【研究ノート】ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

【研究ノート】ローレンツ曲線の歪度測定とその応

用

著者

前田 修也

雑誌名

東北学院大学論集. 経済学

号

110

ページ

143-167

発行年

1989-03-20

URL

http://id.nii.ac.jp/1204/00024446/

【研究ノート】

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

前田修也

目次

はじめに

ローレンツ曲線の歪度測定法

クズネッツ仮説とローレンツ曲線の歪度

一計測結果と比較一一

むすびにかえて

Ｊ Ｊ Ｊ Ｉ Ⅱ Ⅲ ｆ に く

〔Ⅳ〕

[I]

は

しがき

Kakwani[5]は，

クズネッツのいわゆる逆U字仮説を，

ローレンツ曲

線の歪度という文脈で捉えその測定法を展開している。また, 1960年代の

統計資料ではあるが, 50カ国に及ぶ所得分布統計でこれを計測・確認して

いる。本稿は，

ローレンツ曲線の歪度測定法を簡潔に要約・紹介し，今回

(1985年）国連より初めて報告された資料に基づき36カ国の所得分布統計

でローレンツ曲線の歪度測定を行ないKakwani[5]との比較・検討を行

なうことを目的としている。

〔Ⅱ〕

ローレンツ曲線の歪度測定法

〔Ⅱ〕−（ 1 ）

ローレンツ曲線の一般的定蕊

今，所得Xを確率密度関数f(X)を持つ確率変数とすると

”=だ

f(X)dX

(1 ）

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

は， 虻以下の所得を持つ単位（例えば世帯，個人）の全単位に対する比率

であると解釈される。 ここで,

f(X)≧Oは

;KF(Xl=f(X)

( 1 ' )

である。

次に，

この分布の平均を、とするとXの第1次モーメントは

鷹

1

F,

(x)=4-面1

Xf(X)dX

(2）

と定義され, [O,

1]の変域をもつことになる。更に, f(X)が連続で

あるなら，明らかにその第1次微分は次のようになる。

dFI (x)

＝＝

x･f(x)

dx

m

(2， ）

ローレンツ曲線は，

まさにこのF(x)

とF1 (兀）によって示され為2つ

の関数を示す関係にほかならず, F(x)を横軸にF1 (")を縦軸にとり，

単位正方図形( 1 ,

1 )内に任意のxに従い打点することにより，通常の

ローレンツ曲線が現われることになる。この曲線の性質は次のようである。

まず，曲線の傾きは( 1 ')式と (2' )式より

Ｏ ｚ ｒｌｍ 畑一姫

となり，

明らかに常に正である。また，

同じように2次微分は，

d:;￨-&(df')= mix)>@

となり，正の単純増加関数すなわちF軸に対して凸或いは,

F】≦Fであ

る。FI=Fの時を特に完全均等線(egalitarianline)上にあるという。

〔Ⅱ〕−（2）

ローレンツ曲線の歪度（ 1 ）

Kakwani[5]に，

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用に関して極め

て有益な命題が導かれている。本節では，それらの命題とその導出をごく

2 -144−

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

簡単に要約し紹介することを目的としてL,る。 まず，

ここで用いられる表

記を簡単に要約しておく。

今, (1)式で定義されたF(x)の代わりに,

0≦p≦lでのpを置き

換えて，

L(p)=F] (x)

（3）

(4）

p=F(x)

とする。 (1 )式, (2)式,

(3)式, (4)式より明らかに

a)

p=0,のとき

L(p)=0

b)

p=1 , のとき

L(p)=l

c)

L' (P)=告篁0, 篭にL"(p)=ホンⅢ

d)

L(p)≦p

となる。 このような変換によって, L(p)は，最低所得よりかぞえてp番

目までの世帯（或いは他の所得受取単位）が得ている所得そのものを示す

ことになる。

次に, ' (p)=p-L(p)で定義される' (p)を考える。' (p)は次のよ

うな性質をもつ。

すなわち，

dij (p)/dp=p'-L' (p)=1-L' (p)

d2｡ (p)/dp2={l-L' (p)}/dp=-L"(p)

（6）

(7）

また，

（5）式より明らかにp=0 ,

とp=lで0となり, dF1/dF=

x/mを考えjると次の命題が導かれることになる。

命題( 1 )

;

ローレンツ曲線と完全均等線との距離は，所得水準xが

m(平均所得）に等しL,時最大となる。

次に，

ローレンツ曲線上に完全均等線と垂直に交わるもう一つの対角線

を考えることで， この曲線の対称性一歪度一の測定を考察する。

−145− 3

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

今，

ローレンツ曲線上の任意の点p,

p'から均等分配線におろされた

線分をそれぞれPE, P'Fとする。

もしEG=GFなら，対称ローレン

ツ曲線ではPE=P'Fとなり，

また非対称ローレンツ曲線ならP'

F>PFのとき曲線は(0,

0)に対して歪鍬，

また逆にP'F<PEなら

曲線ば( 1 ,

1 )方向に対して歪んでいることになるl )D

図

(1)

(J, 0) C (1 ， 1） B 図 図 図 図 営甘ｌ笛 a H H 図 図

喝

喝

喝

_■

_■

O (0， 0.） L M F,一嘩商 A (0, 1)

さて，任意の点Pが座標(p,

q)を持つとすると， 図(1) より

0M=OL+LM,

とEL=EN+NLとなり，更にOL=LE=(l /､/ r)

l )

歪度の表現には注意が必要である。分布の長い裾が右にある分布を呼ぶに

は次のような表現がある。左傾分布，正の歪みをもつ分布，右に歪んだ分布，

beSkewedtOWardright,等である。同様に，分布の長L裾が左にある分

布には，

右傾分布，

負の歪恐をもつ分布，

左に歪んだ分布, beSkewed

toward left,等である。

−146− 4

博一レンツ曲線の歪度測定とその応用

OE,

とEN=NP=( 1 ′ ､/r)PEが明らかである。何故なら, OM=P

かつNL=PM=qであるから, P=( 1 /'､/ r) (OE+PE)かつq=

( 1 ， 、/ Z) (OE-PE) となりこれより，

OE=(1/､/ Z ) (p+q)

