Uo1.50No.2(2013)pp.95-100
粒 子 法 と分 布 点音 源 法 に よ る超 音 波 浮 揚 液 滴 形 状 解 析 に つ い て
和 田
有 司*1,弓
削
康 平*z
Onthesimulationofanultrasoniclevitateddropletshapes
withmovingparticlesemi-implicitanddistributedpointsourcemethod.
珂iWADA*1,KoheiYUGE*2
ABSTRACT:Numericalsimulationofanultrasoniclevitateddropletshapeisdiscussed.Inthe circumstancesofacousticstandingwave,waterdropletsaretrappedatthesoundpressurenodefromthe effectoftheacousticradiationforce,thatis,astaticforcegeneratedbecauseofacousticnonlinearity.While trappednearthenode,thedropletsareexperimentallyknowntochangetheirshapesintospheroid,though, veryfewreporthasnumericallycalculatedtheshapeofthedropletconsideringthefreesurfaceboundaryof thedroplet.Inthisreport,authorssuccessfullysimulatethetwo-dimensionalshapeofthedropletusing distributedpointsourcemethod(DPSM)andmov血gparticlesemi-implicit(MPS)method. Keywords:Ultrasoniclevitation,Acousticradiationforce,Particlemethod,Pointsourcemethod,Surface tension(ReceivedSeptember2Q2013)
1.は じ め に2.液
滴 浮 揚 の 原 理
近 年,微 小 物 体 の 非 接 触 搬 送 技 術 と して 超 音 波 を用 い た 浮 揚 技 術 が 注 目 され て い る 。こ れ は 定 在 波 音 場 中 に微 小 物 体 を 配 置 す る と音 響 放 射 力 に よ り音 圧 の 節 に 捕 捉 され る 現 象 を 利 用 した も の で あ る 。液 滴 の 浮 揚 に っ い て も 多 く の 実 験 報 告 が な され て お り,一 次 元 定 在 波 音 場 中 に 液 滴 を 浮 揚 させ る と 回 転 楕 円体 状 に な る こ と が 知 られ て い る[1,2]。 しか し な が ら,計 算 格 子 を 用 い た 計 算 手 法 で 超 音 波 と液 滴 自由 表 面 を 扱 う の は 処 理 が 煩 雑 で あ り,浮 揚 した 液 滴 形 状 を数 値 計 算 で 求 め た 報 告 例 は ほ とん ど な い 。 本 研 究 は 計 算 格 子 を 持 た な い 計 算 手 法 で あ る 音 場 計 算 法 で あ る 分 布 点 音 源 法(DistributedPointSourceMethod, DPSM)[3]と,同 じ く 計 算 格 子 を 持 た な い 非 圧 縮 性 流 体 計 算 手 法 で あ るMPS粒 子 法(MovingParticleSemi-implicit)[4]を 組 み 合 わ せ て,浮 揚 液 滴 形 状 を シ ミ ュ レー シ ョ ン す る こ と を 目的 とす る 。 *1:理 工 学 部 シ ス テ ム デ ザ イ ン 学 科 助 教 ([email protected]) :z:理 工 学 部 シ ス テ ム デ ザ イ ン 学 科 教 授 非 線 形 音 場 中 で は 圧 力 に 直 流 分 が 発 生 す る こ と が 知 ら れ て お り,そ の 大 き さ は 音 の 位 置 エ ネ ル ギ ー と運 動 エ ネ ル ギ ー の 差 で 表 され る[5,6]。擁
〉
一包〉-1磨
磐〉
F-∫P・
ゐ
た だ し,〈 … 〉は 時 間 平 均 の 操 作 を 示 す 。 (1)液滴 に働 くカ は この 時 間 平均 圧 力 を液 滴 表 面rで 面積 分
す る こ とで 求 め る こ とが で き る。
Fig.1に1次
元 空 中定在 波 音 場 中で 液滴 を音 圧 の節 付
