遠心振り子式動吸振器のねじり振動低減性能に関する理論解析
― エピサイクロイド軌道の定式化と MBD モデルによる検証 ―
相原 建人1） 渡邊 啓太2） 土肥 永生3) 金子 祥平3)
Theoretical Analysis for Torsional Vibration Reduction Performance of CPVA
- Formulation of Epicycloid Path and Verification by MBD Model -Tatsuhito Aihara Keita Watanabe Nagao Dohi Shohei Kaneko
In recent years, reducing the number of cylinders of an engine has been advanced for fuel saving. However, as the cylinder number is reduced, the torque fluctuation from the engine increases and the NV performance deteriorates. Therefore, the importance of torsional vibration reduction technology has been rapidly increased, and active research and development is under way. Among them, CPVA is attracted to attention because it effects in the full revolution range. This study focuses on the torque generated by CPVA as the vibration reduction performance of CPVA and a theoretical expression for calculating the generated torque is derived. Pendulum trajectory covers circular path and epicycloid path. Next, in order to verify the effectiveness of the theoretical analysis result, a multibody dynamics model corresponding to the theoretical analysis model is developed and the results of both are compared. Further theoretical analysis will clarify the influence of excitation order, excitation amplitude, pendulum damping coefficient and pendulum path for CPVA generated torque.
KEY WORDS: Power transmission, Drivetrain, Mechanism, Torsional vibration, CPVA (A2)
1．緒 言 地球温暖化やエネルギー問題に対応するため自動車産業に おいては省燃費技術の開発が重要な課題となっている．これ に対し，パワートレーンにおいてはダウンサイジングとター ボチャージャーを組み合わせることで動力性能を保ったまま 燃費性能を向上させる技術が実用化され欧州を中心に普及し ている．エンジンの小型化では気筒数自体を減らす少気筒化 が有効であるが，少気筒化によりエンジンからのトルク変動 が大きくなりNV 性能は悪化する．そのため近年，ねじり振 動低減技術に対する重要性が急激に高まり，活発に研究開発 が進められている．例えば従来よりも大きなストロークを有 するスーパーロングトラベルダンパを内蔵したトルクコンバ ーター(1)や2 つの回転慣性を有するダイナミックダンパ(2)，遊 星歯車を利用し，慣性が可変可能なダンパ(3)などが研究開発さ れている．さらに遠心振 り 子式動吸振器によるダンパ (Centrifugal Pendulum Vibration Absorber, CPVA)も開発され実 用化されている． その中でもCPVA は振り子の固有角振動数が回転数に比例 *2018 年 5 月 25 日受理．2018 年 5 月 25 日自動車技術会春季 学術講演会において発表． 1)法政大学(184-8584 東京都小金井市梶野町 3-7-2) 2)法政大学大学院(184-8584 東京都小金井市梶野町3-7-2) 3)日本精工(株)(251-8501 神奈川県藤沢市鵠沼神明1-5-50) し変化することでほぼ全ての回転数領域で振動低減効果を発 揮することから多くの研究がなされ実用化もされている．石 田らは円軌道を有するCPVA を対象とし，理論式を構築し， ねじり振動への低減効果と発生する非線形振動について明ら かにしている(4)．Denman は振り子の固有角振動数が振り子振 幅に依存しないエピサイクロイド軌道を求め，振り子に作用 する減衰を無視した場合におけるラグランジュ方程式を導出 している(5)．これらの研究ではCPVA を取り付けた場合の系 への影響を明らかにしているがCPVA そのものの性能向上と いう観点からの研究ではない．また振り子軌道が円軌道の場 合，振り子振幅により振り子の固有角振動数が変化するため， 最適な設計が困難である．一方，Denman が提案している振り 子振幅に固有角振動数が依存しないエピサイクロイド軌道で は低減したいねじり振動の変動次数を狙うことが容易になる 反面，共振点にごく近い領域のみにおいてしか性能を発揮で きない．さらなるCPVAの性能向上を実現するためにはCPVA がねじり振動を低減させるために発生するトルクが振り子の 軌道などの設計パラメータによってどのように変化するのか を定量的に明確にする必要がある． そこで本研究ではCPVA の振動低減性能，すなわち発生ト ルクに着目し発生トルクを算出する理論式を導出する．振り 子軌道の影響を明らかにするため，軌道は円および基礎円が ロータ回転中心に一致しない，エピサイクロイド曲線を対象 とする．次に理論解析結果の有効性を検証するため，理論解析 モデルに対応したマルチボディダイナミクスモデルを開発し，
＊
研究論文 20194230Fig.1 Theoretical analysis model
