ト ン ネ ル 工 学 論 文 集 第18巻/pp.91-98, 2008.11
は りばね モデル と個別要素法 を用 いた
トンネル覆工安定性解析 の基礎 的研究
Development of the Stability Analysis of Tunnel Lining by Means of
Beam-spring Model and Discrete Element Method
西 藤 潤1・ 朝 倉 俊 弘2・ 田 村 武3
Jun SAITO, Toshihiro ASAKURA and Takeshi TAMURA
1正 会 員 博 士(工 学)京 都 大 学 大 学 院 助 教 工 学 研 究 科 社 会 基 盤 工 学 専 攻(〒615-8140京 都 府 京 都 市 西 京 区 京 都 大 学 桂4) E-mail:[email protected]
2正会 員 博 士(工 学)京 都大 学大学 院教授 工 学研究 科 社 会基盤 工学専攻(〒615 -8140京 都府京都 市西 京区京都 大学桂4)
3フェロー 会員 博士(工 学)京 都大 学大学院教授 工学研 究科社会基盤 工学専攻(〒615-8140京 都 府京都市西京 区京都大学桂4)
We propose a new numerical analysis method which combines beam-spring model and discrete element method. This method enables stability analysis of tunnel lining with large deformation or change of analysis domain. Analysis of a box culvert is solved as an example of this method by using the program which is based on the formulation explained in this paper.
Key Words: discrete element model, beam-spring model, dynamic analysis , box culvert
1.は じ め に トン ネ ル 覆 工 の 安 定 性 解 析 を 行 う数 値 解 析 法 と し て 骨組 構 造 解析 が知 られ てい る1).骨 組 構 造 解 析 は少 ない 節 点 数 で 変 形 や 曲 げ モ ー メ ン トな どを 計 算 で き る こ と が特 徴 で あ る.簡 便 な手 法 で あ る た め,有 限要 素 法 と同 様 に,実 務 に お い て 用 い られ る こ と が 多 い.骨 組 構 造 解 析 で は,ト ン ネル 覆 工 と周 辺 地 山 の 相 互 作 用 を 適 切 に 評 価 す る こ とが 特 に 重 要 とな る.そ の 相 互 作 用 の 評 価手 法 と して は,地 盤 反 力 ば ね を 取 り入 れ た り,有 限 要 素 法 と組 み 合 わ せ た りす る手 法 が あ る.し か し,こ れ らの 手 法 で は トン ネ ル 覆 工 と周 辺 地 山 の 相 互 作 用 を ば ねや ス ライ ダー に よっ てモ デ ル 化 を して お り,大 きな 変 形 を 伴 う場 合 や 開 削工 法 な どで周 辺 地 山 の領 域 が 変 化 す る 場 合 で は,不 連 続 性 を 適 切 に 評 価 す る こ とが 容 易 で な い.不 連 続 面 を 扱 うた め の 手 法 と して は,個 別 要 素 法(DEM)や 不 連 続 変 形 法(DDA)な どが あ る が,こ れ らの 手 法 で は 連 続 体 と して 表 現 さ れ る覆 工 の 挙 動 を 模 擬 す る こ とが 困 難 とな る.そ こ で,本 論 文 で は 不 連 続 体 と し て離 散 化 を 行 う個 別 要 素 法 で 地 盤 を モ デ ル 化 し,安 定 性 解 析 が 容 易 な骨 組 構 造 解 析 で 覆 工 を モ デ ル 化 す る解 析 手 法 を提 案 す る.な お,ト ンネ ル の数 値 解 析 で 個 別 要 素 法 を 用 い た研 究 は多 くあ る もの の2)3)4)5)6), 覆 工 の安 定 性 解 析 に 主 眼 を 置 き,個 別 要 素 法 に は りば ね モ デ ル を組 み 合 わ た研 究 は 見 当 た らな い. 