高次積率標準化手法の提案とそれに基づく信頼性指標の設定 : 高次積率を考慮した信頼性設計法に関する研究 その1

｛論　 文】 UDC ：624

．

042 ：519

．

2 日本建 築学会 構 造系論文報告集 第 359 号

・

昭 和 61 年 1 月

高

次

積率標準化手

法

の

_提

_案

と そ れ

に

基

づ

く

_{信 頼性指標}

の

_設

_定

高 次積 率

を

考慮

した

信 頼性 設計 法

に

関

す る

研 究 　

その

1

正 会 員

小

』

野

徹

郎

＊ 正 会 員

井 戸

田

　 秀 　 樹

＊ ＊ 　

1．

序 　 近 年

，

荷 重や部 材 強 度を確 率 論 的に取り扱い

，

_{信 頼 性} 理論に

基

づ く構 造 設計体系を確立し よ う と す る試み が国 際的に_行わ れて いる

。

信頼性理論では

，

安全性の_定量的 尺度と して_{破壊確 率}なる_{概 念}が_導入 さ れ る。

一

般にこの 破 壊 確 率は， 設 計用確 率 変 数の結 合 確率密 度 関 数を破壊 領 域で積 分する ことに よ り算 出さ れ る1） が

，

この積 分 計 算は実 行 困 難な多 重積 分を含む ため， そ のまま の形で構 造 設 計へ の導 入 を行 うことは不 可 能である。 　こうし た問 題 点に対 し

，

Cornell

，

　

Lind

_等に ょり提 唱 さ れ た 2次モ

ー

メ ン ト法z ｝

・

3 〕（

Second−

Moment 　Method _｝

は_， 確 率 分 布 形の仮 定 をせ ず， 確 率 変 数の ユ次 お よ び2 次 積 率

，

すな わち平 均 値 と標 準 偏 差だ けで破 壊確 率の合 理的な評 価 を行っ た もの であ り， こ の評 価 法に よっ て確 率 論に基づく構 造 設 計 法 確 立へ の道 が 開け たと 言え る

。

2次モ

ー

メ ン ト法で は

、

破 壊 限 界 点と平 均 値との距 離 を 標 準 偏 差を用い て測っ たと きの係 数を信 頼 性 指標と定 義 して いる4｝ 。 具 体 的には

，

各 設 計 変 数を平 均 値と標 準 偏 差を用いて標準化し

，

標準化確 率変数 空 間に お け る破壊 限 界 点 と平均 値 との距 離 を 求 め

，

これ を 信 頼 性 指 標 と す る手 法が と られ る

。

した がっ て_， 2次モ

ー

メン ト法で は 確 率 変 数の取り扱いが 極め て簡 便であるが

，

その反 面

，

平 均 値と標 準 偏 差だ けで は表現 し得ない統 計 的情 報， 例 え ば確 率 分 布 形の非対 称 性や尖り具合 等の影 響に対 応で き ないとい う問 題 点 を 有して いる

。

　

確 率分布

_形

との対 応を考 慮し た信 頼 性 評 価 法の必要 性 は_，

Ang ，

　

A

韻n _等に も指 摘され てお り， 彼らめ提唱し た拡 張 信 頼 性理論5） では

_，

確 率 分 布 形にあ ま り影 響 を 受 けな い破 壊 確 率の定 義が行わ れ てい る

。

し か し

，

拡 張 信 頼 性 理 論に おけ る破 壊 確 率の評 価 法は

，

客 観 的破 壊 確 率 を分 布 形の違い に よ る影 響が ほ と ん ど存 在し ないオ

ー

ダ

ー，

す な わ ち破 壊 確 率を か なり大き く 見積もっ た オ

ー

ダ

ー

で定義 し

，

こ の過 大 評 価 分 を 主 観的破 壊確 率で修 正 するとい う もの であり

，

客 観 的 不確 定 量の確 率 分 布 形の 違い に対す る問題は まっ た く解 決さ れ ていな い

。

　 本 論 文は

_，

こ_うした確 率 分 布 形の_取り扱い上の問 題 点 に着 目し

，

高 次の積 率 情 報を考 慮 することに より確 率 分 布形の_特性に_対応可能な高精 度で かつ _{簡 便}な信 頼 性 設計 法を提 案す るもの で あ る。 本 稿で は まず

，

高 次 積 率 を用 い た確率 変数の有効な

取

り扱い_方法であ る高 次 積 率 標 準 化 手 法 を提 案し

．

その 3次 積 率 標 準 化 手 法へ の具 体 的な 解 析 展 開 を行う

。

さらに_， 提案手 法に基づい た信頼性指 標の設 定 を行い

，

高 次 積 率 を考 慮 し た安 全 性の定 量 的 尺 度を定 義 する

。

　

2，

確 率 分 布 形の違い による影 響 度 　不 確 定 性 を有 する変 数の確 率 論 的 性 質 を平均 値 と標準 偏 差だけで代 表させ るという 2次モ

ー

メ ン ト法は

_，

その 数 式 表現が簡 単であると 同時に_， 実 際の設計規範等へ の 理 論 展 開が容 易であるが

，

その反 面， 確 率 分 布 形の違い に対 応でき ない とい う問 題 点 を 有し て いる

。Fig．

1は

，

同じ平 均 値μx と標 準 偏 差 Ox を有す る正規 分 布， 対 数正 規 分 布

，

ワイブル分 布の 3_{分 布 形}に対し

，

等しい破 壊 領 域 を設定し

，2

次モ

ー

メン ト法に よ る信頼性指標 βと破 壊 確 率 pノとの関 係 を 表 し た もの であ る

。

pノは 斜線で示 され た面 積に対 応する

。

_βが_{等 レ}くて も， Pl は確

率

分 f【刈 Pf B

・

σ

潟

iI

．

NORMAL o 　 阨1［u

 

