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論 文I
UDG ：624．04
ト1本 建 築学 会構 造 系 論 文 報 告．集 第 41S 号・1990 年 12 月
JournuL of SLrucL Constr． Engng， AIJ． No．418， Dec．，1990
高 次積 率
標 準
化 手 法
を
用
いた
構 造 系
の信 頼 性 評価 法
高 次積 率を考慮し た信 頼性 評価法に関す る研究 その
3
RELIABILITY
EVALUATION
OF
STRUCTURAL
SYSTEMS
USING
HIGHER
−ORDER
MOMENT
STANDARDIZATION
TECHNIQUE
Astudy
on reliability −based
design
usinghigher
−order m 〔，ment part3
小 野 徹 郎＊
， 井戸 田秀樹＊ ＊
， 戸 塚 明 宏
＊ ＊ ＊
Tetsuro
ONO
，Uideki
IDOTA
and ．4kihiro
TOTSUKA
The purpQse of this paper is t（， propose the methc ）dぐ）正reliabili しy evaluation for structural sys − tems using the higher−order moment standardizatiQn technique．
In the reliabiiity evaluatk ）n く）f structural systems ， it is necessary k〕calculate the
j
〔〕int occurr ・ence probability of multiple failure events that the system has． This paper formulates the
joint
QccuHence pr〔りbabihty of multiple failure events using the moments alone ln a 正orm thahnclud ヒs the non ．Gausslan property of probability distribution． A method of reliabihty cvaluation for
structural systerns is proposed by using the
j
に）int occurrence probabilky ．Failure probabil藍tics of sever εLl types of frame structure are calculate 〔董through the proposed
method ． The so ［utions by the proposed method agree wlth those by Monte Carlo simulation with sufficient precisi・n，
Keyt〃ord8 ：system 厂8磁 δf’尠， i
’eliability theo
ノッ
， higher−or
’de
厂 脚 π醐 ’，
joint
occun ’ence P厂obabitity ， non −9照 ∬ian dist励 雄加 §1．序 筆 者らは既 報5 岡 を通 し て，高 次 積 率を用い る ことに よ り積 率 情 報だ けで確 率 分 布 形の非正規 性を考慮でき る 信 頼 性 評 価 手 法の提 案 を行っ て き た． その結果，あ る任 意の 限 界 状 態 関 数 Z ＝g（Xl， x、，…，副 ，（Xi ：設計用確 率変 数）に関す る信 頼 性 指 標 値 β。を積 率 情 報だ けで評 価する に至っ て い る。一方，構 造系の信 頼 性 評 価では， その構 造 物が有する複 数 崩 壊モ ードの結 合 生起確 率を算 出す る必 要が あり，この算 出に は各崩 壊モ ードを 表 す 限 界 状 態 関 数 値 Z，，Z，の結 合 確 率密度 関数ム，承g‘， ZJ）が 不 可 欠とな る。しか し，確 率 変 数 Z、，Z」が 非 正 規 確 率 分 布に従い，かつ Z ‘，Z，間に統 計 的な相 関 性が存 在す る場 合，乃商 を解 析 的に求める ことは期 待で きず，こ の近 似 法の確 立が構 造 系の信 頼 性 評 価の観 点の一つ と なっ て いる。 相関 を有す る複 数 崩 壊モードの結 合 生 起 確 率の算 出 は，統 計 的 相 関性を有す る確 率変数の最 大値分布の決 定 問題に帰着さ れ る。統計 的 柑 関 性 を有する確 率 変 数の最 大 値に つ い て は，その 4次までの積 率に関し て C ．E ． Clark に よっ て定式化さ れて い る7｝。最 近で は条 件 付 信 頼 性 指 標を用い た性 能 関数の同時破 壊 確 率の定式 化も行 わ れて いるB田 。 し か し，これ ら で扱わ れ てい るもの は 正規 分 布に従う確 率 変 数の み で あ り， 確 率分布 形の非 正 規 性の影 響を も含め た最大 値の積 率， あるい は同時生 起 確 率は与えられて いない。 ま た，米 沢，宰津ら は4次ま で の積 率を用い，Edgeworth 級 数 展 開を応 用 し た構 造 信 頼 性 解 析 手法の提 案を行っ て い る 】ωが， 構 造 系 全 体の 破 壊 確 率を代 表 崩 壊モード1つ だ けの生起 確 率で評 価し て お り，複数崩壊モ ードの同時 生 起確率は考慮さ れて い ない。 鋼 構 造 部 材 耐力の統計的な性 質には か なりの非正 規 性の存 在が確 認さ れ て お り”） ， ま た，荷重 も極 値 分 布 に従う統計量 とし て扱うこと が．一般であ るこ とな どか ら，崩 壊モードの非正規 性お よ び結 合生 起確 率を考 慮し た構 造 信 頼 性 評 価法の確立は不 可欠と言え る。 こう し た背景か ら， 積 率 晴 報だ けを用いた複 数 崩 壊 事 象の結 合 生 起 確 率の定 式 化 を，非 正 規 性も含めた形で行 本 論 文の一祁は文 献亅｝−4 ｝で発表し ている。 富 名古屋 工業大学 教授・工博 ＊ ＊ 名 古屋 工業大学 助手・工 博 ＊＊ 寧 名 古屋 工業大学 大学院 生
Prof． of Nagoya Institute of TechnolQgy ， Dr．Eng．
Research A：so¢iate oI Nagoya Institute of Technotogy， Dr． Eng．
