中 学 校 数 学 第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算 [問 題 ]

中 学 校 数 学 第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

[問 題 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査①

太 郎 さ ん は ， 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 が ど ん な 数 に な る か を 調 べ て い ま す 。【 H19】

１ ， ２ ， ３ の と き ， １ ＋ ２ ＋ ３ ＝ ６ ２ ， ３ ， ４ の と き ， ２ ＋ ３ ＋ ４ ＝ ９ ３ ， ４ ， ５ の と き ， ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝ １ ２

こ れ ら の 結 果 か ら ， 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ３ の 倍 数 に な る こ と を 予 想 し ， こ の 予 想 が 正 し い こ と を 下 の よ う に 説 明 し ま し た 。

【 太 郎 さ ん の 説 明 】

連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小 さ い 数 を

n

^{と す る と}

連 続 す る ３ つ の 自 然 数 は ，

n

，

n

＋ １ ，

n

＋ ２と 表 さ れ る 。 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ，

n

^{＋ (}

n

^{＋ １ )＋ (}

n

^{＋ ２ )＝}

n

^＋

n

^{＋ １ ＋}

n

^{＋ ２}

＝ ３

n

＋ ３

＝ ３ (

n

＋ 1)

n

＋ １は 自 然 数 だ か ら ，３ (

n

＋ １)は ３ の 倍 数 で あ る 。

次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 太 郎 さ ん の 説 明 の 最 後 の 式３ (

n

＋ 1)か ら ，

連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ３ の 倍 数 で あ る

こ と の ほ か に 分 か る こ と が あ り ま す 。 下 のアか らオの 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。

ア 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 奇 数 で あ る 。 イ 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 偶 数 で あ る 。

ウ 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 最 も 小 さ い 数 の ３ 倍 で あ る 。 エ 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 中 央 の 数 の ３ 倍 で あ る 。 オ 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 最 も 大 き い 数 の ３ 倍 で あ る 。

(2)【 太 郎 さ ん の 説 明 】 か ら ，

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の 和 は ５ の 倍 数 に な る

こ と が 予 想 さ れ ま す 。 太 郎 さ ん の 説 明 を 参 考 に し て ， こ の こ と が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い 。

【 説 明 】

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小 さ い 数 を

n

と す る と ，

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 は ，

n

，

n

＋ １ ，

n

＋ ２ ，

n

＋ ３ ，

n

＋ ４と 表 さ れ る 。

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の 和 は ，

n

＋ (

n

＋ １ )＋ (

n

＋ ２ )＋ (

n

＋ ３ )＋ (

n

＋ ４ )

＝

n

^＋

n

^{＋ １ ＋}

n

^{＋ ２ ＋}

n

^{＋ ３ ＋}

n

^{＋ ４}

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査②

あ る サ ッ カ ー 大 会 で は ， ５ チ ー ム が 他 の す べ て の チ ー ム と １ 回 ず つ 試 合 を し ， 下 の 表 の よ う な 結 果 に な り ま し た 。【 H19】

勝 っ た 試 合 数 負 け た 試 合 数 引 き 分 け た 試 合 数

Ｐ チ ー ム ２ ２ ０

Ｑ チ ー ム ３ １ ０

Ｒ チ ー ム ２ ０ ２

Ｓ チ ー ム ０ ３ １

Ｔ チ ー ム １ ２ １

こ の 大 会 で は ， 次 の よ う に し て 順 位 が 決 め ら れ ま し た 。

【 順 位 の 決 め 方 】

１ 試 合 ご と に 勝 っ た チ ー ム に は ３ 点 ， 負 け た チ ー ム に は ０ 点 ， 引 き 分 け る と 両 チ ー ム １ 点 ず つ 与 え ，合 計 点 数 の 多 い チ ー ム を 上 位 と し て 順 位 を 決 め る 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 前 ペ ー ジ の 順 位 の 決 め 方 に し た が う と ， Ｒ チ ー ム の 合 計 点 数 は 何 点 に な り ま す か 。

(2) こ の 大 会 で １ 位 に な っ た の は ど の チ ー ム で す か 。下 のアか らオの 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。

