平成
19
年度
修士論文
ギターの有限要素法解析と音創生
Study on finite element analysis and sound creation for acoustic guitar
指導教員
芝田
京子
准教授
副指導教員
井上
喜雄
教授
高知工科大学大学院
工学研究科
博士課程
(
前期
)
第 1 章 緒論 ... 1 1.1 研究背景および目的... 1 1.2 音の響き... 2 第 2 章 アコースティックギター ... 3 2.1 ギターの一般的構造... 3 2.2 発音原理... 4 第 3 章 音・振動の計測... 5 3.1 実験方法および実験装置 ... 5 3.2 計測結果... 7 3.3 考察 ... 10 第 4 章 有限要素法解析 ...11 4.1 弦の有限要素法解析...11 4.1.1 張力を有する弦 ...11 4.1.2 弦の有限要素法モデルの構築... 13 4.1.3 弦モデルの固有値解析 ... 14 4.1.4 弦モデルの周波数応答解析 ... 15 4.2 胴部の有限要素法解析 ... 16 4.2.1 胴部の有限要素モデルの構築... 16 4.2.2 胴部固有値解析結果 ... 17 4.3 弦-簡易モデルの有限要素法解析 ... 18 4.3.1 簡易連成モデルの構築 ... 18 4.3.2 固有値解析結果 ... 19 4.4 ギターモデルの有限要素法解析... 20 4.4.1 ギターモデルの構築 ... 20 4.4.2 ギターモデル固有値解析結果... 21 4.4.3 周波数応答解析および結果 ... 22 4.5 考察 ... 23 第 5 章 物理特性の変更... 24 5.1 ヤング率の推定 ... 24 5.2 周波数応答解析 ... 27
6.2 j 次モードの初期モード変位
ϕ
iの算出方法 ... 32 6.3 加振点による弦の振動の違い ... 33 6.4 振動計算結果... 36 6.5 音声波形の出力 ... 37 6.6 考察 ... 40 第 7 章 結論... 41 7.1 まとめ... 41 7.2 今後の課題 ... 41第
第
第
第
1
1
1
1
章
章
章
章
緒論
緒論
緒論
緒論
1.1 研究背景および目的 近年，キーボードやエレクトーンなどのように信号処理を用いた電子楽器が多く普及し ている．電子楽器の仕組みは，あらかじめ機械に特定の信号を記憶させボタンを押すなど の指示を出した場合に記憶させておいた特定の音が鳴るが，電子楽器の音源は既存の楽器 の音をもとに開発者の感性により創られた音が用いられている場合が多い．その場合，音 源開発者が電子楽器の販売者側であるので演奏者は限られた音源の中で音を選択している ものと考えられる．次節で詳細を述べるが，楽器の形が変化することで減衰や共鳴の違い により音質が変化する．しかし，楽器の形状による変化を取り入れた楽器はあまり見あた らない． そこでそのような楽器の一つとして，演奏者が物理モデルをベースに形状や材質などの 自分好みの物理特性をインプットし，自分独自の音を創生するといった楽器の開発を目指 す．本研究では発生機構が比較的簡単なアコースティックギター(以下ギター)をとりあげる． ギターの音色は弦楽器の特徴である基本周波数の整数倍の周波数成分の大きさや減衰に より大きくかわると言われており，弦を弾いた時の振動は，弦と胴の部分の連成振動であ る．その減衰の大きさは，胴の板構造の形状にも影響され，音色を良くするためにさまざ まな板構造が提案されている． 本研究の最終点は，胴の形状や材料をインプットデータとして系の振動特性を空気系も 含めて計算し，それにより音の波形を創生することを考えているが，その第一歩として， 本報では，ギターの音色は基本周波数の整数倍の周波数成分の大きさや減衰により大きく かわること，弦と胴の部分の連成振動であること，さらに，それらは材質や形状により大 きく変化することに着目し，以下に示す 2 通りの方法により検討を行う．どちらの方法と もギターの音は弦と胴の部分の連成振動であることから，有限要素法構造解析ソフト ANSYSを用い，張力を有する弦および胴の構造部分のモデルを構築し連成を行う． まず，1 つ目の方法は，材質の変更に着目し，構築したギターモデルの弦の材質を変更し たものと，裏板のヤング率を実験により推定し，そのヤング率を適応したものを，それぞ れ周波数応答解析を行い，解析により材質の変更が音質にどのような影響を及ぼすか検討 する． また，もう 1 つの方法は，基本周波数の整数倍の周波数成分の大きさや減衰により大き