Grad皿ate Student of Nagoya Institute of Technology
Architectural Institute of Japan
NII-Electronic Library Service
Arohiteotural エnstitute of Japan
い，簡 便かつ 汎 用 的な構 造 信 頼 性 評 価 手 法の提案を行お うと する のが本 論 文の 目的で ある。 §2．限 界 状 態 関 数の積 率 評 価 前 報そ の2G）で は，構 造 物が有する r 次の崩壊モ ード に対する限 界 状 態 関 数 ZF＝9（x）・・………・・…・…………・・… …・……（1） の確 率 変 数X ＝（Xi， X2，…， Xn）が統 計 的に 独 立の 場 合 につ いて Z，の積 率 評 価を，高 次積 率 標 準 化 手 法 を用い て行っ た。本 報で は まず，確 率 変数 X，が統 計 的な相 関 性を有す る 場 合 につ いて Z。の 4次まで の積 率 算 定 法を 述べ る。．・般に，構 造 解 析におい て考 慮さ れる統 計 的な 相 関性に は，部 材 耐 力間 の相関性，あ るいは荷重間の相 関性 等が あ り，相関を もつ 確 率 変 数ど う し は等 し い確 率 分布形に従う場 合が多い 。 こう し た仮 定に基づ き，こ こ で は相関を有す る各確 率変数の確 率分 布 形は等 しい 3 次，4次積 率を有す る もの と仮 定する。こ の とき， 平 均 値 幽 ，標 準 偏 差aXi，3次 積 率α 3x，4次 積 率αα を 有す る n 個の確 率 変 数 X‘ （i− 1，2，…，n）は，零 平 均，単 位 分 散を有 し，かつ Xtと等し い a、x，α、x を持つ 独 立な n＋1個の確 率 変 数 H ，Yl， y2，…， Ynを用い て x、；（Hσ．，
V7P
＋μ．、）＋ y、σ、、陌 δ・……・…・（2） と近 似 的に表 現 する ことが で き る12）。こ こ に ρは 瓦， Xi （i≠j
）の間の相 関 係 数であ り，各 変 数 間で等しい と仮定する。 い ま，X‘を変 数に持つ 限 界 状 態 関 数 g〔X）を， X，の 平均値ま わ りで Taylor展 開して線 形 近 似し たもの を，z −・（・）一・（”Xl，…，酬
蔀認
）
（・厂 副 ・・・・… r・・・・… 77r… r… r・・・・・・・… （3 ） と定 義する、こ のとき，Z の平 均 値 μ。，標 準 偏 差 σz は 次 式で求め ら れ る。 μz＝9（Stκ1，…，Rtln）・・・・・・・・・・・… 一・・・・・・・・・・・・・・… （4）・
糟
（
謝
義・ ・
署
、象
1踟
（
∂9 ∂xノ）
P ・… XJ・…・…（・） ま た， 3次積率α3z は一般に・… ｝一 ・
［
｛
茎
（
袈
t）
砿
職
）
…］
1］
………・tt………・・・…（6） と表さ れ る。 上 式に （2） 式 を代人 し，H と Yが統 計 的に独 立である こ と を考 慮す れば，（6）式は・ ・σ耕
礁 （
畿）
・・、1
！ a・x＋（1−・）価
｛
削
畿
）
3 ・祠
…ω と な る。同様に 4次 積 率a4z は 一 72 一 “ 4 αー
絢 σ）
∂9 似（
・ Σ ⇒ 〆 ＝ 莇 42 α ・ （・一・唱
（
璽 ． ∂x 、）
4 嘱 ・・（1一曙 盞
1（
∂9 ∂Xi）
2職
）
2σ聾・k
・ ・ρ（1−・）1
浩
（
∂9 ∂x‘）
幽
（
峩
）
2 σ饒 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （8 ） と求め ること がで きる。こ の とき，2つ の 崩 壊モ ード Z。，Zs問の相 関 係 数ρrs は， Prs＝顛 ｛
（
∂9 ∂x‘）
（
謡
）
鰍｝
と なる。 σ r σs 一・・・・・・・… 『（9） §3．2確率変数の最大値の積率推定 統 計的相関 性 を有す る 正規 確 率 変 数の最 大 値分布につ いて は，その統計的情報であ る 4次まで の積 率にっ い て， ・C ．E ． Clarkに ょっ て定 式 化が行わ れて い る。本 節では Clark法 を 応 用 して，確 率 分 布 形の 非正規 性も考慮し た 2確率 変数の最 大 値 分 布の確 率 推 定 法 を展 開する。 相 関係数 ρを有す る 2つ の確 率変数 X ・，Y が存 在 し， それ ぞれ平均 値 諏 ，μr，標 準 偏差 ax，σ v を有し てい る もの と す る。ま た， X ， Y は非正規 確 率 変 数であり， そ の 3次 積 率 はαsx，α3r，4次積 率は α ax，αα で あ るn Clark法で は最大 値の積率推 定のパ ラ メータ とし て， μκ一μγ …・…・・……・…・………・（10） θ＝ a を用い て い る。 こ こ に， α2＝σk
＋σ卜 2σ、σ，ρ……・…………・・……・《11 ） で あ る。 そこ で，θが ξ，（X，Y）EX − Y に おい て， ξ，（X ，Y）〈0 を限 界 状 態と し た場 合の 2次モ ーメ ン ト法 に お け る信頼性指標値に相 当する ことに着 目し， この θ を，X ， yの 非正規 性を考 慮で きる パ ラ メータ θに変換 す る。 θ； Sz（θ）・・・・・・・・・・・・… 一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… r・・… （12＞ こ こ に Szは高 次 積 率 標 準 化 関 数で， Szの決 定に必要 な Z の 3次，4次積率 alz，α 4z は （7） （8＞ 式か ら得 られ る。な お，Szの決 定に関して は，既 報そ の P1で提 示さ れ た標 準 化 関 数の次 数を 1 次上げ，4次までの 積 率 を標 準 化で き る S，を 用い る。具体 的に は Szは次 式の よ うにな る。 Sz（x）；S‘z（S3z（x）｝…・…・……・一・…一 ・…・…（13 ） こ こ に蹟 ・一
緒
赫
旁
2 ・……・齟…・一 ……（14・S・… ）
「
1賠
1
謡
ll
、， ・tt・……・……（15・ N工 工一Eleotronio LibraryTable l Statistical moments of ｝厂and calculated moments of max ｛X， y｝．
隅o皿e隠tsof 了＝晒 【（Y1，y2，…，7。） μ国8x 桝 ，Y ， … σmごx τ図，Y， n