尸

鯛

ftx｝ 臼 隠

．

ヨ 　　　 　　 　　　LOGNORMA 　　　

I

　 　 　

脚

O 　 FOIしur

馨

尸

π

f【刈 A 晦 」

．

　 　 　 　 WE 旧ULL 9

II

O 　Fq1［

凵

隠 尸

涯

x x 嚀 名古 屋工業 大 学 　 教 授

・

工博

鱒

_{名古屋 工業 大 学 　 大学院 生} 　 （昭和60年 4 月8日原 稿 受 理1 x

Fig

_．

₁Difference　of 　_p∫ in　each 　Distribution　Type

‘ 10

−

1 10

’

： 弓 　 　 　 　 　 嘱 　 0 　 　 　 　 　 0 　 1 　 　 　

　

　

　

　

　

　

1 ＞ ト コ

「

00 く 山 O 匚 亀 舮

　

　

舮 　 1

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

1 凵 匡 コ 」

一

く 」 　 　 　 　 10

’

T 　 　 　 O

．

0　　 　1

．

0　　 　2

．

0　 　　3

．

0　　 4

・

O 　 　 　

RELIABIUTV

　INDEX

．

「l

Fig

．

2

Relationship

　of βand 　p／in　each 　Distr重bution　Type

布形ご と に差 を生じ る た め， βは異なっ た確 率 分 布 形に 対して は安全性の_普遍 的な評価尺 度に は なっ ていない。 上記の

3

分 布 形に対し

，

具体 的な数 値 計 算か らβと Pr の関 係を各 分布形ご とに示 し たの が

Fig．

2

で あ る

。

各 確 率分布形と も＃s＝ ・10

．

O

，

_{σ ．}＝

・

2．

0

とし

，

破 壊領域は

X

−

_{XF〈0と 定義し た}

_。

　XF は 破 壊 限 界点の座標 を表す

。

ρ」 は各 確 率 分布形 の確率密度関数

fx

を 用 い_， ・．

−

P ［・

−

XF ・ ・］

一

∬

魚 ）・・c

・

・

…………

（・〉 を解い て求め

，

βは

2

次モ

ー

メン ト法に基づ き

，

　 　 　 　 μx

−

XF 　　 　　　 　　　

…・

…………一 ・

・

…・

・

……・

・

……・

（2 ＞ 　 　 　β

＝

　 　 　 　σx と し た

。

βが 大 き く な る ほ ど各分 布 形 ご との

Pf

の差は 広が り

，

実構 造 物で問 題と な る破 壊確 率の オ

ー

ダ

ー10−

3

〜10−

6_{に お} い て は

，

例えば β

＝3．0

を例に と る と

，

ρノ は分 布 形によっ て 2桁か ら5桁もの差を 生 じて いる。 現 実に設 計で取り扱 う荷 重 や 抵 抗 強 度 等の_{物 理 量}が正 規 分 布を示すこと は ま れで あり

，

こ う し た分 布 形の違い に よ る影 響度を考慮す る と， 確率分布形の違い に対応可能な 信 頼 性 評 価 法の確 立は不可欠で あ ろ う

。

　

3．

高次積 率 標準化手法 　 確 率 変 数の分 布関数を用いずに前 章で述べ た ような問 題 点に対 処す るために は

，

平 均 値と標 準 偏差のみ な らず， 確 率 分 布 形の特性を表す

_，

さ ら に高 次の積 率情 報を考 慮 す る 必要が あ る。 確率 変数

X

の平 均値まわ りの n 次積 率 ant は_，　

X

の_確率密度関数

fx

を用い る と ・・

−

1

：

（x

−

・xPfKx ）・・／・： （・ ≧・）

・

…一

（・） と表さ れ， 例 え ば 3次 積 率 a

、

x は 分布形の 非 対 称性

，

4 次積率aa は 分布形の尖り具合を表す

。

実 際に は，　

X

の

（

X

_AX

器5其（X） 片 μ

・

一

昏

1

’

榊

f_衰（x） ：

　　　　　

．

　

　

　」

．

…一

一

’

”

匿

…

「

……

1

…’

一

’

”

1

　　　　　

．

II

奪

i

i

．

．

凸

．

．

．

．

I



if

翼（x） 32 ：二† … ： o

F　

　

　

　

I1 　　　　　　　　

．

唱

1幽 … _｛O　 　 　 h 　 　 … 笹

．

1 5 　

．

．

一

．

　 　 　

．

．

．

．

．

＿

1　 旨 ；

．

，

「

　 　 　 　2 …　　　 　「

_一

_．

_「

_囓

_・

_曹

_，

_甼

_一

_一

x

Fig

．

3　X

−

X　Relationship　on　High　Order　Moment　Standardiz

．

　 　 　ing　Method 情 報は有限 個の _実測デ

ー

タ Xt_（‘

＝1，2，…，

　m ）で与え られ る ため

，

ant は m Σユ（訂t

一

μx）n ‘

書

［ ant

＝

_n 　 　 　 m

°

ai （n ≧3）

………・

……

_{（4 ）} と離 散 的に求 めら れ る

。

し た がっ て平 均値と標 準 偏 差に 加え_， これら の高 次 積 率 も考 慮し た信 頼 性 評 価 法が確 立 されれ ば_， 前 章の問 題 点は解 決 され る。 以 下， 高 次積 率 を考 慮し た確 率 変 数の有 効な取り扱い方 法で ある高 次 積 率 標 準 化 手 法の提 案 を行い

，

そ の具 体 的 解 析 展 開とし て 3次積 率 標 準 化 関 数の提 示 を 行 う。 　確率変数

X

を あ る関 数

Sx

に よっ て 　 　 　丿【； SKX _）

・

…

　

