光とレンズ
-近軸光線の利用-
日本ライトハウス
視覚障害リハビリテーションセンター
田辺正明
可視光（七色）
紫 藍 青 緑 黄 橙 赤
400nm 800nm
日の出
2004.7.7 4:57の日の出。赤色で昇ってきて、オレン
ジ、黄色に変化し、最後に白色となって肉眼では
見られなくなる。
光の伝わり方
光の進行方向
（光線）
Vergence
・光線の広がり具合
+ vergence - vergence 0 vergence
・記数法
距離（m）の逆数
単位：D（ディオプトリ）
距離 2m 0.5m 符号 収束光線なので+ 発散光線なので－ vergenceD
m
0
.
5
2
1
m
2
D
5
.
0
1
λ
T
f
vT
f
v
1
波の基本式
速度
周期
周波数
波長
:
:
:
:
v
T
f
振
幅
距離
波
打ち寄せる波
浜辺の波は砂
で作った山を
打ち崩します。
光も同様の仕
事をします。
X（距離
）
t
x T t a y t x t a y x 2 sin ' ( sin 0 とするところ） 時間軸を が任意の値の時 の時 Y（振 幅）a
角速度 : 2 f t
t’
正弦波の式
波の進行方向正弦波の式の求め方
x =0 の時
x T t a y f v v fx T t a Tv x T t a v x t T a v x t f a y v x x v x t t ft a y 2 sin 2 sin 2 sin 1 2 sin 2 sin 0 ' ' 2 sin だから 前の位置） の時間軸より （ft
a
t
a
y
sin
sin
2
xが任意の値を取るとき（時間軸をt’とするところ）波の様々な現象
① 干渉（波の重ね合わせで強めあったり弱
めあったりする）
利用法：眼鏡の反射防止膜
② 回折（障害物の陰にも曲がりこんで伝わ
る）
現象：ビルの裏でも音が聞こえる。
中波のラジオは放送局が見えなくても聞こえる
説明：ホイヘンスの原理
ホイヘンスの原理
１つの波面上の全ての点は波源となって、同じ速
度、同じ振動数の小波（要素波）を作り出す。
個々の要素波は観測されず、これらの要素波の
波面に共通に接する曲面が、その後の波面とな
る。
球面波
平面波
回折の説明
③ 反射
CAN TAN CAD TAS CAD BDA TAS BD // TA DCA ABD CD CD AD BD QR PQ 1 BD QR BD PQ BD QR 1 AC QR 1 AD QD 1 AD QD AD AD AQ BD PQ の余角をとって よって また、 と１辺が等しいので 次に直角三角形の斜辺 。 は反射波の波面となる に達するので れて出た要素波は全て 上の各点から次々に遅 ゆえに、 C B S A Q D T P R N④ 屈折
B P D Q A i1 i1 i2 C R V1t V1t 絶対屈折率） とすると とし、 真空中の速度を （スネルの法則） 光速） とすると 上に至る 上の は 上の任意の点 秒後には ( i sin i sin n 1 n c V c i sin n i sin n i sin i sin n n n c n c ; : c ( n c 1 V , n c V V c n , V c n i sin i sin V V ; i sin t V i sin t V ; i sin t V i sin BD AD ; i sin AD BD ; i sin t V i sin AC AD ; i sin AD AC R CD P AB t t t t ; t t t t t ; 1 t V t V t V t V ; 1 AC QR BD PQ ; AC QR 1 AD QD 1 AD QD AD AD AQ BD PQ 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 V2tレンズによる結像の様子
（１）
u’
∞
u→0
z
f
0
0
'
u
u
u
u’
z
f
f
z
z
f
1
1
'
u
u
)
f
z
(
1
z
f
1
'
u
u
f
z(=f)
u
u’
u
実像
倍率（
y’/y)
y
y’
レンズによる結像の様子(2)
u’
1
z
f
1
'
u
u
u’→0
z
f
f
Z＝∞
z
f
'
u
u
1
z
f
1
'
u
u
f
u
u’
u
u
z
虚像
倍率
レンズによる結像の様子
(3)
1
z
f
1
'
u
u
u=u’=∞
z
f
f
z
1
z
f
1
'
u
u
1
z
f
1
'
u
u
f
u
主点
倍率
z
u u’
u’
虚物点
近軸光線（微小な角の利用）
はラジアン）
を利用する（
sin
r
h’
θ
A
h
tan
r
OA
OA
h
tan
r
'
h
tan
1
r
r
cos
r
OA
r
OA
cos
1
cos
が十分小さければ
が十分小さければ
sin
'
h
h
r
h
sin
r
'
h
sin
が十分小さければ
O
Abbeの不変量から球面の結像公式
n
n’
A
S
C
P
P’
y
y’
u(-)
i
i
’
h
φ
u’(+)
s(-)
r
s’(+)
)
'
u
(
'
u
)
u
(
n
'
u
i
C
'
AP
u
i
APC
'i
'
n
ni
'i
sin
'
n
i
sin
n
において
において
スネルの法則より
球面の結像公式
の不変量
ここで
's
'
n
r
n
'
n
s
n
s
'
n
r
'
n
s
n
r
n
Abbe
's
1
r