かつPE=(1/､/Z ) (p-q)-(8)

となる。同様にP' を，座標(p' ,

q' )を持つ任意の点とすると，次式

が成り立つ。

OF=*(p' +q' ) かつP'F=*(p" -q' )

(9）

（8）式と （9）式より

p' +q' =2-p-q

(10)

となり，

もしローレンツ曲線が対称であるなら, PE=P'Fとなることか

ら明らかに

p -q =p-q

(11)

となる。 (10)式と (l1)式より, p' = ( 1

q)かつq' = ( 1-p)

が得られ(p' ,

q' )がローレンツ曲線q=L(p)上の点であるとするこ

とで，次の命題が導ける。

命題(2)

;

l-P=L( l-q)の時，一義的にローレンツ曲線q

=L(p)は均等分配線に直交する対角線に対して対称である。

P'が座標( l-q), ( 1-p)をもつローレンツ曲線上の任意の点であ

ると考えると, EG=GF, P'F=P'Eとなり命題(2)の充分条件がこ

れで充される。

次に命題（2）のl-P=L( 1-q)をpで微分することによって次式

が得られる。

L' (l-q)L' (p)=1

(12)

命題( 1 )で我々は＃' ' (p)=1-L' (p)より

x=m(平均所得）での

PをPmとすることによりP=Pmの時L' (p)がlになることを"､てき

た。そこで(12)式は

−147−

ローレソツ曲線の歪度測定とその応用

L' (Pm)=1かつL' (1-qm)=1

となる。 ここでqm=L(Pm)である。 また, L"(p)>0な為ことを考え合

せると，次の命題を導くことができる。

命題（3）

；

もしローレンツ曲線が対称であるなら，平均所得mに対

応する点[Pm, L(Pm)]は，完全平等線に直交するもう一つの対角線上に

ある。すなわち次式が成り立つ。

Pm+L(Pm)=1

〔Ⅱ〕

（3）

ローレンツ曲線の歪度（2）

前節にて定義済み､のF(x),FI (x)上の任意の点をPとする。図（Ⅱ）

にしたがって,

PQは均等分配線上への垂線の長さである。図より明ら

かなように, 0M=OL+LM, QL=QN+NL,

さらに, OL=LQ=l/J2

r,NQ=NP=l/､/百り (JrとりばそれぞれPQとoQの長さ）である。

これより

寵=7号(F+F! ) , '=*{F-F, }

(13)

が得られる。

通常のローレンツ曲線の性質上, F1三Fであるか¥≧Oであり， また￥

≦rである。 この元とヮを用いてローレンツ曲線を

(14)

ノ 、 "=g(江ノ

と表わす（0≦汀≦､/ 可, g(r)>0)｡

ここで，前節で得られた命題により，

もし（14）式で定義されるローレ

ンツ曲線が対称なら汀でのヮの値と （却噌一江）の値が等しくなる。すなわ

ち，

g(JT)=g(､/ r-rr)

(15)

なら，

ローレンツ曲線は( 1 ,

なら (0,

0)方向に歪んでい

となる。 したがってg(x)>g(､/ r-Jr)

l )方向に歪み逆にg(")<g(､｢可一流）

為ことになる。

6 −148−

ローレンツ曲線の歪腰測定とその応用

図

（Ⅱ）

(1 , 1 ) B 「"． ノノ 〆弓 L

l

l

I 『

、

Ｎ賑

Td 、鴫 、

／

/γ

／

/γ

エ エ エ

／

/ソ

／

/ソ

L M A ( 1 ． 0） 0 (0， U）

Kakwani[5]は,

4種類の推定法を提示し， それぞれの試算を行なっ

ている。本稿では，

この中から一方法を採用しKakwani 自身が世界50

ケ国につL､て行なった計測結果（後述） と比較することにする。すなわち，

次のような曲線を仮定する。

¥=ar!, (J r-r) ￨;

(16)

ここで,

a>0, u'>0 , #>0である。 a>0を仮定することにより，

g(Jr)≧Oすなわち溺常のローレンヅ曲線が完全均等線の下にあることを

示し， またα>() , 19>0であればg(Jr)が, Jr=0か兀=V2のときoで

あることを示している。さて,

( 15)式よりα＝βのとき曲線は対称で， β

＞“なら ( 1 ,

1 )方向に歪み(I＞βのとき (0 ,

0)方向に歪んでいる

ことが明らかとなる。 したがってここでのα/βや1-<r/βがローレンツ曲

線の歪度測定上，一つの指標になる。

ローレソツ曲線の歪度測定とその応用

次に(16)式の両辺の対数をとり，

logl7=loga+fr logr+# log (､rす一花）

(16')

とすることで，憩常の最小自乗法が適用できるようになる。 ここで， 汀は

階級分けされた原データの所得階級と所得との累積構成比の和(F+FI)

を､/-面で除した値である。 またりは同じように階級分けされた原データの

所得階級と所得との累積構成比の差(F-FI)を､｢すで除した値である。

クズネッツ仮説とローレンツ曲線の形状との関係はKakwani[5]の説

明にしたがうと次のようになる（図（Ⅱ))。今，第1 ・五分位（下位20％）

に着目して蹴ると，図での曲線I,

Ⅱでは明らかに，

曲線Iの下位20%の

所得が曲線Ⅱのそれより大きL､。また，同様に第5 ・五分位置（上位20%)