−t…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5） と変換したとき， 確率 変 数 X が標 準 正 規 分 布に従う確 率 変 数 （以 下，標準正 規 変 数 と 呼ぶ ）に変 換され たと する。 こ のよ うな関 数 Sxを確 率 変 数 X に対す る標 準 化 関 数 と定 義する

。Fig．

3は_，　 X

−

X _{座 標 平 面 上}に お い て関 数

Sx

と変 換 前

，

お よ び変 換 後の確 率 変 数の確 率 密 度 関 数

fJ

，　

ffi

の関 係 を模 式 的に示したもの である

。

　

Sx

の 決 定 に は

fx

が具体的に与え られ る必 要がある が_，　

fx

を 限ら れ た量の デ

ー

タ か ら厳 密に決 定する ことは難し く，ま た，

fx

を用い る と積 率 情報だ け か ら信 頼 性 を評価す る とい う簡便さが失わ れるこ とになる

。

した がっ て_，

Sx

は

fx

を用いずに決 定さ れ る必 要があるが

，

有 限 次の積 率 情 報 だ け か らSx の具体 的な関 数 形を決 定す る こ と は不 可 能 であ る た め

，Sx

を ある有 限 次まで の 高 次積 率を考慮 し た高 次 積率標準 化 関 数と して， 　 　 　

Sx

（

X

）＝

：

_{α1十 α2X} 十al丿【2十

・

四一

←αiC

＋

匸

xiC・

・

・

…

　（6 ） と 級 数仮 定す る

。

級 数 の次 数

k

は与え ら れ た 積率 情 報 の 次 数に対 応し て決 定さ れ る

。

（6）式の_変換に よ り，

X

の m 次 積 率 までが 標 準 正 規 変 数の積 率 と 等し く なっ た 場合

，X

は

Sx

に よ り m 次 積 率まで標 準 化され た と 言う

。

し た がっ て

，Sx

に よっ て変 換さ れ た確 率変数

X

は

_{， X}

の m 次積 率まで に関し て

，

以 下の連 立 方 程 式が 満足 さ れ る。 μP

＝

E［Xl

；

0

…・

……・

・

…………・

………

（7

．

　a_） σ｝

＝E

［

X2

］

；

1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

P鹽

9・

…

　

（7

．

　

b

） α ，a＝

E

［

x3

］

＝0………・

………・

・

・

・

…

_（7

．

c_） 婦

一E

［

xm

］

一

鳶

φω 伽

一

…・

………

（・

．

d

） こ

．

こ で

，

呶

，

a2 は そ れ ぞ れ X の平 均 値

，

標 準 偏 差

，

　a、、fi は X の 僻 ま わ り の m 次 積 率

，

φは標 準 正 規 確 率 密 度 関 数 を表 す。 （61 式 よ り

，

（7

。

d

）式は， 　 　　a。2

＝

・

E［（α、＋α、x＋α，x2＋∵

・

＋ a． ．lx 悧 　 　 　 　

・

…一 …………・

…・

・

…・

……

（8） とな り

，

右 辺の

X

の最 大 次 数 がん  で あること を考 慮 する と

，X

が m 次 積 率まで標 準 化 され る た めに は_，　X に関し て最 低 た  次ま で の積 率 情 報が必要と な る

。

し たがっ て

，

例え ば設 計におい て考 慮し な く て はな らな い 確 率変数の情報と して

X

の n 次 積 率α。x までが与え ら れ た と き

，

高 次積率標準化 関数の 次数 を

h，

標 準 化さ れ る_{積 率}の _{次 数}を肌 と す る と， n

，

　

k，

　 m の 間に は

，

　 　　た77L≦π

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r…

　

r・

一・

マ

r…

　

一・

・

匸

・

・

・

・

・

…

　（

9

） なる関 係が存 在する

。

とこ ろで

，

（6 ）式の

h

次 級 数に は

．

h＋1個の未 定 係 数が含ま れ て い る ため， こ れ らの未 定 係 数 を 決 定する には

lt

＋1元 連 立 方 程 式が必要と な る

。

_した がっ て m と

h

の間に は

，

　 　　m

．

＝h

十1

………・

…・

・

・

・

・

・

…一 ・

一 ………・

…

_（10 ） な る関 係が存 在 し， （9 ）式と上式よ り

h

を消 去す る と， 　 　n≧ m （m

−

1）

…………・

・

………・

………・

…・

…・

（11ジ と な る

。．

した が っ て_， 確 率 変 数の標準化を m 次まで行 うに は m

−

1次 級 数の標 準 化 関 数が必 要であり，

X

の 情 報とし て は m （m

−

1）次まで の積 率が必 要とな る

。

m

−

1次 級 数の m 個の 未 定 係 数 α］

，

α、

，…，

απ は

，

次 の_{連立方 程式}

_，

E［α 1＋atX ＋

…

＋α．

xm

一

巳 ］

＝

0 　 　 　 　

・

…一 …

（12

．

a＞

E

［（α1＋a，

X

＋

…

＋α．

xm ’

1 ｝’ ］

＝1

　 　　　 　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

…

　（12

．

b

） E［（α、＋ atX ＋

…

十amxm

−

1 ）3］

＝

O 　 　　　 　

i

　 　

