研究調査報告
超音速ノズルの二次元流れの取扱いによる設計
森 太 郎＊ 牧 暢 夫
（昭和46年9月30日受理）
Design of Bell Cone Nozzle
Tar6 MiTuMoRi and Nobuo MAKi
（Received September 30， 1971）
The design of super sonic nozzle for one dimensional f正ow had been used for rockets， wind tunnels etc．
But large explosion ratio give influence for flow at test section， because theoretical correction factor X＝ ！｝
（1十cosα）can be applied to the nozzle exit momentum of an ideal nozzle with a conical nozzle exhaust．
This paper reports the method of the design using Hodograph by the theory of two demensional flow．
1 は し が き
超音速ノズルの設計法は従来より一次元流として取扱わ れ，それに従い設計されて来た。戦後超音速流れの研究が 進み，それが二次元流れとして取扱われ，設計もこれに従 い行なわれて来た。実例としてはV2号の初期ロケット等 においては前者の設計の手法が使われ，1956年に完成され たソー，ジュピターのエンジンについては後者の手法が行 なわれている。
マッハ数の大きい液体ロケット，超音速風胴にこの二次 元流による設計の手法が使用されているが，詳細な説明が 明らかにされていないので筆者らは超音速流れにおけるプ ラントメーヤー関数より誘導されたθ一一ω（M＊）＋21±
1000によるホドブラフ面を使用して，二次元流の取扱い による設計法を明らかにした。
一次元流で設計されたコニカルノズルと二次元流で設計 されたベルコーンノズルとの比較をFig．1に示す。
ベルコーンノズルは15。半頂角のコニカルノズルと比較 すると，ノズルの長さが約0・6〜0・8位になり，長さの点 でも余程有利である。
ベルコーンノズルにおける設計の根本原理はノズルの相 殺領域で反射波を相殺し，最後の波の後部ではノズルの壁 面はノズル中心線と平行にすることである。したがってノ ズル出ロにおける流れはノズル中心線に平行流である。
ts
Fig．1 A comparison between bell cone nozzle and conical nozzle．
以上空気力学的にすぐれ，小型軽量なノズルを二次元流 れの理論の応用により設計できる。
本文においてはスロートに対しては遷音速の解を用いる 必要があるが，超音速部分を特性曲線法の使用により設計 基準を明らかにして報告する。超音速風胴，液体ロケット のノズル，超音速風胴，液体ロケットのノズル，高マッハ 数，高い膨脹比を持つノズルの設計に資する事ができる。
＊機械工学科
2設計理論（3）
設計においては次の仮定を設ける。
（1）流体は完全ガスである。
（2）等エントロピー流れである。
（3）うず無し流である。
津：山高専紀要 第3巻第2号（1971）
（4）流体には重力の影響はない。
（5）ノズル壁面では流れは層流である。
（6）ノズルの壁はノズル中心線に対して対称である。
（7）スn一ト部ではM＝1であり，均一に軸方向に向いて いる。
（8）ノズル内では二次元流である。
（9）ノズル内の各部分の熱力学的条件は一次元流の理論に 従う。
2・1 斜め衝撃波（2）
．方の衝撃波のみを考えればよく，θがθ…より小さいこ とが必要である。
2．3マッハ線
Fig・3でM2＞1ではθが減少すればβも減少する。θ が0．．まで減少するときβは
Mi2 sin lb 一1＝O
によってきまる極限値μまで減少する（Fig．4）
Mi M2
W2 pt
Wl
・Mi
Fig．2 Streamline passed oblique shock wave．
Fig．2のような斜φ衝撃波が発生した場合次の関係式が 成立する・・聯体の密度M1・地1まマ・ハ数である・
tan（Ble） （7−1）Mi2sin2B i 2．
tanB H （7＋1）M！2sinB これはまた次のように表わせる
・・q・・tt・一・…M鵠舞謡議
この式はβ＝π／2，幽β蘇sin4（1／M・）で0となる。θは この範囲内で正であるからθは極大値θ皿・・をもつ。θ＜
θm・・なら同．じ．e一．およびMの値に対して違ったβ．の値を もつ2．っの解が存在する。βの大きい方が強い衝撃波を与 える。強い衝撃波をもつ解では流れは波の後で亜音速とな る。弱い衝撃波をもつ解はθm・xよりわずかに小さいθの 範囲を除いて流れぽ超音速になる．。
2．2 くさびをすぎる超音速（2）