での所得に着目すれば， 明らかに曲線ⅡがHGの長さだけ， 曲線Iより

多くのシェアの所得を得ていることになる。 このことが何を意味するか。

それは，中間所得層の所得シェアは,

( 1 ,

1 )方向に歪んでいるローレ

ンツ曲線より (0,

0)方向に歪んでいるローレンツ曲線の方がより小さ

L,。 また( 1 ,

1 )方向に歪んでいる方が，中間所得層は，低所得グルー

プと高所得グループの所得シェアより相対的に大きなシェアを得てL,るこ

とになる，

ということである。

さて，

クズネッツの仮説は一言で述べるなら，それは一国経済は発展す

るにつれて中間所得層のシェアが増大する，

と要約できる。 このことは，

ローレンツ曲線の形状でみると，経済発展がローレンツ曲線の歪度を（0，

0)方向から( 1 ,

1 )方向，すなわち図Ⅲの分布(1)から分布（Ⅱ）

の方向へ移行することを意味している。

したがって，

もし二カ国の所得分

布を描き，両国ともに(0,

0)方向へ歪んでいることが確められたなら，

その歪皐の程度の大きい国が経済発展の程度が低い，

ということが明らか

となる。

以上のことから，本章で導かれた尺度α/βが経済発展の程度を示す一指

標となり得ることが確認できた。

150− 8

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

図

（Ⅲ）

〃， J） (J， 〃 C ■− B − 〃 一一 一一

込

’

必

ｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌ ノノ ノノ G ノ ノ 0 (0, 0)

80pefEEJ㎡A

_{(1 , 0)} 2〔)鯉沌“r

〔Ⅲ〕

クズネッツ仮説とローレンツ曲線の歪度

一計測結果と比較一

本章では，

国連統計を用いて世界36カ国に関する所得分布上でのローレ

ンツ曲線の歪度（β/α）計測の結果及びジニ係数測定の結果や五分位値で

の計測結果等を示す。Kakwani[5]の計測結果とも若干の比較を試みた

い。

まず，原資料について解説をしておく。原資料は, StatisticalPapers,

SeriesM,No.79,NationalAccountsStatistics :

Compendiumofln-comeDistributionStatistics,UnitedNations,NewYork,l985 2 ]

で，世界57カ国の代表的所得分布統計が収録されている。国によっては複

数の分布統計が掲峨されていたり，統計調査名やその方法だけが報告され

2）

以後, StatisticalPapers,M.No.79, と略記する。

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

ていて，統計表が掲戦されていない場合も多く，結局利用可能な36カ国に

ついての計測を試鍬た。各国の原所得分布統計の詳しい性格は，

StatiStiCalPaPers,MNo.79にSUmmaryTableとしてまとめられて

いるので， これを引用する （表I)。表は，左欄より， 国名・調査年・調

査方法の基本的性格・調査対象地域・調査対象人口の全人口に対する割合

・所得分布統計での全世帯所得の，国民経済計算における全世帯所得に対

する割合・所得受取単位・所得の種類(total=課税前,available=課税後）

の順である。また，表中の(a/)

(b//

)及び（数字,/

)は脚

注番号で，国際的ガイドラインからの例外の説明を示している。その脚注

も全て引用しておく。

さて，表ⅡはKakwaniによってなされた計測結果である。原資料の

調査年はぼぼ1960年代と象てよい。アジア， アフリカ，

ラテンアメリカそ

れに先進国という区別がなされている。最右欄R2は決定係数で大変よい

あてはまりを桑せている。

表Ⅲは，今回筆者が行なった計測結果である。Kakwaniの様式にまと

めたが，地域ごとにまとめることはせず，一人当りGNPの大きさで配

列を行なった。各国の経済発展は, Kakwaniに従いとりあえずドル建て

の国民一人当りGNPを採用した。 またR2の右欄にはα/βとGini係

数を示してある。調査年はSummaryTableによれば，ほぼ1980年であ

るからKakwaniの約15∼16年後の計測結果と考えてよい。 また一国が

複数の所得分布を報告している場合には，できるだけ課税前所得を採用す

るようにした。

表Ⅱに更に五分位階級別所得シェアを基にした下位40％，中間層40%そ

れにトップ20%とジニー係数それに("/13)が， それぞれ表4で比較さ

れている。α/βは先進国以外は大方lを上まわっていて， ジニー係数その

ものとはあまり大きな相関がみられず，

むしろ下位20%それに中間層40%

との相関が大きいように糸える。

10 152−

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

表Vでは, Kakwani同様表Ⅲに更に五分位所得階級別所得シェアを基

にした下位40％，中間層40%,それにトップ20%と最上位10%,

ジニー係

数， （α/β）が示されている。 （α/β）は全般的に小さくなっている。

lを

越えたものはBangladishとIndiaの2カ国だけである。 これには

Kakwani[5]で大きく lを上まわった国々の原資料が今回入手できなか

ったことが大きく影響している。 また， ここでも （α/β）はジニー係数よ

りも中間層40%,下位40%等に大きく相関しているように思われる。

153−

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

SummaryTable

表I

Coverage Concepts

ReClp.

Income

I/ Fam． TOIal Indiv- TO趾 l/2/ HOuSeh Total Househ Total Househ Total Househ AvaH． H“sEh Aval1． 4／ Househ To旧l HousEh Avall ‘ l/5/ Househ Tot曲I 7/8／ Househ Total I/10/ Family Total I/10／ AvaIl．

Reclp

Fam Indiv HOuSeh Househ HousEh Househ Househ Family

CoLmlry Yeal‐ Source Geog POP Na1.Acc

Ｊ ｊ ｊ Ｊ ｊ ｊ ■ ｂ ａ ａ Ｊ ａ ｈ ａ ｓ “ ｉ 噸 蠅

睡

・

蝿

他

昭

噛 噸 ・ ａ ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ 1978-79 _sImrey N曲t 77％ Tnxd2tH Nat 1976 _90％ Survey Nat､3/ 80% 1979 ｊｊ ａ ａ ４７８７７７ ３６７７７７ ９９９ １１１ ｙ ｙ ｙ Ｅ Ｅ ｅ 岬 岬 岬 Ｓ Ｓ Ｓ ｔ ｔ ｔ ａ ａ ａ ＮＮＮ

Belgium 1978 79 Survey Nat 99％

a/b/ BErmuda BOtswa皿 Brazil Bulgaria Canada 1982 _Survey Nat

Survey

1974 75 Rural a/ a/b/ Sut-vey Nat.6/ 97 5％ 1982 1982 Survey Nat survey Nat,9/ 98％ 1981 81% a/ 39／

