(反粒子から粒

荷電共役

粒子と反粒子に対するディラック方程式をつなぐ変換を作ります。

途中からディラック・パウリ表現を使っているので、ガンマ行列の一般的な関係でなくなっていることに注意し てください。

 反粒子は粒子に対して電荷だけが反符号となって存在します。言い換えれば、粒子の負エネルギー解に対して、

電荷、エネルギー、運動量、スピンの符号を逆にしたものが現実に反粒子として存在します。つまり、反粒子の従 う方程式は、粒子の方程式の電荷の符号を反転させたものです。これを利用して、粒子から反粒子

(反粒子から粒

 電荷を

e

e、反粒子では − e

−| e |、陽電子では + | e |

A ^µ

((i ℏ ∂ _µ − e

c A _µ )γ ^µ − mc)ψ = 0 (1a)

として、電磁場があるディラック方程式に従います。これに対して反粒子では電荷の符号を反転させた

((i ℏ ∂ _µ + e

c A _µ )γ ^µ − mc)ψ _c = 0 (1b)

という電磁場があるディラック方程式に従うとします。このときの、ψと

ψ _c

(Charge Con- jugation)

 その変換を求めるために、まずは

(1a）の複素共役を取り

0 = ((i ℏ ∂ µ − e

c A µ )γ ^µ − mc) ^∗ ψ ^∗

= (( − i ℏ ∂ µ − e

c A µ )γ ^{µ ∗} − mc)ψ ^∗

= ((i ℏ ∂ _µ + e

c A _µ )γ ^{µ ∗} + mc)ψ ^∗ (2)

これで電荷部分の符号は変わりました。後は、mcの符号と

γ ^{µ ∗}

(1b)

U γ ^{µ ∗} U ^{− 1} = − γ ^µ (3)

という変換があるとすればいいです。Uはスピノール成分による

4 × 4

^{− 1}

U

(2)

0 = (

(i ℏ ∂ µ + e

c A µ )U γ ^{µ ∗} + mcU ) ψ ^∗

= (

(i ℏ ∂ µ + e

c A µ )U γ ^{µ ∗} U ^{− 1} + mc ) U ψ ^∗

= (

(i ℏ ∂ _µ + e

c A _µ )γ ^µ − mc )

U ψ ^∗ (4)

これを

(1b)

ψ

ψ c

ψ c = U ψ ^∗ (5)

 今度は

(1a)

0 = − i ℏ ∂ µ ψ ^† γ ^{µ †} − e

c A µ ψ ^† γ ^{µ †} − mcψ ^†

= − i ℏ ∂ _µ ψ ^† γ ₀ γ ₀ γ ^{µ †} − e

c A _µ ψ ^† γ ₀ γ ₀ γ ^{µ †} − mcψ ^† (γ ₀ γ ₀ = 1)

= − i ℏ ∂ µ ψγ 0 γ ^{µ †} γ 0 − e

c A µ ψγ 0 γ ^{µ †} γ 0 − mcψ

= (i ℏ ∂ µ + e

c A µ )ψγ ^µ + mcψ (γ 0 γ ^{µ †} γ 0 = γ ^µ )

= (i ℏ ∂ µ + e

c A µ )γ ^µT ψ ^T + mcψ ^T

ψ _c = Cψ ^T = C(ψ ^† γ ₀ ) ^T = Cγ ₀ ^T ψ ^∗ , Cγ ^µT C ^{− 1} = − γ ^µ (6)

C

ψ c = U ψ ^∗ = Cψ ^T

= Cγ ^T ₀

 ここで、ディラック・パウリ表現を使うことにします

(一般性がなくなることに注意)。ディラック・パウリ表

γ ^1T = − γ ¹ , γ ^2T = γ ² , γ ^3T = − γ ³ , γ ^0T = γ ⁰

^0,1,2,3

Cγ ⁰ C ^{− 1} = − γ ⁰ Cγ ¹ C ^{− 1} = γ ¹ Cγ ² C ^{− 1} = − γ ² Cγ ³ C ^{− 1} = γ ³

