周期入力をもっ微分方程式の初期値の一決定法
長 中 + 彦
尾 道
A Method t o D e t e r m i n e t h e l n i t i a l V a l u e o f Eq u a t i o n by t h e M o d e l o f t h e S a m p l e
田a n d ‑ H o l dD e v i c e
by
M i c h i h i k o NAGAO
( E l e c t r i c a l Engineering)
A numerical s o l u t i o n o f a 1 i near d i f f e r e n t i a l equation with ~ a p e r i o d i c input i s obtain@d by computing over the s e r i e s o f c y c l e s .
When the inputs o f the equations a r e piecewise constant ， another method i s proposed t o obt‑
ain the numerical s o l u t i o n o f the equations i n t h i s paper. We consider the piecewise constant input as the output o f the sample‑and‑zero‑order‑hold d e v i c e . This method g i v e s f i r s t the i n i ‑ t i a l value exactly and simply. Then we obtain the s o l u t i o n by
、computation on the i n t e r v a l o f only one cy c 1 e .
1 . ま え が き
シリコン制御整流素子の開発により，交流電動機の 駆動用電源として，インパータが広く用いられるよう になった.乙れと並行して，インバータで駆動される 電動機，即ち，入力波形が PWM 波形(区分的に連続 な波形)で駆動される電動機の各特性も解析されてき た.この解析の基礎は，電動機の電圧・電流の関係で あり，この関係は d‑q 変換法により定係数線形微分 方程式で表わされる.乙の方程式の定常状態での解を 求めるために，一般に行われている方法は，最初，初 期値を零とし，収束するまで繰返し行うか，実測によ りだいたいの初期値を知って繰返し計算によるか，あ るいはアナグロ計算機と並用する方法等である.
本論文では，区分的に連続な入力を，連続な入力 をサンプリングし，零次ホーノレド回路を通過した出力 と見なして，連続系を離散値系に変換する.そして初 期値が半周期の値と符号が逆で，絶対値が等しいとい う条件を用いて， PWM波形のように，区分的に連続 な入力の初期値を一意的に求める方法を示す.
*電気工学教室
最初に，連続系を離散値系 l 乙変換し，初期値が一意 に定まるための必要十分条件を示す.この方法で，与 微分方程式の初期値を求め，この初期条件のもとでこ の方程式を解き半周期後の解と
e比較する.
2 . 定係数線形連続系より定係数線形離散値系への 変換
く 2 .1> 定係数鯨形連続系 T: 時間集合;
U:入力集合 =Rm=m 次元実数ベクト J レ空間;
X: 状態集合 =Rπ=n 次元実数ベクトノレ空間，
A : X → X ， B:U → X は線形作用素とする.
乙の時，定係数線形連続系は
x ( t )=Ax ( t ) 十 Bu(t) ・ ‑ ・ ・ ・ ・ ・ ( 1 ) (x ( t )=dx/dt ， tET ， XEX ， UE U)
で表わされ，初期値 7 : E T ， x( け を も っ ( 1 ) 式の解は次 のようになる.
x ( 日 ( 日 x 伸 s : c t ( 刊 Bu 似
周期入力をもつ微分方程式の初期値の一定法 45
ただし，
φω三醐一E＋ ｻ（≠1化（鱒位行列）（・）
＜2．2＞ 定素数線形連続系より定係数線形離散値 系への変換 ％∈…σを周期なでサンプリングし，零次 ホールド回路にくわえ，その出力を吻∈σとする．
この時，②式は次のように変換され，定係数線形連続 系より定係数線形離散値系が得られる（3）・．
κ（z〔：（ん十1） s〕＝φα8）κd（ん s）十〇（≠8）z6〔エ（ん≠s） ・・…・（4｝
（ん＝0，1，2，＿＿；κ面∈X，渉8∈τ）
ただし，
・㈲一 轤P8φ〔（ん＋1）む一・〕B4・…………1・）