Cz“h“lov&kja 1981 _Survey Nat HOuェh Avall

l/11/ Total l/]l/ Avall ， AvalI ， AvaⅡ、 AvaIl， Tolal l／ 7／ Avall． Denmark a/ a／ DominicanRep. EISalvador Finland France a/J a/b/ GonnanDem､Rep Survey Nat 1981 HOu壁h 12／ Survey Nat 1976 77 92％ Househ Hou配h Survey 1976 77 Nat Comb． Nat 1981 _77％ Househ Taxdam 1975 Nat 64％ 27／ HOuseh Surve)' Nat. 13/ Nat14/ 9]% Nat､ 14／ 1980 HousEh 15/ GGrmany, FedRep ｲｭヰ SuI,Vel’卓 1978 ／ 畠 Ｕ ︲０／ ○ 岳 Ｔ Ｉ _Househ Total Avall a/ 16／

Guattmala 1979 8］ _survey Nat Househ ToIal

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

表I つづき Coverage Concepts Inmme ]， 10/ Totnl l AvaU． ’

COuntry Year SO皿Ce _Geo9

_Pop

Nat.A“ Redp

a/ HongKong Hungary lndia lreland CEnsus 100% 1981 Nat HO11蛭h Survey Nat 99.7％ 1982 Househ a/

Survey

99％

1975-76 Nat _Family Total

1/ Total 17/1/ AvaU‘ 18/ Avall． l/10/ Total 4／ TOtal TOtal l7/ Avall、 16/ Avall． Survey Nat 65％ 1980 HOuseh

Ｊ

Ｊ

ａ ａ Israel Japan Malawi Mauritius Mexico 87％

1979-80 _Survey Urban Househ

19/ 15/

95％

1979 Survev′ Nat Househ

1979-80 Survey Urban Nat． HOuSeh a/ Survey 1980-81 Househ 15/

sIII-vey

1977 Nat HoⅢsEh 15／

Spain

SriLanka SWeden 98％

1980-81 _Survey Nat Housdl

a/ 30／ Survey Nat 198〔ﾄ81 Househ Total 32／ Total 32／ Avall ． l/2/7/ Total 1/2/7/ Avall． 31／ ｊ Ｊ Ｊ ａ ａ Comb 74％ 1981 Nat Family Tax payer 3[ｮn− tOnS S乳itzEr皿ld 1978 Taxd別哩 42％ 77％ a/ Thailand a/

T前nidadTobago

a/ Turkev UnitedKingdOm ■Fp l3／ Survey 197576 N日t HOuseh Total Ｊ５３１ ３ ｈ ｎ ｅ Ｓ ｕ Ｏ Ｈ ｊ 1975-76 _Survey Nat

_伽

卸

Ｖ

Ⅳ

１

剛

出

刷

訓

０ Ｖ Ｏ Ｖ Ｔ Ａ Ｔ Ａ S山･vey 1973 Nat Househ Sul-vey 1982 Nat HousEh −155−

ローレソツ曲線の歪度測定とその応用

表I つづき Q〕､c”ts lncome ）， CUverage Country URofTanzani3 USA a/ a/

Year SOur仁e _{Geog Pop} Nat,ACC _Reclp

Survevず Nat HOuseh 1976-77 30／ ｊ Ｊ ｊ Ｉ Ｉ Ｉ Ｊ Ｉ Ｊ ｊ ｊ ｊ ノ ノ Ｊ Ｉ ｊ ノ ０ ０ ６ ６ ８ １ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ０ ３ ５ ８ ８ ０ ７ ６ １ １ ３ １ ３ ２ ２ １ ２ ２ ２ ２ ２ ２ １ ｌ

ｊＪ

Ｊ Ｊ ｊ Ｊ Ｊ Ｊ １ ２

皿

泄

訓

趾

刷

刷

刷

趾

狐

ｌ

剋

叫

唾

狙

趾

函

切

剛

ｌ

弧

ｌ

副

ｌ

狐

ｌ

副

趾

剛

切

毎ⅡⅡ＆由ⅡⅡ凸七甲 １ ０ Ｖ ｖ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｖ ０ ０ ０ Ｖ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｖ Ｏ Ｖ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｔ Ａ Ａ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ａ Ｔ Ｔ Ｔ Ａ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ａ Ｔ Ａ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ 73％

SuI-veVず Nat 98％ H“sEh

1980

Umguay VeI1ezuela

Survey Urban HousEh

1983

Survey Nat 35/ HousEh

1981

37／ Househ a/

Yugoslavia 1978 Survey Nat

survey Nat

Zambia

Nepal NelhErlaF1ds

1974-75 Househ

Survey Nat Family

1976-77

survey Nat 98％ 70% HOuRfh

1981 a/ survey Nat NewZ理lHILd Nigeda Househ 1981-82

survey Nat Househ

1975

21/

Househ

Norway 1982 Comb Nat 98％ 75％

survey Nat 93.3％ P主igt2n Pmama Peru Phiuppmes Poland Rep･ ofKOrea 1979 HOuseh

survey Nat Househ

1983

Survey Urban22/ Househ

1977-78

a/ b/

Survey Nat Famly

1971

24／ qqﾉリヅノ

Survey Na［ Househ

1983

26／ 12/

Survey Urban Househ

1981 a/ Rounlon Romania SeycheMEs Singapore

Survey Nat HOuseh

197677

Survey Nat Family

1976

a/

a/b/

SIIvey Nat _98％ HOuseh

1978

29／ 12/

Sm-vevヴ Nat Househ

1977-78

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

表I つづき

(Footnotestothesummarytable)

a

QuintiledistributionhasbeenestimatedbvtheUnitedNations

b

Qumtiledistributionisbasedonpercapitaratherthanhouseholdincome

1

Excludingimputedrentofowneroccupieddwellings.

2

Excludingtransfersreceived-3

Coveringthetwolargest islandsonly.

4

Excludingvalueofproductionforownconsumpti0n,

5

Excludingvalueoftransfersreceivedmkind.

6

Excludingthenorthernregi0n.

7

Excludingpropertyincome,

8

1ncludesthevalueoffreeeducationandmedicalsenrices-9

Excludingresidents ofYukonandNorthwestTerritoriesand lndian

reserves‘

10

Excludingincomeinkind.