ア Ｐ チ ー ム イ Ｑ チ ー ム ウ Ｒ チ ー ム エ Ｓ チ ー ム オ Ｔ チ ー ム

(3) こ の 大 会 の 順 位 は ， 前 ペ ー ジ の 順 位 の 決 め 方 か ら ， 勝 っ た 試 合 数 を

a

， 引 き 分 け た 試 合 数 を

b

と す る と き ，３

a

＋

b

の 値 で 決 ま り ま す 。

麻 衣 さ ん は ， こ の 大 会 の 順 位 の 決 め 方 に つ い て ， 次 の よ う に 言 っ て い ま す 。

負 け た チ ー ム は ０ 点 と す る こ と を 変 え ず に ， 勝 っ た 場 合 や 引 き 分 け た 場 合 に 与 え る 点 数 を 変 え る と ， 順 位 が 変 わ る と 考 え て ， 新 し い 式 を つ く り ま し た そ の 式 で 合 計 得 点 を 計 算 す る と ， Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム の 合 計 得 点 が 同 じ で 両 チ ー ム が １ 位 に な り ま し た 。

Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム の 合 計 点 数 が 同 じ で ， 両 チ ー ム が １ 位 に な る よ う な 式 を

a

，

b

を 使 っ て 表 し な さ い 。 ま た ， そ の 式 で ， Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム が 同 点 で １ 位 に な る こ と を 説 明 し な さ い 。

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査③

直 樹 さ ん は ， ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 和 が ど ん な 数 に な る か を 考 え て い ま す 。【 H20】

２ １ の と き ２ １ +１ ２ ＝ ３ ３ ３ ５ の と き ３ ５ +５ ３ ＝ ８ ８ ４ ７ の と き ４ ７ +７ ４ ＝ １ ２ １

８ ２ の と き ①

上 で 調 べ た こ と か ら ， 直 樹 さ ん は ， 次 の こ と を 予 想 し ま し た 。

【 直 樹 さ ん の 予 想 】

２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 和 は ，１ １の 倍 数 に な る 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 上 の ① に 当 て は ま る 式 を 書 き な さ い 。

(2) 直 樹 さ ん の 予 想 が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い 。

１ １の 倍 数 で あ る こ と を 説 明 す る に は ，

１ １と 自 然 数 の 積 に な る こ と を い え ば い い ん

だ 。

【 説 明 】

２ け た の 自 然 数 の 十 の 位 の 数 を

x

， 一 の 位 の 数 を

y

と す る と ， ２ け た の 自 然 数 は ，１ ０

x

＋

y

十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 は ，１ ０

y

＋

x

と 表 さ れ る 。 し た が っ て ， そ れ ら の 和 は ， (１ ０

x

＋

y

)＋ (１ ０

y

＋

x

)

(3) 直 樹 さ ん は ， ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 差 は ， ど ん な 数 に な る か を 考 え て み た い と 思 い ， い く つ か の 場 合 を 調 べ ま し た 。

４ １の と き ４ １ -１ ４ ＝ ２ ７ ５ ３の と き ５ ３ -３ ５ ＝ １ ８ ８ ２の と き ８ ２ -２ ８ ＝ ５ ４

⋮ ⋮

こ れ ら の こ と か ら ， ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 差 に つ い て ，ど の よ う な こ と が 予 想 で き ま す か 。前 ペ ー ジ の 直 樹 さ ん の 予 想 の よ う に ，「 ～ は ， … … に な る 。」 と い う 形 で 答 え な さ い 。 た だ し ，５ ５の よ う に ， 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 が 等 し い 数 は 考 え な い こ と に し ま す 。

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査④

健 治 さ ん は ， 次 の 図 の よ う に ， ３ 段 に 並 ん で い る ○ の １ 段 目 に 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 を 順 に 入 れ ま し た 。 そ し て ， 隣 り 合 う ２ つ の 数 の 和 を ２ 段 目 の ○ に 入 れ ， 同 じ よ う に し て ３ 段 目 の 数 を 求 め ま し た 。【 H21】

健 治 さ ん は ，２ ４ ＝ ４ × ６ ， ４ ４ ＝ ４ × １ １で あ る こ と か ら ， １ 段 目 に ど ん な 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 を 順 に 入 れ て も ， ３ 段 目 の 数 は い つ も ４ の 倍 数 に な る こ と を 予 想 し ま し た 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 を２ １ ， ２ ２ ， ２ ３と す る と き , 下 の 図 の ① に 当 て は ま る 数 を 求 め な さ い 。

(2) 「 １ 段 目 に ど ん な 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 を 順 に 入 れ て も ， ３ 段 目 の 数 は い つ も ４ の 倍 数 に な る 。」 と い う 健 治 さ ん の 予 想 が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い 。