Fig.2 The force acting on the rotor
両者の結果を比較する．さらに理論解析により種々の設計パ ラメータがCPVA の発生トルクに与える影響を明らかにする． 2．理論解析 2.1. 解析モデル 図1 に理論解析モデルを示す．解析モデルはねじり剛性が k[Nm/rad]であるシャフトと振り子が取り付けられるロータと で構成されている．振り子は与えられた軌道上を運動する質 点としている．いまシャフトに入力される回転角を次式とす る． 𝛩𝛩𝛩𝛩𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 + ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 (1) ここにω[rad/s](= Ω[rpm])は入力の定常回転数，h[rad]は回転 角変動振幅，O は角変位の変動次数（以下，加振次数）である． ロータの慣性モーメントをJ[kgm2]，回転角をΘout[rad]，シャ フトのねじれ角をθ(=Θout−ωt)[rad]とする．またロータには振 り子がn個取り付けられているとする．振り子の質量をm[kg]， 角変位をφ [rad]，ロータに作用する減衰力の減衰係数を C [Nms/rad],振り子とロータ間に作用する減衰力の減衰係数を c [Nms/rad]とする．ここでは振り子軌道は半径 a の基礎円周上 を半径 b の円が転がることにより描かれるエピサイクロイド 曲線であり，次式となる． 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒= (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛾𝛾𝛾𝛾 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 � 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑏𝑏 � 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑒𝑒𝑒𝑒= (𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛾𝛾𝛾𝛾 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 � 𝛾𝛾𝛾𝛾 � (2) 基礎円中心から質点までの距離をR1[m]，ロータの回転中心か ら基礎円中心までの距離をR0[m]とする．振り子を複数取り付 ける場合(n≧2),それぞれの振り子において R1, R0およびc は 等しいとする． 2.2. 運動方程式 図2 にロータに作用する力を示す． F はエピサイクロイド 上の振り子位置における接線に垂直な方向に作用する振り子 がロータに与える力である．D はロータと振り子間に作用す る減衰力であり，次式となる． 𝐷𝐷𝐷𝐷 = �𝑐𝑐𝑐𝑐𝜙𝜙𝜙𝜙̇� (3) また入力される角変位が式(1)の場合，ロータには次式で表 される駆動力が作用する． 𝑇𝑇𝑇𝑇 = −𝑘𝑘𝑘𝑘(𝛩𝛩𝛩𝛩𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜− 𝛩𝛩𝛩𝛩𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) = −𝑘𝑘𝑘𝑘(𝜃𝜃𝜃𝜃 − ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔) (4) 以上より，ロータの運動方程式は次式となる． 𝐽𝐽𝐽𝐽𝛩𝛩𝛩𝛩̈𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜+ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝛩𝛩𝛩𝛩̇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑄𝑄𝑄𝑄)𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑄𝑄𝑄𝑄)𝑟𝑟𝑟𝑟 + 𝑇𝑇𝑇𝑇 (5) ここにQ はロータ半径方向に対する振り子位置における接線 の傾き角である． 次に振り子に作用する力を考える．振り子からロータに作 用する力の反力が振り子に作用するので運動方程式は次式と なる． 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥𝑥𝑥̈ = − 𝑛𝑛𝑛𝑛cos(90 − 𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝛩𝛩𝛩𝛩𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜) + 𝐷𝐷𝐷𝐷 sin(90 − 𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝛩𝛩𝛩𝛩𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑦𝑦𝑦𝑦̈ = − 𝑛𝑛𝑛𝑛sin(90 − 𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝛩𝛩𝛩𝛩𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜) − 𝐷𝐷𝐷𝐷 cos(90 − 𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝛩𝛩𝛩𝛩𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜)�(6) 以上の式と幾何学的な位置関係を考慮し，式を整理すること でねじれ角θと振り子の振れ角φに関する運動方程式が得られ る．
{(𝐽𝐽𝐽𝐽 + (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚0cos 𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1cos(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙)) × (𝑚𝑚𝑚𝑚0cos 𝑄𝑄𝑄𝑄 +