醒ean ΨalueStand ．Dev． 3rd再． 4℃h腫．Proposed
lEKactErr 。r据 Proposed 匡Kac し1Error 傷
2 0，5640 ．8260 ．1373 ．062O ．850O ．8460 ．470 ．7400 ．74呂 1，07 3 0．糾6O 。7480 ．2133 ．1291 ．0341 。029o ．490 ．6910 ．7011 ．42 4 1．0290 ．7010 ．2643 ．1621 ．1661 ，163o ．260 ．6590 。6691 ．49 5 1．1630 ．6690 ．3033 ．2011 ．27D1 ，267o ．240 ．6360 ．6451 ．39 6 1．2670 ．6450 ．3323 ，2341 ．354L3520 ．150 ．6180 ．6261 ．28 7 1．352O ．6260 ．3573 ．263L424L4240 ．000 ．6030 ．611 正．31 8 1．4240 。6110 ．3773 ．2跳 1．4851 ．485｝o・ooO ．592 ゜・5981LOO 9 1．4850 ・59810 ．3953 ．3111 ．5381 ．5390 ．060 ．583O ．587o ．68
0
．5 O．4x2 O・3 ゆ 60 ．20 ．1 O．O O ● O ● O ● O ● 0 ● O ） 9 η 1 剛 翩駅
脳嬲
眠 髄 一 一 〇 ● △ ● O ● O ● △ △ △ △ △ △ △ △ O 2 4 6 n （a ＞ 3rd Momen 吐 8 3．5 3．4 霍3・3 ぐ 63 ．23 ．13 ．0 ） 20 η 呶 韻 朗鉦
脚 − t7濃
EC O ● △ 098 0 ● 9 △ △ △ △ △ O 88
θ △ △ △ 2 46
n （b） 4th MQment8
Fig．1 3rd and 4th moments of 且he maximum of two random vaviables ．
であ る （注参照）。 X ，y の最大値max （X ， Y＞の平均値μma． ， お よび標 準偏差σ ．は，（ユ2 ）式で得ら れ た θをClark法に応 用 して次 式の よ うに 求 め られ る。 μmax ＝μxφ（θ）十μγΦ〔一θ）十αφ（θ）・・…・・… …・（16） σ max ； h 一μ轟
ax
・・…・…・・… ………・・…（17〕 こ こ に v，＝（蹟＋σk
・）φ（θ）＋鱗 ＋σ｝ゆ （一θ） 十｛μx 十μr）αφ（一θ）………・・・・・… …・（18） であ り，φ は標 準正規確率分布 関数，φ は標 準正規 確 率 密 度 関 数 を 表す、max （X ， Y）の 3次 積 率 a3max ，および 4次 積 率 a4max につ い て ば， Clark法に より得ら れ る積 率に x，γ が有す る非正規 性を考慮 して定 義す る。す な わ ち，X ， y の 3次積 率， 4次 積 率か ら な る項 a：M， α 椚一3を 足 し合わ せ る形で， α3 ＝ h − 3μmax ン2十2μ議囗ax 十σIM …・………（19）α4max ＝v4− 4μmax 地 十6μ龍x v2− 3μ
hax
十α 4M − 3・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （20） と 定 義 す る。こ こ に， ng＝（μ
1
十3Ptxak）di（e）十（μ隼十3μγ σ多）φ（一θ） 十［（μlt
十μxμγ十μ 2v ）α ＋（2姦＋滅 轟＋2蔚一2 ・1
σ，ρ 一2σ、命 一σ｝σ多〆）α 一’ ］φ（θ）……・…・…・（21＞ v4＝（織＋6μ2、σ妊 3σ〜ゆ （θ） ＋（μ ＋6μ2，σ多＋3σ ）Φ（一θ） 十1
（μ｝十 μ2xttT 十 μxμ2v十 μ｝）α 一3θ鰄 一σ窄｝−4P ．a3x［3（σ 、− cr，P）α 一且 一（σx一σ vρ）3α一3］十4μYσ｝［3（σv一σxρ）a−1 −（σ v− axP）3a −3］1
φ（θ）・・… 一・・・・・・・・・・・・・・・… 〔22） である。なお，（ユ9 ）（20 ）式 中の α3M， a4M は X ， y の平 均 値の大きい方の積 率を 用い る。ま た，X ， yの平均 値 が大き く離れ て い る場合に は， 最大値分布は平均値の大 きい方の分 布 形に大き く支 配さ れ る。し た がっ て，魚 と μv の差が X ，Y の標 準 偏 差の大きい方の 4倍を越え る場 合に は，平 均 値の大き い方の積 率 をその ま ま最 大 値 分 布の積 率 として採 用するη。 Table 1は互い に独 立な標 準 正 規 確 率 変 数 X， y 、， y，， …，Ynに対し，正規 変 数 X と非 正 規 変 数 y＝max （y，， Y、，…，yalの 2確 率 変 数の最 大 値max （X， Y）の平 均 値 Ptma．，標 準 偏 差 ama。を （16）（17）式で求め，そ の結 果 と解 析誤 差 を厳 密 解ηと と もに 示し た もの である。Y の 非正規性の 増 加に伴っ て誤 差も変 化して い る が，n ＝9 までの場合で も平 均 値，標 準 偏 差の誤 差は最 大0．49％， 1．49 ％ と 非常に精 度の よい 結 果が得 られた。また， Fig．ユ は （19＞ 〈20）式を 用 い て求め たmax （X ， Y）の 3次 積 率α、ma。，および 4次 積 率 α、ma。 をClark法の結 果，お よ び厳 密解7） と と もに n で整理し て示し た もの であ る。 a3max ，α、max と もに Clark法に比べ十 分な精 度で
厳密 解 を追 従してい る こと が確 認さ れ た。
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§4．複数崩壊モードの結合生 起確 率 4．12 崩 壊モ ードの場 合 一般に構 造 物の崩 壊 事 象の生 起は，限界 状 態関数 Z 三g（X）に対 して Z＜0で定 義さ れる。そ の ため，2つ の 崩 壊 事 象Z、〈0，Z，＜Oの結 合 生 起 確 率 P［（Z、〈O）∪（ZJ ＜O）］の算 出に は，Z‘， Z，の最 小 値 分 布を用い て表 現さ れ る崩 壊 事 象 min （Z‘， Z∫｝〈 0の 生 起 確 率 P［min （Z‘， Z」）〈0］が必 要と な るe そ の算 出に は，前 節 ． で述べ た統 計 的 相関性を有する 2非 正規 確 率 変数の最 大 値の 積 率 推 定 法を最 小 値 問題 と し て取り扱わ な け ればな ら ない。一 般に最 大 値と最 小 値の関 係は次 式で Jfえ ら れ る。