1.2 音の響き まず，我々が普段耳にしている音は様々な振動が重なり合って聞こえて来ている．その 一例として，ギターの音が我々の耳に伝わるまでの概略図を図 1.1 に示す．環境とは部屋な ど音の発生する空間の響きの情報である．図 1.1 に示すようにギターの音は「弦の振動」，｢胴 の振動｣，「胴内部の空気の振動」，さらに「環境」すべてが足しあわされて耳に聞こえてき ている．
＋
弦の振動
胴内部の
空気の振動
＋
胴の振動
＋
環境
＋
弦の振動
胴内部の
空気の振動
＋
胴の振動
＋
環境
図 1.1 ギターの音の伝達外略図 『楽器の形が変化することで減衰や共鳴の違いにより音質が変化する』とは，弦の材質 を変えると「弦の振動」が変化し，胴の形状や材質を変更すると「胴の振動」及び「胴内 部の空気の振動」が変化する．よって耳に聞こえてくる音が変わるということである．第
第
第
第
2
2
2
2
章
章
章
章
アコースティックギター
アコースティックギター
アコースティックギター
アコースティックギター
2.1 ギターの一般的構造 ギターは，代表的なものとしてアコースティックギターとエレクトリックギターが挙げ られる.アコースティックギターはエレクトリックギターのように増幅器を使用せず，本体 のみで音を奏でる楽器である． ギターの構造は，弦が 10 本以上張られたものやヘッドが 2 個存在するものがあるが，一 般的には 6 本の弦が張られたものを指す．6 本弦の張られた一般的アコースティックギター の構造を図 2.1 に示す．図に示すように表板，側板，裏板に分けられ，表板と裏板には力木 や補強棒，側板にはコーナー材などを取り付けることで補強がなされている． 前章でも述べたように，ギターの音色は弦楽器の特徴である基本周波数の整数倍の周波 数成分の大きさや減衰の仕方により大きくかわると言われており，それらは胴の形状や材 質，力木の配置などに影響され，音色を良くするためにさまざまな板構造が提案されてい る． 本研究ではアコースティックギターのフラットトップギターを用い，弦は規定された周 波数，第 1 弦 329.6Hz，第 2 弦 246.9Hz，第 3 弦 196Hz，第 4 弦 146.8Hz，第 5 弦 110Hz， 第 6 弦 82.4Hz，に調弦した 6 本が張ってある． 図 2.1 アコースティックギターの構造1)
2.2 発音原理 アコースティックギターは，増幅器は用いず，胴部分で音を増幅させ音を奏でる楽器で ある．その振動は，連成振動と考えられ，弾いた弦はほんのわずかしか空気中に音を直接 放射せず,駒や表板を励振する．そして，表板が内部，側板，裏板にエネルギーを伝え，音 は振動している板，響孔を通じて放射される． また，音のでも低周波数領域では表板は側板と内部を通してエネルギーを伝え，高周波 数領域ではほとんどの音が表板から放射される．
弦
駒
表板
表板
空洞
側板
響孔
裏板
低周波数
高周波数
弦
駒
表板
表板
空洞
側板
響孔
裏板
低周波数
高周波数
図 2.3 ギターの振動伝達概略図第
第
第
第
3
3
3
3
章
章
章
章
音
音
音
音・
・振動
・
・
振動
振動の
振動
の
の計測
の
計測
計測
計測
実際のギターを音と振動の見地から計測を行い，ギターの特性について考察する． 3.1 実験方法および実験装置
a
a
図 3.1 YAIRI AY-38 計測に用いるギターは図 3.1 に示す YAIRI 製 AY-38 である．このモデルは同社のスタン ダードモデルである． ギター奏者は第 5 弦（110Hz）の音“A2”を基準に調弦することが多く，さらに国際基 準ピッチも 440Hz“ラ”の音であり，第 5 弦の開放の音と一致することから本実験では第 5弦をとりあげ，開放の状態で高速フーリエ変換機 FFT アナライザを用いて時刻暦波形， 周波数スペクトルさらに，時刻暦波形を 0.5 秒刻みでフーリエ変換を行うショートタイム FFTにより計測を行う．FFT アナライザにはギターの音を計測するためにマイクロフォン と表板の振動を計測するためにチャージ式振動計をセンサとして用いた．チャージ式振動 計は図 3.1 に示す点 A の位置に設置し，マイクロフォンの設置位置は空間の響きの影響が 少なくなるよう響孔の正面とした．（a）FFT アナライザ
（b）マイクロフォン （c）チャージ式振動計 図 3.2 計測機器
FFTアナライザ
