モ ハ マ ド メ ー デ イ ネ ジ ャ ド ヌ リ 博 士 （ 工 学 ） Mohammad Mehdinejad Nouri
学 位 論 文 題 名
ARIVIA Process Order Selection Based on SVD and its Application for Room Transfer Function Estimation
(SVD 法 に 基 づ く ARMA 過 程 の 次 数 決 定 お よ び 室 内 伝 達 関 数 推 定 へ の 応 用 ）
学位論文内容の要旨
デ イジ タル 信号処理では、未知システム のARMA (Autoregressive Moving Average)近 似 が 重 要 な 課 題 で あ る 。 このARMAシ ステ ム同 定の 多 くの 推定 アル ゴリ ズ ムが 提案 さ れ て おり 、入 出カ が既 知 とし た場 合で も、ARMA次 数と 雑音 比の設定 が推定精度に影響 す る こと が知 られ てい る 。雑 音の 存在 が未 知ARMAシス テム の最適次 数の推定を困難に す る ので 、特 に高 次数 シ ステ ムに おけ る最 適 推定 法を 用い たARMAパ ラメータの最適推 定 を 得る こと ができない。したがって、雑 音のない場合と区別して、 雑音の存在する場 合を 考察しなけれぱならない。
音 響的 なエ コー キャ ン セラ を実 現する ときは、室内伝達関数(RTF)を含むエコーパス を同 定することが重要である。 しかしながら、室内には音響的雑音が必ず存在するので、
室 内 には 雑音 がないと仮定することは不可 能である。本論文での応用 では、入出カとも に 観 測さ れる と仮定する。与えられたシス テムの近似をFIR(Finite Impulse Response) フ イ ルタ で行 うと 、極 め て高 次数 が必 要と な る。ARMA近似 を用いれ ぱ、係数の個数削 減 が 可能 とな るので、計算コストおよぴフ イルタの複雑さを減少でき る。そこでこの研 究 で は、 未知ARMAシス テ ムに 対す る新 しい 次 数決 定ア ルゴ リズムを 提案し、それが雑 音 で 汚 れ たRTFの 最 適ARMA近 似 の 同 定 に 有 効 な こ と を 示 す 。ARMA近 似 で は 、 最 適 次 数 推定 が安 定性および高能率同定におお きな影響をおよぽす。した がって、次数決定 あ る いは 推定 ではロバストなアルゴリズム を得る必要がある。室内に は音響的な雑音が 常 に 存在 する ので 、入 力 信号 が既 知で あっ て もARMAモ デル の次数推 定あるいは決定は 大 変 困難 であ る。出力信号に白色雑音が加 わるなら、よく知られた次 数推定を用いると 妥 当 な次 数の 決定ができない。本論文で提 案するアルゴリズムを用い るなら、雑音に汚 染さ れていても妥当な次数を推 定することができる。
提 案するアルゴリズムは、白 色雑音で汚れた観測された入出カデータからなるデー夕行 列の ランクを得るためにSVD (Singular Value Decomposition)法を用いる。SVD法は雑音 の無 い場合に有効なことが知ら れている。出カに白色雑音が加わるときは、SSV(Smallest Singular Value)がも はや 零で は ない ので 正の 小さ い 数と して計算さ れる。このSSVは SNR(Signal Noise Ratio)に依存 するので、どの位の正の小 さい数を切り捨てるのが良い のか の限界を決定する極めて困 難な問題に直面する。
本 論文 では 、切 り捨 て の値 の決 定に新 しい基準を導入し、それが既 知のSNRに対して は妥 当な測度となることを示す 統計的手法を提案している。
本 手法 は観 測入 出カ デ ータ のみ を必 要と し 、次 数推 定に はARMAパ ラメータを推定す る必 要はない。それに対してAIC(Aka.ike Information Criteria)、MDL(Minimum Descrip‑