となり、γ

¹

γ ³

C

⁰

γ ²

 ガンマ行列は

γ ^µ γ ^ν + γ ^ν γ ^µ = 2g ^µν

なので、異なるガンマ行列とは反交換します。そのため、Cが

γ ¹

γ ³

⁰

γ ²

γ ⁱ γ ^j

⁰

γ ²

γ ⁰ , γ ²

1

γ ² γ ⁰

 というわけで、Cを

C = iγ ² γ ⁰ = − i

( 0 σ 2

σ 2 0 )

=



 



0 0 0 − 1

0 0 1 0

0 − 1 0 0

1 0 0 0



 



と与えます。逆行列はパウリ行列の性質

σ _i ² = 1, σ _i ^† = σ i

C ^{− 1} = i

( 0 σ 2

σ 2 0 )

= C ^† = C ^T = − C

となっています。

 これによって

ψ _c

ψ c = U ψ ^∗ = Cγ ⁰ ψ ^∗ = iγ ² γ ⁰ γ ⁰ ψ ^∗ = iγ ² ψ ^∗

(ψ c ) c = (iγ ² ψ ^∗ ) c = iγ ² (iγ ² ψ ^∗ ) ^∗

= γ ² (γ ^{2 ∗} ψ)

= γ ² γ ⁰ γ ² γ ⁰ ψ (γ ⁰ γ ^{µ ∗} γ ⁰ = γ ^µT , γ ^2T = γ ² )

= − γ ² γ ² γ ⁰ γ ⁰ ψ

= ψ

となって元の

ψ

ψ

c

⟨ A ˆ ⟩ c = ⟨ ψ c | A ˆ | ψ c ⟩

=

∫

d ³ x ψ _c ^† Aψ ˆ _c

=

∫

d ³ x (iγ ² ψ ^∗ ) ^† A(iγ ˆ ² ψ ^∗ )

=

∫

d ³ x ψ ^∗† (γ ^2T ) ^∗ Aγ ˆ ² ψ ^∗

=

∫

d ³ x ψ ^∗† γ ⁰ γ ² γ ⁰ Aγ ˆ ² ψ ^∗

= −

∫

d ³ x ψ ^∗† γ ² Aγ ˆ ² ψ ^∗

= − ( ∫

d ³ x ψ ^∗† (γ ² Aγ ˆ ² ) ^∗ ψ ^∗ ) _∗

= − ⟨ ψ | γ ^{2 ∗} A ˆ ^∗ γ ^{2 ∗} | ψ ⟩

= − ⟨ ψ | ( − γ ² ) ˆ A ^∗ ( − γ ² ) | ψ ⟩

= − ⟨ ψ | γ ² A ˆ ^∗ γ ² | ψ ⟩

というようにして演算子の期待値を求めることが出きます。

 荷電共役をとることで、エネルギー、運動量、スピンの方向がどうなるのか見ます。ここではエネルギーとスピ ンの射影演算子を別々に用いないで、一緒に使います。射影演算子は必要な状態を取り出す演算子なので

Λ ϵ P κ

として単純に組み合わせれば、欲しいエネルギー、スピンを持った状態を取り出せます。Λ

ϵ

ϵ = ± 1

Λ _ϵ = ϵp _µ γ ^µ + mc 2mc P κ

κ = ± 1

P κ = 1 + κγ 5 n µ γ ^µ 2

n ^µ

ψ

ψ ϵ,κ = Λ ϵ P κ ψ

とします

(例えば、 ψ

n µ

ϵ = +1、κ = − 1)。

これの荷電共役は

(ψ _ϵ,κ ) _c = Cγ ⁰ ψ _ϵ,κ ^∗ = Cγ ⁰ (Λ _ϵ P _κ ψ) ^∗ = Cγ ⁰ ( ϵp µ γ ^µ + mc

2mc ) ^∗ ( 1 + κγ 5 n µ γ ^µ 2 ) ^∗ ψ ^∗ γ ₅

(ディラック・パウリ表現の場合)

γ ₅ ^T = iγ ₃ ^T γ ₂ ^T γ ₁ ^T γ ₀ ^T = i( − γ ₃ )γ ₂ ( − γ ₁ )γ ₀ = iγ ₀ γ ₁ γ ₂ γ ₃ = γ ₅