覆 工 を は りばね モ デ ル で モ デ ル 化 す る た め,覆 工 の 軸 力 や 曲 げ モ ー メ ン トが 容 易 に得 られ,ト ンネ ル 覆 工 の安 定 性 評 価 が 可 能 で あ る.さ らに,は りば ね モ デ ル で は 有 限 要 素 法 と比 較 して節 点 の 自由 度 が 少 な い た め, 座 屈 の 解 析 を行 うた め に 必 要 な 固 有 値 解 析 を 少 な い 計 算 量 で 行 う こ とが で き る.ま た,地 盤 を 個 別 要 素 法 に よ っ て模 擬 す る た め,大 きな 変 形 が生 じ る問 題 や 掘 削, 切 土,盛 土 の よ うに 時 間 と と も に 解 析 領 域 が 変 化 す る 問題 を 容 易 に取 り扱 う こ とが で き る.本 論 文 で は,準 静 的 な2次 元 問 題 を 対 象 と し て定 式 化 を行 い,解 析 領 域 が 変 化 す る 問題 の 解 析 例 と して,ボ ッ ク ス カ ル バ ー トの埋 め戻 しを 模 擬 した数 値 解 析 結 果 を示 す. 2.は り ば ね モ デル は りば ね モ デ ル とは,そ の 名 の 通 り 「は り」 と 「ば ね 」 を 組 み 合 わ せ た モ デル で あ り,有 限 要 素 法 と比 較 して 少 な い 節 点 数 で 曲 げ を 表 現 で き る.本 論 文 で 対 象 とす る は りば ね モ デ ル は,「軸 方 向 の み 変 形 す る ビー ム 要 素(は り要 素)」 と 「回 転 ば ね を 含 む ヒ ン ジ」 を 組 み 合 わ せ た モ デ ル で あ る.図-1に 要 素(は り)と 節 点(ヒ ン ジ と回 転 ばね)の 関係 を 示 す. 図-1に 示 す よ うに,ビ ー ム 要 素 とx軸 が な す角 を θq, 要 素 同 士 の 角 度 差 を φpと す る.φpと θqの 間 に は 次 の 関係 式 が 成 立 す る.
(1)
図-1は りの 節 点 番 号,要 素 番 号,角 度 質 量 は 節 点 に集 中 して い る も の とす る.節 点 の み 質 量 が あ る と仮 定 す る と,連 立 線 形 方 程 式 を解 く こ とな く系 の 運 動 が 計 算 で き,計 算 コス トを 削 減 で き る.節 点 の 質 量 は 隣 り合 う2つ の は りの質 量 の 和 の半 分 とす る.つ ま り,図-1に お い て 節 点pの 質 量 は
(2)
とな る.こ こ で ρg,Aqは そ れ ぞ れ ビー ム 要 素qに お け る密 度,断 面 積 で あ る. 節 点 に作 用 す る 力 と して 復 元 力 と粘 性 力 の2つ を考 え る.ま た,作 用 す る力 の 方 向 と して ビー ム要 素 の 軸 方 向 とせ ん 断方 向の2つ に分 けて 考 え る.以 下 で は,図-2 に示 す よ うに,軸 方 向 を ξ,せ ん 断方 向 を η と して定 式 化 を 進 め る. 図-2軸 方 向 ξ,せ ん断方 向 ηの関係 (1)復 元 力 図-3に 示 す よ うに ビー ム 要 素qが 節 点pに 及 ぼ す ξ 方 向 の復 元 力 は軸 力Nqで あ り,η 方 向 の復 元 力 は せ ん 断 力Qqで あ る. a)軸 方 向 の 復 元 力 図-2に お い て,ビ ー ム 要 素qが ξqだ け伸 び た とき に生 じる軸 方 向 の復 元 力(軸 力)Nqは,ビ ー ム要 素 の ヤ ン グ率Eqを 用 い て,ひ ず み と応 力 の 関 係 式 よ り次 の よ う に表 さ れ る.(3)
な お,軸 力Nqは 引 っ 張 りを 正 とす る. 図-3ビ ーム要素,節 点 に作用す る力 b)せ ん 断 方 向 の 復 元 力 せ ん 断 方 向の 復 元 力 は 曲 げモ ー メ ン トか ら計 算 可 能 で あ る.図-3よ り,せ ん 断 力 と曲 げ モ ー メ ン トの 関係 は(4)
とな る. 曲 げ モ ー メ ン トは 曲 げ に 対 す る 回 転 ば ね の 復 元 力 と して作 用 す る.節 点pに お け る 曲 げ モ ー メ ン ト 嶋 は , 回転 ばね の ばね 定 数 を κbpとして,次 式 で与 え られ る も の とす る.(5)
こ こで,φ0pは 曲 げ モ ー メ ン トが 作 用 しな い 状 態 とな る と きの ビー ム要 素 の 角 度 差 で あ る. な お,回 転 ば ね の ばね 定 数kbpは 次 式 で 与 え られ る7).(6)