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tion Length)、FPE(Final Prediction Error)およぴPLS(Predictive Least Squares)などの 従来 の多 く のアルゴリズ ムは、パラメータと次数と の同時推定が必要である。パ ラメー タ推 定と 次 数推定とは深 く結びっいているので、雑 音を含む観測データのみで次 数の推 定精度を評価するの は困難である。雑音を含むデ ータを最小二乗近似で実現するときは、
ARMAパ ラ メ ー 夕 空 間 と 観 測 デ ー 夕 空 間 と を 分 け て お く の が 便 利 で あ る 。 本 論文 は7章お よぴ3つ の付 録で 構 成さ れて いる 。第1章 では 、 本論 文の 背景 およ ぴ動 機付 け につ いて 述べ 、 各章 の概 説を行う。 第2章では、通信工学における エコー およ ぴエ コ ーの消去につ いて述ぺている。異なるメ デイアにおけるエコー現象の 基本定 義お よぴ 区 分が与えられ 、エコーの消去について従 来から行われている方法と現 在研究 中の方法とが明らか にされている。
第3章 では 、本 論 文で 広く 用い られ るSVDお よ ぴ行 列の 計算 法について述べて いる。
SVDの中 で最 も重 要 な性 質を 定理 とし てその証明も 与え、それを明らかにする例 題も示 して いる 。 また、雑音で 汚れたデータで作られた行 列の特異値のパターンの摂動 と雑音 によ る効 果 が述ぺられて いる。行列のランクおよぴ ランクを減少させるときに用 いられ る特異値分解の非常 に有用な性質もこの章に示し ている。
第4章 では 、ARMAモ デル に 基づ く未 知シ ス テム の次 数決 定の 新 しい 方法 を提 案し てい る。 ま ず、未知シス テムの次数推定についての 簡単な説明を行い、この問題 に対す る従 来の 方 法を述ぺてい る。次に、二三の定義をの ぺた後に、本論文で提案する アルゴ リ ズム がSVDを 用い て未 知シ ス テム の雑 音で 汚 され たデ ータ の行 列 のラ ンク 落ち の検 出に 基づ ぃ て導出される 。本アルゴリズムのランク 検出の重要な特徴は、本章で 導出し た雑 音で 汚 されたデー夕 行列の最小特異値の限界を 統計的な処理から抽出可能に した点 である。
第5章では、第4章 で提案したアルゴリズムの実 際の適用例を与える。まず、コンピュー 夕上 で作 成 した 未知 シス テ ムの 次数 決定 に本 ア ルゴ リズ ムを 応用し、異なるARMAモデ ルに 対し て 雑音のある場 合とない場合とについて本 アルゴリズムの動作を調ぺた 。その 結果、雑音のない場 合には完全に一致し、雑音の ある場合も極めてよい実験結果を得た。
さら に、 観 測デー夕行列 の条件数が非常に大きい場 合の悪条件下での推定に対し て、ダ ウ・ンサンプリング とプレ・エンフんシスの処理 を組み合わせれぱ、条件数を下げる効果 が得られ、安定にARMA推定が可能であることを示 している。
第6章 では 、実 験 室内 の音 響的 な伝 達関数の推定 実験の詳細が述べられている 。すな わち 、実 験 を行うための 準備と実験に用いられた装 置とが詳細に述ぺられ、その 実験に より 、雑 音 で汚 され た室 内 伝達 関数 をARMAモ デ ルと し、 その 次数推定に本アル ゴリズ ムを適用し、その有 効性を確かめている。
第7章 は結 論で あ って 、得 られ た結 果とその意義 について述べている。すなわ ち、本 研究 の成 果 は、TV会議や テレ．コンファレンス等の 新しい通信システムの音声品 質の向 上に有用であること を論じている゛。また、将来 に残された諸問題についても述べられて いる。
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学位論文審査の要旨
学 位 論 文 題 名
ARIVIA Process Order Selection Based on SVD and its Application for Room Transfer Function Estimation