ONO SOKKI Multi-purpose FFT Analyzer CF-5220
2ch のデータを受信でき振動の振幅や周波数スペクトルのグラフを観測できる機器で ある．マイクロフォンとチャージ式振動計を用い波形を測定する．今実験では，弦を 弾く力による誤差を少なくするために average 機能を使用し，10 回の計測を平均化す る． マイクロフォン SONY ECM-23F3
3.2 計測結果
マイクロフォン，チャージ式振動計で計測した時刻暦波形を図 3.3 に示す．
マイクロフォン，チャージ式振動計で計測した周波数応答を図 3.4 に示す．
(a) マイクロフォン
(b) チャージ式振動計 図 3.4 ギターの周波数応答
マイクロフォンで時刻暦波形を 0.5 秒刻みでフーリエ変換を行い，３D 表示したものを図 3.5に示す．
3.3 考察 まず，時刻暦波形について見ると，マイクロフォンは立ち上がりが穏やかであるがチャ ージ式振動計では弦を弾くとすぐに立ち上がる．また，0.4～0.6 秒に着目するとチャージ 式振動計はマイクロフォンと比べ密である．これらは 2.2 節で述べたように振動の伝わり方 の違いであると考えられる．高周波成分は主に表板から放射されるためチャージ式振動計 では立ち上がりが早くなり，表板に設置したチャージ式振動計は高周波数成分の影響が大 きかったためグラフが密になったと考えられる．マイクロフォンは高周波数成分の影響を 受けにくかった事と，低周波数成分は表板からの直接放射するのではなく空洞，響孔の順 に振動が伝達されるため遅れが生じたと考えられる．さらに，マイクロフォンではギター 特有のうなりが顕著である．このことから胴や胴内部の構造に比べ空気系の影響が大きい と考えられる． 次に周波数応答を比較すると，チャージ式振動計はマイクロフォンに比べ高周波数成分 を多く含んでいる．これは時刻暦波形と同様に高周波数成分は表板から多く放射されるた め表板に設置したチャージ式振動計は高周波数成分の影響を多く受けたためと考えられる． また，110[Hz]を基本振動数とした整数倍の周波数成分でピーク値をとることが確認できる． ショートタイム FFT を見ると，低周波数では減衰が遅く，高周波数では減衰が早いことが わかる．
第
第
第
第
4
4
4
4
章
章
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有限要素法解析
有限要素法解析
有限要素法解析
有限要素法解析
前章の実験からギター周波数応答は基本周波数の整数倍の周波数でピーク値を取ること が確認できた． 本研究では，ギターの音は弦と胴の連成振動であることを考慮し，弦と胴を連成したモ デルで ANSYS を用い有限要素法解析により検討を行うが，実際に弦と胴の連成が可能で あるか確認のため，張力を有する弦，ギターの胴部分，さらに弦と簡易モデルを連成した モデル(以下簡易連成モデル)の解析を行い,最終的に弦と胴の連成モデル(以下ギターモデ ル)から検討を行う． 4.1 弦の有限要素法解析 4.1.1 張力を有する弦 弦の固有振動数は基本周波数の整数倍でピーク値を取る．ここでは，張力
T
で張られた 弦長L
，単位長重量ρ
の弦について考える．その場合の弦の固有振動数f
はρ
ω
π
T
L
n
f
2
2
1
=
=
(4.1) となる．モード数n
=
1
の場合が基本振動数である．n
=
2
のときを第 2 倍音といい，これ を 2f
とするとf
2=
2 f
1となり，弦は基本振動数 1f
の整数倍を固有値とし，無数の固有振動 があることがわかる．また（4.1）式より弦に加わる張力T
は，(
)
22Lf
n
T
=
ρ
(4.2) と表される． (4.1)式，(4.2)式より，ナットからサドルまでの弦長を 0.655[m]とし，(4.1)式を基にギタ ーで使用される第 1 弦から第 6 弦までの弦の振動数と張力を求めたものを表 4.1 に示す． 弦番号とは，6 本の開放弦を高い振動数から順に並べたときの番号で，1 弦から順に振動 数が低くなる．弦の材料は 1 弦，2 弦がステンレス鋼，3～6 弦が青銅（ブロンズ）である． (4.1)式から得られる各モード数における固有振動数を表 4.2 に示す．結果から弦の固有振動 数は各モード数の整数倍であることがわかる．