min （Xi， X，）＝−max ｛− Xi，− X2）・……・…〔23）
し たがっ て， 2崩壊モードZ‘，島 の結 合 生 起 確 率の 算 出に は Z‘，Z，の積 率の う ちμz‘，μZJ，α 3Ze，αコZ」につ いて 符号 を 逆に し， ξz〔Z，，Z，）＝− Z、十Zプ・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・・・… （24 ） と して前節の 最大値問題に適 用す れ ば よい。こ う して得 ら れ た 最 小 値 分 布 の 4次 までの 積 率μm且。， amin ，α3mi。， a、mi。 を用い て， P ［（Z‘〈0）∪〈Z∫＜0）］は，次 式で 求め ら れ る。 P ［（2「i＜0）U〔Z」〈O）］＝Φ［S4z〔S3r（β〉）］・−t…・・（25 ） こ こにβ＝μmi。／σmin で あ り， S3Z， S、Z は a、m、n，α 、min を 用い て （14） （15） 式で定義さ れ る標 準 化 関 数で あ る。 Fig，2は，対 数正規 分 布の形 状をもち， かつ 統計的な 相関を有す る 2つ の崩 壊モードZ、，Z，の 同 時 生 起 確率 P ［（Z、＜O）∩（Z」＜0）］を次式 P ［（Zg＜O）∩（Zi〈0）］＝P ［Z‘〈0］＋P ［Z，〈0］ −P ［〔Z‘＜0＞∪（Z丿く0）〕・…・・………・…・…・（26） により求め，数 値 実 験 解で ある モン テカル ロ シ ミュ レー ショ ン の結 果と ともに モード間の相 関 係 数 ρ、，で整理 し て示し た もの である。提 案 手 法で は右辺第3項の計 算に （25） 式 が用い ら れ る。 な お，図 中 β‘，β」は 2次モーメ ン ト法に基づ く限 界 状態関 数Z，，Z，の信 頼 性 指 標 値で あり，βi＝gez、／σZi，β戸 μzノσz，と定義さ れ る。ρ． ；＝ o． o 近 辺で若 干の解 析 誤 差 が 見 ら れ る が，提案 手法 は お お む ね モ ンテカル ロ シ ミュ レーショ ン の 結 果を精 度 良く追 従 して お り，非 正 規 性と統 計 的 相 関性 を同時に考慮し た本 計 算 手 法の有 効 性が確認で き た。 4．2 3崩 壊モ ード以 上の場 合 3っ の崩 壊モ ードZcく0， Z，〈O， Z。〈0の結 合 生 起 確 率 P［（ZE＜O）U（Z丿くO）∪（Zκ＜0）］の算 定の場 合は， min （Z‘，Z，）の積 率を前 述の手 順で求め，その積 ． 率．とZk の 積 率 を用い て再び同 様の 計 算を行う。 こ の と き，min 〔Z‘，Z∫）とZκ との柑 関係数ρ躰 は次式で与え ら れ る 7）。
，、、，一 σ ・… φ〔θ）＋° ・P・kdi （−e〕．……．………『． （2，） σmin 全崩 壊モードの結 合 生 起 事 象 Zm、。の積 率は，こ の手 続 き を 全崩 壊モードZi， Zz，…， Zn に お い て繰 り返 し適 一 74 一
1
1
1
1 ［ （ QV ご ⊂ （ OV 区 ］ 幽 11
1
0
，0
0
．2
0
．4
0
．6
0
．8
1
．0 ρljFig．2 SImultaneous（）ccurrence probabLllty of correlated nQn ．
Gaussia口 two failure modes ．
用す れ ば よい。 す な わ ち，
Zmin＝min 卜・min ［min ［Z，，ZZ］， Z3］，…］， Z』
……・…・・…・・…・…・・……・（28） と な る。 そ して，構 造 系 全 体の破 壊 確 率 p∫s は Pfe＝1一Φ ）一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… tt・・｛29） と求め られる。 βは構 造 物の 信 頼 性 指 標 値で β＝− S4z（S3z（一β＞＞…………・………・・……・・（30） で あ る。ここ にβ＝μmin ／σ mi． であ る。な お，崩 壊モー ドの繰 返し適 用におい て ぱ，最 小 値 分 布 を必要と す る場 合に は， 解析 誤 差を考 慮し て平 均 値の大きい崩 壊モ ード か ら順に適用 すべ きである §5．構 造 物の破 壊確 率評 価 構 造 物の信 頼 性 解 析 を 行う 場合，入 力 データ とな る統 計量の性 質，ある い は構 造 物の破 壊を定 義す る限 界 状 態 関 数の性質等に よ り，近 似 解 法 を用いず と も ある段 階ま で は確 率 密 度関 数 を用い た 理論 解 析 的な展 開が可 能な場 合があ る。そこ で ，本解 析 例で は 前 節 までの 提案 手法の 適用 範 囲につ いて以 ドの よ う な 3つ の Case を考え る。 Case
I
） 人力データ と な る 統 計 量 （例え ぱ部 材 耐 力や 荷 重．〉の 4次 まで の積 率．，あるい は そ れ らの確 率 密 度関 数し か得ら れ て い ない 場合。 N工 工一Eleotronio LibraryTable2Dimensions, performanc:efunctions offailute modes andstatisticalmomentsof analyticalmodels,
ib,Dimensionsof SnalyticalllodelsPerfo:manceFunctiops of PailuveHodes1Statiscieallieventsof Rapde-Variables
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± MlHlMla/2'lZe=H.+3Ms '1os3Stlamerma1ee,5hO.15'O.453,37l
iZT=n/+axt+2Xs+3H.+He+4lie 1-eibulltttttttttttttt O.623,za1 ll -4･1us,-1os,-10S,SsLognerma1]SkO.asO,7ti4,oo 4/' IO'10' Z.=4H. -10Sp ttttttttttttttttttttttttttt----t-eibull O.e23.as･' l SiLetnermal14kO.esO,aO4,19 11 Veibull O,573.e5 Zi=":+2He+ars+3"la+He'3'1asi'1osRlli-tisLoEnor.al70ft-kO.15O.4S3.33 Zz=Ne+3Hio '10SsH"-"fi ...
