中 学 校 数 学 第 ２ 学 年 ３ 一 次 関 数 ［ 問 題 ］

中 学 校 数 学 第 ２ 学 年 ３ 一 次 関 数

［ 問 題 ］

中 学 校

年 組 号 氏 名

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■練習問題①

円 柱 形 の 容 器 に 水 を 入 れ る 実 験 で ， 水 を 入 れ 始 め た と き の 水 面 の 高 さ を 調 べ る 実 験 を し ま し た 。

右 下 の 図 は ， は じ め に 水 が

２ ｃ ｍ

入 っ て い る 容 器 に 水 を 入 れ る 場 合 ， 水 を 入 れ 始 め て か ら の 時 間 と 水 面 の 高 さ と の 関 係 を ５ 秒 ご と に

３ ５

秒 ま で か き い れ た も の で す 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 水 を 入 れ 始 め て か ら ，

２ ０

秒 後 の 水 面 の 高 さ を 求 め な さ い 。

(2) か り ん さ ん は ， こ の グ ラ フ を 見 て ，「 水 を 入 れ 始 め て か ら の

x

秒 後 の 水 面 の 高 さ を

y ｃ ｍ

と す る と ，

y

は

x

の 一 次 関 数 と み る こ と が で き る 。」 と 考 え ま し た 。

「y は

x

の 一 次 関 数 と み る こ と が で き る 」 の は ， グ ラ フ の ど の よ う な 特 徴 か ら で す か 。 そ の 特 徴 を 説 明 し な さ い 。

(3) か り ん さ ん と け い た さ ん は ，「 こ の ま ま 水 を 入 れ 続 け る と ，

２ ２ ｃ ｍ

に な る 時 間 は 何 秒 だ ろ う か 。」 と 話 し 合 っ て い ま す 。

か り ん さ ん こ ん な 方 法 を 思 い つ い た よ 。

ど ん な 方 法 な の 。 説 明 し て み て よ 。

け い た さ ん

x

と

y

の 関 係 を 表 し た グ ラ フ を の ば し て ，

２ ２ ｃ ｍ

に な る 時 間 は 何 秒 後 か を よ み と る 方 法 だ よ 。

で も ， そ の ま ま グ ラ フ を の ば し て も ， グ ラ フ 用 紙 の 外 側 に な っ て よ み と れ な い わ よ 。

水 面 の 高 さ が

２ ２ ｃ ｍ

に な る 時 間 は 何 秒 後 か を 求 め る に は ， け い た さ ん の 考 え た 方 法 の ほ か に ， ど の よ う な 方 法 が 考 え ら れ ま す か 。 そ の 方 法 を 説 明 し な さ い 。

た だ し ， グ ラ フ 用 紙 を つ ぎ た し た り ， 目 盛 の 取 り 方 を 変 え て か き 直 し た り し て ， グ ラ フ を の ば す こ と は で き な い こ と と し ま す 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■練習問題②

か り ん さ ん は ， 家 か ら

８ ０ ０ ｍ

離 れ た ， 公 園 に 遊 び に 行 き ま し た 。 行 き は ま っ す ぐ に 公 園 に 行 き ， 帰 り は 途 中 に コ ン ビ ニ エ ン ス ス ト ア が あ っ た の で ， そ こ で ジ ュ ー ス と お 菓 子 を 買 っ て 家 に 帰 り ま し た 。

下 の 図 は ， か り ん さ ん が 家 を 出 て か ら の 時 間 と ， 家 か ら の 距 離 の 関 係 を 表 し た グ ラ フ で す 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) グ ラ フ か ら か り ん さ ん は 公 園 で ， 何 分 間 遊 び ま し た か 。

(2) コ ン ビ ニ エ ン ス ス ト ア は ， 家 か ら 何

ｍ

の と こ ろ に あ り ま す か 。

(3) け い た さ ん が か り ん さ ん の 家 に 行 く と ，か り ん さ ん は 家 を 出 発 し た 後 で し た 。そ の た め ， け い た さ ん は ， か り ん さ ん が 家 を 出 た