1
'
n
s
1
r
1
n
's
h
r
h
'
n
s
h
r
h
n
's
h
'
u
,
s
h
u
,
r
h
Lagrange（ラグランジュ）の不変量
u
P
y
Q
h
i
u
’
i’
S
P’
y’
Q’
s
s’
C
系全体をCを中心として回転してやると回転後のQとQ’も共役関係
①
よって、
また、
スネルの法則より
を考える。
光線
's
'
y
'
n
s
ny
's
'
y
'i
s
y
i
'
ni
ni
'
QSQ
の不変量
①に②を代入
②
更に、
Lagrange
'
y
'
u
'
n
nuy
h
'
y
'
u
'
n
h
nuy
;
'
u
h
'
y
'
n
u
h
ny
'
u
h
's
,
u
h
s
,
's
h
'
u
,
s
h
u
n
n’
複数面からなる光学系
最終面をK面とする。
n
1n
2(n
1’)
n
k(n
2’)
n
k’
第１面屈折後のn
1’,u
1’,y
1’は第２面に対し
てはそのままn
2,u
2,y
2となる。
'
y
'
u
y
u
1
'
n
n
'
y
'
u
'
n
y
u
n
'
y
'
u
'
n
'
y
'
u
'
n
y
u
n
'
y
'
u
'
n
y
u
n
k k 1 1 k 1 k k k 1 1 1 k k k 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
とすると
焦点
∞
F’
像側焦点、後側焦点、第２焦点
無限遠物点に対応する像位置
F
物体側焦点、前側焦点、第１焦点
像位置が無限遠になる時の共役点
像側より逆方向に平行光線束を通
した時の結像点
∞
主点、節点
u=u’
1
HQ
'
Q
'
H
主面
横倍率
Q
Q’
H H’
u
u
’
主点
β=1の一対の軸上共役点をそれぞれ物体側または前側主点、およ
び像側または後側主点という。（主点はprincipal point, 記号のHはドイ
ツ語のHaupt Punktが語源）
主点を通る光線が軸となす角
u, u’についてはLagrangeの式より
nu=n’u’ → u, u’は両側媒質のnに反比例
よって、主点とは別に
u=u’が常に成立する一対の共役点が存在す
ることになり、これを節点(nodal point)という。（両側媒質が同一（例：
空気）の場合は主点と、節点は同一点。
焦点、主点のまとめ
物体側でFを通る光線は像側で光軸に平行になり、物体側で光軸に
平行な光線は像側で
F’を通る。
全ての光線は物体側および像側の主面を同じ高さで切る。
物体側でHに向かう光線は像側でH’を通り、光軸となす角u, u’はn,
n’に反比例する。n=n’の時は方向を変えずに進行する。
主点と焦点との距離を焦点距離という。物体側、像側それぞれにあ
る。
結像関係の式(1)
主面
h
H H’
u
u
’
主点
y
y’
z(-)
f(+)
a(-)
f’(+
)
z’(+
)
a’(+
)
P
Q
R
F
F’
Q’
S
の式①
は相似なので、
と
と
Newton
'
ff
'
zz
'
f
'
z
z
f
y
'
y
'
F
'
Q
'
P
'
SF
'
H
,
HRF
PQF
の式②
を代入すると
Newton
1
'
a
'
f
a
f
'
aa
'
af
f
'
a
0
f
'
a
'
af
'
aa
'
ff
'
ff
f
'
a
'
af
'
aa
'
ff
'
f
'
a
f
a
'
f
'
a
'
z
,
f
a
z
結像関係の式(2)
率に比例する。
それぞれの媒質の屈折
距離と像側焦点距離は
すなわち、物体側焦点
とすると
気
空
（
つまり、
を乗じると、
を代入し、
上式に
る。
の場合は距離に比例す
、
離れるほど大きくなり
はそれぞれの主点より
物体および像の大きさ
を代入すると
に
の式
)
f
'
n
'
f
1
n
f
n
'
n
'
f
;
'
n
n
'
f
f
f
'
n
n
'
f
1
;
f
'
z
'
n
n
'
f
'
z
f
'
z
'
n
n
)
z
f
(
f
'
n
)
z
f
(
'
nz
'
zz
'
ff
f
)
f
z
(
'
n
)
'
zz
'
fz
(
n
f
)
f
z
(
'
n
f
)
'
f
'
z
(
n
f
'
f
'
z
'
a
,
f
z
a
'
n
n
a
'
a
'
n
n
y
'
y
a
'
a
ny
'
y
'
n
;
'
a
'
y
'
n
a
ny
;
'
a
'
y
'
h
'
n
a
nhy
'
a
h
'
u
,
a
h
u
'
y
'
u
'
n
nuy
Lagrange
結像関係の式(3)
a ' a ) ( ' A F A ' A ' a , F f , A a ' a f a f ' a a f ' zz a ' a ' n n y ' y ) Newton ( ' a ' f a f Newton ( ' ff ' zz ' f f , ' n n ) length focal equivalent f ' f f ' f f f n ' n ' f ' n n 球面レンズの結像公式 を代入し 気等に仮定する） ると、（両側媒質を空 に代入す 、 の式② の式①）、 を ● とする。 （ 、単に焦点 離の区別の必要はなく よって、両側の焦点距 に代入すると、 を 多いので、 空気など同一の場合が 一般的には両側倍率は ● 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2縦倍率