近 で浮 揚 させ た場 合 の 液滴 に働 くカ に っ い て ま とめ た 図
を示 す 。 液 滴 に は この 時 間 平 均 圧 力Pa以 外 に表 面 張 力 と
重 力 が は た ら く。時 間平 均 圧 力 のお お よそ の分 布 と して,
液滴 の 上 面 と下 面 で は粒 子 速 度 が遮 られ るた め位 置 エ ネ
ル ギ ー が 主 とな り正 圧,側
面 は音 圧 の節 で あ るた め運 動
エネ ル ギ ー が 主 とな り負 圧 が 予想 され る。
この と き垂 直 方 向 のカ の釣 り合 い か ら,液 滴 は 上 面 と
成 跨i大 学 理 工 学 研 究 報 告
Vo1.50No.2(2013.12)
下 面 の 時 間 平 均 圧 力 の 差 と重 力 が 等 しくな る よ うな 音 圧
の 節 の 少 々 下 に留 ま る。 ま た 水 平 方 向の 力 の 釣 り合 い か
ら,時 間 平 均 圧 力 の 負 圧 と表 面 張 力 が 等 しくな る よ うに
液 滴 の 曲 率 が 変 化 し,液 滴 は 楕 円形 にな る こ とが 予 想 さ
れ る。
しか しな が ら,液 滴 形 状 の 変 化 に よ り周 囲 の 音 場 が 変
化 す るた め,実 際 の 液 滴 形 状 を 求 め るに は 逐 次 音 場 計 算
と液滴 の 形 状 変 化 を再 現 す る よ うな シ ミ ュ レー シ ョン方
法 が 求 め られ る。
...Pressurenode
...ラG「avitySt、ti・p・essu・eP
a
Surfacetension
Acousticradiationforce
Fig.lForcesactonanultrasoniclevitateddroplet. surface ces ndaryconditions ΣnM(krnm)An=0 十 工 rsfA .…A2Al Fig.2Distributedpointsourcesandboundary conditions.OQ∞
二
⊥
婁譜
O Fig.3Movingparticlesemi‐implicitmethodwindow andgradient.3.分
布 音 源 法(DPSM)に
つ い て[3]
本 解 析 の よ うに 時 間経 過 に 従 っ て境 界位 置 が 変 動 す る
よ うな移 動 境 界 を持 つ計 算 を 考 え る場合,計
算 格 子 を使
用 す る 方法 で は境 界 検 出 用 関数 の 配 置 や格 子 の 再 生 成 な
ど手 間 が 煩 雑 とな る場 合 が 多 い 。 これ に 対 し てDPSM
(分布 点音 源 法)は 境 界 に 点 音源 を 分布 させ るだ け で,
節 点結 合 等 の メ ッシ ュ生 成 な しに 空 間 音 場 を計 算 す る方
法 で あ る。
一般 に速 度Vで 振 動 す る任 意 の 振 動 板 か ら放 射 され る
音 場 はGreen関 数 を用 い て 式(2)の レイ リー積 分 に よ り計
算 で き る。
P-{劉
照(騰N(帆
nA.抑7△S(、)
2π
G(kr)=ノo(kr)一
ノYo(kr)
な お,本 報 告 で は 二 次 元 音 場 を対 象 とす る た めGreen
関数 は ハ ン ケル 関数 で あ る。 離 散領 域 で数 値積 分 す る場
合 振 動 板 の 微 小 面積 領 域 は あ る振 巾
副 の 点 音 源 と置 き 換
え る こ とが で き る。 しか しな が ら,反 射 体 な ど二 次 音源
が 存在 す る 場合 レイ リー積 分 の み で は 音 場 の 計 算 は 不 可
能 で あ る。
Fig.2にDPSMの
計 算 の模 式 図 を示 す。 ま ず 一 次 音源
と反 射 板 や 液 滴 な どの 二 次 音 源 す べ て に,音 源 振 巾
副 が
未 知 で あ るN個 の点 音 源 を分 布 させ る。た だ し,音 源 は擬
似 的 に 半径r、
の 球(二 次 元 で は 円筒)で あ る もの と し,音 源
の 中 心 は境 界 か らr、
だ け内 側 に配 置 す る もの とす る。
未 知 音源Anか
ら放 射 され た 音 波 が 位 置mに 形 成 す る音
圧 お よび 法 線 ベ ク トルn方 向 の粒 子 速 度 は 式(3)で計 算 で
き る。
N
島 一 ΣG(krmn)An n(3)
㌦ 一畠
器
一シ(krmn)An
境 界 条件 と して は 一次 音源 表 面 で速 度Vo,反 射 板 で 速
度0,簡
単 の た め液 滴 表 面 は 音響 的 に 剛 体 と して 速 度0
とす る。 この式 を用 い て 音源 表 面 の 各 点 に お け る境 界 条