１ ５

分 後 に か り ん さ ん の 家 を 出 発 す る と ， 公 園 に 到 着 し て か ら ， か り ん さ ん と

１ ０

分 間 い っ し ょ に 遊 ぶ こ と が で き ま し た 。

か り ん さ ん が 公 園 ま で 行 っ た と き の 速 さ と け い た さ ん が か り ん さ ん の 家 か ら 公 園 に 行 っ た と き の 速 さ と ど ち ら が 速 い で す か 。 下 のア，イの 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。 ま た ， 選 ん だ 理 由 を 説 明 し な さ い 。

ア か り ん さ ん が 自 分 の 家 か ら 公 園 ま で 行 っ た 速 さ

イ け い た さ ん が か り ん さ ん の 家 か ら 公 園 ま で 行 っ た 速 さ

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■練習問題③

花 子 さ ん は ， 新 聞 記 事 で 「 標 準 体 重 」 と い う 言 葉 を 見 て ， イ ン タ ー ネ ッ ト で 調 べ て ま と め て み た も の で す 。 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

花 子 さ ん の ま と め

標 準 体 重 と は ， 健 康 的 に 生 活 が で き る と 統 計 的 に 認 定 さ れ た 理 想 的 な 成 人 の 体 重 の こ と で あ る 。 そ の 算 定 方 法 は い く つ か あ る が ， 日 本 で 簡 易 に 用 い ら れ て き た 算 出 方 法 は ， ブ ロ ー カ 式 桂 変 法 と い う も の で あ る 。 そ の 求 め 方 は ， 次 の と お り で あ る 。しき か つら へ ん ぽう

標 準 体 重 (kg)＝ (身 長 (

cm)－ １ ０ ０

)× ０ .９

・ ・ ・ ・ ・ ①

(1) 花 子 さ ん は ， 自 分 の 標 準 体 重 を 計 算 す る こ と に し た 。 花 子 さ ん の 身 長 が

１ ６ ０ cmの と き ，

標 準 体 重 を 求 め ， 答 え を 次 の 中 か ら 選 び な さ い 。

ア 約４ ２ kg イ 約

４ ６ kg

ウ 約５ ０ kg

エ 約５ ４ kg オ 約

５ ８ kg

(2) 花 子 さ ん と 梅 子 さ ん の 身 長 の 差 が

７ cmの と き ， ２

人 の 標 準 体 重 の 差 は 何

kgで あ る と 考 え

ら れ る か 求 め な さ い 。

(3) 花 子 さ ん は さ ら に 標 準 体 重 に つ い て 調 べ る と ， 次 の よ う な こ と も 分 か っ た 。

成 人 女 性 の 標 準 体 重 の よ り 簡 単 な 求 め 方 と し て ， 次 の よ う な 方 法 が あ る 。

標 準 体 重 (kg)＝ 身 長 (cm)－ １ ０ ５

・ ・ ・ ・ ・ ②

① の 式 か ら で も ， ② の 式 か ら で も 標 準 体 重 が 同 じ 値 に な る の は ， 身 長 が 何

ｃ ｍ

の 成 人 女 性 で あ る か 求 め な さ い 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■練習問題④