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 z 2 0 z 2 2 0 z 2 2 0 z 2 n ' n z f n ' n dz z f d n ' n dz z f n ' n d dz ' dz ) z ( f a ) z ( af a z f n ' n nz f ' n z n f ' n f ' z n f ' n ' f n ' n f ' f z ' ff ' z ' ff ' zz ' n n z f ) Z z ( z f lim z ) z z ( z ) z z z ( f lim z ) z z ( z z z f zf lim z z f z z f lim dz z f d dz ' dz ' n n だから の導関数は が定数である より 、また、 より のとき のとき の２乗に比例する。 は横倍率 合である縦倍率 対する像点の移動の割 物点の軸方向の移動にdz
dz’
共役長（物点像点間距離）
'
HH
f
4
L
1
L
0
HH
2
1
f
HH
f
2
f
f
L
f
'
z
f
z
f
'
z
z
f
'
z
f
HH
f
z
L
min
の時最小
の値は
、
（実物体実像）の場合
、
より、
F
F
’
H
H’
z(-) f(+) f(+) z(+)
近軸計算（１） -近軸計算式-
物点、像点、主要点の位置の計算法：曲率半径、面間隔、屈折率を利用
jn
j
面
j
1
面
jd
ju
1 jn
jh
h
j1 1 j j'
u
u
js
s
j'
jd
s
j1'
u
jx
j j j j;
x
u
'
d
d
x
'
u
① より を掛けると j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j u n r ) n ' n ( h ' u ' n u s h , ' u s h s h n r ) n ' n ( h ' s h ' n h s n r n ' n ' s ' n ' s ' n r ' n s n r n s 1 r 1 ' n s 1 r 1 n となる。 だから は最終面 ＝ 空気中では を代入し、 、 とし、①②式に、 、 する。 で①と②を交互に使用 および、 ② より、 面への移動は 面より 次に u a ) K ( 1 ' n n ' a ' n d h h a a r ) n ' n ( h ' a ' n ' a ' u n a u ' u ' n ' a u n a ' n n ' u u ' u d h h ' u d x d x ' u 1 j j K j j j j j 1 j 1 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 1 j j 1 j j j j 1 j j j j j 1
n
面
面
k
1
1u
kn
1h
h
k'
u
k 1s
s
'
k近軸計算（２） -一般式- 物点位置が任意の場合
(1)で求めた最終面のh
k,a
k’を利用、共役点、主点位置は任意
'
s
h
'
u
'
u
h
'
s
'
n
'
u
'
a
'
n
'
a
'
u
'
a
h
k k k k k k k k k k k k k k
像点位置は
が求まったので
、
最終面の
'
u
u
'
n
n
y
'
y
'
y
'
u
'
n
y
u
n
'
y
'
u
'
n
y
u
n
'
u
u
'
n
n
Lagrange
k 1 k 1 1 k k k k 1 1 1 k k k 1 1 1 k 1 k 1
の式より
1S
S
k1
n
面
面
k
1
kn
1h
h
k'
u
k'
s
k近軸計算（3） -物点位置が無限遠の場合-
一般式では共役の位置関係や倍率は主点等に関係なく計算できる。しか
し、物点位置が変わる毎に計算をやらなければならない。
→主点、焦点位置を求めて一般式を使用するためには物点位置を無限遠
にした計算をする。
'
Q
'
f
kS
'
H
'
f
'
s
'
H
S
)
2
(
'
u
(
'
u
h
'
f
)
length
focal
Back
(
'
s
h
0
a
u
k k k k 1 k 1 1 1
で求まっている）
の値は近軸計算
：後焦点距離
は任意の値
、
単レンズ(1) -一般式-
1n
n
2 1u
1n
1h
2h
u
2s
's
d
1r
2r
2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1a
n
d
h
h
h
r
n
n
a
a
n
u
a
,
n
u
a
とすると
一般式
1 j 1 j j 1 j 1 j j 1 j j 1 ja
n
d
h
h
h
r
n
n
a
a
もっと一般的に書くと
１面を中心とした図
1
n
面
面
2
1
1n
1h
2h
u
2'
s
2単レンズ(2) -1面目の計算-
2
S
'
H
's
2n
2 2 1 2 1 1 2 1 2 1a
n
d
h
h
h
r
1
n
a
a
1
n （空気中）の時
2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1n
r
)
1
n
(
dh
h
n
r
n
r
)
1
n
(
dh
h
h
r
1
n
n
d
h
h
a
n
d
h
h
h
r
1
n
a
0
a
0
u
つまり
（無限遠からの光が入
射）
１面を中心とした図