11

Excludingwagesandsalariesinkind.

12

Excludingone-personhouseholda

l3

Excludinghouseholdsofconectivefarmersandpensioners.

l4

ExcludinghouseholdswithanetmonthlyincomeofDM20,000andover.

l5

Excludingboardersandservants

16

1ncludingnonregulartransfersandotherextraordinalyincomesuchas

saleofproperty.

17

Socialsecurityandpensionfundcontributionsarenotdeducted.

l8

1ncludingimputedvalueofownedautomobile,

19

Excludinghouseholdswhoseheadswereengagedsolelyormainlyin

agriculture,forestryandfishery.

20

1nterestpayments,pensionpremiums,insurancepremiumsandperiodic

paymentshavebeendeducted.

21

AhouseholdnevercomprisesmorethancnemaITiedcouple.

22

Coveringl3maincities.

(Footnotestothesummarytable) (continued)

23

Excludinginterestandscholarships.

24

Excludingpersonswho

are

selfemployedm

industries

other than

agriculture.

25

1ncludingincomefrompropertysalesandnetchangesinsavingsdeposits,

creditsandloans.

26

Excludingfarmers' househo1ds, fishermen'shouseholdsandhouseholds

whoseincomeandexpenditurearedifficulttoestimate,

27

Figureprovidedbvthenationalstatisticalauthority，

28

Excludinggrossentrepreneurial incomeofunincorporatedenterprises

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

表I つづき

Coveringthemainislandonly.

Includmglodgers,

Childrenoverl8yearsofageresidmgwiththeirparentsareconsideredas

separatehouseholds@

Excludmgprivate transfersreceivedandtax-free fringebenefits from

employment-Coveringtheninemajoradmmistrativeareas.

Excludingremittancesfromabroad.

Socialsecurityandpensionfundcon-tributionshavenotbeendeducted.

Excludmgindigenous(jungle)population

Only income fromwork

(including tips and commissions)

anden-trepreneurialactivitiesismcluded､

Excludmgboarders.

ExcludmginterestanddMdendsreceived-InComedataarePresentedonPercapitabasisonly.

29 30 31 32 ３ ４ ３ ３ ５ ６ ３ ３ 37 38 39 -158-16

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

ParameterEstimateSoftheNewCoodinateSystemfortheLorenzcurve

表Ⅱ

GDP

percap",197U

a " " R2

CO””

Y“r

PDpuIaけ0打

イリS伽胎Itsノ a

〃

R2

Asia Indonesia India Pakistan Malavsia SriLanka

HongKImg

Korea Taiwan

Philippines

Thailand SouthVietnam Africa

Madagascar

IvoryCoast

Dahomey

Malawi Chad Tanzania

senegal

Uganda

SierreLeone Sudan LatinAmerica

ATgentina

Chile Venezuela CostaRica Colombia 1971

1964/65

1970/71

1970

1969/70

1971 1971 1964 1971 1970 1964

Incomerecipients

Incomerecipients

Households

Percapita

Households Households Households Households HOuseholdS Households(urban) Households 101 98 353 174 745 260 259 183 235 0.342 0,368 0.295 0.458 0.370 0.386 0.323 0.282 0‘478 0.377 0.304 0.843 0 820 0.887 0.893 0,974 0 879 0,867 0.817 0.915 0.924 0.832 0.488 0.606 0.770 0.795 0‘869 0.786 0.797 0.754 0.897 0912 0．823 0.996 0.998 0.999 0.999 0‘999 0998 0.999 0.999 0.999 0 998 0．999 1960 1959 1939 1969 19ﾖ8 1967 1960 1970

1968/69

1963

Population

Population

Population

Households

Population

Households

Population

Africanmale HOuSeholds Households 0.473 0 373 0．353 0411 0．315 0 458 0569 0.369 0.551 0.438 0.949 0.893 0‘792 0913 0-878 0945 0969 0.888 0,847 0928 0 624 0,615 0.554 0.715 0.701 0.756 0.851 0.829 0.821 0,913 0 996 0.990 0,995 0.999 0.988 0,995 ().996 0．999 ().998 ().999 347 74 100 217 135 177 117 HOuseholds HousehOldS

Economicallyactive

population

Percapita

Economicallyactive

population

'961 1968 1971 1971 1970 1,078 684 999 544 409 0,964 0.939 0.977 0.941 0‘984 0.395 0.466 0.606 0‘452 0．557 0.730 0. 780 ()‘853 0 839 0．905 0.993 0.999 0 998 0.999 0.999 −159

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

表Ⅱつづき

GDP

perdaplla,〃"）

CDImrly

YEar

POpulatjon

((JS.do脆応ノ a

α

β

R2

Households Households Households

Economicallyactive

population

PoplllatiOn

Households(urban)

Economicallyactive

population

Brazil l970 Mexico

l967/68

DominicanRep. 1969

Panama 1969

EISalvador

l965/67

ECuadOr 1968 Barbados i969/70

DevelopedCountries

UnitedStates l970 Sweden 1963 Canada 1965 Denmark l963

WWFed !96'

Austraiia

l967/68

Norway

l963 France 1962 Netherlands 1967 Finland l962

NewZealand

l970/71

UnitedKingdoml968

Japan

I968 Greece

l957/58

Hungary

l967

Yugoslavia

1968

Spain

l964/65

391 682 363 731 291 269 639 0576 0.501 0.473 0.533 0.537 0.531 0.352 0.978 0.930 0.929 0.925 0,95(） 0,959 0.733 0.911 0-861 0‘868 0.868 0.921 0.940 0.763 0.999 0.999 0.999 0,999 {),998 0．999 ().991

