R\’EGULARIT\’E
DES ONDES\’ELASTIQUES
DANS LAR\’EGION
GLANCING DES ONDES $\mathrm{P}$TATSUSHI
MORIOKA
(Universite’ d’Osaka) 森岡達史Re’sultat.
Soit $\Omega\subset \mathrm{R}^{3}$
un
domaine ext\’erieur. On suppose les hypoth\‘eses suivantes.(H.1) $\partial\Omega$ est analytique.
(H.2) $\mathrm{R}^{3}\backslash \Omega$ est strictement convexe, c.-\‘a-d. la courbure Gaussienne de
$\partial\Omega$ est strictement positive.
Soit $A(\partial_{x})$ l’ope’rateur diff\’erentiel dont la valeur est $3\cross 3$ matrice:
(0.1) $A(\partial_{x})=\mu_{0}\triangle+(\lambda_{0}+\mu_{0})\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}$ dans $\mathrm{R}_{x}^{3}$ ,
o\‘u $\lambda_{0}$ , $\mu 0$ sont constantes v\’erifiant $\mu_{0}>0$, $3\lambda_{0}+2\mu_{0}>0$ et que
$\triangle$ est Laplacien en $\mathrm{R}^{3}$. On d\’efinit $L$ par $L=\partial_{t}^{2}-A(\partial_{x})$
.
En notant $\sigma(\triangle_{\partial\Omega})$ le symbole principalde Laplacien
en
$\partial\Omega$,on
d\’efinit $q\in C^{\infty}(T^{*}(\mathrm{R}\cross\partial\Omega), \mathrm{R})$ par(0.2) $q(\tau, Z)=-\tau^{2}-c_{1}^{2}\sigma(\triangle_{\partial\Omega})(Z)$ : $\tau\in \mathrm{R},$ $Z\in T^{*}(\partial\Omega)$ ,
o\‘u $c_{1}=(\lambda_{0}+2\mu_{0})1/2$.
On fixe $T>0$, $\epsilon>0$ qui sont suffisamment petites, $z\in\partial\Omega$ et $W_{0}\subset \mathrm{R}^{3}$ ;
voisinage ouvert de $z$ dans $\mathrm{R}^{3}$
.
Soit $W_{1}=W_{0}\cap\Omega$ et $N=(-\epsilon, T)_{t}\cross(W_{0}\cap\partial\Omega)_{x}$ .On fixe $\rho_{0}\in T^{*}N\backslash 0$ v\’erifiant $q(\rho_{0})=0,$ $\pi(\rho_{0})=(t_{0}, z)$ avec $0\leqq t_{0}<T$. Ici, $\pi$ est
la projection de $T^{*}N$
sur
$N$.
On note $\partial/\partial n$ la d\’eriv\’eeau
long de vecteur normalde $\partial\Omega$. Soit $u=^{t}(u_{1}u_{2}, u_{3})\in D’((-\epsilon, T)\mathrm{x}W_{1})$. On dit que $u$ v\’erifie (A.1) si les
conditions suivantes (a) et (b) sont v\’erifi\’ees.
(b) Il existe $W_{2}\subset \mathrm{R}^{3}$ voisinage ouvert de $\mathrm{T}k/r_{0}\cap\overline{\Omega}$ et $\overline{u}=^{t}(\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\overline{u}_{3})\in D’((-\epsilon, T)$
$\cross W_{2})$ tels que $\overline{u}|_{(-\epsilon_{)}T}$
)$\cross W_{1}=u$ et que
$\overline{u}$ soit analytique dans $(-\mathcal{E}, 0)\cross W_{2}$.
On fixe $m\in \mathrm{R}$ v\’erifiant $1\leqq m<3$. Le th\’eor\‘eme suivant est notre r\’esultat
principal.
Th\’eor\‘eme 1.