…・

…

∴

・

・

_（12

_，

_c）

E

［〔α1＋α、

X

＋

…

＋α跚X 胴 ）m］

一

_∫

_：

・・　

Pt

（・）

d

・　t

…・

_・

…

（

12・

_．

d

） を 解くこと に よ り求ま り， al

，

α，

，…，

　am が 求まれ ば本 論 文で提 案する高 次 積 率 標 準 化関 数が決 定さ れ る

。

　 以上 が高 次積 率 標 準 化 手 法の理 論 的な展 開 であ る が

，

（

12

）

．

式は非 線 形運立方 程 式で あ る た め

，

この解は 必ずし も解析的な 形に は な ら ない

。

し た がっ て

Sx

の具 体的な決 定段階に おい て は

，

連 立 方程式 （

12

＞式の反復解法， あ

筍

い は何ら かの近似 を導入 す る必要が ある

。

本論で は

，

こ う し た問題の_{解 決} 手 法 を3次 積 率標 準 化手法に適 用 し

，

その解 析 展 開 を 通 し て

Sx

の決 定 法 を以 下に具体 的に述べ _る

。

　3次 積 率まで の標 準 化に は

，

．

（10） 式 より2次 級 数 仮 定された標準化 関 数が必 要と_なるが

．

解析 展 開 を簡 潔に する ため

，

ま ず最 初に X の _{平 均 値}と標 準 偏 差 を 標 準 化 す る。 す な わ ち

，X

を

，

　 　 　

−

　 x

一

μx 　 　 　

…・

…………・

…・

・

…・

…・

…・

・

……

（

13

＞ 　 　 　

X ＝

　 　 　 σx と変 換 する

。

X は零 平 均

，

単 位 分 散 を持っ た確 率 変 数 と な り

，

3次 以 上の積 率は X の積 率 と等 しい。 次に 3 次 積 率の標 準 化の ため 2次 級 数 を仮 定する が

，

（13）式 よ り すで に平 均 値と分 散 値の標 準 化は行わ れ た と考え_， 定 数 項

，

および

X

の 1次の項の係 数 を省いた

．

2次 変 換 　 　 　X

．

＝

X十αX2

…・

…一………・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（14） を行う

。

α は

．

未 定 係 数である

．

。

この と き

，

X

’

の 3次ま で の積率は

，E

［

x

］

＝0，

　

E

［

xt

］

＝1，

　

E

［

xn

］

≡

an7

，

．

（n ≧3） を考慮す る と 　　　μ 曾

・

；

E

［

X

十aX2］＝ _α

………・

………・

（15

．

a_） 　　　σfi

．

2

＝E

［（

x

＋α

x

：

一

μ調 　 　 　 　

＝

〔α‘r

− 1

）a2十

2a3ra

十

1 ・

・

…

　

」

・

…

　

一

・

・

・

…

　

．

〔

15．b

）

　　　．

α3s

・

・

as

・

3

＝E

［〔

x

十 aX ！

−

Pt鴦

，

）3］ 　 　 　 　

＝

（asrr

− 3a4T

十

2

）αa十

3

（α5N

− 2

α3r）α2 　 　 　 　十3（alT

− ．

1

）α→

−

aly

・

・

一

一

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

t・

（15

．

c） と なる

。

上 式に おい て a3ft

’

＝

0 と お き

，

　a につ い て解け ば 未 定 係 数 α が 定ま り，

X

の

3

次 積率を標準正規 変数 の それ と等 しくする 2次 変換

，

す なわ ち3次 積 率 を標 準 化する 2次 変換 （14＞式が決 定さ れ る

。

こ こ で （14）式 に よる 2次 変 換に 関 し

，

具 体 的な数 値 解 析 を 行 う

。

Table　1は_ひずみ を_有し た_{確 率 分 布 形}と し_{て対 数}正_{規 分} 布

，

ワイブル 分布

，

ボア ンン分布を仮 定し

，

そ れ ぞ れの

Table　lHigh　Order　Moments　after　Transformation　by　Eq

．

_（14_｝ 団stribution 　Typ∈sa3rd 　Mo跚ent4th 　M  ent5th 　Moment6th 門om∈nt

NORMAL

冒

0

．

0 3

．

DOD o

．

o 15

，

000 LOGNOR岡八L

一

〇

．

095D

．

_．

₀5860

_．

3₂

．

_．

45D 587 5

．

9L9

−

O

．

248 23

．

648 上LO82 回E【BULL0

．

042

一

〇

．

_．

₀2350 2

_．

，

93D2₈₃₂

一

1

．

_，

9340₂₄₄ 14

，

_，

10312₈₇₁

PO［SSON

・

D

，

093O

，

．

_O5340 3

_．

，

2852₅₈₁

−

5₀

，

_．

361_OO4 21

．

_．

4B39₅₁₅

Table2 High　Order　Moments　after　Transformation　by　Eq

．

（17）

Distribut1。n　Typ已5a3rd 　Moment4th 　Moment5th

　

Moment6th

　

Moment

NOkMAL

・

0

．

0 3

．

000 o

．

o 15

，

000 LO6NORMAL

一

D

．

D810

，

_．

5860₁₃₅ 3

_．

．

4502₈₀₆ 5

．

_．

9190₉₅₂ 23

．

_，

64812₅₇₅ WEIBりLL 0

．

038

一

−

〇₀

_．

．

235₀₀₅ 2

．

_．

9302 ア14

一

1

．

934D

．

120 14

．

lo311

．

38臼 POISSO瞠

一

〇

．

0710

．

_．

₀₅₇5340 3

．

_．

₆₇₁2852 5

．

_．

3510₆₄₅ 21

．

_．

4831D₄₅₄

一

₄₅

一

、000900 どoo 萋

『

7。。

1

、。。

鬘

…

1

・

・ ト

；

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　 1UO

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【

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巳

“

　　　　　　　

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．

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Dtthtien

書

　

1

．

00

降

コrd 　 

巳

nt 　　　　　　

盲

　o

．

胡2 “L虹 隔

冒

n

」

　　　　　　

二

　3

．

εH

　

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f

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鵡

ー

叺

ー

峨 1

ー

ー

　

旦

　

騒 _x ODO1OO90

　

　

　

00

　

　

　

P8

　

　

　

₇

　

《

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口

0

自

hO

　 0

　

　

　

0 　 5

　

　

　

亀

爵

ロ

Σ

OZ 　 　 0 　 　 3

口

笘

卜

002901 D

　

　

　