𝑚𝑚𝑚𝑚1cos(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙))}𝜃𝜃𝜃𝜃̈ = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚0�𝜃𝜃𝜃𝜃̇ + 𝜔𝜔𝜔𝜔�2sin 𝑄𝑄𝑄𝑄 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1̈ sin(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) − 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1̇ �𝜃𝜃𝜃𝜃̇ + 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙𝜙𝜙̇� cos(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1�𝜃𝜃𝜃𝜃̇ + 𝜔𝜔𝜔𝜔 +
𝜙𝜙𝜙𝜙̇�2sin(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1𝜙𝜙𝜙𝜙̈cos(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙)� × (𝑚𝑚𝑚𝑚0cos 𝑄𝑄𝑄𝑄 +
𝑚𝑚𝑚𝑚1cos(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙)) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝜙𝜙𝜙𝜙̇(𝑚𝑚𝑚𝑚0sin 𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝑚𝑚𝑚𝑚1sin(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙)) − 𝐶𝐶𝐶𝐶�𝜃𝜃𝜃𝜃̇ + 𝜔𝜔𝜔𝜔� − 𝑘𝑘𝑘𝑘(𝜃𝜃𝜃𝜃 − ℎ cos 𝛺𝛺𝛺𝛺𝜔𝜔𝜔𝜔)
(7) −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚0�𝜃𝜃𝜃𝜃̇ + 𝜔𝜔𝜔𝜔�2cos 𝑄𝑄𝑄𝑄 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚0𝜃𝜃𝜃𝜃̈ sin 𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1̈ cos(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) − 2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1̇ �𝜃𝜃𝜃𝜃̇ + 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙𝜙𝜙̇� sin(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1�𝜃𝜃𝜃𝜃̇ + 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙𝜙𝜙̇�2cos(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1𝜃𝜃𝜃𝜃̈ sin(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚1𝜙𝜙𝜙𝜙̈ sin(𝑄𝑄𝑄𝑄 + 𝜙𝜙𝜙𝜙) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝜙𝜙𝜙𝜙̇ (8) 式(7)と(8)を連立させて解くことによりシャフトのねじれ角θ と振り子の振れ角φを得ることができる．振り子軌道が円の場 合については式(2)において b=0 とし，同様の議論で得られる ため本稿では割愛する． Θout Θin k J b a Θout α R0 R1 φ Q x y 0 Epicycloid path Tangent line D F Pendulum r xe ye φ 遠心振り子式動吸振器のねじり振動低減性能に関する理論解析
Fig.3 Path of the pendulum 2.3. 振り子の固有角振動数 低減したい加振次数と振り子の固有角振動数を合わせるこ とで大きな制振効果を得ることができる．振り子の固有角振 動数は先行研究(4)で述べられているとおり，シャフト剛性を無 限大とし，振り子振幅を微小とすることで得られる．そうする ことにより振り子軌道が円の場合における振り子の固有角振 動数は次式となる． 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝜔𝜔𝜔𝜔�𝑚𝑚𝑚𝑚0⁄ 𝑚𝑚𝑚𝑚1 (9) 本研究の以下の計算においては式(9)においてルート内を 4 となるようにパラメータを設定する．これは回転数の 2 倍の 変動次数成分を低減することを想定している．いまロータの 回転中心から基礎円中心までの距離 R0を0.08[m]とするとル ート内の分母は0.02[m]であり，円軌道であれば一つに定まる． 一方，本研究のようなエピサイクロイド曲線を採用すること により，a と b の比を変化させることで R1の最大値を一定と しながら軌道を容易に変化させることが可能となる．図3 に 振り子軌道の例を示す．横軸に振り子の振れ角[deg]を，縦軸 に振り子支点から振り子までの距離R1[m]を示している．基礎 円に対し，半径b の円を小さくすることで振幅が大きくなる とR1が小さくなるような軌道を描く． 2.4. 理論による CPVA の発生トルク CPVA の発生トルク TCPVAは式(4)で表される駆動力 T と振 り子を無効とした場合の駆動力T’との差分となる．すなわち， 𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇′ = −𝑘𝑘𝑘𝑘(𝜃𝜃𝜃𝜃 − ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔) − {−𝑘𝑘𝑘𝑘(𝜃𝜃𝜃𝜃′ − ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔)} (10) で求めることができる．駆動T は式(7)と式(8)を連立して解く ことによりねじれ角θを求め式(4)に代入することにより求め ることができる．振り子を無効とした場合の𝑇𝑇𝑇𝑇′は振り子から 受ける力を0 とし，またロータの慣性モーメントを振り子分 加味した慣性モーメント𝐽𝐽𝐽𝐽′に置き換え運動方程式を解くこと で求まる．