(2)粘 性 力 粘 性 力 も復 元 力 同 様,図-2の よ うに軸 方 向 と ξとせ ん 断 方 向 ηに 分 け て 考 え る.本 論 文 で は 準 静 的 な解 析 の み を 対 象 と して お り,粘 性 力 は動 的 な 物 理 現 象 を 再 現 す る た め で は な く,数 値 解 析 に お い て 解 を 収 束 さ せ る た め に用 い られ る.実 際 に,こ れ 以 降 で 示 す よ うに, 粘 性 項 の 導 出 に お い て い くつ か 理 想 的 な 仮 定 を して お り,そ の 物 理 的 意 味 は 明 確 で は な い.動 的 な 解 析 を 行 う場 合 は適 切 な モ デ ル 化 が必 要 とな る. a)軸 方 向 の粘 性 節 点pに 作 用 す る 力 が ビ ー ム 要 素qの 軸 力 の み か ら 与 え られ る と仮 定 す る と,運 動 方 程 式 よ り式(3)を 用 い て 次 式 が 得 ら れ る.(7)
こ こで,こ の 式 に速 度 ξqに比 例 す る 粘 性 項 を 加 え,粘 性 を 含 ん だ構 成 モ デ ル を 考 え る.(8)
こ こで 粘 性 項caqpは(9)
とす る.係 数haqは 正 の 数 で,特 にhaq=1の 場 合,式 (8)は 臨界 減 衰 とな る.た だ し,節 点pは,要 素qに よ る軸 力 以 外 に も力 を 受 け る の で,節 点pの 挙 動 自体 は 臨 界 減 衰 とは な らな い. ξqはチ ェー ン ル ー ル よ り次 式 で 計 算 で き る た め,前 の ス テ ップ で 計 算 した は り長 さ ら を メモ リ にス トア し, 時 間 に 関 して 数 値 微 分 す る必 要 は な い.
(10)
こ こ で,up,vpは,図-4に 示 す よ う に,そ れ ぞ れ 節 点 pに お け るx方 向 変 位,y方 向変 位 で あ る. 図-4ビ ー ム要 素の変位 結 局,ビ ー ム 要 素qが 節 点pに 与 え る 力faqpは(11)
とな る.同 様 に,ビ ー ム要 素qが 節 点p-1に 与 え る力 につ い て も計 算 で き る. b)せ ん 断 方 向 の 粘 性 せ ん 断 力 は 式(1),(4),(5)か ら次 式 で 得 ら れ る.(12)
こ こ で,角 度 θq+1,θq-1,φOp,φOp-1が せ ん 断 力Qqに 影 響 を 与 え ず(あ る い は,お 互 い に つ り あ っ て い て),さ ら に(13)
が成 立 す る と仮 定 す る.す る と,η 軸 方 向 の運 動 方 程 式 と して 次 式 が 得 ら れ る. (14) 上 式(14)に 角 速 度 θに 比 例 した粘 性 力 を 加 え る と(15)
と な る.こ こ で,(16)
で あ る.hbqは 粘 性 項 に か か る正 の 係 数 で あ る. 速 度に関す る時間微分値 は次 のよ うに して求め る こ とができ る.(17)
結 局,ビ ー ム要 素qが 節点pに 与 えるせん断方 向の 力fbqpは(18)
と な る. (3)力 の つ り合 い 式 以 上 よ り,力 の つ り合 い 式 は 式(11),(18)で 得 られ た 力 を 足 し合 わ せ る こ とで 次 の よ うに 表 され る.(19)
(20)
3.個 別 要 素 法 個 別 要 素 法8)は 不 連 続 体 と して 離 散 化 す る手 法 で大 変 形 挙 動 や 不 連 続 性 を 考 慮 し た計 算 が 可 能 で あ る.以 下 で,定 式 化 の 概 略 を説 明 す る9). 本 研 究 で は粒 子 間 に 作 用 す る 力 は,粒 子 同 士 が 接 触 した と き の み 生 じる もの とす る.つ ま り,接 触 して い な い 粒 子 間 の 結 合 力 の よ う な もの は 考 な い.粒 子 は 円 形 と して モ デ ル 化 す る.図-5は,粒 子iとjが 接 触 し て い る様 子 を表 してい る.時 間tで の,粒 子jに 対 す る 図-5粒 子要素 間の接触 粒子iの 法線方 向,接 線 方向 の相 対変位速 度 をそれ ぞ れunji,usjiとする.ま た,粒 子iの 中心か ら粒子jの 中 心に引い た線 分 とx軸 方向 のなす角度 αjiとす る.時 刻tに お ける粒子iのx方 向変位速度ui,y方 向変位速度vi,回 転 角 速 度ψiを 用 い る と,unji,usjiは そ れ ぞ れ 次 の よ うに 書 き表 され る.