件 を考 え る とN個 の未 知 音 源 に対 して,N個 の 方 程 式 が で
き るの で未 知音 源 の 振 幅 を決 定 で き る。
{An}一[M_r'{㌃}
(4)
{㌃}='{Vo,…,Vo,0,…,0}音 源 振 幅 が 決 定 した 後 は 式(3)か ら任 意 の位 置 の音 圧 ・粒
子 速 度 が 手 に 入 るた め,液 滴 表 面 で 音 圧 と粒 子 速 度 を計
算 す れ ば,式(1)に よ り液 滴 表 面 の 時 間 平 均 圧 力P。を算 出
す る こ とが で き る。
2λ4.MPS粒
子 法 に つ い て[4]
音 場 か らの 時 間 平 均 圧 力 を受 けた 液 滴 流 体 の 形 状 変 化
に は,同
じ く計 算格 子 の 必 要 の な い粒 子 法 で 計 算 行 う。
粒 子 法 は 流 体 の 流 れ を空 間 格 子 で は な く散 布 され た 粒
子 の相 互 作 用 に よ り計 算 す る手 法 で あ り,MPS法
の他 に
もSPH法 や 格 子 ボ ル ツマ ン法 な どが 知 られ てい る。Fig.3
にMPS粒
子 法 の模 式 図 を示 す。
MPS法
の 特 徴 で あ る 粒 子Zの 有 す る物 理 量 ψの 空 間 勾
配 の 計 算 は 以 下 の 式 の よ うに 表 され る。
▽φ一斜
誓 φ鳴)]σ)
D=2は 次 元 数,w(r)は 重 み 関 数,認 は 初 期 配 置 に お け る 粒 子 密 度 で あ り式(6)で 計 算 され る 。吻
一{∵(0<r<r(
re≦り)
4一 Σw(J=) z≠ ノ(6)
r,はMPS法
の影 響 半径 で あ る。
式(7)に 粒 子 法 の 非 圧 縮 性 流 体 方 程 式 の 支 配 方 程 式 を
示 す。 粒 子 法 は 流 体 と と も に移 動 す る ラ グ ラ ン ジ ュ法 で
あ るた め 対 流 項 を 計 算 す る必 要 が な い 。
aU
--OP_vOZU+g+6xn
∂tρwρw
(7)
g,6,K,nは 重 力 加 速 度,表 面 張 力 定 数,表 面 の 曲 率,表 面 の 法 線 ベ ク トル で あ る 。 支 配 方 程 式 をSMAC法 と 同 様, 半 陰 的 ア ル ゴ リズ ム を 適 用 す る こ と で 過 渡 流 体 計 算 を 実 行 す る 。5.計
算 モ デ ル
'㌔m1=λ 〆40 p .=998kg a=72.AN/ =9 .8m/s /'=20kHz ぐ己=340m/s i.=17mm p,=1.3kgh λ/2 Fig.4Problemgeometryforanultrasoniclevitated droplet. DPSM 1.Acoutsticanalysis ... む'《
》至
瓢
藩
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ …一
《》<■
... 7.SetDPSMsourceandtarget andreturnto1 MPS 3.Displacepaticle (咀1膨ithgraVlty・ViSCOSity・
韓
4C。1。 、}・t謙 ・,nalp,essu,e withP,andsurfacetention 号,Dis,lacepaticle with-gradP難
6.Detectedgeparticles andnormalvectorsFig.4に 計算 領 域 の設 定 お よび 使 用 した材 料 定 数 を示
す 。 図 の よ うな 幅 が 二 波 長,高
さ一 波 長 の 定 在 波 音 場 中
に 初期 半径1/20波
長 の液 滴 を浮 揚 させ る場 合 を 考 え る。
下 面 振 動 子 を20kHz,振
動 速 度lIn/sで 振 動 させ 振 動 板
か ら一 波長 の 位 置 に剛 体 反 射 板 を配 置 す る。 振 動 板 か ら
お よそ3/4賑
一12.7㎜ の 位 置 の 音 圧 の 節 位 置 に醐
さ
Fig.5CalculationprocedureforDPSM‐MPSinteraction analysis(a)soundpressurep
PNn16鐸
PIPa) ・翫 .6298 0 脳ool枷
騨1069.61____一
、__,._
(b)staticpressurePa
Fig.6(a)Soundpressureand(b)staticpressure
distributionwithinitialradiusofx/40,
wheretheblackandwhitespheresareDPSM
boundaryconditionpointandDPSMsource,
respectively.