．非圧縮性流れでは任意の流線を固体壁でおきかえること ができる。したがって前にのべた斜め衝撃波の流れはFig．
3のように凹角にそう超音速流の解を与える。これは弱い
Mi
M2
e
Fig．3 Flow near concave corner：
Fig14 Transformation of oblique shock wave to Mach丘ne．
このときはMi＝M2となり波の強さは0となる。そして この時は流の中にはなんの変動もない。μ＝sin−1（1／M）
はマッハ角といい，μの線はマッハ線とよばれる。二次元 超音速流はつねに2群のマッハ線と関連している。これら はFig．5に示したように符号をつけると便利である。（＋）
〈一）
M2
（十 ・）
Fig．5 Right−running Mach wave and left−running．
Mach wave．
はまた，右向き波（Right−recnning exPansion）と呼ばれ，
（一）は左向き波（Left−running exPansion）と呼ばれる。
又これらは特性曲線とも呼ばれる。マッハ線は特定の方向 すなわち流れの方向に傾いている。これは超音速流では上 流にさかのぼる影響がないということを示している。
2・4 繭りによる超音速膨脹（2）
凸は出超すなわち壁が流れから 離れる ように曲る場 合には単一め斜め衝撃波による曲りは不可能である。すな わちFig．6から衝撃波後の速度の法線成分u2は前方め法 線成分u・より大きくなるということになる （Fig．6）。
この結果はエントロピーが減少する結果となり，物理的に
一 216 一一
超音速ノズルの二次元流れの取扱いによる設計法． 三 森・牧
vt
Wl ut
U2
W2
V2
Fig．6 NomenclatureZ． for oblique shock analysis．
Mi
＼＼超・
この有心波はプラント・メイヤー膨脹扇とよばれる．ことが 多い。これは凹角に出来る斜め衝撃波に相対するものとし て凸角に生ずるものである。
2・5単一領域及び単一でない領域（2）
いままでにのべた圧縮波，膨脹波は単一波といい，マッ ハ線が直線であること，その上での流れの状態が一定であ ること，流れの偏角とプラント・メイヤー関数の間に簡単 な関係w＝w1−1θ一θil…（圧縮の場合）， w＝w2＋1θ 一θ21…（膨脹の場合），が成り立つことなどの特長をも っている（ただしWはプラントメイヤー関数，θは流れの
傾き）
一般に流れは2つの群（＋または一）のいずれかに分け られる。反対の群に属する二つの単一波が互に干渉する領 域では流れは単一でない（Fig．9）
an t Sl叫Xe Wo鴨1＋〉
＞＞）7）〉，N
Fig．7 Expansion fan．
Uniferm Palateet Flow NOY／Simpte Wave
Sir叩le Wo鴨〔一）
／ 聖 ／
デ凝☆［∴
雨霧ゑガ1賠＼
・鞭
Fig，8 Flow past curvedk．wall by modified liner theory．
（a） Stream2L−line：， andkt Mach：t・waves．
（b） Hodograph diagram．
起こり得ない。実際におこるのは次のようなものである。
Fig．7，Fig．8のようにマッハ線は発散する。その結果，
膨脹の場合はいたるところで等エントロピー的である。角 における膨脹は直線マッハ線群の扇で定められる有心波を 起こしている。これは次のようにして導かれる。
（1）角に達するまでの流れはマッハ数M・の一様な流れで ある。したがって先頭のマッハ波はマッハ角μ・となす直 線でなければならない。ナ流への影響が限られることか
ら，これより後の流れの部分に同じ論法が次次に適用出来 る。後尾のマッハ線は下流の壁に対して角μ2をなす。
（2）流れのパラメーターが変化し得るのは角からはかった 角座標についてのみである。すなわち流れのパラメーター は角から出る放射線にそって一定でなければならない。
Fig．9 lnterference of expansion wave．
すなわち上式は成り立たない。このような領域は特性曲線 法で取扱う。
2・6修正線形理論による比較（Fig．10）（3）
掌乱
％∴
〜﹂紘／蒸．
Fig．10 Propagation of disturbance produced by bend in wall at point a．
（a） Streamlines and Mach lines according to liner theory． Mean Mach line豆。
lies midway between Mach lines of upstream flow （a．）i， and of downstream floW （la）2・
（b） Hodograph diagram according to liner theory．
（c） Exact Prandtl−Meyer solution for co−