(21)
(22)
粒 子 間 に作 用 す る 力 と し て,は りば ね モ デ ル と同 様 に 復 元 力 と粘 性 力 の 存 在 を 仮 定 す る.法 線 方 向,接 線 方 向 の復 元 力enji,esjiは2粒 子 間 の 間 に ば ね の存 在 を 仮 定 して次 の よ う に表 さ れ る もの とす る.(23)
(24)
kn,ksは い わ ゆ る ばね 定 数 で あ り,そ れ ぞ れ 法 線 方 向 と 接 線 方 向 に 対 応 して い る.ば ね 定 数kn,ksは 相 対 変 位 や 粒 子 間 に 作 用 して い る 力 の 関 数 と して 表 さ れ る. 粘 性 力dn,dsは,は りばね モ デ ル と同 様 に速 度un,us に 比 例 す る と仮 定 す る.(25)
(26)
粘 性 係 数cn,csは そ れ ぞ れ 次 式 で 与 え られ る.(27)
(28)
こ こでmijは 粒 子iとjの 平 均 的 な 質 量 で あ り,以 下 の 式 で 定 義 す る.(29)
2粒 子 間 の 関 係 で は,係 数hnij=1,hsij=1の とき,臨 界 減 衰 とな る.法 線 方 向 に 作 用 す る 力fnjiは 復 元 力enjiと 粘 性 力dnji の和 とな る.本 来,復 元 力enは 正 の値 とな る,つ ま り 接 触 して い る 粒 子 同士 は 常 に離 れ よ う とす る は ず で あ るが,数 値 計 算 に お い て は離 散 化 に よ る影 響 に よ り誤 差 が 生 じ,復 元 力enjiが 負 に な る こ とが あ る.復 元 力enji が 負 に な り粒 子 問 が 引 っ 張 りあ う場 合 は,物 理 的 な観 点 か ら法 線 方 向 に 作 用 す る 力fnjiを0と お く.
(30)
接 線 方 向 に作 用 す る力fsjiは 復 元 力esjiと 粘 性 力dsji の 和 で 表 され るが,摩 擦 力 を 越 え る力ffjiは 作 用 しない
もの とす る.
(31)
摩擦 力ffjiは粒 子iとjの 間の みかけの粘着力cijと 粒 子 間の摩 擦抵抗角 φijを用 いて次式の よ うに定義す る.
(32)
粒 子iに 作 用 す る力 は 他 の 粒 子 か ら与 え られ る 力 の 総 和 とな る.座 標 軸 に 対 してx方 向 の 力 をfi,y方 向 の 力 をgiと す る と,次 の 式 で 表 され る.(33)
(34)
粒 子iの 中 心 回 りの 反 時 計 回 りを 正 とす る モ ー メ ン ト の 和 は(35)
と な る. 4.は り ば ね モ デ ル と 個 別 要 素 法 の 組 合 せ (1)力 の つ りあ い は りば ね モ デ ル と個 別 要 素 法 を組 み 合 わ せ て 用 い る ため に は,2つ の モ デ ル の 間 で 力 の つ りあ い を 考 え な け れ ば な らな い.本 研 究 で は,コ ー デ ィ ン グ の 容 易 さ か ら図-6に 示 す よ うに は りば ね モ デ ル で扱 う系 も粒 子 で 離 散 化 す る.は りば ね モ デ ル を 離 散 化 し た粒 子 も個 別 要 素 法 の 粒 子 と同 様 に接 触 判 定 を行 い,力 の 相 互 作 用 を 考 え る.た だ し,は りば ね モ デ ル の 粒 子 で は 以 下 の よ う な制 約 を設 け る. ・ 回 転 は生 じな い(ψ=0) ・ 隣 り合 う粒 子 同 士(は りで 結 合 して い る節 点 同 士) の 相 互 作 用 は無 視 す る ・ 粒 子 間 の相 互 作 用 に よ る 力 に 加 え,は り,ば ね に よ る力 が 作 用 す る 図-6 は りばねモデル の離散化(2)運 動 方 程 式 に よ る 差 分 近 似 粒 子iに お け るx軸 方 向,y軸 方 向 の ビー ム要 素 か ら 作 用 す る 力,粒 子 間 に 作 用 す る 力,お よ び 物 体 力 の 合 力 を そ れ ぞ れFi,Giと す る と運 動 方 程 式 は次 の よ う に 表 され る.