【 説 明 】

(3) 上 の 説 明 で ，２ 段 目 の ２ つ の 数 は ，２

n

＋ １ ， ２

n

＋ ３と 表 さ れ て い ま す 。こ の こ と か ら ， ２ 段 目 の ２ つ の 数 に つ い て ， い つ も い え る こ と が あ り ま す 。 下 のアか らオま で の 中 か ら 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。

ア ２ 段 目 の ２ つ の 数 は ， 連 続 す る 偶 数 で あ る 。 イ ２ 段 目 の ２ つ の 数 は ， 連 続 す る 奇 数 で あ る 。 ウ ２ 段 目 の ２ つ の 数 は ， 奇 数 と 偶 数 で あ る 。

エ ２ 段 目 の ２ つ の 数 は ， 一 の 位 の 数 が １ と ３ で あ る 。 オ ２ 段 目 の ２ つ の 数 は ， 十 の 位 の 数 が 等 し い 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査⑤

健 太 さ ん は ， 連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 和 が ど ん な 数 に な る か を 考 え て い ま す 。

７ ， ９ ，１ １ の と き ７ ＋ ９ ＋１ １＝２ ７ １ ３，１ ５，１ ７ の と き １ ３＋１ ５＋１ ７＝４ ５ ３ １，３ ３，３ ５ の と き ３ １＋３ ３＋３ ５＝９ ９

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】

(1) 健 太 さ ん は ， こ れ ら の 結 果 か ら ，連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 和 は ， ９ の 倍 数 に な ると 予 想 し ま し た 。

し か し ， よ く 調 べ て み る と ，こ の 予 想 は 正 し く な いこ と が 分 か り ま す 。 こ の こ と は ， 次 の よ う に 説 明 で き ま す 。

説 明

連 続 す る ３ つ の 奇 数 が ① ， ② ， ③ の と き ， そ れ ら の 和 は ，

④ で ， ９ の 倍 数 で は な い 。

し た が っ て ， 連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 和 は ， ９ の 倍 数 で あ る と は 限 ら な い 。

上 の説 明の ① か ら ④ ま で に 当 て は ま る自 然 数を そ れ ぞ れ 書 き な さ い 。

第２学年 １ 文字の式

(2) 健 太 さ ん は ， い ろ い ろ な 連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 和 を 調 べ た 結 果 ， 次 の よ う に 予 想 し 直 し ま し た 。

健 太 さ ん の 予 想

連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 和 は ， ３ の 倍 数 に な る 。

こ の健 太 さ ん の 予 想は 正 し い と い え ま す 。 予 想 が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い 。

説 明

n を 自 然 数 と す る と ， 連 続 す る ３ つ の 奇 数 は ， ２ n−１ ， ２n＋ １ ， ２n＋ ３ と 表 さ れ る 。 し た が っ て ， そ れ ら の 和 は ，

（ ２ n−１ ） ＋ （ ２ n＋ １ ） ＋ （ ２n＋ ３ ）

＝

(3) 連 続 す る ４ つ の 奇 数の 場 合 ， そ の 和 が ど ん な 数 に な る か を 調 べ ま す 。

１ ， ３ ， ５ ， ７ の と き １ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＝ １ ６ ３ ， ５ ， ７ ， ９ の と き ３ ＋ ５ ＋ ７ ＋ ９ ＝ ２ ４ ５ ， ７ ， ９ ，１ １ の と き ５ ＋ ７ ＋ ９ ＋ １ １ ＝ ３ ２

･ ･

･ ･

･ ･

連 続 す る ４ つ の 奇 数 の 和 は ， ど ん な 数 に な り ま す か 。健 太 さ ん の 予 想の 書 き 方 の よ う に

「〜は ，･･････に な る 。」と い う 形 で 書 き な さ い 。

【 解 答 】

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査⑥ Ｂ問題

健 一 さ ん は ， 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 に つ い て ， そ れ ら の 和 が ど ん な 数 に な る か を 調 べ て い ま す 。

１ ， ２ ， ３ の と き １ ＋ ２ ＋ ３ ＝ ６＝ ２ × ３ ４ ， ５ ， ６ の と き ４ ＋ ５ ＋ ６ ＝１ ５＝ ５ × ３ ６ ， ７ ， ８ の と き ６ ＋ ７ ＋ ８ ＝２ １＝ ７ × ３