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Veibull O,603.14 1L Zi=,7onlr",7071Te -2.2p,I!LtTe.lp.(n.o.cpa.1.eokO･15.Q,4.53,33 E FtFTt Z!=Te+,7orIT,o tl･2F,'Ptl.Ta...e.ex".Q,4.i-IIj,3IS' l1.zflTT Zs=T".7071T,+.7071Tio-2,2F,tT`.TE"4SknO.453.af' T2b TeTl･10'Z"Te+,707!TiomT '1･2P,11",11....!.21k"O.45..q,3.Z. i Zo'Te+TT -1-2Fi1.T.t...y...IM...e....Q,4.5.A,3.Z. F/---.Tt Ze=Ts+･7crI!T!+Te'1,za:'P,1Z-tTte...."...pa.L...fn..Qt4.5..3t3..T-sTtlo'i li=･7onITo'･707!T,e -1.2P,lF:bolnorma111LO.30.C.e4'4,60 '- Ze'Ti'.7onIT: '3,4F,'P!dveibull tt--tt"--t4-tttttttt-ta.633,21
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Zi =T]+ .375Tii+･3Tfto+-3Tii
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Z2 tT.+ ,375Tis+,3TRo+.3TEi
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zt =T-+T,o+1.1asTis+ ･or..+･gT2,
-.375F,-.75F.-1.50Pi-1,1zaP4
Z. `Te+Tie +1.STa,+1,STeR `2,25Ps-1･500F` Z, =T.+T, +1.1zaT,.+ .or..+.gTgi
'1-125F,'1-sePe'･7sui',375P,
k "Ti+ ･6Ti-+･.erte ',75P,',75Fe ZT=Te+ ･6Tai+･Mtt '.75Fe',75P` k =Ti+ ･6Tm+-erpp
-.500Pi-.25p"-.5Dpe-.250m Zg =Tt+TT+1,6erie+1,8T,o '1･50eFi-2･25P2 Zto=Tie+,750Tis+･75TH+･er2o
-.250R,-.50P.-1,OaP.- .500F. Z,i=T"1･at2,+1･STeg '1･seFs'.7seP-Zn=Tr+ ･75(rrn+･7ST,s+.eru -.5(K)P,-1,ooP2･,soPs-.Z50F. tEZL:!tQlp.sgo.r.-q.].... CILt:Le...-...15kOseh 'i:iTlzt!L-..r...1.s.L..H...-...-....TlliT!1T,g,r" p 10,5L " O.453,37 .!2... ...M" ".".. T,..1.,,..'"...4.2.k..." q,4.q3,37 ILet!ta..'"...Zt5.k...f....e.t4.5...3,sc-.. kQt!u '" ..15.k..."..O･47..3,37. P.Fs 10.5k O.za . .15..e.."O.453,.sse.4S 33?
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Case
H
｝ 各 崩 壊モード を表す 限 界状態関 数の確 率 密 度，ある いは4次まで の積 率が厳 密に得 ら れて いる場 合。 Case M） 構 造 物の信 頼 性 評 価 に 必要な全崩壊モードの結 合生 起事象の 4次まで の積 率が厳 密 に得ら れて い る場 合。 部 材 耐 力，荷 重 等が非 正 規 確 率変数であり，かつ そ れ ら の間 に統 計 的な相 関 性が存 在する と きには，限 界 状 態 関 数の確 率 密 度関 数を 理論 的に求め る こ と は 不 可 能であ る た め，一般 的な構 造 信 頼 性 解 析ではCaseI
の場 合がほ と ん どで ある。CaseI
で は，限 界 状態関 数の積 率 評 価 に §2， 複 数 崩 壊モードの結 合 生 起 確 率の算 出に §4の手 法が 適用 さ れ る。Case且は破壊 限 界 状 態が 1つ の確 率 変 数しか含 まないよ う な きわ めて 単純な場 合，あ るいは限 界状 態関 数の積 率 算 出に モ ン テ カル ロ シ ミュ レーショ ンを 用いた場 合などに 相 当す る。した がっ て，こ の ケー ス で は結 合 生 起 確 率の算 出に § 4．の 手 法が用い られ る、、Case 皿 は崩 壊モードの結 合 生起事 象 の積 率 算 定に モ ンテ カル ロ シ ミュ レーショ ン を用い た場 合に 相当す るe 破 壊 確 率の オーダー に よっ て は，モ ン テ カル ロ シ ミュ レーショ ンに よ る破 壊 確 率 算出に は膨 大な試 行 回 数が 必要 と なる が，積 率の算 出は破 壊 確 率に か か わ らずあ る．・定 回 数の 試 行で可 能と な る。Case 皿で は 50万 回の 試 行で横 率 算 出を 行っ て い る。こ の Caseで は結A
生 起事象の横 率 か ら 構 造物の 破 壊確 率を算出す る段 階で（29） （30）式が 用い られ る。 本 節で は不 静 定 構 造 物の終 局 限 界 状 態に関 する破 壊 確 率の 算 定を行う。解 析モ デ ル と し た 7 種の骨 組お よ び解 析に用い た崩 壊モ ードをTabie 2に示す。解 ．− 76 一Table 3 Analytical resutts of 2．span 2．story po［tu且frame（F3 ）．
〔a ）ρM＝O．0 μ置1 erfりrmanじ M °n
畿
P識器“
Illl
餮 σZ1 αSlI 一冖…1−1−−Proposed I Komte Propesed
Eg。〔5） I Carlo Er．〔7） 1 cratI 1234 畢 OTO ZZZZZZZZ 16 関 1 16．34 7皿 1 720
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飜
5，姐 1 5．40 7．51 」 7．51 1 1754 り Mlo ．Mi
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1
黜
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・：：翻