(36)
(37)
モ ー メ ン トに 関 す る運 動 方 程 式 は,式(35)左 辺 の モ ー メ ン トTiと 粒 子iの 慣 性 モ ー メ ン トIを 用 い て,(38)
と表 さ れ る. 式(36),(37),(38)を 差 分 に よ っ て 次 の よ う に 近 似 す る.(39)
(40)
(41)
Δtは 時 間 増 分 で あ る.上 式(39),(40)で 求 め た 速 度 を 用 い て,時 間tに お け る変 位 も 同 様 に 近 似 す る.た だ し,角 度 ψ に 関 して は,角 速 度 ψ は 式(22)で 用 い る が,ψ そ の も の は 計 算 に使 わ な い の で,こ こ で は 計 算 しな い.(42)
(43)
式(23),(24)も 同様 の離 散 化 に よ って,次 の 式 で 得 ら れ る.(44)
(45)
(3)時 間 ス テ ッ プ 時 間 増 分 Δtの 大 き さ は, (a)は りば ね モ デ ル の 軸 方 向 (b)は りば ね モ デ ル の せ ん 断 方 向 (c)粒 子 間 相 互 作 用 の 法 線 方 向 (d)粒 子 間 相 互 作 用 の 接 線 方 向 の 運 動 の うち,周 期 が 最 も短 い もの を基 準 と して 定 め る.aは りば ね モ デ ル の 軸 方 向 に お け る振 動 の 最 小 周 期Ta,bは りばね モ デ ル の せ ん 断 方 向 に お け る 振 動 の 最 小 周 期Tbは そ れ ぞ れ 式(7),(14)か ら次 式 で与 え ら れ る.(46)
(47)
粒子 間相互 作用 における法線方向の最小周期Tn,接 線 方向の最小周期Tsは ばね定数 と粒子の質量か ら次の よ うに与 えられ る.(48)
(49) 一 般 にknji＞ksjiと して 評 価 さ れ る の で,Tnmin＜Tsmin とな る.そ の た め,Tsminは 考 慮 せ ず,Tamin,Tbmin,Tnmin の 中 で もっ とも周 期 が短 い も の を基 準 に時 間 増 分 Δtを 選 ぶ.例 え ば,周 期 の100分 の1を Δtと す る な ど して 決 定 す る.式(46)-(49)か ら分 か る よ うに,ヤ ン グ 率 が 大 き い 場 合 や ビー ム 要 素 の 長 さ が 短 い 場 合 は,周 期 が 短 くな る ため 時 間 増 分 Δtが 小 さ くな り,全 体 の 計 算 コ ス トが 増 大 す る. 5.ボ ッ ク ス カ ル バ ー ト を 模 擬 し た モ デ ル の 解 析 例 (1)解 析 モ デ ル の 概 要 本 論 文 で 示 す 手 法 を用 い て 実 際 に数 値 計 算 を 行 った. そ の 解 析 事 例 を 示 す.対 象 は ボ ッ クス カル バ ー トを 模 擬 した モ デ ル で あ り,図-7に 示 す よ うに,正 方 形 の 断 面 形 状 を した ボ ッ ク ス カ ル バ ー トを 剛 な地 盤 の上 に 設 置 し,周 辺 に土 を 埋 め 戻 す こ とを 想 定 して い る. 地 盤 を 盛 っ た高 さ をH,カ ル バ ー トの1辺 の 長 さ を Dと す る.解 析 結 果 に お い て は最 も高 い 位 置 に あ る粒 子 の 位 置 を 丑 とす る.カ ル バ ー トか ら少 し離 れ た と こ ろ に 剛 な 壁 を 仮 定 し,カ ル バ ー トか らそ の 剛 な 壁 面 ま で の 距 離 はD/2と す る. 図-7 ボ ッ クス カル バ ー トの モ デ ル 図個 別 要 素 法 で は,離 散 化 した モ デ ル の パ ラ メー タ決 定 が 困 難 で あ る こ とが 多 い.本 論 文 で は,パ ラ メ ー タ 決 定 の 繁 雑 さ を 避 け る た め,物 性 値 の 知 られ て い る ア ル ミ ニ ウ ム の 粒 状 体(積 層 体)と 薄 肉 板 を 対 象 と し,定 性 的 な 評 価 を行 っ た.実 際 の トン ネ ル 構 造 物 に 対 し本 手 法 を 用 い て定 量 的 な 評 価 を 行 うた め に は,ば ね 定 数 な ど の パ ラ メー タ の 決 定 が 必 要 で あ る.こ の モ デ ル に 用 い た物 性 値 は以 下 の 通 りで あ る.式(23),(24)に お 表-1 材料物性値 け る単 位 奥 行 き あ た りの ば ね定 数knij,ksijは相 対 変 位 や 作 用 して い る 力 に よ らな い もの と仮 定 し,弾 性 波 速 度 に基 づ い て 決 定 す る10).