表 4.1 弦の固有振動数と張力 弦番号 振動数 f[Hz] 単位長重量ρ[g/cm] 張力 T[N] 弦の外径[mm] 材料 1 329.6 0.62×10-3 115.966 0.30 2 246.9 1.16×10-3 121.542 0.41 ステンレス鋼 3 196 2.83×10-3 186.632 0.64 4 146.8 4.53×10-3 167.70 0.81 5 110 7.91×10-3 164.25 1.07 6 82.4 12.9×10-3 151.15 1.37 青銅 表 4.2 モードごとによる弦の固有振動数(理論値) [単位：Hz] モード数 第 1 弦 第 2 弦 第 3 弦 第 4 弦 第 5 弦 第 6 弦 1 329.6 246.9 196 146.8 110 82.4 2 659.2 493.8 392 293.6 220 164.8 3 988.8 740.7 588 440.4 330 247.2 4 1318.4 987.6 784 587.2 440 329.6 5 1648 1234.5 980 734 550 412 6 1977.6 1481.4 1176 880.8 660 494.4 7 2307.2 1728.3 1372 1027.6 770 576.8 8 2636.8 1975.2 1568 1174.4 880 659.2 9 2966.4 2222.1 1764 1321.2 990 741.6 10 3296 2469 1960 1468 1100 824
4.1.2 弦の有限要素法モデルの構築 本節では第 5 弦のモデリングを行う．第 5 弦には図 4.1 に示すように低音成分を強調す るための巻き線構造がある．しかし，質量としては働くが曲げ剛性には寄与しないと考え， 構造は無視し，巻き線による質量増加分は断面積として考慮し，断面 2 次モーメントは考 慮しない．その要素タイプは，BEAM4，弦長 0.655[m]，断面積 8.992023×10－7[m2]，材 質は青銅とした．実際の弦は調弦により張力を有するが，初期ひずみを与えることで張力 を加えられた弦を表現する．また，モデルに加える初期ひずみは次式で表される．
AE
T
=
ε
(4.3) 張力 T，ヤング率 E，断面積 A を上式に入力することによって初期ひずみを求めること ができる．次にモデルの要素分割，境界条件の定義を経て固有値解析を実行する．しかし 弦に張力を加えるときは始めに静解析を行い，初期ひずみによって加えられた弦の張力を 初期応力として定義してモード解析を実行する必要がある．モード解析を行った後に，任 意の位置に加えた荷重に対する弦の応答を確認するために，周波数応答解析を行う． 図 4.1 第 5 弦の構造4.1.3 弦モデルの固有値解析
(a) 110.052[Hz] (b) 220.105[Hz]
4.1.4 弦モデルの周波数応答解析
次に，任意の位置に加えた荷重に対する弦の応答を確認するために，周波数応答解析を 行う．荷重は図 4.3 に示すように節点に－Y 方向に 1[N]の力 F を与えるものとする．また， その時の周波数応答解析の結果を図 4.4 に示す．
第 5 弦の固有値解析を行った結果，梁要素に初期ひずみを加え張力を再現することで， 約 110[Hz]を基本周波数として整数倍の固有振動数が得られ，理論値ともおおむね一致する 結果となった． 弦の任意の位置に荷重を加え周波数応答解析の結果も同様に 110[Hz]を基 音として 220[Hz]，330[Hz]と整数倍の周波数成分でピーク値を取ることが確認できる． よって，梁要素に初期ひずみを与え張力を再現すれと弦モデルの構築は可能であるとい える． 4.2 胴部の有限要素法解析 4.2.1 胴部の有限要素モデルの構築 本節では，ギターの胴部の有限要素モデルを構築し，固有値解析を行う．構築したモデ ルの概観図を図 4.5 に示す．胴部に使用した要素タイプは側板と裏板は SHELL93，表板と ネック，駒，サドルは SOLID45 で構成した．表板はスプルース，側板と裏板，ネックには マホガニーが用いられており，パラメータとしてそれぞれ材質の平均的な材料物性値を用 いる．木材は木目や繊維方向などから異方性であると考えられるが，本研究では等方性と して定義する．また，胴内部には補強材や力木が取り付けられているが，本節では省略す る．固有値解析結果を図 4.6 に示す．
x
y
z
x
y
z
4.2.2 胴部固有値解析結果
(a) 112.259[Hz] (b) 261.053[Hz]