そして（4）式の解は，初期値ん＝0，勘（0）とすると 宛（κ 8）＝φκα8）κd（0）
ん一1
乃一∫．1
（ 8）θ（ 5）z5ご （ガ≠s）・・・… 。・・・・・・・・… 。・・（6）
＋Σφ 2＝0
となる（3）．
（4）式より
宛〔（ん＋1）≠8コーκd（砥）
＝〔φαs）一Eコ鞄（砥）＋o（♂・）殉（ん 8）
四丁（ん十1）磐（㈲識〔鯉一馬㈲
＋σ警）嚥）〕
・（の渦φ（贈・（の＋磨。0警）・（の…（7）
となる．また
鳥φ（響一鞭＋澄，聖1⇒一一
謬召騨㍉囎÷∫1㌔（≠s−s）β4・
一為÷〔朋一置1誰（餐〒s）竺〕r
＝B
・。・・・・・・・・・・…@。・・。・。・。… 。・。・。・… 。・・… 。・・。・u。・・… （9）
であるから，な→0のとき勉＝κとなる．
以上のことにより，連続系を離散値系で近以できる．
また，サンプリング周；期 、を短くすることにより，
離散値系による連続系の近以度は増加する．
最初から入力が区分的に連続な場合は，連続な入力 が既に，サンプラー二次ホールド回路を通過したとみ なせば，（6）式により真の解が得られる．
3．定係数線形離散値系の周期解
インバータをサンプラー零次ホールド系とみなすと，
一・ ﾊに，サンプリング周期七sが，インバータの発振 周波数の一周期内で異なっている．このために，各サ ンプリング区間ごとに解を求めて，初期値が一意に定 まるための必要十分条件を求ある．
リンプリング周期七，のとりかたは，4の具体例で 述べる．
＜3。1＞ サンプリング周期の異なる時の離散値系 連続入力κ（ ）を考え，区間〔0，Ts／2〕∈Tをn区立
に分ける．各区間において時間七、パi−0，1，………，n）
でサンプリングし，零次ホールド回路の出力π副を 得る
この時，各区間〔t ，t ・1〕，出力短乞，サンプリ ング周期七・乞それに各境界条件等の関係は次のように
なる．
0≦＝≠〈≠1；・πσ＝碗0， 8＝≠30，必（0）＝陶0（0）
、《！ぐ2；殉＿嫡，渉、＿云、、，
エ（0）＝ζτ♂i（0）＝絢0（ 1）
疏一1≦ ≦疏；吻＝π♂π一1， 8＝ 8π一1，諾（0）＝
陶π一2（砺一1）κ（0）………・・…・…
〔9）
これより，各区間でのx醗は（61式より次のようにな る。 『
。、。（ん。 80）一φ㌦。（。）＋乃野1φん・一Lゴ・。。碗。
o ガ。＝o o
礁砺）一φ悩（・）＋緋h−1一編
・伽一、（んη＿1〜5sη＿1）一φ砺一・κ伽．、（o）
η＿1
＋触「1φ二一i−1一宛．・翫．i 血一i π＿1
z箆＿」＝
ただし，
（1①
島は0≦；島≦；（ 乞＋1一 乞）／ 8乞（」＝0，1，……η一1），な る自然数．
φ1Lφ緬），・F∫『乞φ（ 8乞 s）Bゴ・∴・……一・仙
（9），（10）式よりκ画一1（柘一1∫・π一1）は次のようになる．
一幅の一φ禁11・φ禦12……φ11φ10
κ⑳（0）
、。一、 肋一2』』、2、i左・一㌔6一、．、。
塊・●転2…φ2●φ・、為φ・
σo碗。十・…・・
襯肋一，砺一3『1、。．3．、．漉 ＋φ・一・φ・㌔2i一。艦一・ o・一・
×Z4σπ一3
襯砺一2−1醜一2一⊥一・
π一2σπ一2％伽＿2 ＋φ
Σ φη一2 π順1ゴπ一2−o
＋鴛∴φ駕煽隔一………・（1鋤
＜3．2＞ 交番周期
解定義（4｝式の解κα（秘）が，一つの数τ・が存在し て
宛（初s一トτ8）＝宛（砥）（んf8，τ8ε7一）・・…………・…（13 を満足する時，宛（ん 8）は周期：τ、をもつ系（4）の周期 解という．さらに
κ、（ん 、＋：τ，／2）一一宛（麓、）・………・…………・……⑬ を満足する時，κ（㍑8）は交番周期解：τsをもつ剰4）の 交番周期解という．
いま，各不連続点疏をとると
ん0 80＝彦1，ん1∫ε0＝ 2一 1，……・んη一1∫sπ一1＝碗一玩一1 ＝τ8／2一碗一1
なる関係がある．これより
φ禦11……φ10一φ（砺．1ψ、π．1＋・・…・＋んof）
＝φ（τ8／2）
φ禁11……φん㌔一φ（ん・一・ら・一・＋…・∴＋噛）
＝φ（ π一」1）
φ浩1φ鰐一φ（楠一・）
んれ ユ
φ ＝φ（砺一碗一1）
π一1
を得，壁式は㈲式より次のようになる．
κ伽一1（砺一1∫8π一1）二φ（τ8／2）宛0（0）十φ（碗一∫1）
㌻1φ・・一・一・・0。吻。
ゴ＝o o
＋φ（玩一∫2） ﾗ塵G・陶・＋一・∵
＋φ（一 ｽφ鮮鞠一
砺一1−1 ＋ Σ 疹＝0 π一1
〜
／ユ5）
）
φんπ4−1一ゴ・一10。一1臨一1………α③
定義により短（ん 5）が交番周期解をもつためには，
τ，をκd（馬ジの周期とすると， ゐ＝0のとき，宛．
（τs／2）一一κd（0）である．これは， 〔o，τε〕を任意 の区間に分けた時でも成り立つから，q⑤式より次の結 果が得られる．