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vp,vsは そ れ ぞ れ 縦 波 と横 波 の 弾 性 波 速 度,ρ は 密 度 で あ る.ま た,式(9),(16),(27),(28)の 減 衰 定 数cに 含 ま れ る 係 数hは 全 てh=1と す る. 地 盤 は村 山の 研 究11)12)よ り,半 径1.60mm,3.00mm の2種 類 の 粒 子 を3:2の 比 率 で 混 合 した もの を 用 い る. ま た,ト ン ネ ル 覆 工 を 模 擬 し た粒 子 の半 径 は1.00mm とす る.ト ンネ ル 覆 工 を 模 擬 した粒 子(以 下,覆 工 粒 子 と呼 ぶ)間 の 距 離 は,地 盤 を模 擬 した 粒 子(以 下,地 盤 要 素 と呼 ぶ)よ りも十 分 小 さ くし,地 盤 粒 子 が トンネ ル 覆 工 を通 り抜 けで き な い よ うに す る. 地 盤 の埋 め戻 しは,地 盤 粒 子 を10個 ず つ 上 か ら置 く こ とで 表 現 す る.地 盤 粒 子 を 置 い て,系 全 体 が 静 止 す る まで 計 算 を 行 う.静 止 した後,再 び粒 子 を置 く.以 上 の 解 析 の手 順 を 図-8に 示 す. 地 盤 粒 子 の配 置 は,乱 数 に よ っ て決 定 す る.本 論 文 で は,10個 の 地 盤 粒 子 を 置 き,静 止 す る ま で の 一 連 の 計 算 を1ス テ ップ と呼 ぶ こ と とす る.今 回 の 解 析 で は 50ス テ ップ まで,つ ま り500個 の 地 盤 粒 子 を 埋 め 戻 す ま で 解 析 を 行 った.ま た,3ス テ ッ プ 目 まで は 覆 工 が 地 盤粒 子 に押 さ れ左 右 に移 動 しない よ う,覆 工 の変 位 を0 と して計 算 した.こ れ は,30個 の地 盤粒 子 を 予 め設 置 す る こ と に相 当 す る.そ して,4ス テ ップ 目 か ら覆 工 の 変 形 を 考 慮 した解 析 を 行 う. 図-8 解 析 の フ ロー チ ャー ト (2)解 析 結 果 図-9に 粒子 が積 層 して い る様 子 を 示 す.左 か ら10ス テ ップ 目(地 盤粒 子 数100),20ス テ ップ 目(地 盤 粒 子 数 200),50ス テ ップ 目(地 盤 粒 子 数500)の 計 算 を 終 え た と きの 解 析 結 果 で あ る.50要 素(5ス テ ッ プ)ご とに粒 子 要 素 を 色 分 け(斜 線 の 有 無)し て 描 い て い る.図-10 は,図-9に 対 応 す る軸 力 の分 布 図 を 表 して い る.地 盤 粒 子 が 積 み上 が る に つ れ 軸 力 が 増 して い る 様 子 が 分 か る.図-11は,曲 げ モ ー メ ン トの 分 布 図 で あ る.軸 力 の分 布 とは異 な り,20ス テ ップ 目か ら50ス テ ッ プ 目の 間 に 曲 げ モー メ ン トの 大 き さ は 大 き く変 化 し て い な い こ とが 分 か る.こ の こ とか ら,あ る程 度 埋 め 戻 さ れ る と重 量 の 増 加 は 曲 げ モ ー メ ン トよ り は軸 力 で 支 え て い る こ とが 分 か る. 図-12は トンネ ル 覆 工 の 垂 直,お よび 水 平 の 相 対 的 な 変 位 量 を 表 して い る.垂 直,お よ び 水 平 な 相 対 変 位 は,と もに 正 方 形 の1辺 の 中 央 に 位 置 す る 覆 工 粒 子 間 の 相 対 変 位 で 計 算 した.内 空 側 へ の 変 形 を 負 と して表図-9 粒子の積層 図-10 軸 力 の 分 布(N図) 図-11 曲 げ モ ー メ ン トの 分 布(M図) して い る.