Percapita

Incomerecipients

Households

Incomerecipients

Households HouSeholdS

IncomereCipients

Households

Incomerecipients

Incomerecipients

Incomerecipients

Households Households HouSeholds

Population

Households HouSehOldS 4.747 4､090 3,874 3, 17(1 3,049 2,932 2,932 2,889 2.408 2,213 2# 195 2｢ 139 1,911 1,094 1 ,037 957 0,284 0,368 0.301 0.343 0.315 0.274 0 299 0.418 0.397 0.426 0､320 0315 0.330 0.342 0.202 0.315 0.364 0 769 0.807 0,805 0.792 0848 0.763 0‘686 0,838 0,811 0,792 0.739 {) 828 0.733 0.848 0 664 0.823 0.870 0 847 {),879 {).871 0,849 0.912 {),818 0.819 0‘893 0,822 0.881 0,852 0.910 0.796 0,812 0､791 0.862 0.854 0.996 0,993 0.998 0,997 0.998 0998 0.998 0.996 0 994 0.996 0990 0.995 0.999 0.999 0.999 0.999 0997 160− 18

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

ParameterEstimatesoftheNewCoordinateSvstemfor

theLorenzCurvefor36Countries

表Ⅲ

R"

"/8"ni

_{α／ jフ}

_{a'/ j]}

_index

国名

GNPI人

A

a

β

Bahrlmas

Bangladesh

India Snlanka Pakistan EISalvador

PhiliPpines

RepublicofKorea

Brazil Mexico

Yugoslavm

Umglla)'

Poland Israel

Bulgalia

Hungaly

HongKong

Singapore

ITeland

Spain

CzEchoslovakia NewZEaland

GermanDemocraticRePubl忙

UK. Finland Australia

japan

Canada US､A. Netherlands

Belgium

NoTway

Denmark Sweden

Germany, FederalRepublicof

Switzerland -0.880169 -0.936949 -0.705952 l14716 0 58675 0 923805 -0.742193 -1.3112 0.446524 -0.746053 -1, 14945 -0.916854 -160937 -1.00825 -1.63328 l33647 -0991013 -0.912206 1 .N421 1.26388 -l57643 -112965 二1 ，78858 -lO8177 -lO5047 lO2918 llO644 1.01682 -0.971328 =1.38742 -1.38344 -1 ､ 1201 -l02653 -105683 0.769562 -1 .23632 0‘844弱2 0877肘5 0 938705 0,788426 0.992672 0.897 0.904559 0 827709 1.02751 0.904383 0.804242 0 884676 0709136 0 858332 0,717148 0.762498 0 836428 0 797358 0846531 07帥43 0.71097 0.789752 0 571067 0829905 0 839634 0.832989 0.773722 0 840202 0837127 0796782 0 768023 0825703 0.888857 0,843729 0.924723 0.684104

蠅

蝿

沁

榊

郷

辨

刑

岬

蝿

恥

岬

蠅

捌

淋

剛

岬

岬

岬

蠅

轆

蠅

蠅

州

蠅

恥

蜘

恥

馳

鋤

幽

岬

蠅

蠅

鯉

繩

蜘

へ Ⅱ Ⅱ ﹀ ＋ 牛 ■ １ １ １ 。 ■ 皿 叩 廿 ｌ Ｉ Ｌ 。 ︿ 汕 叩 ﹀ や 。 千 七 ｂ 几 叩 即 Ｐ ‘ Ｔ Ｉ １ ｎ ｕ ︾ ｎ 日 、 ︾ 一 恥 ﹄ ｎ ｐ ｆ ﹄ 、 叩 Ｕ ︹ Ⅲ Ⅱ ︾ 、 ノ ﹄ 一 ｎ ｘ Ｕ ｎ ｍ Ⅷ ︶ ︵ 叩 Ｔ ︾ ｎ ︺ ， ︾ ｎ 世 胴 ︺ ︹ 叩 伊 ﹄ ｎ Ｈ ｎ 宅 よ 用 噛 判 上 〃 些 且 八 Ⅱ 叩 ロ ハ Ⅱ Ⅱ ﹀ ︹ Ⅱ Ⅱ ﹀ ・ 戸 ・ 屍 Ⅱ ︾ 八 Ⅱ 叩 ︺ ︹ 耳 、 ︸ 八 Ⅱ Ⅱ Ｕ 八 帥 叩 Ｕ 、 ， 、 ︺ Ｆ 屍 Ⅷ ︾ １ Ｉ Ｌ 由 ｑ 岨 凸 子 ﹄ １ Ｕ 、 ノ ﹄ ｎ 日 、 ︶ へ 咄 ｍ Ｕ ︵ Ｕ Ｒ Ｕ 再 Ｊ Ｉ Ｆ ｎ Ｊ Ｌ 。 ｒ ｎ ︺ ｎ ｕ Ｊ ｎ 吋 胴 ︺ 庁 ︿ 川 舛 剖 品 Ⅱ 円 ㎡ 。 ． ︵ Ⅱ 司 祉 ｑ ｎ Ｈ ｎ ︶ ︹ 叩 丸 Ｕ ｎ ｕ Ｊ ︹ Ｍ ｘ Ｕ 、 岬 リ 。 ｎ 助 剖 ・ 盛 Ⅲ Ⅷ Ｕ ︵ ｍ 嵩 Ｕ ・ ・ ・ ・ ︹ 州 ｗ Ｊ 師 氏 ︺ ｂ ｎ ｕ Ｊ ｎ 瓦 、 時 価 牡 、 ﹀ ｎ ｕ Ｊ 旦 、 Ⅱ ﹃ ぜ ︻ Ⅱ ﹃ ﹀ ｎ エ Ｕ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ 。 ■ Ｉ Ⅱ 凸 ｎ 叩 Ｕ ■ ■ Ⅱ Ⅱ Ⅱ ロ ■ Ⅱ Ⅱ 凸 ・ ・ ︲ ■ 。 ■ ■ 十 七 十 千 Ⅱ Ⅱ Ⅱ ■ ｎ Ⅱ 叩 ﹀ ︹ 叩 Ⅱ 叩 咄 ﹁ へ 、 Ⅱ Ｕ ｎ Ⅱ 叩 ﹀ ｎ Ⅱ 叩 ︺ 、 Ⅱ 叩 ﹀ 品 川 Ⅷ ｕ 盛 皿 、 叩 ︾ ｎ 叩 ｍ Ｕ 09約352 09鮒966 0.999802 0.995509 0‘997455 0‘999398 0,999832 0,999875 0､992123 0 999889 0.999879 0.鮒8403 0997837 0.99802 0‘9998 1(198133 0,999571 0.999851 0.998923 0.僻9523 0997087 0999758 1),99955 0,998839 0 99573(｝ 0.996962 0 9997 0.997375 0.997429 0.998908 0997474 0998001 0997567 0 998683 0､998941 0.998735 088933 1 ,273 1.00177 0.956194 0917375 0987796 0,975433 0,953387 0,999828 0.帥9863 0.875041 0.995128 0.863441 (}’872128 0.852741 0805451 0.919404 0.880918 0.808454 0 967597 0 823993 0 726777 0,673634 0.757876 0835159 0887308 0 896844 0746835 0.887802 0.935383 0.93151 0.835391 0812745 0 853302 0.953062 0,832932 0.419063 0,448796 0.433313 0,355926 0.500631 0.403874 0-483548 0-291739 0.567751 0466054 0333966 0､4IOO85 0.232375 0.366942 0221682 0 276449 0.391028 0.420064 0.362N5 [1.316578 0.237686 0.323071 0.208743 0.332199 0352214 0370443 0.366345 0.347243 0.397187 0.274539 0,283509 0334341 0.337918 0 34927 D.450898 0 331417 120 240 270 300 590 720 1520 2050 2130 2620 2820 3鮒0 4055 4150 4180 421(} 4480 4880 53S0 5820 7090 7I80 7920 9720 9820 98帥 lOI30 11360 1l470 12180 12650 l2950 13520 13390 16440