DO

　

　

　

9O 　

　

　

O8 　

　

　

₇

　

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ド

_‘

q 　 0 　 6

』

0 　 0

　

　

　

0

　

　

　

0

　

　

　

0

　

　

　

0 　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

0

　

　

　

0

属

国

皿

Σ

2Z

国

霞

』

騨E【iVLL　D臨 τR【6ur［o澗

蘭

闘

匚

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

i　

lo

　

 

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  M ●　D囲

邑

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　t

．

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監

　　　　　　

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・

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」

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　 o 　 　 　 潔 曇 護 裟 　 511

墾

　 　

舅

鶉

 

1

講

瀚 驪 　 　 　

目

韻 戛

掻

　 　

翫

　 　 　

−

坦

響

但 　 　 　 　 　 睡

睦

　 　 　 　 　 　

震

　 　 　 　 　 　 ヨ

_い

　 　 　 　 　 　 　 鴈 （a_）Lognormal x 6

　

　

　

0

「

巳

　 　 7

　

　 0

　

《 F

《

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O

匡

悶

口

Σ P

乙

国

＝

卜 5τA四D宀RD匚Z匡D　RA

罰

DO

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　VAR

匸

AB

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oan 　 　　 　 　　 　　

to．

膕 5

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四

d

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己　

口

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●

　L 　

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1 3団 　Momc4

【

　　　　　　

二

　〇　135

●

唱

h

　

Morn

＝

nt

　

　

　

　

　

　

o　

己

　

日

06 　 　 　 （b ）Weibull

Fig

．

4　Histograms　of　Unstandardized　Random 　Variable

X 　 　 　 　 　

一

　 　 　 　 　

甬

　 　 　 　 E 　 　 　 　 藝

召

勢 　 　 　 璽 毳 項

嗣

　 511

陸

_而

_圏

≡

ー

　

ー

望

卿

旧 − 靉

覊

剛

巽

謂

ー

　 臥

ー

　 翫 −

鑒

轄

　 　 　

羅

　 　 　 　 翼 　 　 　 　 　

巨

10 自Ogno 轟 eo

°

1

：

：

1

鬘

…

1

‘・°

ト

：

：

：

100

5TA

日

DAHDI

冨

ED

　

RANDO

図

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匸

A

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“

　　　　　　　

＝

e

．

圓0 5巴

」

nd

・

【

d　D

‘

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馳Lbn　

⇒

　

聖

．

099 ，

【

d　 

繧

nI

　　　　　　

■

．

5

．

005

●

山

　

陶

悶

皿

聖

　

　

　

　

　

　

＝

　

z

　

η

■

　 　 reAH

・

s_；D

・



。

s

・

_bO

’

艶 oo 　 oq 巳

　

　

　

7 ｛ H

丐

O06

』

0



0

　

　

　

目

　

0

　

　

　

0

　

5

　

　

　

も

臣

繭

＝

ラ

Z0

　

　

　

0

　

　

　

0

脚

　 30 　₁₀

国

＝

ト

PO

：

5SO

畑

DISIH

【

SUT

【

OH M

¢

ln 　　 　 　　 　　 　 　

＝

4

．

嘲

1

弓

s

い

臨

d

呂

rdP6

ワ

h

監

1

 ＝

2

．

33コ

阯

目

Mem

¢

et 　 　 　　 　

iD、

671 4

宦

h

　

層

4

輔

6冂

隹

　

　

　

　

　

　

冨

　

1

．

｝

09 　 　 　 　 EAnt

嬾

1

甑

　 　 　 ； 　 　 　 x 　 　 　 （b） Weibuil

Fig

．

5　Histograms　of　Sヒandardized 　Random 　Variable　by　Eq

．

（ユg）

｛c_）Poisson 5τA村DARDIZED

　

aA

胃

DO

閏

vA

田

A6

田

聞Eth 　 　　 　　 　 　　

厘

0

．

000 5tU己

騨

d　D

翻凵

on 　

＝

　L

．

0

●

2 コrd

　

imcmt　 　　 　

◎

D

、

057 ．th 　Uoree

囗

t 　　　　　　 i 　Z

」

67

↓

，。、

耋

覊

　 　 HEAH

翻

1

黷

臨

， 〔a ）　LognQrma 止 確 率 分 布 形に従 うランダムデ

ー

タ3000 個を計 算 機で作 成して

，

（14）式の係 数 α と変 換 前の積 率

，

お よ び （

13

） 式

，

（14）式による変 換 後の積 率を標 準正規変数の積率 と併わせ て示 し たもの である。 表 中

，

上 段は変 換 前の積 率， 下 段は変 換 後の積 率 を表 す。 （15

．

c）式で a32

・

＝

Oと おい たa に関する 3次 方 程 式は

，

どの確 率 分 布 形の場 合 も実 解は 1つ _しか存 在せ ず

，

α は常に 1と お りに決 定 さ れた。 （14）式の 2次 変 換によっ て 3次 積 率は 正規 化 さ れ

，

分布形の ひずみ度 a3S

・

は すべて 0になっ てい る

。

こ こ で

，

分 布 形の ひ ずみ_度が_大きい ほど係数 α の_値も 大き く な る が， 構 造 設 計で現 実に取り扱 う不 確 定 量が荷 重や抵 抗 強 度などの物 理 量で ある以上

，

極 端に特 異な分 布 形の出 現は少な い ことを考 慮 し

，

）al《1とみ な し て （15

．

c_{） 式}に おける α の 2次

，

および3次の_項を省い て α を定 義 する と次 式の ようにな る。

　　　

・

一

，（

1

警

乱

、）

一 …一・

・

…………・

一 …一 ・

_{（16 ）} こ う し て定義さ れ た係 数 α を用い て同 様の変 換を行っ た と きの積 率 を変 換 前の 積 率と と もに示 し た もの が Table　