一〇，015 −0007 0．312 0，310 Honte ltopesed Ca「10 E『，〔8， 32141815 1411421Z 33333333 3143413 ．113 ．153 ．423 ．跚 3123z5μ1鴨」n a；nefi aeT 邑11 cr41EIn
Honしe Proposed
皿n｛Z1，Z2． ．Ze） Car10 餉 ｛16〕
4聞 4．s6
爿onしo Pro螂 ed 楓onto Pm卩osed non亡o Proposed
Cnrlo Eq（17） Carlo 1，跚 L 22 0 4凹 助 〔19， darlo Eg〔20） T『． ．0354 372 3，47 ρ■三〇．OrM3Lo即or■al S I Lo【norrsl
Proposed馳しhod（daSe【コ β 置Pt．1．／σ：ql．＝3．Vg F・＝一… ←β）一」嬲 … 16 e＝−S．。（− fi，）≡ ＋ 〔3宦3・47 x 3 CO ＝3．00 十 一 x ．
1
：鶴
Pt、＝1一Φ （a）＝1．35XlO−e 翔on しe 馳 r10 陬0しhOd β岡囗＝ 2．94 Pf卩＝822／枷 ，DOOi瞠（b） ρM＝O．5 μ己ト σ‘1 α s‘F l α 4乙｝ P6rfor皿anc8Fu 皿ctio囗 睡on しe Ip四 躙 ed Car1。 1 助． 隠。nte Pm繭 I Carlo IEr ．（5） 1 輔on しε Pmpo8ed l c。．1。 1 画，ω ；暫om しeCarloProgosed回r． ZI IZ2ZgZ 亀 1
勇
：1
16・図116
・34 7・20 1 7・20 20．55 i 20．55 11 ：：lill
：話 7．51 1 7．51 4・＆114 ・8111
：器11
：跨1
瀏
馴
・． ・9 ・．17・1
’1
：粥1
’1
：嬲1
0．103 0．且56 ：1
：1
鵑
：1
：麗
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3．071 ：認
1
髏
1
3，153 ，2δ 3」53 ．143 ．” 3．19 Z？ z臼ll9
’ 濫1
；：濫 へ臨ま9a5 999542 0．096 0．175 3鹽07 019Z O．16＆ 3．11 150933 P！・・1・ 血．（、、，Ze，＿．，，）」畿
P 跚訴
1
一一一7 →一一 十一≡ヨF
l
一 尸⊥ 一一一 50L 503 164 157 −0197 −Ol38 337 σ富層1厠 自et41 り 0414 旧 『一 『muTrm「’囿．俑「一’一…擱0黯te Pm凶3甜 ［onte Preposed 國onte I 匪opesed CarLo lr．qη Carlo Eq．‘19） 馳r1。 IEr．（2ω
3．30
p閹＝0，5，M ：Lognor■al S：bGgnoma1
Proposed Hethod（Case I） β ＝μ1−im／al。1．；3．20 ＝ 0．1認 十6X β一〇．1路Xβ9 i β 飢 ← 一 （ 肛 ＝ S 4 ・ 唱 ＝ 響 ＝ 舟 F β rm 十 ｛3−−3SO）X s／60 n v ＝ 3．DO 三2．92
1
：瓢
P，．三1一Φ （∂） ＝1．79x10−・ Honte Garlo 剛ethod β臟c＝ z．74 P．●耳1，580／500，000＝a．1fiXIQ：1〔c ｝ ρ闇＝1，0 Plodn ”onte nin〔z1，z・，…，z・）
I
c・・ユ。 515 if2囗Im a ＄Zo卜A aaZmI 旧 Propased ■onto Proposed Hoコte Proposed 隨onしok
Ca「’°
E哩
L
← 璽 ＿←墜｛壁Ll
坦
．− 518 188 181 0004 0rO35 340 PropasedEq ｛20］ 3．32 ρM＝1．07M ：bOgnor囗al S：Losner囗a1 Preposed鬥ethod（Cas●1，β ＝β tロコn／σz岡卜“＝ 2；86 fi・一一s・・（一β）一」嬲 一z・8z 育；−s。．←n，｝＝ ＋ 3ヨ 32x 360 ＝ 2．＆2 1＋ 一 ． x ．
1
：砧
Pr●＝ 1一Φ （β〕 昌2．40×1D−！ 麗on【6 馳 rlo 巨臼しhod β”c＝ z．62 Pt竃＝2r】呂0／500rO30＝皇．SWPfs Pfs ！o「， 10， 10L． 10．■ 10’° 0．0 0，2 0．4 0．6 0．8 1．O PM
〔a） F1−1 span l story Portal Frame一 i M ：Lognoml 記 S ：LD胛 oma ■ 跏丶 丶 o0 o ．¶．．■7． ．一．舳．．．r．・一一」 卩 ■ s1 ■
ぬ
Ca5eI ．．｝．．−⊂as ¢11 ．．睥．噛．1圓C昭eI旺 一．一S眈ondMom ヒ oMQn 【cC田唖o ・ 1e． 101’ dO 6 10’° 10’° O．O O．2 0．4 1e” 10コ Pfe lOli lel ¶o．燭 10．1 M ；LOgnonmal S：LognorTnal oo 冨炉F． oo Pfs lO’° 「丶，r ．喘．噌 ．闇．ぴ罰r・覦＿儲＿． 0 ．闇．一一闇．一． 1h門℃凹 o ．舮’．齟 」凹， ．−＿．」．岡． M ；Lρ呂noma 且 SLo9 阯α 【maL s4 s昌 SI53 8｝ お1 C邸el 一．．．囮．．．Ca 麟巴1｛ 胸，”｝P，・⊂己盻田 一一 SecondMOm 」 0Mon 肥C匹rlo 一 Ca5 ¢1 ：：：二：＝ Casc皿 CEse田 一 S巳じond Momo 皿 O Mo“¢C刎 o撫
10L‘ 准0−● O，0 0．2 0．4 0．6 0．8 1．0 ρ閏 〔b〕 F2 −−15pan 2 story Portal Frame一 Pfs 10星 10’9 」o’嵶 丶 、、． 0．6 e．B 1，0 PM （d） F4−2 span 2 stery Pertal Frame一 T ：Lo暫q ηai F’L心即 om岨 ，，．一Ω一・・ ．r．1 ，’ FF ．陶． F ．’ o 身 〆 ’． r’曜． ．r■」「． Co5B［ 7閉．一■．．．闇「閧闇闇■層c団巳【1 Ca3じmSeco ロdMomcm oMo 冂しoCarb 一r ．1 、 辱 10L「 o o ．，．”一’””” 108 ，・・．o「’一 Pfs 10， 10’s ．一．∬ ・酬・．”．、＿免．n． 1 ％，。 。．2 。，4 。，6 。．8 1．。 PM 〔e ） Tl−l trer Truss一 蟄認
黜 1』
砒