下 の 図 の よ う な 長 方 形

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

の 周 上 を ， 点

Ｐ

は ， 毎 秒

１ ｃ ｍ

の 速 さ で ，

Ａ

か ら

Ｂ

，

Ｃ

を 通 っ て

Ｄま で 移 動 し ま す 。 Ｐ

がＡを 出 発 し て か ら

x

秒 後 の

△ Ｐ Ａ Ｄ

の 面 積 を

y ｃ ｍ

^２と し ま す 。

一 郎 君 ， 二 郎 君 ， 花 子 さ ん た ち は ， そ れ ぞ れ 次 の よ う に 考 え ま し た 。

点Ｐが

Ａか ら Ｂ ， Ｃ

を 通 っ てＤま で い く と き ，

△ Ｐ Ａ Ｄ

の 面 積 は ， い つ も 等 し く な る の か な あ 。

一 郎 君

そ ん な こ と は な い よ 。 点 Ｐ が 動 く に つ れ て ，

△ Ｐ Ａ Ｄ の 面 積 は 変 わ る は ず だ よ 。

二 郎 君

そ う よ ね 。 で も ， ど こ で ど う 面 積 が 変 化 し て い く の か し ら 。 調 べ て み た い わ 。

花 子 さ ん

１ ０cm Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｐ

６cm

３ 人 は ， そ れ ぞ れ 次 の 区 間 に 分 か れ て 考 え る こ と に し ま し た 。 一 郎 君

僕 は 点

Ｐ

がＡ か ら Ｂ ま で の区 間 で ， 面 積 の 変 化 を 考 え て み る よ 。

二 郎 君

じ ゃ あ ， 僕 は 点

Ｐ

がＢ か ら Ｃ ま で 動 く と き を考 え る よ 。 こ の と き は ，

△ Ｐ Ａ Ｄ

の 面 積 は い つ も 等 し く な る よ 。

花 子 さ ん

私 は ， 点

Ｐ

がＣ か ら Ｄ ま で 動 くと き を 考 え る わ 。

こ の 区 間 で は ， だ ん だ ん 面 積 が 小 さ く な る 感 じ が す る の よ ね 。

次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 二 郎 君 は 「 点 Ｐ が Ｂ か ら Ｃ ま で 動 く と き ，

△ Ｐ Ａ Ｄ

の 面 積 が い つ も 等 し く な る 。」 と い っ て い ま す 。

△ Ｐ Ａ Ｄ

の 面 積 を 求 め な さ い 。 ま た ， な ぜ そ う な る の か 説 明 し な さ い 。

(2) 一 郎 君 ， 二 郎 君 ， 花 子 さ ん の

３

人 は ， そ れ ぞ れ の 区 間 で の

△ Ｐ Ａ Ｄ

の 面 積 の 変 化 を ， グ ラ フ に 表 し ま し た 。 下 の 方 眼 用 紙 に ， そ の グ ラ フ を か き 入 れ な さ い 。

１０

O ５ １０ １５ ２０

２０ ３０ y

x

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■練習問題⑤

下 の 表 の よ う な ， ２ つ の ろ う そ く が あ り ま す 。

長 さ

（ ｃ ｍ ）

１ 分 ご と に 燃 え る 長 さ

（ ｃ ｍ ）

赤 い ろ う そ く

２ ４ ｃ ｍ ２ ｃ ｍ

白 い ろ う そ く

２ ７ ｃ ｍ ３ ｃ ｍ

か り ん さ ん は ， ２ つ の ろ う そ く に つ い て ， ろ う そ く の 長 さ

(ｃ ｍ )と 時 間 (分 )の 関 係 に つ い て ，

調 べ て み よ う と 思 い ま し た 。 次 の (1)か ら (4)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 赤 い ろ う そ く に 火 を つ け て か ら ，

５分 後 の ろ う そ く の 長 さ を 求 め な さ い 。

(2) か り ん さ ん は ， 白 い ろ う そ く に 火 を つ け て か ら ，

x (分 )燃 え た と き の ろ う そ く の 長 さ

を

y (ｃ ｍ )

と し て 右 の グ ラ フ に 表 し ま し た 。

赤 い ろ う そ く に 火 を つ け て か ら ，

x (分 )燃

え た と き の ろ う そ く の 長 さ を

y (ｃ ｍ )と し て ，

グ ラ フ に 表 し な さ い 。

(3) 赤 い ろ う そ く と 白 い ろ う そ く に 同 時 に ， 火 を つ け 始 め る と ，２本 と も ち ょ う ど 同 じ 長 さ に な る 時 間 が あ り ま す 。 そ の 時 間 を 求 め な さ い 。 ま た ， ど の よ う に し て 求 め た か 説 明 し な さ い 。

ろ う そ く の 燃 え た 時 間

(分 )と

ろ う そ く の 長 さ

(ｃ ｍ )

(4) け い た さ ん と か り ん さ ん は ，「

２

本 の ろ う そ く を 同 時 に 燃 え 尽 き る よ う に す る た め に は ， ど う し た ら よ い だ ろ う か 。」 と 考 え て い ま す 。