On
suppose que (H.1), $(H.\mathit{2})$ sont v\’erifi\’ees. Alors, il $exi\mathrm{s}6e\omega\subset$$T^{*}N\backslash \mathrm{O}$ voisinage conique de$\rho_{0}$ et$s_{1}>0$ v\’eTifiant $\mathrm{e}xps_{1}H_{q}(\rho_{0})\not\in\omega$, tels que, pour tout $u=^{t}(u_{1}u_{2}, u_{3})\in D’((-\epsilon, T)\cross W_{1})$ v\’erifiant (A.1) avec $WF_{A}(u|_{N})\subset\omega$ et
tout $s_{0}>0$ v\’erifiant $s_{0}<s_{1}$ et $\omega\cap\{\exp_{S}H(q\rho 0) ; s_{0}\leqq s\leqq s_{1}\}=\phi$, on ait (i)
et (ii) suivants.
(i) $\{\exp_{S}H_{q}(\rho 0) ; s_{0}\leqq s\leqq s_{1}\}\cap WF_{G}^{3}((\partial u/\partial n)|_{N})=\phi$.
(ii) $\{\exp sH_{q}(\rho_{0}) ; s_{0}\leqq s\leqq s_{1}\}\cap WF_{G}^{m}((\partial u/\partial n)|_{N})=\phi$
ou
$\{\exp_{S}H(q\rho 0) ; s_{0}\leqq s\leqq s_{1}\}\subset WF_{G}^{m}((\partial u/\partial n)|_{N})$Remarque. Soit $u=^{t}(u_{1}u_{2}, u_{3})\in D’((-\epsilon, T)\cross W_{1})$ v\’erifiant (A.1) et que
$WF_{A}(u|_{N})=\{(t_{0}, z;r\eta) : r>0\}$ , o\‘u $(t_{0}, z;\eta)=\rho_{0}$. Alors, la preuve de
$Tl_{1}\acute{\mathrm{e}}$or\‘em$\mathrm{e}\mathit{1}\mathrm{m}$ont$r\mathrm{e}$ que l’on a (i) et (ii) mentionn\’es dans Th\’eor\‘eme 1 $po\mathrm{u}r$ tout $s_{0}$
v\’erifiant $0<s_{0}<s_{1}$, si $s_{1}$ est suffisamm$entp\mathrm{e}$tit.
Dans la description de Th\’eor\‘eme 1, $WF_{A}(*)$ est l’ensemble du front d’onde
analytique de H\"ormander, qui coincide le spectre singulier de Sato et le support
essentiel de Bros-Iagolnitzer. $WF_{G}^{m}(*)$ est l’ensemble du front d’onde Gevrey $m$.
On confirme ici seulement la d\’efinition de la classe Gevrey $m$ dans $\mathrm{R}^{n}$. On dit
qu’une fonction $h$ scalaire en $\mathrm{R}^{n}$ a lar\’egularit\’e Gevrey
$m$pr\‘es de $y\in \mathrm{R}^{n}$ s’il existe
des constantes $B,$ $C>0$ et unvoisinage $U$ de $y$ tels que pour tout $\alpha$et tout $x\in U$, on ait
(0.3) $|(\partial_{x}^{\alpha}h)(x)|\leqq CB^{|\alpha|}(\alpha!)^{m}$
Pour $u=^{t}(u_{1}u_{2}, u_{3})$, on d\’efinit $WF_{A}u=\cup\{WF_{A}u_{j} : j=1,2,3\}$ et $WF_{G}^{m}u=$
Nous \’ecrivons les travaux qui pr\’ec\‘edent Th\’eor\‘eme 1. Lebeau [14, Th\’eor\‘eme 1]
a
prouv\’e Th\’eor\‘eme 1avec
une
ln\’eilleure estimation par rapport \‘a la r\’egularit\’e dessolutions lorsque l’\’equation est celle des ondes. En rempla\caant $WF_{G}^{3}$ par $WF$, le
front d’onde $C^{\infty}$ de H\"ormander, Melrose [16] et Taylor [22] (Cf.