一 Clse I ’膠四゜．鬥°■’’’”酬−’°． Ca盻 n dne I皿 一．冖’． 翫 酬 M ‘ O MonにC谺Lo 10， 0．0 0．2 0．4 0．6 0．8 PM 〔9 ） T3− 25 bars Truss一 1．O Pfs 10’60 ．0 0，2 0．4 0．5 0．6 1，0 P鬧 （c ） F3− 2 span 2 story Portal Frame一 10．t 10「9 10° 101 10暉 0．0 0．2 0、4 0．6 0．8 1．O ρM 〔f） T2−2 ticrs Truss一 8 T：Lognoma1 F；Lo即omla 置 一、 」胤、「 −1一．．．一 9 所”「’騙陶．．1 0 ・陋』、劉 o．隔一 一一．．鹽L＿．−r一齟齟L」一 ．．一．「噛．陶− 、 ． ． 「聖F： 1評圏 F幽 ● 一F．「rr，罰C囲噎■ c蹴【1 幽．．一．一．．c日開 ［Hs 巳 dMo 阻em oMon 肥Ca皿0 暉Fig．3 Frobabihty 〔）［Failure 〔Strength；Logm，rmal ， L〔跏ad ：LognQrmal〕，
析で は， 各 構 造モ デルの部 材 耐 力お よ び荷 重を確 率変数 とし て扱っ て お り，その統 計量 もTable2に併せ てホし t：。こ れ らの統 計景は実 構造 物の信 頼 性レベ ル との対 応 を考 慮し，構 造 物の信 頼 性指標値が お お むね β＝3．0程 度と な る よ うに設 定し て い る。確 率 変 数問の統 計的 柑関 性につ い て は，各 部材耐 力 間に相 関 係 数ρM が存 在す る もの と し，荷 重 間は独 立と仮定し た。ま た，部 材 耐 力は 対 数正規分布に従 う確 率 変 数 と し，荷重は対 数正規 分布， お よ びワイブル 分布の 2つ の場 合を想 定し た。 Table 3 は， p．・＝O． O， pM＝0．5，ρw＝1、0の場 合につ い て 2層 2 スパ ン門型骨 組 （F3 ） を 解 析 対 象と し， Case
I
に お け る限界状態関 数Z‘ （i＝ユ，2，…，8）， お よ び結 合 生 起 事 象min （z 、， z 、，…， Ze）の 4次まで の積 率，そ し て そ れ らの 積 率 情 報よ り算 出さ れる破 壊 確 率 p／s を提 案 手 法を用い て求め，モ ンテ カル ロ シミュ レー ショ ン による数 値 実 験 解と と もに示し た もの である。全 体に良い精 度で数 値 実験 解 を 評 価で きて い る とい え る が，限 界状態関 数 払一Z、の 各 積 率をみ ると，ρM＝O．5 の と き3次， 4次 積 率で い く ら か の誤 差．が認 め ら れ た。 これは 各確 率 変 数を 〔2）式で近似し た こ と によるエ ラー と考え ら れ る が ，各モ ードの積 率の変 化に は お お む ね追 従しており，高 次の積 率ま で含め た限 界 状態関 数の積 率 評 価に は （7）（81 式で十 分と考え る。ま た，最 小 値77
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Pf＄ Pfs Pfs 10t 10， wL° 101 10嚀 O，0 0．2 0．4 0．6 0．8 ↑．0 ρM （a ｝ F1− l span l story PQτtal Frame一 10’ 10’e 10剛 tO’° c司鵲1 ．．一齟．齟C卵eII ．一．開閹Cag巳 匸1匸 S ORdM oM 障C■τ1σ ooo ．一 0 「． 1 ．圏．一」 一．．．r：二，：劉L s1
ぬ
一 M ；しo 即 a且 SWeib 凵1且 10「鹽 0．0 0．2 0，4 0．6 0．0 1．O PM （d｝ F4−2 span 2 story Portal Frame一 10 ■ M ：L〕gnoma1 s ：Weibu且1 o ，一．Ω・．・・一 孺一一一．一｝．． 「一一『 ．一” ー囓 ．’プ s4 3F SIs2 5｝ お卩 C齔 1 「「門．1閲（洫cH 一．齟一一．Ca鷂田 Sec 4M 匚 oMon ヒC醜rb 10．， 10．‘ 10’c 10峰 O．O O．2 0，4 0．6 0，6 1、O P鬧 （9 ｝ T3−25 bars Truss一 C邸cI ．．一．．．一C巳鴎旺 圏．．一凵圏．c 露 皿 5即加 Mom t 0Mon 鴈Ca雌o0 ． ＿，一・．・・ ．“ ．呻’． ／ o T：Lo屮 aL F二Weib囗lh 幽； コ． Pfe Pfs 102 10， 10’° lO’t 10「 0．0 0．2 0．4 0．6 0．8 1．O P閣 （b｝ F2−1 span 2 stOly Portal Fra皿e−一一 c圏er 囚鹽．鹽鹽回．．．C饂eI【 ，．．P．．・1．訥c8巳鴎じ叩ms dM cロ匚 0M にC匿do 0Qo ．−」 卩’ 「＿．噂．揃 o0 ．7 ’F ．ρ「」 ．齟尸．卩 s｝ s圏 s2 圏聖 M ：Lo即om 副 SWeib 凵Ll 10L「 101， 10．° 10．齟 Ca鴿1 ．一．．．c 圏 8H ．一L−．．Cじ隅IUs Pロ卩d t 0Mo 鵬C曲 ■ 鹽一r． 「 訂「’蝨 瓢 一．．＿o o Fユ F2 FL T ．Lognom 樋 F7Weibull 10「層 ．1 Pfs loi Pfs 101 101● 口，0 0．2 e．4 0r6 0．8 1LO ρM （c ） F3 −2 span 2 story Portal Fra皿e一 M ：Lognorma1 sW ¢iboU o0o 、， r「L酬．Fr．一一．．幽齟 ∫レ’F ． 一 ρ；一・一齟’．．．囲一一’”「．一．一 ’ ． ＄45Ls2 s｝ 躑1 Ca託1 ．一．．1「．．．一「C蹴 11 Ca5巳IH 一一一S¢ ro冂dM 匹 QMomeC ■【10 10” 10， 10’哨 10‘ 10’° 10．巳 りの o．2 o．4 o．6 り．s 1．ロ リロリ o．2 ロ．4 り G o．8 1．o ρM ρM〔e ） Tユー1ner Truss− （1） T2−2 ners Truss−
Fig．4 Probabihty of Fai］ure 〔Strength：L⊂｝ngnorma1 ， Load ：We山 ull｝，
分 布の 積 率，系 全 体の信 頼 性 指 標 値 β’も2次モ ーメン ト法での 評 価よ りも 良い精度で モン テ カル ロシ ミュ レー シ ョ ンの結果に対 応 した。な お， 計 算時 間につ いて は モ ン テ カル ロ シ ミュ レーショ ン が364，80sec． CPU TIME に対し，提 案 手 法が 0．98で あっ た。 C眦 ［ ．．一． c 曜 口 ．囓幽國鹽．鹽Lc朋監ms 醜 Mo oMo 鳴C面 0 0o ＿」卩．． 軍 昂｝脚一 一＿1−．幽戸F F：F塞 1僧・1PL T ・L」）9冂娜maI F：Weib凵n
Fig．3， Fig．4は Table 2に示 し た 7種の全 骨 組 を対
象と し，前 述の 3つの Caseにつ い て，提 案 手 法に基づ く破 壊 確 率と モ ンテ カ ル ロ シ ミュ レーシ ョ ン に よ る数 値 実 験 解を部 材 耐 力 間の相 関 係
tw