2

_{で あ る}

。

_表中 ， 上 段は変 換 前の積 率を

，

下 段は 変 換 後の積 率 を表 す

。

3次 積 率の正規 化は十 分な精 度で 行わ れ て お り

，

式 展 開の簡 便さ を考慮 し

，

（14）式の係 数 α は （16） 式を もっ て定 義す る

。

し た がっ て （14） 式は

，

　　　

1

’

−

X

・ ，（1

警

諞

刃 2

…・

…・

一 ・

……・

…・

…

（17｝ と表現さ れ る

。

上 式の 変 換に より

，

0と 1で あっ た

X

（c _）Poisson x の_平均 値と標 準 偏 差は それ ぞ れ （15

．

a_）

_，

_（15

．

b

_｝式で 示す値に移 動 するため

，

再び

X ’

の _{平 均 値}と標 準 偏 差を 　　 　

・

　 x

’

一

μfi

・

　 　 　 　

・

tt・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（18） 　 　 　

x

＝＝ 　 　 　 σfi

．

と標 準 化 すれ ば

，X

の平 均 値Pfl

＝

0

，

標 準 偏 差　_op

＝

1_と な り

，

3次 積 率 まで の標 準 化が行わ れ たことにな る

。

（17） 式を（18）式に代入 し

，

（14）式

，

（15

．

a_）式 ，お よび式 （15

．

b） 式を考 慮す る と

，

最 終 的に確 率 変 数

X

を3次 積 率まで 標準 化す る標準化関数

Sx

は

，

　　　

Sx（X｝

＿

⊥（，、＋ 、，X＋ ，．

X

・ 〉

・

……・

…・

一 …

（19） 　 　 　 　CI と な る。 た だ し， 　 　 　Cl

＝

（2α；x

−

3a4x十3）σ隻

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt

（20

．

a） 　　 　c2

＝

α 3xμ聾十

3a4rllrax

−

3μx σx

一

αiiσ隻

・

…・

・

（20

．

1）） 　　 　c3

；−

2a3xμx十3σ x

− 3

α iX σ x

…・

…

　

……・

・

…

（

20．

　c_） 　 　 　c4

＝

a3x

’

t’

”tt’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”t’

”…”t’

’

’

”

（20

，

d

） であ る

。

標 準 化関数 Sx は X の積 率情報の み で_{定 義}さ れ て お り

，

これ よ り積 率 情 報 だけか ら確 率 変 数の 3次積 率まで の標準化が可 能である

。

　こ の 3次 積 率 標 準 化 関 数の具 体 的な数 値 計 算 を行い

，

変換 前と （ユ9｝式による変 換 後の確 率 変 数の ヒ ス トグラ ム を描い た もの が

Fig．

4お よ び

Fig．

5であ る。 対 数正 規 分布

，

ワイブル分布

，

ボア ソン分布の 3分 布 形に従う デ

ー

タ 3000 個を計 算 機で作 成し_， そ の積 率情報か ら標 準 化 関 数 を求めて計 算 を行っ た

。

ヒ ス トグラム はデ

ー

タ の最 大 値 と最 小 値の間 を等 分 割 し， ひずみ度の変 化 をわ か り や す く示し てある

。

図中に示し た_積率の_値， お よ び

ヒ ス トグ ラム の 形 状 より

，

どの分 布 形も左 右対称になっ て お り

，

ひずみ度の正規 化が認め られ る

。

し た がっ て

，

こ う し た高次積 率の_標準 化 手 法 を用い た信 頼性評価は

_，

確率 密 度 関 数 を 用い ずに分布 形 状の特 性に対応 可 能な こ と を 示し ている

。

　

4．

信 頼 性 指 標の設 定 　設 計 用 確 率 変 数

X

＝ ・

’

〔

Xi，

　

X ，

，…，

　

X

_∂を用い

，

構 造 物 の _{機 能 遂 行 状 態 を表す状 態 関数 は}

一

_{般 的に次 式の ように} 表 現できる。 　 　 　

’

Z ＝

9 （X ）

＝

9（X，

，

X2

，

…

　

，

Xn）

・

…

　

tt…

　∴

・

・

・

・

・

・

・

…

　（21） こ こ に

Z

は構 造 物の_{機 能}レ ベ ル であ る か ら

，Z

＝

0

は そ の構 造 物の隈 界 状態 を表し，

Z

〈

0

は破 損状態 を表す

。

独 立な 2 変数 Xi

，

　 X_，の場合を例に とり

，

　 Xi

−

X_，座標 平 面 上に Xi

，

　

X

，の結 合 等 確 率 密 度 楕 円

，

限 界 状 態 方 程 式 g（Xi，　X，）

＝

O， および破 壊領域 を示し たのが

Fig．

6で ある。 Xi

，

　 X2確 率分布形は ひずみ を もっ た 形で示 して あ る。 2次モ

ー

メ ン ト法に基づ く信 頼 性 評 価 法

AFOSM

法 （

Advanced

　

First

−

Order

　

Second−Moment

　method ）

で は

，

確 率変数

X

‘（

i；

1

，

2

．…，

n）の平 均 値 X1Xlと標 準 偏 差dXtを用い て

Xl

を

，

　 　 　

＿

　

x

厂 μXt 　 　 　　 　 　　 　

・

…・

………・

………・

・

……・

（22 ） 　 　 　x‘

＝

　 　 　 　σXt と 変 換 し， （21）式 を

X

，に置換 した状 態関数 　 　 　91（丿

r

）

＝

9且（Xi，X2，

…

　，丿（n）

・

7『

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（23） を

g

，（

X

）

＝0

上の 1点で テ L ラ

ー

展 開し，

』

2次 以 上の項 を線形 化 して この線 形 化 された 限 界状態の境界と原点と の_最短 距離を信頼性 指 標βと定義し てい る

。Fig、

7は

Xi，

　