・、（τ，／2）一・伽一、（ん。一・∫、。一・）一一・・（0）一一・・・（0）
ん。−1
〔φ（τ、／2）＋E〕勘・（・）一｛φ（ ・蘭）浬。
なむ ユ ゼ
φ ・ 00陶0÷…………
0 砺一1−1
ん箆＿ゴ1一乞
＋ Σ φ
0π一1％伽一1 2＝0 η『1
一＿
麻ﾓ（，凶）んブ芽1φん・一・一・一・。、．、吻一、．．．qの
ゴ＝1 ゴ＝0 ゴー1
これよりんdO（0）が一意に定まるための必要十分条件は
4θ 〔φ（τ8／2）十E〕 ≒0 ・・・・・… 。・・。・・・・・・・・・・・・・・… 。… （18＞
である．
⑳式より，48必≒0であれば
σ・一 轤ﾈ乞φ（ s乞 5）B炉φ（ ・の∫空φ（一・）ゐB 一φ（・・の∫18乞｛E一孟・＋（斜……＋（一・）・（留π
十…｝43・B
（オリ2 一φω〔一｛一」 ・汁2！一……＋（一1）・＋1
辞影＋…｝左・〕・B
＝一φ（ の｛φ（一 8の一E｝』一1B＝ ｛φ（ sの一E｝
×浸一1・B
一オ1｛φ（f、の一E｝・B（φα）とオ4は交換可能）119 が得られ，（17）式は〔19式より
η んブーエー1 ｛φ（τs／2）＋E｝梅0（0）＝一Σφ（三一のΣ ブ＝1 ゼ＝0
φ鶉一ユー乞
・〔ノ1−1 ｛φ（∫8乞）一E｝B〕％・ブー・
一一 噬ﾓ（励）劉φ㌍1一1一ぎ
〔φ（ご・ゴー・）一E〕B塀・…・…………・…・……⑳
となる．（18）式と4θ昭≒0が成り立てば，初期値κ￠o（0）
ぽ次のよう表わされる．
れ
勘・（0）一一 kオ｛φ（τ1／2）＋E｝〕一エゴ≡1φ（励）
箋1牽r1一ゴ｛φω一E｝…………・…・伽
計算機によれば，φ（のや逆行列〔浸｛φ（τ，／2）＋E｝〕｝1 は簡単に求めることが出来るので初朝値κ⑳（0）も簡単 に求まる．次に，ある二相サーボモータに，TRC電 圧波形（波形の面積が常に一定な波形）がくわわった 時の初期値κdO（0）を求める．
4．具 体例
初期値κα・（0）は，第七有効i数字を四拾五入して6
桁で求める．この求め方は，（3）式の項数kを順
周期入力をもつ微分方程式の初期値の一定法 45 次ふやしていき、あるkの時のκd。（0）が（k」1）の
時の勘。（0）と，有効数字七桁で等しくなった時に計 算を打切り，この時のκ伽（0）を初期値とする．一方 φ（七）の各要素は，有効数字七けた以上で第（k−1）項 までのφ（七）と等しくなければならない．
そして，この初期値κ伽（0）を用いて，（1）式の
＝7−3／2における解κ（τs／2）を求め，一κdo（0）＝
κ（τs／2）の関係をみる．
計算機の使用にあたって，初期値堀。（0）を求める ための全ての計算は倍精度で行った．そのうち逆行列 はSweep Ou七法を用いた．そして微分方程式の解法 は単精度Runge Ku七七a Gi11法を用いた．
〈4．1＞例題1 Fig・1（a）のような入力がくわ わった時の初期値を求める．
図において鴫，娼の両入力を同時に，o，七1，t2，t8，
t4………へと順次サンフ。リングしていくと考える．す ると，半周期 0，Ts／2のみを考え，次の関係が成
り立つ．
．0≦二渉≦＝渉1＝τ5／4；zごd＝z440＝ 〔z61（オ。，一z♂2σ000〕，，
s二 So＝τs／4
1≦； 〈！2＝コ「3／2；z4（1＝π（オ1＝ 〔π1（オ。 z42（zoO O〕！，
s＝渉s1＝τ3／4
ただしノ記号は転置を表わす．このとき，（21）式にお けるπ，kr1はη一2，kFk1二1であるから初期値
κ面（0）は
κ面（0）＝一〔｛オφ（τs／2）十E｝〕一1〔φ（τ∫／4）
｛φ（τs／4）｝ 一E｝ 石｝z∫40 十 ｛ φ （τs／3）
一E｝ 1｝こノ141 〕 。・・・・・・・・・… 。。・。・・・… 。（22）
となる．ここで，各数値を次のように与える．
τ8＝20．0×10−3，z4140＝zご240＝zご1411＝z6241＝
100．0
温＝
．B＝
一161．542 555．874 534．791 683．327
−555．874 −161。542 −683．227 534．791 131．581 −683．327 −656．555 −838．474 683．327 131．581 838．474 −656．555
4．405 0．0
−3．588 0．0
0．0 4．405 0．0
−3．588
」3．588 0．0 4．405 0．0
0．0
−3．588 0．0 4．405
〈4．2＞例題2 Fig・1（b）の入力がくわわっ時の 三期値κd。（0）を求める．
ここでも前と同様に，o，七1，七2，…，t8………へと順
u 岨
（a） （b） u
@ u∫
U t5 h 極 ・t O
@ uぎ
t1 松 t
t3、