4.3 弦-簡易モデルの有限要素法解析 4.3.1 簡易連成モデルの構築 本節では，弦と胴部モデルの連成が可能であるか検討するため，図 4.7 のような板材に第 5弦を張っただけの簡易なモデルを構築し，弦の固有値解析が可能であるか検討する．モデ ルの板材に使用した要素は SOLID45 で構成し，板の材料はスプルースを用いた．弦長が 0.655[m]になるように設計し，弦のモデリング条件は 4.2 節で構築した弦のモデリングと同 条件とする．境界条件は箱の裏を全自由度固定とし 4.2 節で求めた初期ひずみ 0.00166 を パラメータとして与えて弦を取り付けた場合（ここでは単純の 2 節点を結ぶ）の固有値解 析を行う． 図 4.7 有限要素モデルの概観図
4.3.2 固有値解析結果 左に弦のみの解析と同様に初期ひずみを 0.00166 とした場合，右に初期ひずみを 0.00175 とした場合のそれぞれ 1 次モードと 2 次モードの固有値解析結果を示す． 左右比較すると初期ひずみを 0.00166 とした場合は固有振動数が理論値よりも低い値と なるが，2 次モードでは 1 次モードの 2 倍の振動数を取り弦の特性を持っている．また，初 期ひずみを 0.00175 とすることで約 110[Hz]の第 5 弦の振動数が得られ，2 次モードでは 2 倍の 220[Hz]と整数倍であることも確認できる． この結果より，2 節点に弦を取り付けた場合でも弦の特性を得ることができることが確認 できた．また，この結果より弦と胴部の連成モデルの固有値解析が可能であるという見通 しが立った． (a) 107.339[Hz]（ε=0.00166） (b) 110.215[Hz]（ε=0.00175）
4.4 ギターモデルの有限要素法解析 4.4.1 ギターモデルの構築
本節では，前節の結果を参考にして弦と胴部の連成モデルを構築する．胴部に第５弦を 取り付ける場合，図 4.5 のギターの胴モデルのナットとサドルの 2 節点に取り付け，固有値 解析並びに周波数応答解析を行う．
4.4.2 ギターモデル固有値解析結果
ギターモデルの固有値解析結果を図 4.9 に示す．左側に基本周波数の整数倍の振動数を持 つモード，右側に整数倍から外れた振動数で固有値を取るモードを示す．
(a) モード 4 109.54[Hz] (b) モード 8 249.33[Hz]
4.4.3 周波数応答解析および結果 ギターモデルの周波数応答解析を行う．図 4.10 に示すように響孔付近の矢印の位置で x 軸方向に 1[N]の荷重を与え，弦を引く動作の再現を行う．また，測定点は第二章の実験と 同様に駒付近の A 点とした．その時の周波数応答を図 4.11 に示す．
A
A
A
A
A
A
A
A
図 4.10 加振点と計測点4.5 考察 弦モデルの固有値解析，周波数応答解析の結果ともに 110[Hz]を基音として 220[Hz]， 330[Hz]と整数倍の周波数成分でピーク値になることが確認できた．よって，張力を有する 弦は張り要素に初期ひずみを与えることで再現できるといえる． 簡易モデルと弦の連成を行った場合では，初期ひずみに 0.00166 与えると，弦のみの結 果と比べて固有振動数が低い値となった．しかし，初期ひずみを 0.00176 とした場合では 各モードで第 5 弦の固有振動数に近似した振動数が得られた．これは，簡易モデルに弦の 張力によってたわみが生じたため初期ひずみが設定した値より小さくなったためと考えら れる．このことから，初期ひずみを変更することで調弦が再現できることがわかる． これらの結果を参考にして弦と胴の連成モデルを構築し，固有値解析を行った結果，第 5 弦の固有振動数に近似した振動数が得られた．また，整数倍以外にもモードがあることを 確認した．それぞれの変形量を見ると整数倍の振動数では胴はほぼ変形しないのに対し整 数倍から外れた振動数では胴の変形が確認でき，胴の変形は整数倍の振動数から外れるほ ど大きくなる．周波数応答解析結果から 110[Hz]を基音として 220[Hz]，330[Hz]と整数倍 の周波数成分でピーク値となっていることが確認できる．整数倍の振動数で固有値をとり， 周波数応答においても整数倍の振動数でピーク値を取ることから，このモデルはギターモ デルとして有効であるといえる． どのモデルも弦の振動特性と同じ整数倍の固有値を持ち，ひずみを変更し，弦の固有振 動数が変化した場合でも同様に連成モデルの固有値が変化することから，周波数特性は弦 の振動特性が大きな影響をおよぼす．
第
第
第
第
5
5
5
5
章
章
章
章
物理特性の
物理特性
物理特性
物理特性
の
の変更
の
変更
変更
変更