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

IncomeShares,Ginilndex,andaMeasure

ofSkewnessoftheLorenzCurvein50Countries

表Ⅳ

jrmme s畑IFDf 加from" perrenf IIIcOme shareOf m虹dle40 per℃e“ Inccme shareOf

mp20

per℃ent Gini mdex '，− α/ﾉブ

"IJnfry

Asi且 Indonesia India Pakistan Malavsia SriLanka

HongKong

Korea Taiwan

Phnippines

Thaihnd SouthViemam

Avemge

Afnca

Madagascar

IvolyCoast

Dahomev Malawi Chad Tanzania

Senegal

Uganda

SielTeLeone Sudan

Avemge

LatinAmenca

Argentina

C棚e Venezuela CostaRica Colombia Brazil Mexico DominicanReD Panama 17.3 15.5 20．6 12.4 17,9 15.6 18．7 20．3 11.9 16.8 19．2 (16.9) 30．7 32．6 37．9 32．6 36‘5 35，4 37，9 38．9 34. 1 38．0 39．5 (35.8） 520 51.9 41､5 55．0 45．6 49,0 43．4 40．8 54．0 45．2 41.3 (47.2） 0．462 0.467 0．33 0.504 0.378 0430 0.360 0‘329 0.494 0.385 0.340 (0.407） 1.725 1.352 1 . 152 1 . 123 1. 121 l118 1.088 1.084 1.020 1.014 1 .010 0.562 0.456 0．467 0.470 0.369 0.503 0.587 0.401 0.612 0.446 (0.487) 1.520 1.453 1.428 1.277 1.253 1.25 1 . 139 1.071 l031 1.016 13.0 165 15.8 150 19.3 135 9．4 16.6 7．2 13.9 (14@O2) 26．9 31.7 32．5 32. 1 35．9 308 28. 1 36．8 30．0 36．0 (32.08） 601 51.8 51,7 52.9 44.8 55.7 62．5 46.6 62.8 50. 1 (53.9） 16.6 13.0 8.2 13.6 10. 1 9.2 11,2 12.4 9．8 32.5 31.2 26.4 33.2 29.8 29.3 31.9 33.3 30.8 ９ ８ ４ ・ り と ｌ ・ 旬 、 朝 ３ ４

■○十号■■■中中

０ − ３ 二 Ｊ ３ ｎ Ｕ ｌ 律 ０ ４ ９ ９ ニ コ ニ ３ 行 ｂ Ｆ ３ 練 り 掠 り 一 ひ − ３ こ り 0.437 0.506 0.622 0､416 0.弱7 0‘574 0‘524 0.493 0.557 1 ．321 1,203 1. 146 ll22 1.088 1,074 1,081 1.071 1 ‘066 −162− 20

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

表Ⅳつづき IhcOme sﾉ]arecf middle40 per℃e“ IIIcOme sharecf

tpp20

percenf IDcome shame0f 加"m" β巴1℃e“ Ginj index ／角 α/ﾉブ

②“[〃

1,031 1.021 0.960 EISalvador Ecuador Barbados

Average

DevelopedCountries

UnitedStates Sweden Canada Denmark

Gennany,Fed.Rep- of

AuStralia

Norway

France Netherlands Finland NewZealamd

UnitedKingdom

Japan

Greece

Hungaly

Yugoslavia

Spam

Average

3L8 32．3 38．4

(31.7)

ｊ ｌ ｌ ９ ６ ８ ︻ ｆ ６ ６ ５ ５ ４ 幅 ｊ ｑ ｕ ︽ ｂ ︿ ０ 戸 ０ ， Ｊ り と リ ﹄ も １ 戸 ， Ｐ ３ ４ △ Ｐ ３ ０ ０ ０ ０ く 10． 1 10‘5 14､7

(11.6)

41､4 39．5 41．0 39．7 40．8 41. 1 41-9 35ゞ3 37‘0 37．9 41-3 4L2 39．9 37．9 42．7 40.2 38‘O

(39.8）

39- 1 43.3 40.0 44.0 40､3 38.9 41.0 54.7 49.3 50‘4 42‘0 40‘3 44. 1 44‘7 33．6 41.4 45．5

(43. 1）

19．5 16､0 19.0 163 18-9 20．0 17. 1 10.0 13.7 1L7 16．7 18．5 16､0 17､4 23‘7 184 16-5

(17.0)

0．406 0 333 0．386 0．334 0.318 0．362 0.518 0.449 0，473 0､371 0 362 0.393 0.381 0-251 0．347 0．393

(0.380）

0-918 0.924 0.932 0.930 0.933 0.838 0.939 0‘987 0.899 0.867 0.838 0,921 1-045 0‘839 0.955 1.019 −163−

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

IncomeShares,Ginilndex,andaMeasureofSkewnessof

theLorenzCurvein36Countries

表V

bottom40%

middie40% top20% heighestlO%Giniindex

m/#

country Australia AustI-ia BahamaS

Bangladesh

Belgium

Bermuda Botswana Brazil

Bulgaria

Canada Czechoslovakia Denmark

DommicanRep.