単レンズ(3) -2面目を合わせた主点屈折力と焦点距離(i)-
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 n r r ) n 1 ( d ) n r n r )( n 1 ( h n r r ) n 1 ( d ) n 1 ( n r ) n 1 ( n r h n r r ) n 1 ( d n r ) n 1 ( h ) n 1 ( h n r n r r ) n 1 ( d n r ) n 1 ( h ) 1 n ( h n r n r r ) n 1 ( d n r ) n 1 ( h r ) 1 n ( h a n r r ) n 1 ( d n r ) n 1 ( h n r r ) n 1 ( dh h n r ) n 1 ( n r ) 1 n ( dh h n r r n 1 h r n 1 ) 1 ( * h r n 1 r 1 n h r n n a a u n u a 1 n よって ここで の式参照 近軸計算 なので 、 1n
n
2n
3 1h
2h
u
2'
u
3u
1'
u
2 2H
2s
' f 1S
S
2単レンズ(4) -2面目を合わせた主点屈折力と焦点距離(ii)-
2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ) 1 ( ) )( 1 ( ) ( ' 1 1 , 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ' 1 ) 3 ( * ) 1 , ( , ' n d r r n n n r r f f D D n d D D f F r n D r n D F r n r n n d r n r n r n r n n d r r n r r n n d r r n n r r n d r r n n r r n d r r r r n n r r n d r r n n h a h u f n n u a a u u h f は 主点焦点距離 とすると は、 主点屈折力 の式参照 近軸計算 単レンズ(5) -2面目を合わせた後頂点距離と屈折力-
1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 3 2 3 2 1 ' 1 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ' ) ' ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )( 1 ( ) 2 ( * ' ) ' ( D n d D D n d D D Sv D r n r n n d r r n n d r r n r n n d r r n n d r r r r n nr n d r n r r n n d r r n n n d n r r r n r n n d r r n n n d n r r n d r r n n Sv Sv n d r r n n n d n r r n d n r n r n n d n r r n d n r n r n h n d n r h r n d n r n r n h n r n r r n dh h n r n r r n d n r n r n h a n d h a h u h s S k k とすると は 後頂点屈折力 の式参照 近軸計算 は 後頂点距離 単レンズ(6) -主点、後頂点間距離-
)
1
n
(
d
)
r
r
(
n
d
r
H
S
H
S
)
1
n
(
d
)
r
r
(
n
d
r
)
n
1
(
d
)
r
r
(
n
dr
)
n
1
(
d
)
r
r
(
n
)
n
1
(
)
1
n
(
dr
)
n
1
(
d
)
r
r
)(
n
1
(
n
)
1
n
(
dr
)
n
1
(
d
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r
r
)(
n
1
(
n
)
1
n
(
d
n
r
r
n
r
r
'
s
'
f
'
H
S
2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 k 2
を求めると
同様にして
1r
r
2H H’
1S
2S
1n
n
2d
単レンズ(7) -凸平レンズ、凹平レンズ-
F
H H’
H
H’
n d H S 0 R dR ndR nR r n d R dR ndR nR r n R d d nd n r R n R d d ) 1 n ( r R 1 n R d H S R 1 r r 1 R 0 r 1 r 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 のとき とすると ならば単レンズ(8) -薄肉レンズの屈折力-
を面パワーという 、 とすると 屈折力（パワー） とすると て のページより）におい 単レンズ （ 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 c ) n 1 ( c ) 1 n ( c ) n 1 ( c ) 1 n ( ) c c )( 1 n ( c r 1 c r 1 r 1 r 1 ) 1 n ( ' f 1 0 d ) 1 ( * r r n d ) n 1 ( r 1 r 1 ) 1 n ( ' f 1 1n