（ SVD法 に 基 づ くARMA過 程 の 次 数 決 定 お よ び 室 内 伝 達 関 数 推 定 へ の 応 用 ）
デイジ タル信号 処理で は、未知 システム のARMA (Autoregressive Moving Average)近 似 が 重 要 な 課 題 で あ る 。ARMAシ ス テ ム で は 入 出 カ が 既 知 とし た 場 合 でも 、ARMA次 数と 雑 音 比の 設 定 が 推定 精 度に 影響し、 雑音の 存在が未 知ARMAシス テムの最 適次数 の 推定を困難にすることが知られている。
この 研 究 では 、 未 知ARMAシス テ ム に対 す る 新し い 次 数決 定 ア ルゴ リ ズ ム を提 案 し 、 そ れ が 雑 音 で 汚 れ た 室 内 伝 達 関 数(RTF)の 最 適ARMA近 似 の 同 定 に 有 効 な こ と を 示 してい る。提案 するアル ゴリズ ムは、白 色雑音 で汚れた 観測された入出カデータからな るデ ー夕行 列のラン クを得 るためにSVD(Singular Value Decomposition)法を用 いる。
SVD法 は雑 音 の 無 い場 合 に 有効 な こ とが 知 ら れて い る 。出 カに白 色雑音が 加わる とき は、SSV(Smallest Singular Value)がもはや零ではないので正の小さい数として計算され る。 このSSVはSNR(Signal to Noise Ratio)に依存す るので 、どの位 の正の 小さい数 を 切り捨 てるのが良いのかのスレッシュホルドを決定する極めて困難な問題に直面する。本 論文 では、 スレッシ ュホル ドの値の 決定に新 しい基 準を導入 し、そ れが既知 のSNRに対 しては妥当な測度となることを示す手法を提案している。
本手法 の特徴の ーっは 観測デー タとして は入出 カデータ のみが必要であり、第二の特 徴は 次 数 推定 に はARMAパ ラメ ータを 推定す る必要が ないこと である 。それに 対して 、 従来の 多くのアルゴリズムであるAIC(Akaike Information Criteria)、MDL(Minimum Deー scription Length)、FPE(Final Prediction Error)およびPLS(Predictive Least Squares)な どはパラメータと次数との同時推定が必要である。
本論 文は、 従来雑音 のある データに は適用 不可能と ぃわれて いるSVD法が、 雑音が あ るARMAモ デ ル の 次 数 推 定 に 有 効 なこ と を 示し 、 ま た、 室 内 伝達 関 数(RTF)の同 定 に 応用したものであり、その主要な成果は以下に要約される。
夫 彦
次 夫
弘
信 吉
香 秀
信
井 川
内 島
木
永 小
栃
北 三
授 授
授 授
授
教
教 教
教 教
助
査 査
査 査
査
主 副
副 副
副
cD SVD
の性質について検討し、雑音で汚れたデータで作られた行列の特異値のパター ンの摂動と雑音による効果を調べ、行列のランクおよぴランクを減少させるときに用い られる特異値分解の非常に有用な性質を求めている。
O
上に 求めた性 質を応用 して、
SVDを 用いてARMA モデルに基づく未知システムの 次数決定の新しい方法を、雑音で汚されたデータの行列のランク落ちの検出に基づぃて 導出している。
O
本アルゴリズムは、雑音のない場合には完全に一致し、雑音のある場合も極めてよ い実験結果を得ている。さらに、観測デー夕行列の条件数が非常に大きい場合の悪条件 下での推定に対して、ダウン・サンプリングとプレ・エンフんシスの処理を組み合わせれ ば、条件数を下げる効果が得られ、安定に
ARMA推定が可能であることを示している。
＠実験室内の音響的な伝達関数の推定実験の詳細が述ぺられている。すなわち、雑音 で汚された室内伝達関数をARMA モデルとし、その次数推定に本アルゴリズムを適用 し、その有効性を確かめている。