X

，の

2

変 数の場 合につ い て

，

　

XI− X2

座 標 平 面 上 に

X

】

，Xz

の結 合 等 確 率 密 度 楕円

，

限 界状 態 方 程 式 9i （X，

，

X，）

＝

0

，

お よび破 壊 領 域を示し たもの で あ る。 図 中 点

線

で示 し たあば

，

N1

，

　

r

，が ともに正 規 変 数の場 合で ある

。一

般に破 壊 確 率 p！は

，

X1

，

　X2の結 合確 率密 度 関 数を破 壊 領域で積分 す ることに _ょり求 ま る

。

し たが っ て， 座 標 平 面上 に おい て破壊領域が

一

致し ていて も，

XL

，　

X2

の確 率分布 関 数が変わ れば破 壊 確 率 も 変わ るこ とにな る

。

つ ま り

，AFOSM

法によ り原 点か ら破 壊 領 域まで の距 離βを もっ て信頼性の尺度と し て も， βは

X

の確 率分布形に対す る普 遍 的な信 頼 性の尺度 としての性 格は 有 してい ない

。

　

これ に対し

，

本論

3

章で提 案さ

_札

た高次積率標準化 手

_．

_，

_、

法を用いた場 合の信頼性指標の設定は以 下の よ うに展開づ される

。

X に関 す る 状 態 関 数 （

2

ユ） 式に おい て

，

　

X

‘の 高次積率標 準化関 数

Sx

、 を用いて 　 　 　

Xl＝SXi

（

x

‘〉

…・

・

…・

・

・

………・

・

…・

…・

・

…・

（24） な る変 換を行え ば

，

限界 状態方 程 式は

，

　　　

g

，（Xi

，

X2

，

一・

，

Xn）

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（25 ） と表 現で き る。

2

変数の場 合 をFig

．

8に示 す。 こ こ で は Xiは すべ _{て正 規 変 数}に変 換さ れ

，

等 密 度 円は原 点を中

X2

x）

“

＼

＼

WN

“

Fα

ilure

　R¢

_gio

9

（

Xl，

X

・）〈

0

鬣

灘

　　

9

（

X

 

X

・）・

O

卩

＼

o

　　

圏

　 　 　 　

．

x

　均

1

［

lf

為（x ）

1

Fig

．

6　Deflnition　oI　Failure　Region

　

2

一

X

Fig

，

アFailure　Region　and 　Retiabllity　Index

　 　 　Moment 　Standardized　Co6rdinate

　 ヱ

（

V 八 β　on Second

鑞

翻

_畿

． ＼丶

虫

（武1

、

窯・）・

o

　A　

　

　

A ⊆（

X1，

X

・》く

O

行

．

重1（1

−

P，） A

Fig

．

8

　

Failure　Region　and 　Reliability工ndex

　

βon 　High　Order

　 　 　Moment　Standardized　CDordinate

心 とし た同心 円になっ て い る。 限 界 状 態 方 程式で表さ れ る 曲 面 上の 1点 X。

＝

〔X？

，

Xl

，…，

　X黜の 回り に （25 ） 式をテ

ー

ラ

ー

展開し

，

2次 以 上の項 を 省 け ば

，

　　　 g1（丿（曾

，

丿【窪

，

…

　，

X

島）

＝0 ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

26

） 　　　 91（

Xi，

丿

f2，…

　

，

Xn

）；90（丿ぐ匸9 丿【2

，

・

凾

・

，

Xn

》

・

・

・

・

…

_（27）

　

　

　

飾

齢

・・

…・

x

・一

幺

・

を

含

［

藷

］

。 　 　　 　 　　 　 　　 　 　 ＝

A19G ，

　

・

…………・

・

……

_（28_） と な る。 こ こ に 　　　∠LX 曾

＝

Xi

−

X9

・

t…



一

一

・

・

…



一

一

…



一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

29

_） 　　　 AX 。

＝

［AX ？

，

　

AX

呈

，

…，AxenT……・

…………

（

30

）

　

　

　

o

・

一

［

（

∂_σ1 ∂x，

）

、

（

藷

）

。 t …

（

農

）

。

］

T

・

……

_（31） で あっ て

，

（∂g、／∂

X

‘）oの添 字 0は線 形 化 点Xe に関する 評 価で ある こ と を表す

。

ま た △1。と C。は ともに列ベ ク トル であり

，

T は転 置 行 列の_{記 号}であ る。 　

X

、が 互 い に 独立と す る と， （28） 式の 関数

g

。（

Xi，

X

，

，…，XO

の平 均 値μρ

。

，

標 準 偏 差 ag

。

はそれ ぞれ

　

　

　

・…

掴

器

）

_。

一一

縞

・

…・

…・

・

…

・・2 ・

　

　

　

agn

−

［

盞

（

畿

）

：

］

告

一麟

………・

・

一 …・

_・33・ と なる。 た だ し

，

齠 は行ベ ク トル で あっ て

，X9

＝ ［鮒

，

X窒

，…，X

幻であ る。 μg

。

，

　Cg

。

を用い

，

β。を

　　

　

fi

。

。

μ・・

一一

熱

．

＿ ．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

，

．

．

．

．

一

_（・

₄

_） 　 　　 　 　 a_{・ ・} 　 　 （θ♂

c

，）1 と定義す れば， β。は線形 化 点

X

。に依存す る

。

高 次積 率 標 準 化 座 標 平 面 上で の限 界 状 態 関 数が原 点に向か っ て凹 で あ り， かつ β。＞0と仮 定すると

，

（34） 式で示され る β。の う ち最 小の もの が高 次積率 を考 慮し た信 頼 性 指 標 β と定 義さ れ る。 βは

，

β。の最小値を与え る点 為 ； （絆

，

x夢

，…，

X渤に関 し

，

　