Fig.4 MBD analysis model
Fig.5 System schematic of MBD analysis model Table 1 Design values of CPVA
3．MBD モデルによる検証 3.1. 解析モデル 理論解析結果を検証するため理論解析モデルに対応した 3 次元マルチボディダイナミクス（以下，MBD）モデルを構築 する．モデル開発と解析には汎用マルチボディダイナミクス ソフトであるRecurDyn を用いた．図 4 に全体と振り子部を示 す．シャフト，ロータ，4 つの振り子から構成されている．図 5 に全体のモデル概要を示す．剛体シャフトを二つ用意し，そ の二つを回転ばねで結合することでシャフトのねじり剛性を 表現している．またシャフト自身の慣性モーメントは 0 とし ている．ロータ上には振り子軌道となるカーブを設け，そのカ ーブ上を質点が移動するよう質点とカーブ間を拘束した．ま た質点とロータ間をダンピング要素で結合した．さらに質点 自身のスピン運動を防ぐために，姿勢拘束をしている． 3.2. MBD モデルによる CPVA の発生トルク 構築したMBD モデルを用いて CPVA の発生トルクを求め る．理論の場合と同様，振り子を無効（モデルでは固定）にし た場合と有効にした場合とで解析を行う．振り子を無効にし 0.0192 0.0194 0.0196 0.0198 0.02 0.0202 -50 0 50
Amplitude of pendulum [deg]
R1 [m] Circular a:b =1:5 =1:2.5 =1:1.3 Pendulum Circular or Epicycloid path Shaft1 Shaft2 Rotor P1 R ot or R ig id sh af t 2 R ig id sh af t 1 Ground Fixed R.S. : Rotational spring P.C. : Path constraint A.C. : Attitude constraint R.S. :Body element R.C. R.C. P2 P3 P4 P.C. A.C. Damp. R.C. : Rotational constraint :Constraint or Force element R0 0.08[m] m 0.2[kg] R1max 0.02[m] k 100000[Nm/rad] J 0.005[kgm2] c 0.02[Nms/rad] 遠心振り子式動吸振器のねじり振動低減性能に関する理論解析
た場合における駆動力を𝑇𝑇𝑇𝑇(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀)′ ，有効にした場合における駆 動力を TMBDとするとその差分が CPVA が発生したトルク TCPVA(MBD)となり，次式となる． 𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀)= 𝑇𝑇𝑇𝑇(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀)− 𝑇𝑇𝑇𝑇(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀)′ (11) 3.3. 理論解析結果との比較 理論解析結果とMBD モデルによる解析結果を比較する．比 較において振り子の個数は4 個とし，各諸元は表 1 のとおり である．角速度変動振幅hOω[rad/s](= hOΩ[rpm])を一定とし， 加振次数を変化させた．理論解析においては式(7)と式(8)の連 立方程式を4 次のルンゲクッタ法を用いることで時刻歴応答
(a) Torque generated by CPVA
(b) Oscillation amplitude of pendulum
{Ω=1000rpm, hOΩ=5rpm}
Fig.6 Comparison of theoretical calculation results with MBD simulation results for circular path CPVA
Fig.7 FFT results at point A in Figure 6
を求めた．時間刻みはΔt=0.001[s]とした．得られた両者の時刻 歴応答結果をFFT 処理し，主成分の振幅を用いて整理した． 振り子軌道は理論とMBD モデルの検証のため，円および a:b=1:2.5 で描かれるエピサイクロイド曲線とした． 図6 に振り子軌道が円の場合における両者の比較を示す． (a)は横軸に式(1)中に含まれる加振次数 O を，縦軸に CPVA の 発生トルクを示す．(b)は横軸に加振次数を，縦軸に振り子の 振れ角を示す．実線が理論解析結果，記号○が MBD モデルに よる解析結果を示している．図(a),(b)ともに両者はよく一致し ている．振り子の固有角振動数が2 となるようにパラメータ を設定しているが知られているとおり，振り子振幅が大きく なることで固有角振動数が低下する．そのため計算結果にお
(a) Torque generated by CPVA
(b) Oscillation amplitude of pendulum
{Ω=1000rpm, hOΩ=5rpm, a:b=1:2.5}
Fig.8 Comparison of theoretical calculation results with MBD simulation results for epicycloid path CPVA
Fig.9 FFT results at point B in Figure 8 0 10 20 30 40 1.9 2 2.1 2.2 Excitation order [-] Tor que [N m ] Theoretical results MBD results Point A 0 10 20 30 40 1.9 2 2.1 2.2 Excitation order [-] A m pl itude of pe ndul um [d eg ] Theoretical results MBD results Point A 0 10 20 30 40 0 50 100 150 Frequency [Hz] Tor que [N m ] 0 10 20 30 40 0 50 100 150
(a)Theoretical cal. (b)MBD sim.