成 跨i大 学 理 工 学 研 究 報 告
Vo1.50No.2(2013.12)
せ る こ と を 考 え,円 形 の 粒 子 群 を こ の 近 傍 で あ る 振 動 板 か ら12mmお よ び13㎜ の 位 置 に 酉己置 した 後 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で そ の 位 置 と 形 状 を 計 算 す る。 初 期 液 滴 半 径 は x,/40の 他 にx,/35,x,/45,λ/55,x,/65の 場 合 に つ い て 検 討 を 行 っ た 。 DPSMは 音 源 の 半 径r、を 振 動 板 ・反 射 板 で はx,/30,粒 子 表 面 で はx,/300と し,処 理 の 単 純 化 の た め に 液 滴 表 面 は 音 響 的 に は 剛 壁 で あ る も の と し た 。 ま た,粒 子 法 に お い て は 初 期 粒 子 間 隔 をx,/300,影 響 半 径r,を 初 期 粒 子 間 隔 の 4倍 と し,計 算 の 安 定 の た め に 実 際 の 水 よ り100倍 大 き な 粘 性 定 数 とo.01/dt[Us]の 速 度 に 比 例 す る 空 気 抵 抗 を 使 用 し た 。5.連
成 解 析 手 法
MPS法
で 検 出 した 粒 子 配 置 境 界 の 検 出 に つ い て は 粒
子 密 度 が 初 期 密 度 に対 して 閾値 β=0.8よ り小 さな 点 を境
界 粒 子 と し[4],下 式 か ら表 面 の 法 線 ベ ク トル は 算 出可 能
で あ る。
叫_Σ
Σ
卯 甲(9(ヵ,￠<,(3d・)(8)
、
ノ 。畷 ㌦)
境 界 と して 検 出 し た粒 子 の 位 置 をDPSM点
音 源 の位 置
と し,DPSMに
お け る気 液 界 面 の 位 置 は 点 音 源 か らnの
方 向 にr、
だ け進 ん だ位 置 をDPSMの
境 界 点 とす る。
DPSMで
音 場 を計 算 し算 出 した 時 間 平 均 圧 力P。の 入
力 に つ い て は,SMAC法
の 圧 力 計 算 にお け るボ ア ソ ン方
程 式 へ の境 界 条 件 と して 入 力 す る。
▽P・.ρ ・▽'σ.α ρwd-d° 4t4tZd° P=PQ+6K(forPEI')(9)
た だ し,α=0.07は 粒 子 密 度 調 整 用 パ ラ メ ー タ で あ る。 過 渡 解 析 はdt=50ｵs刻 み で 行 い,解 析 時 間 は600ス テ ッ プ(30ms)の 問 と し た 。1ス テ ッ プ あ た り に お け る 液 滴 形 状 の 変 化 の 少 な さ と 計 算 負 荷 の 低 減 の た め,DPSMに よ る 音 場 の 計 算 は20ス テ ッ プ ご と と し た 。 な お,表 面 張 力 の 算 出 に 必 要 な 曲 率Kは,周 囲 の 境 界 粒 子 の 位 置 ベ ク トル と 法 線 ベ ク トル,接 線 ベ ク トルn,1を 用 い て,関 数 の 曲 率 の 式 に 従 い 下 式(10)か ら 算 出 した 。 K._z恥2留w(9
Σ(、.単 畷9
(10)
Fig.7Dropletdeformationandinternalpressureat
thetimeO,0.5,2,20mswithinitialradius
ofx,/40.