Elsalvador Finland France

GennanDem,Rep

Germany' FedRep

Guatemala

HongKong

Hungaly

India Ireland Israel

Japan

Mauritius Mexico

Nepal

Netherlands NewZealand NorwaV Pakistan Pem

Philippines

Poland

RepofKorea

Singapore

19. 1 14.2 13.2 17- 1 21.6 20.2 l2 8.2 24.3 15.6 24.4 15.9 12.7 155 18.4 13-6 29‘3 18 13-7 13.8 20.5 14.6 15.4 18.3 13. 1 11.5 11 ．4 9.4 20.2 15.9 17 42.3 40.7 38.7 36 42.4 30‘4 30.4 28. 1 29.7 42.9 39.8 43.9 30.8 37.2 43.9 36.5 40.9 42.4 29.9 34.2 43.7 35 41.3 41-7 30 18 34.8 26. 1 40.8 39.4 43 38.6 45､ 1 48､ 1 46.9 36 39 4 57.6 63.7 36 41.6 35‘8 40 2 56.5 47.3 37.6 49.9 29 8 39.6 56 4 52 35.8 50.4 43‘3 40 36.9 60.5 53‘8 64‘5 38.9 44.7 40 23.2 28‘7 32. 1 32 21.5 24.7 42 48.3 22‘5 25 21.8 24 41､7 29.5 217 34.5 17.5 24 42. 1 37‘3 20.5 34.9 26.5 24.4 22.7 46.7 36.3 50.7 23.9 28.7 23‘7 0.370443 0 887308 0-419063 0.88933 0.448796 1.273 0､283509 0.93151 0567751 0.221682 0.347243 0.237686 0.337918 0.999828 0-852741 0.746835 0‘823993 0.812745 0‘403874 0‘987796 0'352214 0,835159 0.208743 0.673634 0.450898 0.953062 0､391028 0.276449 0.433313 0.362005 0.366942 0.366345 0.999571 0-805451 1.00177 0,808454 0.872428 0.896844 0.466054 0､909865 0.274539 0.323071 0-334341 0.500631 0.935383 0.726777 0.835391 0.917375 16.5 11.3 24,6 21 16.8 ４ 牛 ？ ﹄ 句 Ｉ ４ 凸 ４ 凸 ． 、 中 甲 ｎ 部 Ｊ ｎ ｘ Ｕ ｎ が ／ ﹄ ｎ 叩 Ｕ ｎ 時 ゾ ハ タ 、 ︺ 、 凸 、 ︺ ︲ 剤 ｕ Ｌ ｎ 年 ← ︺ 45.2 56.5 34‘7 39.6 49.2 28‘4 40.9 2{).6 24.5 34.4 0.483548 0.975433 0.232375 0-863441 0.291 0.420064 0.880918 22 −164−

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

表Vつ-づ封1−

bottom40%

middie40% toP20% heighest 10%Gimindex

a/#

countIT

smgapore

Spam

SriLanka SWeden Switzerland 'I1IHiland Turkev

UnitedKingdom

U.S.A,

Uruguay

Yugoslavia

16.8 19.4 16.2 17,3 18.6 13.3 11 .4 16､8 14､3 16,9 19､9 34 40．5 34 41.7 40 29.6 31.9 42.3 40‘8 37‘8 40‘3 49.2 40 49．8 41 41.4 571 56.7 41 44.9 45.3 39.8 344 24‘5 35.2 24.6 27 42.8 41 .5 24.8 28.2 29.3 24.7 0.420064 0.316578 0,355926 0.34927 0､331417 0.880918 0.967597 0956194 0.853302 0.832932 0.332199 0.397187 0.410085 (}､333966 0‘757876 0 887802 0.995128 0.875041 165−

ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

〔Ⅳ〕

むすびにかえて

本稿で考察した結果を以下箇条吾きにする。

l )

[n]でKakwani[5]によって示された， ローレンツ曲線の歪

度測定の方怯を紹介した。

2）

その歪度測定方法を用いること

によって国連統計の世界86カ国の所得分布統計で，

いわゆるクズ

ネッツ仮説が確認された。

3）

約15年前, Kakwani[5]によっ

てなされた，世界50カ国の測定結果との比較を行なった。その結

果，両者の原資料が完全にマッチしているとはいえず，特に最低

所得層諸国に関しては今回ほとんど資料が入手できず， 良い比較

ができなかったと言わざるをえない。 4）

しかし，全般に（α/β）

の水準は低下し，

ローレンツ曲線の( 1 ,

1 )方向への歪盈の程

度が進んでいることがわかった。また((I/5)はジニー係数そのも

のよりも五分位値での比較が優れていることを示した。

5）

したがって，

ローレンツ曲線の歪度（α/β）はジニー係数や五分位

値等の尺度に対して補完的に並用されることが望ましい3も

〔付記〕

本稿は，昭和62年度文部省科学研究補助金（奨励研究A)による

研究成果の一部である。

3）

篭者はほかに二つの試算を行なった。一つは我国の就業構造基本鯛査（昭

和31年∼昭和57年）を用いてクズネッツ仮説を時系列的に確認しようとした

ことである。

しかし結果は，残念ながらこの仮説がたかだか20∼30年の時系

列ではとうてい確認できるものではないことを示すものであった。いま一つ

は，通常3次モーメントにもとづく歪度係数として知られるものを〔Ⅱ〕で

得られたり， 席に適用して新たな尺度を提示しようとしたことである。 ここ

でも結果は満足できるものではなかった。今後，検討を加えるつもりである。

24

-166-ローレンツ曲線の歪度測定とその応用

参考文献

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