博 士 （ 理 学 ） 星 賀 彰
学 位 論 文 題 名
Study on ilfespan of solutions to quasilinear wave equations
（ 準線型波 動方程式 の解の lifespan についての研究）
学位論文内容の要旨
本 論 文 は 二 次 元 空 間 に お け る 準 線 型 波 動 方 程 式 の 初 期 値 問 題 に つ い て 研 究 し た も の で あ る 。 そ の 目 的 は 、 十 分 小 さ い 任 意 の 初 期 値 に 対 し て 古 典 解 が 存 在 す る 最 大 の 時 刻 (lifespan)を 評 価 す る こ と で あ る 。 考 え て い る 方 程 式 が 双 曲性 を 保 っ ため に 、 初 期条 件 は 小 さ い も の の み 考 え る 。具 体 的 に は次 の よ う な方 程 式 を 考え る ： 口tz三 群u ‑ a21 一 022U〓F(u´ ）u″ 。 こ こ でu′ お よ びu″ は そ れ ぞ れuの 時 空 の 一 階 お よ び 二 階 偏 導関 数 と し 、F(u´ ） はu′ の 二 次 以 上 の 多 項 式 と す る 。 こ の 方 程式 は 、 物 理的 に 意 味 のあ る 例 と し て は 、 膜 の 振 動 を 記 述 す る 方 程 式 を 含 ん で い る 。 滑 ら か で 台 コ ン パ ク ト な 関 数 f（ ）、g(x）を任意に取り、t＝0での初期条件をu(x，0）＝E．′（ ）、at． （z，0）＝E9（z） と す る 。 た だ し ピ は 小 さ な パ ラ メ ー タ と し 、 こ の 初 期 値 問 題 の 古 典 解 のlifespanを T（ ￡ ）で 表 す こ とに す る 。F（u′ ） が三 次 以 上 の多 項 式 で ある 場 合 は 十分 小 さ いEに 対し てT（E） ＝ooと な る こ と が 知 ら れ て い る 。 こ の 意 味 で 著 者が 考 え て いる 状 況 はcritical c恥eと 言 え る 。 ま た 、 こ れ ま で な さ れ て き たlifespanの 評 価 に 関 す る 研 究 は 、 ピ に 関 する 依 存 の 度合 に 注 目 した も の が 主だ っ た が 、本 論 文 で はさ ら に． ′（ゴ ）、9（ りおよ び 非 線 型 項 の 主 要 項 に 関 す る 依 存 の 様 子 も 調 査 し 、 よ り 精 密 な 評 価 を 得 る こ と を 目 的 としている。
Partfではlifespanの 下 か ら の評 価 と し てliminら →0ピ210g（1十T（ご） ）≧−1／Hを得 てい る 。 た だしHは． ′（ぞ ）、9（z）およ びF（u′ ）の二 次の項 の係数 により 具体的 に表す こ と の で き る 正 の 定 数 で あ る 。 さ ら に 、 こ の 結 果 か ら 予 想 さ れ る 通 りH＝0と な る と き は 十 分 小 さ いEに 対 し てT（E） 〓ooと な る こ と も 証 明 し て い る 。H〓0と な る た めのF（u′） の 条 件 をnun−conditionと呼 ぶ 。 す なわ ち こ の 結果 は 、nu11一conditi011を 満 た す よ う な 特 殊 な 非 線 型 項 に 対 し て は 古 典 解 が 時 間 大 域 的 に 存 在 す る こ と を 示 し ている。
PartJfの 前 半 で は 本 論 文 の 中 核 で も あ る 、lifespanの 上 か ら の 評 価 に つ い て 研 究 し て い る 。 解 が 空 間 的 に 球 対 称 な 解 で あ り 非 線 型 項 がnull・conditionを 満 た さな い 場 合 、limsupE→0ピ210g（1十T（ ど ） ） ≦1／Hと ぃう 評 価 を 得て い る 。 ここ でHはPalItfで 現 れ た も の と 同 じ 定 数 で あ る 。 し た が っ てPartJで 得 た 結 果 と あ わ せ る と 、 球 対 称 解 のlifespanに 対し て はlilns→0E210g（1十T（ ど） ） ＝1／ ロ が成 り 立 つ こと が わ か る。 こ れ は こ の 評 価 が 最 適 で あ る こ と を 意 味 し て い る 。 な お 、1ifespanの 上 か ら の 評 価 は 、 時 刻tがT（ ビ ） に 近 づ く に っ れ て 、 解 の 二 階 偏 導 関 数 が 特 性 線 に 沿 っ て 限 り な く 無 限