13 8 6 4 , 2 2 2 1 2 2 2 1 り り [E ∈ 言 ￡ ω o 匹 ﹂ Φ 芒 8 診 誌 ﹂ O 8 1 1 r=x/45 r=A/55 r=x/65Time[ms]
Fig.8Timevariationofthegravitycenterposition ofthedropletwithvariousinitialradii. 2 8 (◎ 4 . (∠ り り り ↑= O 一Φ ` 、 二 ↑ ℃ ∼ ) 一 Φ 一α O ﹂ O 1 o.a 匹,圏1圏 r=ノ)35 ■ 一 一 一 へr=λ140 馬 鞠 鞠■ ■ 一 一 ■ r=U45 r=A/55 r=入165 ■ 1 0右1U1七 ぎ0ゴb30Time[ms]
Fig.9Timevariationoftheratioofwidthto heightofthedropletwithvariousinitial radius.6.結 果 Fig.6に 初 期 計 算 時 間 に お け る 音 圧 ・定 常 静 圧 分 布 を 示 す 。 図 中 の 白 い 球 はDPSM音 源 の 位 置,黒 い 点 は DPSMに お け る 境 界 条 件 の 点 を 示 して い る 。 定 在 波 音 場 の 振 幅 は16kPaで あ り,こ の 時 の 時 間 平 均 圧 力 は 垂 直 方 向 で400Paの 正 圧,水 平 方 向 でlkPaの 負 圧 とな っ た 。 こ の 場 合 垂 直 方 向 正 圧 に よ り粒 子 は 上 方 向 に 押 し上 げ ら れ,水 平 方 向 負 圧 に よ り粒 子 が 扁 平 に な る こ とが 予 想 さ れ る 。 Fig.7にt-0,0.5,2,20msに お け る 粒 子 配 置 の 変 化 と内 部 圧 力 の 変 化 を 示 す 。 時 間 平 均 圧 力 を 受 け た 粒 子 は 早 い 段 階 で 扁 平 に 変 形 した 後,音 圧 の 節 に 押 し上 げ られ る 様 子 が 見 て 取 れ る 。 ま た,初 期 時 間 に お い て 全 体 と比 較 し て 負 圧 で あ っ た 液 滴 の 左 右 の 静 圧 場 が 時 間 の 経 過 と と も に,扁 平 に 変 化 す る こ とで 表 面 張 力 が こ の 負 圧 と釣 り合 い,t=20msに お い て は 液 滴 左 右 部 分 と 中 心 部 で の 静 圧 が 一 致 して い る 。 Fig.8に 粒 子 の 高 さ 方 向 重 心 位 置 の 時 間 経 過 に よ る 変 化 を 示 す 。 音 圧 の 節 の 上 下 ど ち らか ら投 下 した 場 合 で も 初 期 半 径 が λノ40で 同 じ場 合,時 間 経 過 に よ り粒 子 は 音 圧 の 節 の0.25mm下 方 の12.5mmに 捕 捉 さ れ た 。 ま た,初 期 液 滴 半 径 っ ま り液 滴 の 体 積 が 小 さ い ほ ど音 圧 の 節 か ら 離 れ た 位 置 に 捕 捉 さ れ る 結 果 が 得 られ た 。 こ の 理 由 と し て は 体 積 が 大 き い 分,扁 平 に な る こ とで 音 場 か ら よ り大 き な 放 射 圧 を 受 け る こ とが で き る よ うに な り,こ の 放 射 圧 の 増 分 が 総 質 量 増 加 に よ る 重 力 の 増 加 を 上 回 っ た も の と考 え られ る 。 ま た 初 期 半 径7」35の 場 合 は 水 平 方 向 の 負 圧 が 大 き く な り液 滴 が 極 端 な 扁 平 形 状 に な る た め か,粒 子 群 が 左 右 非 対 称 な 動 き を 見 せ る 結 果 が 得 られ た 。 Fig.9に 浮 揚 液 滴 の 幅 と 高 さ の 比 の 時 間 経 過 に よ る 変 化 を 示 す 。 初 期 液 滴 半 径 が 大 き い 場 合 ほ ど扁 平 な 楕 円 形 状 とな る 結 果 が 得 られ た 。 こ れ は 初 期 液 滴 半 径 が 小 さ い ほ ど初 期 状 態 に お け る 表 面 張 力 が 大 き く,形 状 を 変 化 さ せ て 左 右 方 向 の 負 圧 と釣 り合 わ せ る 必 要 が な く な る た め と考 え られ る 。 間 平 均 圧 力 の 効 果 に よ り液 滴 が 扁 平 に 変 形 し,音 圧 の 節 よ り下 方 に トラ ッ プ され る こ と を再 現 す る こ と が で き た 。 今 後 の 課 題 と して は,三 次 元 空 間 上 で の 粒 子 形 状 お よ び 水 平 方 向 に 発 生 す る音 響 流 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン,お よ び,大 粒 径 ・大 音 圧 時 に お け る 液 滴 の 分 裂 な ど の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に 対 す る検 討 が 挙 げ られ る。