　

　

β

一

_芻

；

「

謡

、

・

…一 ・

一 一 ・

・

……

_（・

5

・ と表 現され る_。 こ こ に

　

　

　

Cl

−

［

（

_∂∂

_Xi

9i

）

_磯

_）

．

・ ・

（

卸

r

…・

・

_（36・ 　　　

Xl ＝

［x鬢

，

澄 ，

…

，

x

建］ 「

…………・

…・

・

・

……一

（

37

） で あ る。 βは

，

AFOSM 法に よる β と 違っ て標 準 正 規 変数空間で定 義 さ れて い る た め

，

X‘の分布形状に か か わ らず， 真の破 壊 確 率p∫に対し

，

　　　 P！

＝

Φ（

一

β）

………・

………・

…・

…………・

P…

（38＞ と対 応する

。

φ は標 準 正 規 確 率分布 関数である。 　上 述の よ う に

，

高 次 積 率 標 準 化 手 法を 導 入 し た解 析 展 開におい ては

，

設 計 変 数 X‘の積 率 情 報のみを用い て 分 布形状の特性に対応で き る普遍的な信 頼性指標の設 定 が 可能で ある

。

　

5．

結 　以 上， 高次積率を 用い た確 率変数の標 準 化 手法 を提案 し， その 3次 積 率 標 準 化 関 数へ の具体 的な解 析展開 を 行 う と と もに

，

提 案 手 法 を導 入した 信 頼 性 指 標の設 定 を 行っ た

。

提 案 手 法で は_， 高 次の積 率 情 報の みを用い た信 頼 性 指 標の設 定が行わ れてお り

，

高 次の積 率 情 報は平 均 値や標 準偏差と同じ く有 限 個のデ

ー

タ か ら提 供さ れ るこ とか ら

，

本 手 法は確 率 変 数の分 布 形を厳 密に決 定でき る ほど統 計 デ

ー

タが十 分でない場 合でも， 分 布 形の ひずみ 度 や尖 度 を考 慮で きる非 常に有 効で実 用 的な評 価 法と言 え る

。

　なお

，

本 手 法の精 度 や

，

限 界 状 態 方 程 式の具 体 的な適 用

，

および数 値 計 算 例に関し て の詳 細な検 討は

，

構 造 系 の 信 頼 性 評 価法へ の展 開も含め て

，

（そ の 2＞で詳 述し て い る

。

　謝 　 辞

　

本研 究の

一

_部は文 部 省 科 学 研 究 費， 特 定 研 究 費に よっ た

。

付し て感 謝い た し ます。 参考 文献

1） A

，

M

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　Freudenthal_：

The

　

Safety

　of 　Structures

，

　Trans

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　ASCE

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　ST7

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1969

記 号 説 明 　 　α ：高 次積 率標準 化関数の未 定 係 数 E〔X〕：確 率 変 数X の平 均 値 　 　

fr

：確 率 変 数X の確 率 密 度 関数 　 　9 ：限 界 状 態 関 数 　 　Pノ；破 壊 確 率 　　愛：X の 2次 積率標準化確率変数 　　戈：X の高次積率標準化確率変数 　 　XF ：破 壊限界 点の座 標 　 aN ：確 率 変 数X の n 次 積 率 　 　β；信 頼 性 指 標 　 　β：2次モ

ー

メン ト法に基づ く信 頼 性 指 標 　　β：高 次 積 率 標 準 化手法に_基づ く信頼性 指標 　 　μx ；確 率 変 数 X の平 均 値 　 　σx ：確 率 変 数 X の標 準 偏差 　 　φ：標 準 正 規 確 率 密 度 関 数 　 　Φ ：標 準

．

正 規 確 率 分 布 関 数

'

SYNOPSIS

'

UDC:624.042:519.2

PROPOSAL

A

study

OF

THE

HIGH

ORDER

MOMENT

STANDARblZING

METHOD

AND

DEFINITION

OF

RELIABILITY

INDEX

,op

reliability-based

clesign

using

high

order moment

Part

1

by Dr.TETSURO ONO, Prof., Nagoya Instituteof

nelogy and HIDEKI IDeTA, GTaduateStud.ent,

_Plagoya

lnstitateofTechnology,,Mernbers,pfA.I

J.

,

'

t

,

,.

.

,.

t

.

../

.

The purpose ofthisstudy istopTopose theaccurate and simple reliability

based

design

m.eth6d adjusting the

'

/t

'

'

distributi.o]

shapes

by

means. of

high

order moment. Inthis

_,paper,i

we proposethe

bigh

o,rder moment

'

ingmethgg, and

defineareliability

inqexusing thg _p{oppsed met.h,od,

,

,

,

.

.

,

Firstiy,the high

6rder

moment standardizing method, which isable totreat random vhriables

handly,

is

'

osed

by

using the

high

order mement, and the _pr.oposedmethod

is

evolved intothethird

lorder

moment standar:

dizingmehtod concretely. The high ordEr mornent standardizing functionis

defined

in

'the

ferm

of a

lseries

with undetermineq coefficie,fts., _The coefficients are

d.eterrpined

by

using _the

inf6rmation

of _thh

high

order moil}epti of random variables.

'

Segondly, the reiiability index basedon the _proposed method isdefined.The reliability indek.is

'66'mposed

of the

high

order moments,

ivhich

are offeied

by

a'finite number of

data

intfi6

game

manner as

'a

mtian or a' s{andard

deviation.

Thg

_propgsed meShod

iE

very effective and useful method adjusting the asymmetry or skewness of the

tt

t

t

-t

tt

tt

/

t

tt

/

tt tt

distribution

shape, even ifthestatistical

data

are not _givenehough to

de'termine'thd

distributiohfunctionsof

'

tt

t

t

tt

dom

variables exactly.

'

''''

'

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