PMで整 理し て示し たも の で ある。Fig，3は荷 重の確 率 分 布 形を対 数正規 分 布に 従う と した場 合，Fig．4 は ワイ ブル分 布に従う とし た場 合の結 果である。モ ンテ カル ロ シミュ レーショ ン の試 行 回数は 50万 回で あ る。 ま た，図 中細い点 線は （16）（17） 式に よ り得ら れ た平 均値と標 準偏 差だ け を使っ て 2次 モーメ ン ト法に基づ い て算 出し た破 壊確 率で ある。2 次 モーメ ン ト法に よ る評 価が Pntの小さい ところ でモ ンテ カル ロ シミュ レーシ ョ ンによる数値 実 験 解よりも大き く 離れ る可 能 性がある の に に対し，提 案 手 法に よる解 析 結 果は，CaseI
，ll
，皿と も に 2次モーメン ト法の誤差 を 大き く改 善する結果と なっ て い る。また，確 率 分 布 形の 違い や崩 壊モ ード数の差，変数 間の 統 計 的 相 関 性の変 化 にも十 分 対 応で き て お り， 高 次の積 率を含め た構 造 系の 信 頼 性 評 価の有効性が確認で き た。78
N工 工一Eleotronio Library§6．結 構造信頼性 解析にお け る非正規分布の扱いは，その統 計 的相 関性，最小値分布の考慮も含め る と非 常に評 価の 困 難 な問題で あっ た が，高 次積 率 標 準 化 手 法を応 用する こ とによ り，複 数 崩 壊 事 象の 結 合生起 確 率の 定 式 化 を行 い ，確 率 分 布 形の非 正 規 性に対 応 可 能な構 造 物の信 頼 性 評 価 法を積 率 情 報だ け を 用いて提 案する こと がで き た。 ま た， 各構 造モデル の数 値 計 算を通 して，提 案 手 法の有 効 性 を 検 証し た。な お，本 論文の数値計 算には名 古 屋 大 学大型計 算 機センターFACOM M −780 を 用い た。 謝 辞 本 研 究 費の一部は文 部 省科 学研究 費に よ り ま し た。 付 し て感 謝い た し ます。 参 考文献 1） 小 野 徹 郎，井 戸田秀樹，羽津 本好弘：構造 物の確 率 論 的 特 徴に関 する解 析 的 研 究 （その 3），日本建築学会大 会 学 術 講 演梗概集・構造 1，pp，11−12，昭 和61年8月． 2） 小野徹郎，井 戸 田 秀 樹，堀 江 竜 巳 ：確 率 分 布 形の非正規 性を考 慮 した信 頼 性 評 価 法 その 4一確 率変数の最 大 値 の積率推 定法一，日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集 ・構 造1， pp．27 ．〜28，昭和63年10月． 3｝ 小 野 徹 郎，井 戸 田 秀 樹 ：確 率 分 布 形の非 正 規性を考 慮し た信 頼 性評 価 法 その 5一崩 壊事 象の 同 時生起 確 率一， 目 本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集 ・構 造1，pp29 −30， 昭和63年10月． 4｝ 戸 塚 明 宏，小野徹郎，井戸田秀樹 ：確 率 分 布形の非 正 規 性を考 慮し た信 頼 性 評 価 法 その 6一構 造 系の破壊 確率 評 価・一．，日本建築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 概 集・構 造 1， pp、1〜2，1989年10月． 5） 小 野 徹 郎，井 戸 田 秀 樹：高 次 積 率 標 準 化 手 法の提 案 とそ れに基づ く信 頼性指 標の設定一高次 積 率を考 慮し た信 頼 性 設 計 法に関する研 究 そ の 1− ，日本 建 築学会 構造系 論 文 報 告集，第 359岑．．pp．43〜49，昭 和 61年 1月， 6〕 小野徹郎，井戸田秀 樹：高次積率 標準 化 手 法o）設 計 法へ の展 開 とその有 効 性一高 次 積 率 を 考 慮し た信 頼 性設計法 に関す る研 究，その 2− ，日本 建 築 学 会 構 造 系論 文 報 告 集， 第 365号，pp，40−47，昭 和 61年 7月．
7） Clark， C．E，；The Greatest of a Finite Set of Random
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8｝ Terada， S． and Takahashi ． T，：SimultaneQus Failure
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g｝ Terada， S． and Takahashi ． T，：Simultaneous Failure
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旺．Tri．modal bounds − ， JQurnal of Structural and Con．
st［uctio 皿 Engineering 〔T【ans ． of A． LJ．）， No ，368，
pp．18−26， 1986． 10〕 米沢 政 昭，室 津 義 定，岡 田博雄，岸 光男，丹 羽一邦：1 次 元4次モーメン ト近似に よ る構 造 物の信 頼 性 解 析，材 lD 12｝ 料，第31巻，第351号，pp．82−88，昭和57年 12月． 小 野 徹 郎，井 戸 田 秀 樹，河 原 弘 明 ：高 次 積 率 を 用いた鋼 圧 縮 材および曲 げ材の抵 抗 強 度に関 する統 計 論 的 研 究， 日本 建 築 学会構 造系論文報告集，第370号，pp．19〜27， 昭和61年12月．
Grigoliu， M．：ReliabiLity of Chain and Ductile Parallel
Systems， ASCE ， Joumal of Engineering Mechanics，
Vol．109， NQ．5， pp．1175−1188，1983， 注 確 率 変 数 X の 3次，お よ び 4次積 率の標 準 化 関 数S3抽 ｝， S滋コc ）は 以 下のよ うに導 出され るS ）。 ま ず，X の平 均 値μκお よ び標 準 偏 差 ax を 次式で標 準 化する。 x 一μ1 ・〔A−1） x2F σx こ こ に Xn．は， n 次積率ま で標準 化さ れ た確 率変数 を表 すe 次に， ・ 為 の 3次 積 率 a、、の標 準 化の た めに次の 2次級 数関数 を用い る。
XiS／＝XZI＋aXli ・……tt…・…・・・・・・・・・・・………・・…・…〔A−2）
こ こ に Xlnlは， n 次 積 率の み標 凖 化され た確 率 変 数を表す。一ヒ 式で変 換 され た確 率 変 数XI31の 3次積 率 a3．v3／が Dに等 しいと お くこ と に よ り次式を得るtt a：r嚠s，akヨ1二E［（X2：十aXII 一μII13〕｝ ！ ］＝0・・・・・… …・…・…〔A−3） 4次 以 上の積率が 標 準 正 規 確 率 変 数の そ れ と等 し く，か つ
