成 1 01 1 2 02 2 sin( ) sin( ) V V t V V t

 

 

    1 2 01sin( 1) 02sin( 2) sin( ) T T V V V V t V t V t

 

 

 

        2 2 01 02 2 01 02cos( 1 2) T V  V V  V V

 

 1 01 1 02 2 01 1 02 2 sin sin tan cos cos T V V V V









_

_

            _

1

2

f

T





 

交流の実効値

交流は周期的に値を変えるので、 直流の電圧（電流）計を用いると、針 が定まらずに振れ続ける（瞬時値）。 そこで、その大きさ、または強さを決 められた量として表現するために実 効値（_{Effective Value）を用いる。実} 効値は、瞬時値を２乗して１周期に ついて平均し、その平方根から得ら れる。 電圧の瞬時値を、V = V₀sintとす ると、実効値 V_e は、 よって、 交流電流の実効値 _Ie も同様に、 となる。 一般に、交流用の電圧計や電流 計は実効値で表現するように作られ ている。つまり、家庭用電源の電圧 100[V]とは実効値なので、実際には +141[V]から141[V]、最大電圧差 （_{peek-to-peek値）では、282[V]にも} なる。 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 1 1 2 2 2 sin dt ( cos )dt T e T V V t T V V t T





   





0

2

e

V

V 

V t V₀ V₀ 0sin

V V





t

2 V 0

2

e I I



交流回路での抵抗

導体中の電子の振る舞いは、電界 が変化する場合でも変わらない。す なわち、交流回路でも直流回路と同 様に、V = RI のオームの法則は成 り立つ。 図のようなVR回路において、 交流回路の抵抗で消費される電 力は、P = VI より、 となり、平均の電力は、 となる。これを電力の実効値という。 交流回路の電力 のとき、オームの法則 より、電流は、 となる。 0sin V V





t 0 0 sin sin V V I t I t R R





   R V V I 2 2 2 0 0

₁

₂

2

sin

( cos

)

V V P t t R



R



   t 2 0 V R 2 0

2

e V P R 

交流回路とコンデンサー

直流電流はコンデンサーに電荷が たまる（過渡状態）と、その後は流れ なくなる。 交流電流は電子が振動運動して いるので、電荷がたまり始めるとす ぐに逆向きの電圧に変わる。そのた め、電流が流れ続けるのと同じ状態 となる。 C V コンデンサーに蓄え られる電荷は_{Q = CV} なので、 0

sin

Q CV



t V I 電荷の時間的な変化が電流なので、 となり、電流の位相は電圧より _{/ 2} だけ進む。 0 0 2 d _cos d sin( / ) Q I CV t t CV t







 

   

コンデンサーのリアクタンス

交流回路でのコンデンサーの電圧 と電流の関係は、 となり、これらの最大値の関係より、 が得られる。この比例定数 X_C （抵 抗に相当する）をコンデンサーのリ アクタンスという。この式より、 が 大きい、すなわち周波数 f が高いほ ど抵抗は小さくなることがわかる。 ※位相が  / 2 ずれているときの電 圧と電流の比をリアクタンスという。 リアクタンスより、コンデンサーは 高周波の信号に対しては抵抗が小 さく、低周波の信号に対しては抵抗 が大きくはたらく。そのため、図のよ うに入れることで信号に入る高周波 のノイズを除去することができる。こ のようなコンデンサーをノイズカット コンデンサーという。 0 1 0 V I C



 X_C 1 C



 0 0

2

sin

sin(

/ )

V V

t

I CV

t





 







ノイズカットコンデンサー 電 気 製 品 C

交流回路とコイル

コイルは導体でできているため、 直流電流に対しては、過渡状態を過 ぎた後はほとんど抵抗がない。 交流電流に対しては、自己誘導起 電力が常に電流の変化を妨げる方 向に発生するため、電流が流れにく くなる。 誘導起電力が電源の 電圧と釣り合っているの で、 V L よって、 となり、電流の位相は電圧より _{/ 2} だけ遅れる。 0 0 d _sin dI L V t t



   0 _cos 0 _{sin( / )2} V V I t t L



L

 





   V I

コイルのリアクタンス

交流回路でのコイルの電圧と電流 の関係は、 となり、これらの最大値の関係より、 が得られる。この比例定数 X_L をコ イルのリアクタンスという。この式よ り、 が大きい、すなわち周波数 f が高いほど抵抗は大きくなることが わかる。 １つのスピーカーでは可聴範囲の 20[Hz]から20[kHz]の音を再生する のは難しい。そこで、低音の得意な 大きなスピーカー（ウーハー）と高音 の得意なスピーカー（ツィーター）を 組み合わせたものが２ウェイスピー カーである。 スピーカーネットワーク 0 0

₂

sin

sin(

/ )