グ ラ フ の 横 軸 は,盛 土 高 さHを 初 期 の ボ ッ クス カル バ ー ト1辺 の 長 さDに よ っ て 除 した 無 次 元 化 高 さ とす る.縦 軸 は,相 対 変 位 をDに よ って 除 した無 次 元 化 相 対 変 位 とす る. グ ラ フ よ り,H/D=1.0あ た りま で は,単 調 に変 化 して お り,鉛 直 方 向 は 地 山側 に 変 形 し,水 平 方 向 は 内 空 側 に 変 化 して い る の が わ か る.こ れ は側 方 か ら の圧 力 に よ って 変 形 した もの と考 え られ る.H/D=1.0か ら1.5に か け て は上 方 か らの 圧 力 が加 わ る た め,鉛 直 方 向 は 内 空 側 に 押 し戻 さ れ る.水 平 方 向 の 相 対 変 位 に 関 して は,側 方 か ら の圧 力 に よ っ て 内 空 側 に変 形 し よ う とす る影 響 と上 方 か らの 圧 力 に よ って 地 山側 に 変 形 し よ う とす る影 響 が 相 殺 して,あ ま り変 化 して い な い. 図-12に お い て 楕 円 で 囲 っ たH/D=1.6付 近 で 鉛 直,水 平 と もに 大 き く変 化 して い る.こ れ は,カ ル バ ー ト上 部 が 上 向 き の ア ー チ 形 状 か ら下 向 き の ア ー チ形 状 に 変 化 して い る こ とが 原 因 で あ る.つ ま り,安 定 状 態 へ 瞬 時 に 移 行 す る ス ナ ッ プ ス ル ー が 生 じて い る こ とが 推 察 さ れ る.ス ナ ップ ス ル ー の よ う な不 安 定 現 象 に つ い て詳 細 な 検 討 を 行 う た め に は,覆 工 に 関 して 固 有 値 解 析 を行 う必 要 が あ る13),7).本 論 文 で は,固 有 値 解 析 ま で は 行 わ な い が,本 手 法 は 覆 工 を は りば ね モ デ ル で モ デ ル 化 して い る た め,少 な い 計 算 量 で 固 有 値 解 析 を 行 う こ とが 可 能 で あ る.な お,覆 工 と地 盤 の 相 互 作 用 を 考 え な が ら,ス ナ ッ プス ル ー の よ うな 不 安 定 現 象 を 再 現 で き る こ とは 本 手 法 の 特 徴 の ひ とつ で あ る. 図-12 トンネル 覆工の相 対的な変位 6.お わ り に 本 論 文 で は,は りば ね モ デ ル と個 別 要 素 法 を 組 み 合 わ せ た 解 析 手 法 を 提 案 し,解 析 例 と して ボ ッ ク ス カ ル バ ー トの 数値 解 析 結 果 を 示 した.実 験 や 実 際 の 測 定 デ ー タ と比 較 して い な い た め定 量 的 な評 価 は 難 しい も の の, 定 性 的 な 傾 向 は 説 明 で き て い る.今 後 は,実 験 や 実 問 題 との 比 較 を 行 い,定 量 的 な 評 価 を し た い と考 え て い る.ま た,不 安 定 現 象 を 追 跡 す る こ と もで き るた め,円 形 カ ル バ ー ト トンネ ル の よ うな 薄 肉 構 造 の トン ネ ル を 対 象 に座 屈 解 析 問 題 を 解 く ツー ル と して,さ ら に 発 展 させ て い き たい と考 え て い る. 今 後 の 課 題 と し て は,「 材 料 パ ラ メ ー タ の 決 定 」 と 「ビー ム 要 素 と粒 子 の 相 互 作 用 を 適 切 に 評 価 す る物 理 モ デ ル の 導 入 」 が 挙 げ られ る.前 者 は,個 別 要 素 法 の 課 題 の1つ で あ り,パ ラ メ トリ ッ ク ス タデ ィ が必 要 と な る.