0 10 20 30 40 1.9 2 2.1 2.2 Theoretical results MBD results Excitation order [-] Tor que [N m ] Point B 0 10 20 30 40 1.9 2 2.1 2.2 Theoretical results MBD results Excitation order [-] A m pl itude of pe ndul um [d eg ] Point B 0 10 20 30 40 0 50 100 150 Frequency [Hz] Tor que [N m ] 0 10 20 30 40 0 50 100 150
(a)Theoretical cal. (b)MBD sim.
いても振り子の振れ角，発生トルクともに最大となる加振次 数は約1.97 程度となっている． 図7 に図 6 中の発生トルクが最大となる A 点の FFT 結果を 示す．(a)が理論計算結果，(b)MBD モデルによる解析結果であ る．両者ともに主成分，2 次，3 次成分を含め良く一致してい る． 図8 に振り子軌道がエピサイクロイドの場合における両者 の比較を示す．円軌道の場合と同様に両者は良く一致してい る．振り子軌道にa:b=1:2.5のエピサイクロイド曲線を用いた 場合，円軌道と同様に弱い非線形性を有しているが最大発生 トルクおよび最大振れ角は狙いの加振次数である2 近辺とな っている． 図9 に図 8 中の発生トルクが最大となる B 点の FFT 結果を 示す．(a)が理論計算結果，(b)MBD モデルによる解析結果であ る．両者ともに主成分，2 次，3 次成分を含め良く一致してい る．以上により理論解析の有効性が示された． 4．理論による各パラメータの影響解析 ここでは理論解析により各パラメータがCPVA の発生トル クに与える影響を定量的に明らかにする．数値計算において は前項と同様，4 次のルンゲクッタ，時間刻みΔt=0.001[s]によ り計算を行った．また振り子軌道はエピサイクロイド曲線の みを対象としている． 図10 に入力定常回転数をパラメータにとった理論計算結果 を示す．横軸に加振次数O を，縦軸に CPVA の発生トルクを 示す．入力定常回転数が増加すると，CPVA の発生トルクは増 加することが示されている．これは定常回転数が増加するこ とで振り子に作用する遠心力が増加することによるものであ る．したがって入力定常回転数が大きいほど，CPVA のねじり 振動への低減効果は大きい． 図11 に入力定常回転数をパラメータにとった理論計算結果 を示す．横軸に入力の角速度変動振幅hOΩを，縦軸にCPVA の発生トルクを示す．角速度変動振幅が5 [rpm]程度までは発
{hOΩ=5rpm, c=0.02Nms/rad, a:b=1:2.5}
Fig.10 Influence of input rotational variation order for the torque of CPVA in the case where steady state rotational speed is parameter 生トルクは大きく増加していくが，それ以上の領域では発生 トルクはほぼ横ばいとなっている．また定常入力回転が増加 すると，図10 と同様に発生トルクは増加する． 図12 に振り子とロータ間に作用する減衰係数 c をパラメー タにとった理論計算結果を示す．横軸に加振次数O を，縦軸 にCPVA の発生トルクを示す．振り子とロータ間に作用する 減衰係数が小さくなると最大トルクを発生する加振次数2 近 {O =2, c=0.02 Nms/rad, a:b=1:2.5}
Fig.11 Influence of input rotational variation amplitude for the torque of CPVA in the case where steady state rotational speed is parameter
{hOΩ=5rpm, Ω=1500rpm, a:b=1:2.5}
Fig.12 Influence of input rotational variation order for the torque of CPVA in the case where damping coefficient of pendulum is parameter
{O=2,Ω=1500rpm, a:b=1:2.5}
Fig.13 Influence of input rotational variation amplitude for the torque of CPVA in the case where damping coefficient of pendulum is parameter 0 50 100 150 1.9 2 2.1 2.2 Excitation order [-] Tor que [N m ] 2000rpm 1500 1000 0 50 100 150 200 0 5 10 15 20 25 2000rpm 1500 1000 Excitation amplitude [rpm] Tor que [N m ] 0 20 40 60 80 100 1.9 2 2.1 2.2 c=0.01 0.02 0.03 Excitation order [-] Tor que [N m ] 0 20 40 60 80 100 0 5 10 15 20 25 c=0.01 0.02 0.03 Excitation amplitude [rpm] Tor que [N m ] 遠心振り子式動吸振器のねじり振動低減性能に関する理論解析