rner flow．
津山高専紀要 第3巻 第2号（1971）
（a）図：線形理論による流線とマッハ線。平均マッハ 六甲・は上流で発生したマッハ線（∬・）・と下流で 発生したマッハ線（皿・）2の中ほどに位置してい る。
（b）図：線形理論によるホドグラフ図 （c）図：精密なプラント・メイヤーの解
これらの考え方はFig．8のような曲った壁のまわりの流れ にも拡張することができる。
2・アプラント・メイヤーの関数（3）
vP
マ：十d▽
P＋dP de
（a）
xN
N sN 一dU 鰍4マ dv v
（b）
Fig．11 lnfinitesimal Mach wave．
（a） Physical plane． （b） ］日［odgraph plane．
群皿のマッハ線のためdθだけ流れが曲ったと仮定す る。Fig・11（b）はホドグラフ面は波によって生じた速度の ベクトル変化が波の方向に対して垂直であるということか
らかかれている。図から dv ＝ Vde． du ＝ dV
du 1
一一：一一 ＝ tan a ＝
VMi，rl−1 dv
これらの式からdu， dvを消去すると
l dV 1
Uit 7，一一t．一，一， （i）
d7とdMの関係は
dV dM2
一ア＝・M・（1＋ ＆i ：ti M2） （2）
よって（1）式は
VAIi，＝1−1dM2 de ＝一
（3）
2M・（1＋ Ei一：！i M2）
この式を積分すると
・一イ差圭｝・爆発｝（M2一・）
十 tan 1／Mi X［一1十 const （4）
マッハ数Mよりも無次元速度M＊＝V／C＊（C＊はM＝1 での音速である）を用いると
匹。皐、M＊2／（ re 一11 一 一： ＝rtl M＊2）
（4）式を次のような形におきかえる。
e， ＝＝ tu （M＊） 十21−1000 （5）
ここでω（M＊）は
・（M＊）一偶・舜下学 一鯉ゾ、筆羨 （・）
（5）式で（21−1000）で表わされる積分定数はθとM＊の 初期値からきめられる。
（5）式はFig．11からもわかるとおり左向き波（Left−run−
ning 17Vave）に対するもので右向き波（Right−running Wavのに対するものとして次のように表わされる。
θll＝zσ（M＊）十2］工一1000 （7）
2・8 ホドグラフ面（1）（2）（3）
定常な渦なし運動の方程式は非線形である。それは係数 に密度を介して速度を含んでいるからである。したがって 速度成分を独立変数として定数化しなおせば線形になる。
この方法は流れの状態を速度平面（ホドグラフ面）内で取 扱うのでホドグラフ法という。
噺
ts｝
wt
i）〉，，，，
・・．@ ＿嵐惹
i 軸． ． ／
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ゆ）I
cc）
Fig．12 Prandti−Meyer expansion．
（a） Simple wave．
（b） Hodograph plane．
（c） Prandtl−Meyer diagram．
プラントメイヤー膨脹の場合を考える。（Fig．12），ホド グラフ面（b）では，これは曲線ABで表わされる。その上 の点はある流線上の速度の一つを表わす。すべて流線はA Bに写像される。すべての超音速マッハ数に対するプラン
一 218 一
超音速ノズルの二次元流れの取扱いによる設計法 三 森 ・牧
ト・メイヤー関数は（c）図の実線で表わされ，M＝1から M＝・。までの膨脹を表わす。下側の曲線はθが増加する場 合，上側の曲線はθが減少する場合にあたる。この曲線は 一つのエピサイクロイドでプラントメイヤー関数から直接 求めることが出来る。
（5）式，（7）式の1，皿をかえた場合のホドグラフ面を Fig．13に示す。
︑．＼︐λ謙
劃 認
︑M酔炉
・ノノ㍉
2，0i）
／ sggl
箒
，，4，9e t 80
蕪
撃螺
Fig．13 Hodographic： characteristic curve．
明らかに曲線1と■は対称であり，原点のまわりにたん に回転している同一曲線である。
なおマッハ線は曲線1又は∬に直交する。
2．9ホドグラフの利用
ホドグラフの利用にあたって次の法則を適用する。
（1）流線が左向き波（Left−running Wavのと交るとき，
流線のホドグラフが群工のホドグラフ特性にそって動く，
そしてマッハ線は群1のホドグラフ特性曲線に対して垂直 であり，水平方向に対して（θ＋α）度傾く。
（2）流線が右向き波（Right−running Wave）と交るとき，
流線のホドグラフは群皿のホドグラフ特性にそって動く，
マッハ線は群■のホドグラフ特性に対して垂直であり，水 平方向に対して（θ一α）度傾く。
ω一1一皿 （11）
ここにθは流れの方向角，ωはプラントメイヤー関数であ
る。
これらからθ，ωが与えられれば，1，且がわかる。逆に 工，■がわかればθ，ωがわかる，後者の関係はホドグラ フ面においても同様，原点を通る放射状の（半径）ライン