健 一 さ ん は ， こ れ ら の 結 果 か ら 次 の こ と を 予 想 し ま し た 。

健 一 さ ん の 予 想

連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ， 中 央 の 自 然 数 の ３ 倍 に な る 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。【 H23】

(1) 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 が１ １，１ ２，１ ３の と き ，健 一 さ ん の 予 想が 成 り 立 つ か ど う か を 確 か め る た め に は ， 下 の に ど の よ う な 式 を 書 け ば よ い で す か 。 下 の

に 当 て は ま る 式 を 書 き な さ い 。

１ １，１ ２，１ ３ の と き １ １＋１ ２＋１ ３＝３ ６＝

【 解 答 】

(2) 健 一 さ ん の 予 想が 正 し い こ と は ， 次 の よ う に 説 明 で き ま す 。

説 明

連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小 さ い 自 然 数 を n と す る と ， 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 は ，n ，n ＋ １ ，n ＋ ２ と 表 さ れ る 。 そ れ ら の 和 は ，

n ＋ （ n ＋ １ ） ＋ （ n ＋ ２ ） ＝ n ＋ n ＋ １ ＋ n ＋ ２

＝ ３ n ＋ ３

＝ ３ (n ＋ １ )

n ＋ １ は 中 央 の 自 然 数 だ か ら ， ３ (n ＋ １ )は 中 央 の 自 然 数 の ３ 倍 で あ る 。 し た が っ て ， 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ， 中 央 の 自 然 数 の ３ 倍 で あ る 。

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

前 ペ ー ジ の説 明で は ， ３ n ＋ ３ を ３ （ n ＋ １ ） と 変 形 し て い ま す 。 こ の よ う に 変 形 す る の は ， 次 の こ と を 示 す た め で す 。

① ， ② に 当 て は ま る 文 字 式 や 数 を 書 き な さ い 。 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 n ，n＋ １ ，n ＋ ２ の 和 が ，

中 央 の 自 然 数 ① の ② 倍 で あ る こ と 。

【 解 答 ： ① 】 【 解 答 ： ② 】

(3) 前 ペ ー ジ の説 明か ら ， 連 続 す る ５ つ の 自 然 数 に つ い て ， 次 の こ と が予 想さ れ ま す 。 予 想

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の 和 は ， 中 央 の 自 然 数 の ５ 倍 に な る 。

こ の予 想は 正 し い と い え ま す 。 前 ペ ー ジ の説 明を 参 考 に し て ， こ の予 想が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い 。（ 下 の の 中 に そ の ま ま 書 き 込 み な さ い 。）

説 明

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小 さ い 自 然 数 を n と す る と ，

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 は ，n ，n ＋ １ ，n ＋ ２ ，n ＋ ３ ，n ＋ ４ と 表 さ れ る 。 そ れ ら の 和 は ，

n ＋ （ n ＋ １ ） ＋ （ n ＋ ２ ） ＋ （ n ＋ ３ ） ＋ （ n ＋ ４ ）

＝ n ＋ n ＋ １ ＋ n ＋ ２ ＋ n＋ ３ ＋ n ＋ ４

＝

し た が っ て ， 連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の 和 は ， 中 央 の 自 然 数 の ５ 倍 で あ る 。

中 学 校 数 学 第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

[解 答 例 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査①

(1) エ 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 中 央 の 数 の ３ 倍 で あ る 。

(2) 【 説 明 】

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小 さ い 数 を

n

と す る と ， 連 続 す る ５ つ の 自 然 数 は ，

n

，

n

＋ １ ，

n

＋ ２ ，

n

＋ ３ ，

n

＋ ４と 表 さ れ る 。

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の 和 は ，

n

＋ （

n

＋ １ ） ＋ (

n

＋ ２ )＋ (

n

＋ ３ )＋ （

n

＋ ４ ）

＝

n

＋

n

＋ １ ＋

n

＋ ２ ＋

n

＋ ３ ＋

n

＋ ４

＝

n

＋

n

＋

n

＋

n

＋

n

＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４

＝ ５

n

＋ １ ０

＝ ５ (

n

＋ ２ )