こ ん な 方 法 を 思 い つ い た よ 。

赤 い ろ う そ く を

６ ｃ ｍ短 く す る 方 法 だ よ 。

な る ほ ど ， 短 く 切 る こ と に よ っ て ， 燃 え 尽 き る 時 間 を 等 し く す る ん だ ね

で も ， 切 ら な い で ， 同 じ 時 間 に 燃 え 尽 き る 方 法 は な い か な 。 切 り た く な い な 。

う ー ん 。 ろ う そ く に 火 を 付 け る 時 間 を ず ら す と ， で き る と 思 う よ 。

赤 い ろ う そ く と 白 い ろ う そ く が 同 じ 時 間 に 燃 え 尽 き る よ う に し た い と 思 い ま す 。 そ の た め に は ， ど の よ う に 時 間 を ず ら し て 火 を 付 け る と よ い と 思 い ま す か 。

中 学 校 数 学 第 ２ 学 年 ３ 一 次 関 数

［ 解 答 例 ］

中 学 校

年 組 号 氏 名

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■練習問題①

(1) ７

ｃ ｍ

(2) 解 答 例

・ 点 が ほ ぼ 直 線 上 に 並 ん で い る （「 ほ ぼ 」 が な く て も よ い ））

・ 区 間 ご と に 線 を ひ い て み る と ， グ ラ フ の 傾 き が ほ ぼ 一 定 で あ る 。

・

５

秒 ご と に み る と ， 水 面 の 高 さ の 増 え 方 は ほ ぼ 一 定 で あ る 。

(3) 解 答 例

・

x

と

y

の 関 係 を 式 を 求 め て ，

y ＝ ２ ２

を 代 入 し ，

x

の 値 を 求 め る 。

・

x

と

y

の 関 係 を 表 し た 表 を つ く り ，変 化 の 割 合 を 調 べ て ，２ ２ ｃ ｍに な る 時 間 を 調 べ る 。

・

y ＝ x ＋ ２

２ ２ ＝ x ＋ ２

両 辺 を

４

倍 し て

８ ８ ＝ x ＋ ８ x ＝ ８ ０

・ グ ラ フ か ら お お よ そ の 数 を よ み と っ て ， 表 を つ く っ て み る と ， 時 間 が

２ ０

秒 ご と に

５ ｃ ｍ

水 面 の 高 さ が あ が る 。 だ か ら ，

２ ２ ｃ ｍ

に な る 時 間 は ，

７ ｃ ｍ

の と き の 時 間 に

６ ０ 秒

を た す 。

・ 数 値 か ら 変 化 の 様 子 を 調 べ ，

２ ２ ｃ ｍ

に な る と き の 時 間 を 調 べ る 。 １

４ １ ４

数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■練習問題②

(1)

３ ０

分 間

(2)

３ ０ ０ ｍ

(3) ア

理 由 解 答 例

・ か り ん さ ん が 自 分 の 家 か ら 公 園 ま で 行 っ た 速 さ は

８ ０ ０ ÷ ２ ０ ＝ ４ ０

毎 分

４ ０ ｍ

け い た さ ん が か り ん さ ん の 家 か ら 公 園 ま で 行 っ た 速 さ は

８ ０ ０ ÷ ２ ５ ＝ ３ ２

毎 分

３ ２ ｍ

だ か ら ， か り ん さ ん の 方 が 速 か っ た 。

・ か り ん さ ん け い た さ ん

時 間

０ ２ ０

時 間

１ ５ ４ ０

距 離

０ ８ ０ ０

距 離

０ ８ ０ ０

８ ０ ０ ｍ

を 進 ん だ 時 間 で 比 較 す る と か り ん さ ん は ，

２ ０

分

け い た さ ん は ，

２ ５

分

だ か ら ， か り ん さ ん の 方 が 速 か っ た 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■練習問題③