（定常流方向のライン）は一定（1＋11）のラインであ り，同心円（一定速度，，一定圧力の円）は一定（1一
■）のラインである。
2・10 2次元超音速流の図式解法（1）
つぎに特性曲線を用いて2次元超音速の流れの場を計算 する方法を示す。
2・10・1膨脹波の相互干渉
E AX 2
， V4
2
cB／ 3
D
Fig．14 Crossing wave．
IX A4
3
Fig．14のように両側の壁がひろがる場合を考える。
壁のひろがる角度が10〜2。というように小さい角度の ときは，かどから出るマッハ線をまとめて1本の線で代表 させてよい。一様流れの速度をUとすると，これはホドグ ラフ面で1という点に対応する。上下の壁でθだけ向きを 変えた流れの速度は原点からそれぞれ上向き，下向きに角 θをなす直線と特性曲線との交点2，3で表わされる。そ
して1→2，あるいは1→3の膨脹に対応する波面ACあ るいはBCは特性曲線上の弧12あるいは13の中点における 切線に垂直である。次に波面CE，およびCDを経て到達 される状態を4と名づけると，この状態はホドグラフ面上 で2および3を通る特性曲線としてもとまる。そしてこれ らの点がきまると波面CD， CEの方向は24，34の中点 における法線方向としてもとめられる。
2．10．2 固定堰における膨脹波の反射（1）
A
1／ 2 3
2 s
Figユ5 Reflection of wave．
式（6），（7）は次のように書ける。
looo ＋ to ＋e ＝＝ 21 1000 一 to ＋ e ＝＝ 21
この式から
e＝ 1 十 ll 一 looo
（8）
（9）
（10）
Fig．15のように右向き膨脹波が真直な壁にあたるとす る。この波が状態1，2を境とするものとすると，壁面に おいては流れが壁に沿わなければならないから，反射波の 下流の速度ベクトルは1と同方向になる。これはまた，ホ ドグラフ面で2を通る左向き特性曲線上になければならな
津山高専紀要 第3巻第2号．（1971）
いから（何故ならば，2から3をよぎるマッハ線は右向き である）もとめる状態は3で与えられる。反射波は23の中 点における法線方向としてただちにもとめられる。
3 設 計 例
1 ヨ
アヨ ノ ノ
Mら灘網掛．・．墨塾FI㊥
s。。i。6，4 2 M・
Lino
Pardle［WqllS Subsonic tnlet
（G）
／≧一 ＼
綜麟
（b）
Figユ6 Nozzle for producing uniform， parallel flow．
（a）Flow plane。
（b） ］日［odgraph plane．
超音速風胴において，その対称性から：Fig・16のごとく 上半分のみを考えてみると（3）
（1）領域6−7−3−2−6は点7から出たマッハ線が凹に曲 ったノズル壁7−5−3によって反射し，膨脹する区間であ る。この部分はマッハ線が互に交差する。
（2）領域3−2−1−3はノズルag 3−1によって反射波は相 殺され，単一波の領域で，一回平行流にする区間である。
点3は偏曲点で3−1は凸に曲っている。
（3）1−2の下流は測定部であり，所定のマッハ数で，一 様平行流である。マッハ線は直線で中心線とαEの角をな
す。
以上の設計法から下記条件にて設計された超音速ノズル をFig．17に示す。
Fig．17 Design of bell cone nozzle．
条件：スn一ト，M＝＝1。測定部， M＝4。その他の条件 は2節で示した通りである。
Fig．18はFig．16における点7，5が物理的に同一位置 をしめるいわゆるSharP−corner nozaleにおける測定部の 高さに対するノズルの長さとの比を示している。このよう
にこの比は最終マッハ数により異なってくるものである。
お
B ア 6
z4
1 zo
］ λ
1 ﹁ 匪
1 ／ ∫
3 2 し 月
1 ， 旨 堰@1／ ！ 1『
，一〆〆 @ ド！D〆 一
﹂
！ ノ．
口1 o
1 ∠ ノ ／ ．@ゴ ー 8
Oo 一
1．0 2．Q 乙． 4．0 5・O
Fig．18 Contour for sharp−corner nozzle．
4 む す ．ぴ
本報告の内容は，昭和45年度の機械工学科学生に対する 卒業硫究として行なったもので，これを一部加筆したもの
／iig・：：：ll：
sts
1
罧馨§終馨罫
である。本研究に多大の協力を得た本校卒業生の関藤清 志，滝上博士，両君に謝意を表する。
参 考 文 献
（1）玉木章夫：流体力学皿，（昭44），共立出版
（2）玉田胱訳：気体力学，（ 67），吉岡書店
（3） Shapiro， A． H ： The Dynamic and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow． V ols． 1， The Ronald Press Co．， New York （ 53）
一 220 一