n
2 1n
1r
2r
d=0
単レンズ(9) -薄肉レンズの結像公式-
1n
n
2 1n
1r
2r
d=0
s
s
''
s n r n n ' s n ' s n r n s n r n ' s 1 r 1 n s 1 r 1 n Abbe 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 １面目 回用いると の式を薄肉レンズに２ る。 全て１点に重なってい よび２つの主点が 薄肉レンズでは両面お より ２面目 s 1 r 1 r 1 ) 1 n ( '' s 1 1 n s n r 1 r 1 ) n n ( s n r n n r n n s n r n n r n n 's n r n n '' s n 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2つのレンズ系の合成(1) –主点屈折力
2F
'
F
1 ' HH
2h
'
u
2 2 1' u u 2f
1f
2z
f
② ①を代入 合成レンズの焦点は ① よって の式より 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 f ' u h ' u h u h f ' u h f ' u ' u ' u ' u ' u u y ' y ' y ' u y u Lagrange ' u h f ' u h f ③ の虚物点であるので は かっている場合。 が分 間の距離 主点 と第２レンズの物体側 像側主点 、第１レンズの の焦点距離 次に第１、第２レンズ となる。 ば合成の 掛けれ に第２レンズの倍率を よって、第１レンズの d f f f z f f ' F f d f z d H ' H f , f f f 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 d
2つのレンズ系の合成(2) –主点屈折力
正レンズ のとき ４． から引く を第１レンズの屈折力 ：第２レンズの屈折力 のとき ３． は関係なくなる 第２レンズの焦点距離 のとき（④に代入） ２． のとき １． て分類 レンズ間の距離によっ ④ ③を②に代入すると 0 f f d f f D D D f 1 f 1 f f f f f 1 f f f f f f 2 d D D : f f f d D D D 0 d D dD D D D f f d f 1 f 1 f f d f f f 1 d f f f f f 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2つのレンズ系の合成(3) –頂点屈折力
D1 H D2 d d D1 1 fv’ Dv’ 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 ' ) ' ( dD D dD D dD D D Dv Dv dD D dD D dD D D dD dD D D D dD D D D dD D d D Dv Dv を求めると 折力 同様にして第１頂点屈 を求める 第２頂点屈折力アフォーカル系(1) -単眼鏡- 無限遠物体、角倍率
α(+) β(-) ) ( ) ( ' 2 1 f f 2 1P
P
z = ∞ y y’ 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 ' 1 , ' 1 ' ' ' ' ' tan tan ' P P m f P f P f f f y f y m f P f P とすると とすると の第１焦点距離を 、 の第２焦点距離を角倍率
単眼鏡のシステム
アフォーカル系(2) –単眼鏡- 有限物体
1P
2P
1F
F1'F2 1 y 2 1' y y ' y2'
F
2 1 z 1 f f2 2 z1'z2'
z
である） に関する の虚物点となり、 は の式 に関する 接眼レンズ ① の式 に関する 対物レンズ 有限物体の結像） 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 z P P ' z ( z ' z f ' z z Newton f z f ' z ) 1 ' n n ' f f ( f ' z z Newton f ( とする） 角倍率）を （アフォーカル倍率（ に逆比例する。 は よりとると、その距離 、 物点像点はそれぞれ ② ①を代入して 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 f f m m ' F F m z z f f z f f z f f ' z ' z f ' z f ' z ' z アフォーカル系(3) –単眼鏡- 有限物体、横倍率
のみで決まる。 像位置とは関係なく つまり、像倍率は物体 のページより）だから アフォーカル系 は 倍率 アフォーカル系全体の とする。 の横倍率を 、 の横倍率を横倍率
m m 1 m 1 m m 1 f f z m z f f ) 1 ( (* m z ' z z ' z f f f ' z z f f ' z z f ' y ' y z f y ' y f f 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 遠用矯正レンズの倍率
Spectacle magnification(S.M.)