前章の解析からギターの周波数特性は弦の振動特性が大きな影響を及ぼすことがわかっ た．しかし同一の調弦を行ったものでもギター，弦のメーカー，さらには同じメーカーで あってもモデルが異なると音色が大きく変化することから音色には弦，ギターの形状や材 質も大きな要因であると考えられる．さらに前章では，木材を等方性と仮定し ANSYS に より解析を行った．しかし，実際の木材は木目や繊維方向などから異方性がある． そこで，本章では，前章で構築したギターモデルを使用し，提案する楽器のように材質 を変更することで振動特性がどのように変化するか解析を行う．今回は，その一例として 弦の材質をステンレス鋼に変更した場合と,前節で等方性と仮定しておいた木材の性質を実 験からヤング率を推定し，裏板に異方性のヤング率を適応した場合の二例を報告する． 5.1 ヤング率の推定 同一素材の部分が多く構造の簡単な裏板の一端を図 5.1 に示すように固定し自由振動を させ，振動数を計測した後に ANSYS で同様の拘束を与えて固有値解析を行い固有振動数 の計算値が計測値と一致するようヤング率を設定し木材の異方性を再現する．この際，図 5.2に示す振動数の 1 つ目のピークに着目し，固定位置から加振点方向へのヤング率が支配 的であると仮定しヤング率の設定を行った．解析で得た 1 次モード結果を図 5.3 に示す．ま た，各パラメータを表 5.1 に示す．
-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Frequency[Hz] M ag un itu de (a) x 軸固定 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Frequency[Hz] M ag un itu de (b) y 軸固定 図 5.2 裏板自由振動周波数応答 表 5.1 裏板の異方性ヤング率
(a) x 軸固定 6.063[Hz]
(b) y 軸固定 5.395[Hz] 図 5.3 裏板解析結果
5.2 周波数応答解析 前節で，裏板を自由振動させることでヤング率を推定した．そこで，木材を等方性と仮 定したギターの胴モデルに材質を青銅とした弦の連成モデルを基本モデルとし，裏板部分 を実験から求めたヤング率を適応したモデル，弦の材質をステンレス鋼としたモデルに変 更し，固有値解析と周波数応答解析を行い音質にどのような影響を与えるか検討した．加 振点と計測点を図 4.10 と同様に，矢印部分を加振し A を計測点とした． また，ステンレス鋼の弦はヤング率 197[GPa]，ポアソン比 0.34 とし，初期ひずみ以外 の解析条件は前節のギターモデルと同じものを用いる．
(a) 基本モデル
5.3 考察 本章では提案する楽器のように材質を変更することで振動特性がどのように変化するか を検討した．今回はその一例として弦の材質をステンレス鋼に変更した場合と，裏板に異 方性のヤング率を適応した二例を検討した． まず，基本モデルと弦の材質を変更したモデルを比べると，基本モデルでは 110Hz を基 音とし 220Hz，330Hz と整数倍に近い周波数でピーク値を取ることが確認できるが，弦の 材質をステンレス鋼に変更した場合も 110Hz，220，330Hz と整数倍の周波数でピーク値 取ることが確認できる．しかし，各ピーク値で強さが異なることがわかる．また，胴に異 方性のパラメータを適応したモデルでも同様に周波数の一致は見られるが，強さが異なる ことがわかる． 各モデルともピーク値の取り方が異なることが確認できた．音色は周波数成分の大きさ によって決定されることから，胴や弦の材質を変更することで音質が変化すると考えられ る．
第
第
第
第
6
6
6
6
章
章
章
章
振動波形の
振動波形
振動波形
振動波形
の
の算出
の
算出
算出
算出
本節では,モード歪エネルギー法により減衰比を,弦の弾く位置を考慮した初期モード変 位を算出し，それらの計算結果を基に自由振動応答波形を算出する．さらに，計算によっ て求められた振動波形を音声波形に変換することで，振動の見地から音を創生し，減衰や 弦を弾く位置が音質にどのような影響を及ぼすか検討を行う． 6.1 減衰比の算出 6.1.1 モード歪エネルギー法 まず，全体の減衰比を
ζ
，弦の減衰比をζ
s，胴の減衰比ζ
bをとする．振動モード UUUUは
=
b sU
U
U
(6.1) となる．このとき弦s
の両端は胴側b
とする．また簡単のために両端の変位は無視するも のとすると，モード全体の歪みエネルギーの２倍を k とすればKU