n

＋ ２は 自 然 数 だ か ら ，５ (

n

＋ ２ ）は ５ の 倍 数 で あ る 。

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査②

(1) Ｒ チ ー ム は ２ 勝 ０ 敗 ２ 引 き 分 け だ か ら Ｒ チ ー ム ：２ × ３ ＋ ２ × １ ＝ ８

(2) 勝 っ た 試 合 を ３ 点 ， 負 け た 試 合 を ０ 点 ， 引 き 分 け た 試 合 を １ 点 と す る と

Ｐ チ ー ム は ， ３× ２ ＝ ６ Ｑ チ ー ム は ， ３× ３ ＝ ９

Ｒ チ ー ム は ， ３ ×２ ＋ １ × ２ ＝ ８ Ｓ チ ー ム は ， １× １ ＝ ２

Ｔ チ ー ム は ， ３× １ ＋ １ × １ ＝ ４ 答 え イ Ｑ チ ー ム

(3) 勝 っ た 試 合 を ２ 点 ， 引 き 分 け た 試 合 を １ 点 と す る と 式 は２

a

＋

b

と な る 。

【 説 明 】

合 計 得 点 を 求 め る 式 を２

a

＋

b

と す る と き ，

Ｐ チ ー ム は ，２ × ２ ＝ ４ Ｑ チ ー ム は ，３ × ２ ＝ ６

Ｒ チ ー ム は ，２ × ２ ＋ ２ × １ ＝ ６ Ｓ チ ー ム は ，１ × １ ＝ １

Ｔ チ ー ム は ，１ × ２ ＋ １ × １ ＝ ３

し た が っ て ， 合 計 得 点 を 求 め る 式 を２

a

＋

b

と す る と Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム が 同 点 で １ 位 に な る 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査③

(1) ８ ２ ＋ ２ ８ ＝ １ １ ０

(2)

【 説 明 】

２ け た の 自 然 数 の 十 の 位 の 数 を

x

， 一 の 位 の 数 を

y

と す る と ， ２ け た の 自 然 数１ ０

x

＋

y

は ，

十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数１ ０

y

＋

x

は ， と 表 さ れ る 。 し た が っ て ， そ れ ら の 和 は ，

（ １ ０

x

＋

y

） ＋ （ １ ０

y

＋

x

） ＝ １ ０

x

＋

y

＋ １ ０

y

＋

x

＝ １ １

x

＋ １ １

y

＝ １ １ （

x

＋

y

）

よ っ て ，１ １× 自 然 数 に な る の で ，１ １の 倍 数 に な る 。

(3) ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 差 は ， ９ の 倍 数 に な る 。

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査④

(1) ２ １ ＋ ２ ２ ＝ ４ ３ ,２ ２ ＋ ２ ３ ＝ ４ ５ よ っ て ，４ ３ ＋ ４ ５ ＝ ８ ８

(2)

【 説 明 】

（２

n

＋ １） ＋ （２

n

＋ ３ ) ＝ ２

n

＋ １ ＋ ２

n

＋ ３

＝ ４

n

＋ ４

＝ ４ （

n

＋ １ ）

よ っ て ， ４ × 自 然 数 な の で ,４ の 倍 数 に な る 。

(3) ２

n

が 偶 数 を 表 す の で ，２

n

＋ １と２

n

＋ ３は と も に 奇 数 を 表 す 。 か つ ， こ れ ら は 連 続 す る 奇 数 に な っ て い る の で ,答 え は イ で あ る 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査⑤

(1) ① ５ 【 別 解 】

② ７ ３ ， ５ ， ７ の と き ，１ ５

③ ９ ９ ，１ １，１ ３の と き ，３ ３ な ど い ろ い ろ あ る 。

④ ２ １

【 ポ イ ン ト 】

連 続 す る ３ つ の 奇 数 を ２ n − １ ， ２n ＋ １ ， ２ n ＋ ３ と す る と ， そ の 和 は ， ６ n ＋ ３ に な る よ 。

９ × （ 自 然 数 ） で は な い の で ， ９ の 倍 数 に な ら な い よ 。

た だ し ， 連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 真 ん 中 の 数 が ３ の 倍 数 に な っ て い る と き は 違 う よ 。

真 ん 中 の 奇 数 を ３ n と す る と ， 連 続 す る ３ つ の 奇 数 は ， ３ n − ２ ， ３n ， ３ n ＋ ２ と な り ， そ の 和 は ， ９n に な る 。 だ か ら ， こ の と き は ， ９ の 倍 数 に な る と 言 え る ね 。