後 者 は,覆 工 と地 盤 の す べ りを適 切 に評 価 す る た め に必 要 で あ る.本 論 文 で は 覆 工 を 円 形 の粒 子 と し て 離 散 化 し,地 盤 粒 子 との 相 互 作 用 を 考 え た た め,覆 工 粒 子 間 に 間 隙 が で き,そ こに 地 盤 粒 子 が ひ っか か る こ とで 適 切 な す べ りが 表 現 で き な い 可 能 性 が あ る.今 後 は覆 工 に粒 子 要 素 を設 け ず,ビ ー ム 要 素 と地 盤 の粒 子 間 で接 触判 定 を 行 う こ とを 考 えて い る. 参 考 文 献 1) 土木学会(編): 山岳 トンネル におけ る模型 実験 と数値 解 析 の実務, 丸善, 2006. 2) 田嶋仁志, 石 田高啓, 斉藤正幸, 小林 靖典, 中西康博, 市川 晃央, 西村和夫: 砂質地 盤にお ける超近接 併設 シー ル ド トンネルの掘 削に伴 う地盤 の緩 み現象 の メカニズム, 土 木学 会論文集C, Vol. 62, No. 2, pp. 529-545, 2006. 3) 久 武勝保, 大 野司 郎, 佐藤光 平: トンネル 切羽 の安定 ・
崩 壊 挙 動 の 動 的 解 析, トンネ ル 工 学 研 究 論 文, pp. 1-8, 2001. 4) 小 坂 寛 巳, 今 田 徹, 小 笠 原 政 文, 津 野 和 宏, 藤 井 義 文, 平 井 卓: 水 平 に 近 接 した2本 の 円 形 セ グ メ ン トに作 用 す るゆ る み 土 圧, 土 木 学 会 論 文 集, No. 596/III-43, pp. 65-79, 1998. 5) 木 山英 郎, 藤 村 尚, 西 村 強, 吉 田 尚: トンネ ル 掘 削 時 の周 辺 地 盤 の個 別 要 素 法 解 析, 土 木 学 会 第52回 年 次 学 術 講 演 会, Vol. 52-III-B79, pp. 158-159, 1997. 6) 小 笠 原 政 文, 津 野和 宏, 船 本 浩 二, 藤 井 義 文, 平 井 卓, 野 村 茂 樹: 個 別 要 素 法 を 用 い た併 設 矩 形 シ ー ル ドの 作 用 土 圧 に 関 す る検 討, 第33回 地 盤 工 学 研 究 発 表 会, pp. 1945-1946, 1998. 7) 田 村 武, 林 芳 樹: 地 盤 と の 相 互 作 用 を 考 慮 した トンネ ル 覆 工 の 座 屈 解 析, 土 木 学 会 論 文 集, Vol. 792/III-71, pp. 199-210, 2005.
8) Cundall, P. A. and Strack, O. D. L.: A discrete nu-merical model for granular assemblies, Geotechnique, 1979. 9) 粉 体 工 学 会(編): 粉 体 シ ミ ュ レー シ ョ ン入 門, 産 業 図 書 , 1998. 10) 伯 野 元 彦: 破 壊 の シ ミ ュ レー シ ョ ン, 森 北 出版, 1997 . 11) 村 山 朔 郎: 砂 層 内局 部 沈 下 部 に か か る垂 直 土 圧, 京 都 大 学 防 災 研 究 所 年 報 第11号B, pp. 123-138, 1968. 12) 村 山 朔 郎, 松 岡 元: 砂 質 土 中 の トン ネル 土 圧 に 関 す る 基 礎 的 研 究, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第187号, pp. 85-108, 1971.
13) Bazant, Z. P. and Cedolin, L.: Stability of Structures , Oxford University Press, 1991.