V V

t

V

I

t

L



 









0 0

V





LI

X_L 



L C C L L 中低音用 ウーハー 高音用 ツィーター

回路と交流波形

レジスタンス回路 電流は電圧と同位相となる。 インピーダンス Z_R は抵抗 R だけとなる。 ※インピーダンス：電流と電 圧の比 L V C V R V V, I t V, I V, I 0sin V V



t 0sin V V



t 0sin V V



t 0sin I I



t 0sin( / )2 I I

 

t 0sin( / )2 I I

 

t キャパシタンス回路 電流が電圧より  _{/ 2 だけ} 進む。インピーダンス Z_C は リアクタンス X_C = 1 / C とな り、周波数が高くなるほど小 さくなる。 インダクタンス回路 電流が電圧より  _{/ 2 だけ} 遅れる。インピーダンス Z_L はリアクタンス X_L = L とな り、周波数が高くなるほど大 きくなる。 t t

LCR回路とインピーダンス

図のような回路を考える。Cの両端 の電圧を V_C とすると、キルヒホフの 法則から、 となり、この式を微分すると、 ところが、 なので、これらの V_C を消去すると、 となる。電流Iは電圧Vと同じ周波数 を持つので、 と定義すると、 となる。この関係はどんな_{tに対して} も成り立つことから、 となり、これらの関係から I₀、 を求 めると、 R C L t V V  ₀sin



d d C I V V L RI t    2 2 d d d d d dC _d d V V _L I _R I t  t  _t  t d( ) d d d d C d C CV V Q I C t t t    2 0 2 d d d _cos d d d I I I V L R V t C t t t    





0sin( ) I I

 

t 0 0 0 0 1 1 ₀

sin cos cos sin

cos sin sin cos

I R L t C V I R L t I C     _       _             _{ }  _{ }  _{ }    _{ }           0 0 1 0 1 sin ( / )cos cos ( / )sin / R L C R L C V I

 





 

 







これらの関係を図に表したものを ベクトル図という。電流の位相は、コ ンデンサでは電圧より_{/2進み、コイ} ルでは電圧より/2遅れる。電流を 基準にして、それぞれの相対的な関 係を図にすると、 となり、これらより、インピーダンスの 関係を導くこともできる。

インピーダンスのベクトル表記

となる。ただし、 となる。この直流電流の抵抗に相当 する量 Z をインピーダンスという。  を遅れ角または力率角という。 _VR I V_C I V_L I I  1/C L R Z  I L1/C 2 ₁ 2 1 ( / ) / sin cos Z R L C X L C Z R Z













       0 0/ I V Z _tan

_

_{X R/} V, I 0sin V V



t 0sin( ) I I

 

t t ベクトル図

直列回路のインピーダンス

回路の種類 インピーダンス Z ベクトル図 LCR直列回路 CR直列回路 LR直列回路 2 2 1 R L C

 

            2 2

1

R

C



         



2 2

R

_



L

_  



Z Z Z R R R 1 L C

 



1

C



L



並列回路のインピーダンス

回路の種類 アドミッタンス _1/Z ベクトル図 LCR並列回路 CR並列回路 LR並列回路 2 2 1 _C 1 R





L             2 ₂ 1 _C R 



 2 2

1

1

R



L

         



1 C L





_

C



1

L



1 R 1 R

1

R

1 Z 1 Z 1 Z

交流の複素数表示

工学系では交流を複素数を用いて 表現するのが一般的である。複素 数表示の電圧と電流はそれぞれ、 と表すことができる。 例えば、直列回路の基本式 を複素数表示を用いて計算すると、 となり、 となる。 この複素数Z_jは複素インピーダン スと呼ばれ、実数部はレジスタンス R、虚数部はリアクタンス X = L  1/C、その絶対値|Z_j|がインピーダ ンスZ、Z_jが実軸となす角が力率角 となる。 0 j t V V e  0 j t( ) I I e   2 2 d d d d d d I I I V L R C t t t    2_{LI j R I C j V/}







    1 j V Z R j L I

 

C               1/C L R Z  実軸 L1/C 虚軸 cos sin j j Z  Z



 jZ



Ze 

LCR回路の共振

LCR回路に入力する電圧は変化さ せずに周波数だけ変化させると、電 流は図のように変化をする。これは、 周波数が低いときはコンデンサーの 抵抗が大きくなり、高いときはコイル の抵抗が大きくなるためである。特 にコンデンサーとコイルのリアクタン スが等しいときを_{LC回路の共振とい} う。 ラジオはこの原理を利用して、ある 特定周波数のものをだけを取り出し て、信号に変換している。この回路 を同調回路という。

1

L

C





_

R C L 0sin V V



t

1

2

₂

f

LC





_





I 

1

/ LC