U
Tk
=
(6.2) となる．ここで K は全体系の剛性マトリックスである． 次に，弦の歪みエネルギーの２倍をksとすれば s s T sk
=
U
K
U
(6.3) となり，全体の歪エネルギーに対する弦の歪エネルギーの分担率εsはk
k
s s=
ε
(6.4) となる．よってモード減衰比ζは(
s)
b s sε
ζ
ε
ζ
ζ
=
+
1
−
(6.5) で表せる．6.1.2 計算結果 弦と胴の減衰比を任意の値として全体の減衰比の計算を行う．まず，表 6.1 に弦の歪み エネルギーの分担率を，表 6.2 にそれから得られる減衰比を示す．表はすべて左側に振動数 が基本振動数の整数倍の場合，右側は振動数が整数倍でないモードである． 表 6.1 分担率 mode 分担率 mode 分担率 4 0.99204022 8 0.04279244 6 0.96177345 14 0.00488721 10 0.99622157 18 0.05069148 表 6.2 減衰比 (a)ζb=0.05，ζs=0.001 mode 減衰比 mode 減衰比 4 0.001390 8 0.047903 6 0.002870 14 0.049761 10 0.001185 18 0.047516 (b) ζb=0.15，ζs=0.003 mode 減衰比 mode 減衰比 4 0.004270 8 0.143710 6 0.008619 14 0.149284 10 0.003555 18 0.142548 まず，分担率について見ると整数倍モードでは弦の分担率は，約 1 と大きく，弦が支配 的である．逆に整数倍でない振動モードでは分担率が小さく胴の振動が支配的なモードで あることがわかる． 次に減衰比を見ると，弦の減衰比は胴の減衰比に比べ小さいため，弦の支配的なモード では胴が支配的な整数倍でない振動モードに比べ減衰比が小さくなる．また，材質を変更 を仮定して減衰比を変更すると全体の減衰比が変化することが確認できる．
6.2 j 次モードの初期モード変位
ϕ
i0の算出方法x
を弦を弾く方向と仮定し，x
i(i
=
1
~
n
)を弦の初期変位の形状とすると∑
=
j j sϕ
U
0
x
(6.6) モードの直行性よりi
≠
j
なら0
=
i T jMU
U
(6.7) となるので∑
==
=
n j j j j j T j sm
1ϕ
ϕ
MU
U
0
x
UM
(6.8)
=
=
0
x
M
U
M
U
0
x
M
M
U
U
0
x
UM
s T b b s s s b s T b s s0
0
(6.9) ここでmjは j 次のモード質量， Msは弦の質量マトリックス， Mbは胴の質量マトリックス である． したがってj
次モードの初期変位ϕj0は{
}
j n i i i s jm
n
X
x
M
∑
==
1 0/
ϕ
(6.10) となるので，j
次モードの系全体の初期変位uj0は j j jU
ϕ
u
=
0 (6.11) となる．この場合，U
が振動モードであり，ϕ
は各モード成分である．n
X
x
M
n n i i i s s s T s∑
==
=
U
M
x
π
(
弦長
)
初期変位
弦
a
( )
ny
sin
b
z
y
π
(
弦長
)
初期変位
弦
a
( )
ny
sin
b
z
y
6.3 加振点による弦の振動の違い 本節では弦を弾く位置での振動の変化について検討する． 図 6.1 全体の弦長をπ
として，弦の任意の位置，ここでは点a
の位置で弦を弾くと仮定し，弦 の端からの距離をb
とし，図の放物線をsin
nyとすれば，点a
の位置はbc
a
=
(6.12) となる． 初期変位を 1 とした場合，弦の式はy
a
z
1=
(
1
/
)
(
0
≤
y
≤
a
)
(6.13)a
y
a
z
−
+
−
−
=
π
π
π
1
2(
a
≤ y
≤
π
)
(6.14) となる．jy
z
n j jsin
1∑
==
ϕ
(6.15) と置き直交条件を利用すれば，モードごとの変形量を求める積分式は表 6.2 に計算で求めた各モードの初期振幅，図 6.2 に各モードに 6.1 節で求めた減衰比を 適応し，フーリエ変換を行った結果を示す． まず，表について見ると，初期変位は基本的に高次モードほど振幅が小さくなることが わかる．また，b=0.5 の場合，2 の倍数のモードで初期振幅がほぼ 0 になり，b=0.333 の場 合では 3 の倍数モードで初期振幅が 0 に近くなる． 次に FFT 結果についてみると，初期変位の場合と同様に，b=0.5 の場合では 2 の倍数モ ードでピーク値を取らず，b=0.333 では 3 の倍数モードでピーク値を取らない． よって，弦を弾く位置を