{hOΩ=5rpm, Ω=1500rpm, c=0.02 Nms/rad }
Fig.14 Influence of input rotational variation order for the torque of CPVA in the case where path of pendulum is parameter
{O =2, c=0.02 Nms/rad,Ω=1500rpm }
Fig.15 Influence of input rotational variation amplitude for the torque of CPVA in the case where path of pendulum is parameter 傍において発生トルクが増加することが示されている．これ は減衰係数が小さくなることで振り子の振れ角が増加するこ とにより発生する． 図13 に振り子とロータ間に作用する減衰係数 c をパラメー タにとった理論計算結果を示す．横軸に角速度変動振幅hOΩ を，縦軸にCPVA の発生トルクを示す．減衰係数が小さいと 回転変動振幅が小さい領域から発生トルクが立ち上がること が示されている．また回転変動振幅が大きい領域では減衰係 数の影響はほとんどないことがわかる． 図14 にエピサイクロイド軌道を構成する 2 円の半径比をパ ラメータにとった理論計算結果を示す．横軸に加振次数O を， 縦軸にCPVA の発生トルクを示す．基礎円半径 a に対し b の 値を小さくすると固有角振動数が増加していることが示され ている． 図15 にエピサイクロイド軌道を構成する 2 円の半径比をパ ラメータにとった理論計算結果を示す．横軸に角速度変動振 幅hOΩを，縦軸にCPVA の発生トルクを示す．変動振幅が増 加すると振り子振れ角が増加しその結果，固有角振動数が変 化する．したがって変動振幅が小さい領域と大きい領域とで は半径比に対する発生トルクの大小関係が変化することが示 されている． 5．結 論 本研究はCPVA の性能向上を目的とし，振り子軌道に着目 し，発生トルクの定式化を行った．得られた知見は下記のとお りとなる． 1) 振り子軌道が円軌道とエピサイクロイド軌道である 二つのCPVA を対象とし，CPVA の発生トルクを求め ることができる理論式を構築した． 2) 1)で構築した理論式の検証のため理論モデルに対応し た3 次元マルチボディダイナミクスモデルを開発し， 理論解析結果と比較し，理論式の有効性を示した． 3) 理論解析により入力の定常回転数，回転変動振幅，振 り子・ロータ間の減衰係数および軌道がCPVA の発生 トルクに与える影響を定量的に明らかにした． 4) 振り子・ロータ間の減衰係数を小さくすることで，よ り小さな回転変動に対しても大きなトルクを発生さ せることができ，また狙いの加振次数成分に対しても 大きな制振効果を発揮することが示された． 参 考 文 献
(1) Robert Meyer et al. : BMW’s flexible powertrain family with a new generation of transverse transmissions, 12th International CTI Symposium, Vol.1, pp.129-136 (2013)
(2) S Theodossiades, M Gnanakumarr, H Rahnejat and P Kelly : Effect of a Dual-Mass Flywheel on the Impact-Induced Noise in Vehicular Powertrain Systems, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering, Vol.220, No.6, pp.747-761 (2006)
(3) K. Stahl et al. : Isolation of Torsional Vibrations in Automotive Applications Passive Switching Isolator PSI, 12th International CTI Symposium, Vol.1, pp. 407-418 (2013)
(4) 石田幸男，井上剛志，賀川泰史，上田元彦：遠心振り子 式動吸振器を取り付けた回転軸系の非線形振動解析と
ねじり振動の制振，日本機械学会論文集 C 編，Vol.71,
No.708, pp.2431-2438 (2005)
(5) H. H. Denman : Tautochronic bifilar pendulum torsion absorbers for reciprocating engines, Journal of Sound and Vibration, Vol.159, No.2, pp.251-277 (1992)
0 20 40 60 80 100 1.9 2 2.1 2.2 Excitation order [-] Tor que [N m ] a:b=1:5 1:2.5 1:1.3 0 40 80 120 160 0 5 10 15 20 25 Excitation amplitude [rpm] Tor que [N m ] a:b=1:5 1:2.5 1:1.3 遠心振り子式動吸振器のねじり振動低減性能に関する理論解析