(1) 標 準 体 重

(ｋ ｇ ) ＝ (身 長 (ｃ ｍ )－ １ ０ ０ )× ０ .９

＝(１ ６ ０ － １ ０ ０ )× ０ .９

＝６ ０ × ０ .９

＝５ ４

答 え エ

(2) 標 準 体 重

(ｋ ｇ )＝ (身 長 (ｃ ｍ )－ １ ０ ０ )× ０ .９

変 化 の 割 合 は

０ .９

だ か ら

０ .９ × ７ ＝ ６ .３

答 え

６ .３ ｋ ｇ

(3) 標 準 体 重 を

y (ｋ ｇ )， 身 長 を x (ｃ ｍ )と す る と ，

y ＝ (x － １ ０ ０ )× ０ .９ ・ ・ ・ ・ ・ ①

連 立 方 程 式 を 解 く 。

y ＝ x － １ ０ ５ ・ ・ ・ ・ ・ ②

① を ② に 代 入 し て

(x － １ ０ ０ )× ０ .９ ＝ x － １ ０ ５

両 辺 を １ ０ 倍 し て

９ (x － １ ０ ０ ) ＝ １ ０ x － １ ０ ５ ０ ９ x － ９ ０ ０ ＝ １ ０ x － １ ０ ５ ０

９ x － １ ０ x ＝ － １ ０ ５ ０ ＋ ９ ０ ０

a

－ x ＝ － １ ５ ０ x ＝ １ ５ ０

答 え

１ ５ ０ ｃ ｍ の 成 人 女 性

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■練習問題④

(1)

(三 角 形 の 面 積 )＝ (底 辺 )× (高 さ )×

よ り

底 辺 が Ａ Ｄ の 長 さ ， 高 さ が Ａ Ｂ の 長 さ に な る の で

△ Ｐ Ａ Ｄ ＝ １ ０ × ６ ×

＝ ３ ０

答 え

３ ０ ｃ ｍ

^２

理 由 解 答 例

・ 点

Ｐ が Ｂ

か ら

Ｃ

ま で 動 く と き は ，△ Ｐ Ａ Ｄの 底 辺 と 高 さ が 一 定 だ か ら 。

・

△ Ｐ Ａ Ｄ

の 底 辺 が

Ａ Ｄ

， 高 さ が

Ａ Ｂに な り ， い つ も 等 し く な る か ら 。

(2) ・ Ａ か ら Ｂ ま で の 区 間 で は ，

y ＝ １ ０ × x ×

y ＝ ５ x y ＝ ５ x （ ０ ≦ x ≦ ６ ）

・ Ｂ か ら Ｃ ま で の 区 間 で は ，

y ＝ １ ０ × ６ ×

y ＝ ３ ０ y ＝ ３ ０ （ ６ ≦ x ≦ １ ６ ）

・ Ｃ か ら Ｄ ま で の 区 間 で は ，

y ＝ １ ０ × （ ２ ２ － x ） × y ＝ ５ （ ２ ２ － x ）

y ＝ １ １ ０ － ５ x y ＝ １ １ ０ － ５ x （ １ ６ ≦ x ≦ ２ ２ ）

１ ２

１ ２

１ ２

１ ２

１ ２

O ５ １０ １５ ２０

１０ ２０ ３０ y

x

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■練習問題⑤

(1) 赤 い ろ う そ く は ，

２ ４ ｃ ｍ

で ，

１分 間 に ２ ｃ ｍ

ず つ 燃 え て い く の で

５

分 間 で は ，

２ × ５ ＝ １ ０

２ ４ － １ ０ ＝ １ ４

答 え

１ ４ ｃ ｍ

(2)

(3)

３

分

説 明 解 答 例

・ グ ラ フ よ り 交 点 の

x

座 標 を よ み と る 。

・

x

と

y

の 関 係 を 表 し た 表 を つ く り ， 変 化 の 様 子 を 調 べ て ， 同 じ 長 さ に な る 時 間 を 求 め る 。

・ 連 立 方 程 式 を つ く り ，

x

座 標 を 求 め る 。

y ＝ ２ ４ － ２ x ・ ・ ・ ・ ・ ①

連 立 方 程 式 を 解 く 。

y ＝ ２ ７ － ３ x ・ ・ ・ ・ ・ ②

① を ② に 代 入 し て

a

２ ４ － ２ x ＝ ２ ７ － ３ x

－ ２ x ＋ ３ x ＝ ２ ７ － ２ ４ x ＝ ３

(4) 解 答 例

・ 赤 い ろ う そ く に 火 を 付 け て か ら ， ３ 分 後 に 白 い ろ う そ く に 火 を 付 け る 。