1
/
x
とすると弦の振動はx
n次モードで振幅はほぼ 0 という関係 が成り立つ． 表 6.2 各モードの初期振幅 モード 初期振幅 (b=0.9) モード 初期振幅 (b=0.5) モード 初期振幅 (b=0.333) 1 0.347889 1 0.405285 1 -0.394860 2 -0.330862 2 0.000000 2 -0.197430 3 0.303595 3 -0.135095 3 4.77465×10-7 4 -0.267673 4 0.000000 4 -0.098715 5 0.225158 5 0.081057 5 -0.078972 6 -0.178448 6 5.30092×10-17 6 -4.77465×10-7 7 0.130112 7 -0.057898 7 0.056408 8 -0.082715 8 0.000000 8 0.049358 9 0.038654 9 0.045032 9 4.77465×10-7 10 -2.65046×10-16 10 -8.83487×10-17 10 -0.003949(a) b=0.769
(b) b=0.5
(c) b=0.333 図 6.2 FFT 結果
6.4 振動計算結果 前節までに，計算により初期変位と減衰，また有限要素法解析により変形量を得られた． 本節ではそれらの結果から図 4.10 に示す A 点の時刻暦波形の算出を行う．その計算結果を 図 6.3 に示す．減衰比と同様に左側に整数倍の振動数，右側に整数倍でない場合を示す． (a) ζb=0.05 ζs=0.001 (b) ζb=0.15 ζs=0.003 図 6.3 時刻暦振動波形 右側の整数倍でない振動数のモードを見ると，整数倍のモードに比べ減衰が早いことが わかる．さらに，減衰比を変更することで振動の様子が変化することが確認できる． このことから，減衰比を変更することで音質の変更は可能であると考えられる．
6.5 音声波形の出力 本節では，前節の弦の初期変位と胴の変形量から振動の見地から，ギターの音質につい て検討する． 弦を弾く位置を b=0.769，b=0.5 とし，それぞれ，減衰比を
=
0
.
001
,
=
0
.
05
b
s
ζ
ζ
とし た場合と，減衰比をζ
s
=
0
.
003
,
ζ
b
=
0
.
15
とした場合をそれぞれ図 6.4，6.5 に示す．こ のときの弦の振動は，x
nからx
n+1までは，x
nの振動が支配的であると仮定し，ANSYS による変形量結果から算出した．計算結果を以下に示す．図は，上から 0～5 秒の振動波形， 0～0.5 秒までの振動波形，パワースペクトル波形である．6.6 考察 本章では，減衰比と初期変位の算出から振動波形の導出し，音質の評価を行った． まず，減衰比についてみてみると，振動数を取るモードでは減衰比が小さく，整数倍で ないモードでは減衰比が大きくなる．また，弦と胴部の減衰比を変更すると全体の減衰比 が変化することがわかる． 算出した減衰比と解析によって得た変形量により導いた振動波形を見ると，整数倍の振 動数は整数倍でない振動数と比べると初期振幅が大きく，さらに，整数倍でない振動成分 は減衰が早く，ある程度時間が経過すると振動が非常に小さくなることがわかる．また減 衰比を変化することで振動の様子が変化する． また，弦を弾く位置での振動の変化では，弦の 1/2 の位置を弾くと 2 倍の振動モードで， 1/3 の位置では倍の振動モードでピーク値を取らないことが確認でき，
![表 4.1 弦の固有振動数と張力 弦番号 振動数 f[Hz] 単位長重量ρ[g/cm] 張力 T[N] 弦の外径[mm] 材料 1 329.6 0.62 ×10 -3 115.966 0.30 2 246.9 1.16 ×10 -3 121.542 0.41 ステンレス鋼 3 196 2.83 ×10 -3 186.632 0.64 4 146.8 4.53 ×10 -3 167.70 0.81 5 110 7.91 ×10 -3 164.25 1.](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123deta/5721335.520593/15.892.127.772.174.372/弦番号振動数単位長重張力TN外径材料××ステンレス××.webp)