大に近づくことにより得られる。このとき、解自身および解の一階偏導関数は減衰し ている。この事実は膜の振動の方程式にあてはめると次のように解釈できる。膜の 振動の方程式の解は膜の垂直方向の変位を、一階偏導関数は膜の傾き具合を、そし て二階偏導関数は膜の曲率を表している。したがってたとえば太鼓をたたいたとき、
時間が経つにっれて振幅はだんだん小さくなるが、ある時ある点で曲率が無限大に なり、しかもその特異点は太鼓をたたいた点から離れる方向に伝幡されるのである。
またPart II の後半では、時刻T （ど）付近での解の漸近挙動について研究している。
ここでは、特性線に沿う解の二階偏導関数の具体的な表示を得ることにより、解がど の程度のオーダーで発散するかを明らかにしている。
以上の本論文の研究により、二次元空間における準線型波動方程式の解のlifespan
に対する最適な評価を得ることに成功した。
学位論文審査の要旨 主査 教授 上見練太郎 副査 教授 久保田幸次 副 査 教 授 儀我 美一 副 査 教 授 小澤 徹
学 位 論 文 題 名
Study on ilfespan of solutions to quasilinear wave equations
（ 準 線 型 波 動 方 程 式 の 解 のlifespanに つ い て の 研 究 ）
本 論 文 は 二 次 元 空 間 に お け る 準 線 型 波 動 方 程 式 の 初 期 値 問 題 に つ い て 研 究 し た も の で あ る 。 そ の 目 的 は 、 十 分 小 さ い 任 意 の 初 期 値 に 対 し て 古 典 解 が 存 在 す る 最 大 の 時 刻 (lifespan)を 評 価 す る こ と で あ る 。 考 え て い る 方 程 式 が 双 曲 性 を 保 っ た め に 、 初 期 条 件 は 小 さ い も の の み 考 え る 。 具 体 的 に は 次 の よ う な 方 程 式 を 考 え る ： □u三Ot2U一0一 缶u＝F（u′)u〃 。 こ こ でu′ お よ ぴu″ は そ れ ぞ れuの 時 空 の 一 階 お よ び 二 階 偏 導 関 数 と し 、F(u′ ） はu′ の 二 次 以 上 の 多 項 式 と す る 。 こ の 方 程 式 は 、 物 理 的 に 意 味 の あ る 例 と し て は 、 膜 の 振 動 を 記 述 す る 方 程 式 を 含 ん で い る 。 滑 ら か で 台 コ ン パ ク ト な 関 数
．′（z）、9（z）を任意に取り、t〓0での初期条件を （z，O）＝￡ア（z）、a （ ，0）〓E9（ ） と す る 。 た だ しEは 小 さ な パ ラ メ ー タ と し 、 こ の 初 期 値 問 題 の 古 典 解 のlifespanを T（ ￡ ） で 表 す こ と に す る 。F（u´ ） が 三 次 以 上 の 多項 式 であ る場 合は 十分 小 さいEに 対し てT（E） ＝ooと な る こ と が 知 ら れ て い る 。 こ の 意 味 で 著 者 が 考 え て い る 状 況 はcritica1 caSeと 言 え る 。 ま た 、 こ れ ま で な さ れ て き たlifespanの 評 価 に 関 す る 研 究 は 、Eに 関 す る 依 存 の 度 合 に 注 目 し た も の が 主 だ っ た が 、 本 論 文 で は さ ら に ．r（z） 、9（め お よび 非 線 型 項 の 主 要 項 に 関 す る 依 存 の 様 子 も 調 査 し 、 よ り 精 密 な 評 価 を 得 る ・ ご と を 目 的 としている。
Partrで はlifespanの 下か ら の評 価と してli舛in￡→oE210g（1十T（ ど） ）＞ ＝1／Hを得 ている。ただしロ は．′（ピ）、9（￠）およ びF（u′）．の二次の項の係数により具体的に表す こ と の で き る 正 の 定 数 で あ る 。 さ ら に 、 こ の 結 果 か ら 予 想 さ れ る 通 りH〓0と な る と き は 十 分 小 さ い ピ に 対 し てT（ ど ） 〓ooと な る こ と も 証 明 し て い る 。 ロ ＝0と な る た め のF（u′ ） の 条 件 をnull‐conditionと 呼 ぶ 。 す なわ ち この 結果 は、null一conditionを 満 た す よ う な 特 殊 な 非 線 型 項 に 対 し て は 古 典 解 が 時 間 大 域 的 に 存 在 す る こ と を 示 し ている。
PartHの 前 半 で は 本 論 文 の 中 核 で も あ る 、lifespanの 上 か ら の 評 価 に つ い て 研 究 し て い る 。 解 が 空 間 的 に 球 対 称 な 解 で あ り 非 線 型 項 がnull‐conditionを 満 た さ な い 場