(2) 解 答 例 ①

（ ２ n−１ ） ＋ （ ２ n＋ １ ） ＋ （ ２n＋ ３ ） 【 ポ イ ン ト 】

＝ ２ n−１ ＋ ２ n＋ １ ＋ ２ n＋ ３ ６ n＋ ３

＝ ６ n＋ ３ ＝ ３ × ２ n＋ ３ × １

＝ ３ (２ n＋ １ ) ＝ ３ (２ n＋ １ )

２ n＋ １ は 自 然 数 だ か ら ， 分 配 法 則 の 考 え を 利 用 し て ３ (２ n＋ １ )は ， ３ の 倍 数 で あ る 。 式 を 変 形 で き る こ と が ， し た が っ て ， 連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 和 は ， ポ イ ン ト に な る ね 。 ３ の 倍 数 で あ る 。

解 答 例 ②

（ ２ n−１ ） ＋ （ ２ n＋ １ ） ＋ （ ２n＋ ３ ）

＝ ２ n−１ ＋ ２ n＋ １ ＋ ２ n＋ ３

＝ ６ n＋ ３

６ n ， ３ は ３ の 倍 数 で ， ３ の 倍 数 の 和 は ３ の 倍 数 だ か ら ， ６ n＋ ３ は ３ の 倍 数 で あ る 。

し た が っ て ， 連 続 す る ３ つ の 奇 数 の 和 は ， ３ の 倍 数 で あ る 。 (3) 解 答 例 ① 連 続 す る ４ つ の 奇 数 の 和 は ， ８ の 倍 数 に な る 。

② 連 続 す る ４ つ の 奇 数 の 和 は ， ４ の 倍 数 に な る 。

③ 連 続 す る ４ つ の 奇 数 の 和 は ， ２ の 倍 数 に な る 。

【 ポ イ ン ト 】

解 答 は ， ３ つ の 場 合 が 考 え ら れ る ね 。

連 続 す る ４ つ の 奇 数 は ２ n− １ ， ２ n ＋ １ ， ２n ＋ ３ ， ２ n ＋ ５ と 表 す こ と が で き る 。 そ の 和 は ， ８ n ＋ ８ に な る 。

８n＋ ８ ＝ ８ (n＋ １ )， ８ n＋ ８ ＝ ４ (２ n＋ ２ )， ８ n＋ ８ ＝ ２ (４ n＋ ４ ) だ か ら ， ８ の 倍 数 ， ４ の 倍 数 ， ２ の 倍 数 の ３ つ の 場 合 が 考 え ら れ る ね 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査⑥ Ｂ問題

(1) １ ２× ３

【 ポ イ ン ト 】

連 続 す る ３ つ の 自 然 数 が１ １，１ ２，１ ３の と き ， そ の 和 は３ ６に な る ね 。 ３ ６は１ ２と ３ の 積 で 表 す こ と が で き ，１ ２ はこ の 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 中 央 の 自 然 数 に な っ て い る こ と が 分 か る ね 。

だ か ら ， 健 一 さ ん の 予 想 に あ て は め る と ，１ １＋１ ２＋１ ３＝３ ６＝１ ２× ３ と 表 す こ と が で き る の で ， 答 え は１ ２× ３ に な る よ 。

(2) ① ：n ＋ １

② ： ３

【 ポ イ ン ト 】

「 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ， 中 央 の 自 然 数 の ３ 倍 に な る 。」

を 説 明 す る た め に ， 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 n ，n ＋ １ ，n ＋ ２ の 和 ３ n ＋ ３ を ， ３ × (中 央 の 自 然 数 )に 式 を 変 形 し な い と い け な い ね 。

し た が っ て ， ① は 中 央 の 自 然 数 で あ る こ と を 示 す た め に n ＋ １ が 当 て は ま り ， ② は ３ 倍 で あ る こ と を 示 す た め に ３ が 当 て は ま る ね 。

(3) 例 ： ５ (n ＋ ２ )

n ＋ ２ は 中 央 の 自 然 数 だ か ら ， ５ （n ＋ ２ ） は 中 央 の 自 然 数 の ５ 倍 に な る 。

【 ポ イ ン ト 】

「 連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の 和 は ， 中 央 の 自 然 数 の ５ 倍 に な る 。」 を 説 明 す る た め に は ， 連 続 す る ５ つ の 自 然 数 n ，n ＋ １ ，n ＋ ２ ，n ＋ ３ ，n ＋ ４ の 和 ５ n ＋１ ０を ， ５ (n ＋ ２ )に 式 を 変 形 し な い と い け な い ね 。

第 ２ 学 年 １ 式 の 計 算