γ ^{5 †} = γ ⁵

5 = γ ^T ₅ = γ ₅ ^∗

γ 5

[C, γ 5 ] = [iγ ² γ ⁰ , iγ ⁰ γ ¹ γ ² γ ³ ]

= − γ ² γ ⁰ γ ⁰ γ ¹ γ ² γ ³ + γ ⁰ γ ¹ γ ² γ ³ γ ² γ ⁰

= − γ ¹ γ ³ + γ ¹ γ ³ (γ ⁱ γ ^j + γ ^j γ ⁱ = − 2δ ^ij , i, j = 1, 2, 3)

= 0

なので、Cと

γ 5

γ ^{µ ∗}

γ ^µ = − U γ ^{µ ∗} U ^{− 1} = − Cγ ₀ γ ^{µ ∗} (Cγ ₀ ) ^{− 1}

(ψ ϵ,κ ) c = Cγ ⁰ ( ϵp µ γ ^µ + mc

2mc ) ^∗ ( 1 + κγ 5 n µ γ ^µ

2 ) ^∗ (Cγ ⁰ ) ^{− 1} Cγ ⁰ ψ ^∗

= Cγ ⁰ ϵp _µ γ ^{µ ∗} + mc 2mc

1 + κγ ₅ n _µ γ ^{µ ∗}

2 (Cγ ⁰ ) ^{− 1} Cγ ⁰ ψ ^∗

= ϵp µ Cγ ⁰ γ ^{µ ∗} (Cγ ⁰ ) ^{− 1} + mc 2mc

1 − κγ 5 n µ Cγ ⁰ γ ^{µ ∗} (Cγ ⁰ ) ^{− 1}

2 Cγ ⁰ ψ ^∗ (γ 0 γ 5 = − γ 5 γ 0 )

= − ϵp µ γ ^µ + mc 2mc

1 + κγ 5 n µ γ ^µ 2 Cγ ⁰ ψ ^∗

= − ϵp µ γ ^µ + mc 2mc

1 + κγ 5 n µ γ ^µ 2 ψ _c

= Λ ₋ ϵ P κ ψ c

このため

ψ

ϵ, κ

ψ ϵ,κ

c

− ϵ, κ

ψ c

κ

(「射影演算子」参照)。しかし、スピン自体は反転しています。なので、反粒

 実際に静止している場合の負エネルギー解の荷電共役を取るとはっきりします。例えば

ψ ³ =



 

 0 0 1 0



 

 exp[ imc ² ℏ t]

これの荷電共役をとると

(ψ ³ ) _c = Cγ ⁰ (ψ ³ ) ^∗ = iγ ² (ψ ³ ) ^∗

= i



 



0 0 0 − i 0 0 i 0 0 i 0 0

− i 0 0 0



 





 

 0 0 1 0



 

 exp[ − imc ² ℏ t]

= −



 

 0 1 0 0



 

 exp[ − imc ² ℏ t]

同様に

(ψ ⁴ ) c = i



 



0 0 0 − i 0 0 i 0 0 i 0 0

− i 0 0 0



 





 

 0 0 0 1



 

 exp[ − ^imc _ℏ

t] =



 

 1 0 0 0



 

 exp[ − ^imc _ℏ

t]

ψ ³

(ψ ³ ) _c = ψ ² , (ψ ⁴ ) _c = ψ ¹

3

Σ 3 ψ ² =

( σ 3 0 0 σ 3

)

= − ψ ² , Σ 3 ψ ³ =

( σ 3 0 0 σ 3

)

= +ψ ³

となり、符号が反転しています。なので、スピンが反転したものの荷電共役になっています。

 このような対応のために、p

0 = E/c > 0

u ¹ (p)e ^{− ip}

^x

^{/ ℏ} = ψ ¹ (p)e ^{− ip}

^x

^{/ ℏ} , u ² (p)e ^{− ip}

^x

^{/ ℏ} = ψ ² (p)e ^{− ip}

^x

^{/ ℏ} v ¹ (p)e ^ip

^x

^{/ ℏ} = ψ ⁴ ( − p)e ^ip

^x

^{/ ℏ} , v ² (p)e ^ip

^x

^{/ ℏ} = ψ ³ ( − p)e ^ip

^x

^{/ ℏ}

といった表記が使われます。