H\"ormander [5]
$)$ ont montr\’e Th\’eor\‘eme $1-(\mathrm{i})$, lorsque l’\’equation est celle des ondes. L’\’etude de
Riedlander-Melrose [4] montre que Th\’eor\‘eme $1-(\mathrm{i})$ est faux si
on
remplace $WF_{G}^{3}$par $WF_{G}^{k}$ avec $1\leqq k<3$ et remplace l’\’equation \’elastique par celle des ondes. Voir
aussi Sj\"ostrand [19], Lebeau [13, Th\’eor\‘eme 1 dans
\S V.2]
et [13, Th\’eor\‘eme2 qui\’etendle r\’esultat de Kataoka]. Th\’eor\‘eme 1 est
une
analogie de Lebeau [14, Th\’eor\‘eme 1]pour l’e’quation \’elastique isotrope. La singularit\’e des solutions du probl\‘eme
aux
limites pour l’\’equation \’elastiqueisotropea
d\’ej\‘a\’et\’ee’tudie’eparYamamoto
[23]avec
la condition de Neumann au bord, dans le cadre de la classe $C^{\infty}$. Cf. Bardos
-Masrour - Tatout [1] et Kawashita [7]. La g\’en\’erali$s$ation de Lebeau [14] pour les
conditions obliques au bord a \’et\’e \’etudi\’ee par Lafitte $[8]-[10]$. Voir aussi Lascar
-Lascar [11].
La preuve de Th\’eor\‘eme 1 est essentiellement due aux Lebeau [14] et Stefanov
- Vodev [21]. L’id\’ee principale de Lebeau [14] est de construire le param\’etrix de
l’op\’erateur
au
bord sur l’espace conormal de la r\’egion Glancingau
bord.Cette
m\’ethode, appel\’ee la deuxi\‘eme microlocalisation
sur
les sous-vari\’et\’es involutives,provenante de lath\’eoriede Kashiwara-Kawai (C.$\mathrm{f}$.
$[18]$),
nous
permet de consid\’ererl’alg\‘ebre des op\’erateurs 2-microlocaux de Laurent sur l’espace conormal de la
sous-vari\’et\’e involutive
comme
l’alg\‘ebre formelle des op\’erateurs pseudo-diff\’erentiels, quiont 2 param\‘etres, sur l’espace cotangent. Ces op\’erateurs pseudo-diff\’erentiels sont les op\’erateurs unilat\’eraux, qui sont microlocaux jusqu’\‘a
l’indice 3
dans classe de Gevrey. Gr\^ace \‘a la deuxi\‘eme microlocalisation due \‘a Lebeau,on
peut inverser l’ope’rateurau
bord en conservant la propri\’et\’e locale de Gevrey 3. Cela implique la preuve de Th\’eor\‘eme 1 lorsque $1’ \mathrm{e}’\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ est celle des ondes. Quant \‘a la deuxi\‘ememicrolocalisationdue \‘aLebeau, Voir [12], [13] et [14,
A.63
dans lespages 1489-1493]. La combinaison de [14] et [21] nous $\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{e}\wedge$ef-$\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{t},$ $[21, \S 2]$
a
montr\’e que l’onpeut r\’esoudrele probl\‘emeaux
limites pour l’\’equation\’elastique isotrope
avec
laconditiondeDirichlet au bord parlar\’esolutionHelmholtzi-enne.
Puisque l’\’equation \’elastique estun
syst\‘eme, la construction des solutionsasymptotiques est beaucoup plus compliqu\’ee que celle de l’\’equation des ondes. Cf. Kawashita [7]. La m\’ethode de [21,
\S 2]
nous
permet d’\’eviter de construire directe-ment les solutions asymptotiques dans la r\’egion Glancing des ondes longitudinaux et cela indique lapreuve
de Th\’eor\‘eme 1 due \‘a l’argument par [14].REFERENCES
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