裸眼の網膜像の大きさに対する、矯正眼の網膜像の大
きさの比。網膜像の大きさは入射瞳（角膜後方3mm）を
基準にする。
Relative spectacle magnification(R.S.M)
標準的正視眼の網膜像の大きさに対する、矯正眼の網
膜像の大きさの比で、屈折異常が軸性か屈折性かで異
なる。
Spectacle magnification(S.M) –薄いレンズ
θ θ’ d f(-) d f(+) θ θ’dD
f
d
f
d
f
f
h
f
d
h
1
1
1
1
'
'
'
'
'
tan
'
tan
'
h マイナスレンズ プラスレンズ (ロービジョンケアマニュアルより）Spectacle magnification(S.M) –厚いレンズ
t fv(-) f(-) D1 H ’ l lv p s v v p v v s s v s s v s s s v s v s v s v v v s s v v v M M M S D l factor Power M D l M DM l M DM l M M DM l M D l M l D D M D l D D D l lD M S D n t factor Shape M D M D D D l l . . ' 1 1 ) ( ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 . 1 ) ( ' ' 1 1 1 とすると より および (ロービジョンケアマニュアルより）Relative spectacle magnification(R.S.M)
(ロービジョンケアマニュアルより） l l r com D D lD D D D D M S R M S R 0 0 0 ( . . . . . . 点屈折力 常眼合成光学系）の主 （矯正レンズ＋屈折異 折力 正視モデル眼の主点屈 点距離 正視モデル眼の主点焦 焦点距離 眼合成光学系）の主点 矯正レンズ＋屈折異常 の定義 と等しくなる。 網膜像は正視モデル眼 、屈折性屈折異常眼の ）に装用したとき、 後方から約 側主点位置、角膜頂点 （矯正レンズが眼の物 と等しい。 正視モデル眼の屈折力 が 学系の後側頂点屈折力 異常眼からなる合成光 合：矯正レンズと屈折 屈折性屈折異常眼の場 等しくなる。 膜像は正視モデル眼と 、軸性屈折異常眼の網 ）に装用したとき、 から約 側焦点位置、角膜頂点 （矯正レンズが眼の物 ≒ だから、 ： 軸性屈折異常眼の場合 1 . . . 3 . 1 0 1 1 1 . . . 1 1 ' ) ' ( 1 . . . 15 ) 017 . 0 ( 1 1 . . . 017 . 0 60 / 1 / 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M S R mm l lD D lD D D D M S R D lD D lD D lD D D v D D v D M S R mm f l D l D lD D D D M S R D f D D L com L com com L com L L r L r com com L L L r近用眼鏡のS.M.n(1)
とする。 における物体の視角を １）距離x
との比。 と ’ による視角 虚像 ' ) 2 h 倍率は物体hによる視角θと虚像h’による視角θ’の比である角倍率 h’ h h θ’ F s(-) x’(-) l(+) s’(-) ) 1 ( 1 1 1 1 ' ' 1 1 ' ' ' ' ' tan tan ' ' , sD l s l s D s l s sD m s s y y D s s l s l s y y l s yl s y m m l s x l s x に留意すると だから、 から またレンズの結像公式 は とすると倍率 x(-) なる。 ズの倍率に等しく となり、遠用矯正レン 遠用眼鏡の場合 より 0 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 S D S l lS S D S l S lS S D S l S S lS S D S l S S lS S D l S l S m S s D (ロービジョンケアマニュアルより）近用眼鏡R.S.M.n(2)
とする。 における物体の視角を １）基準距離q
との比。 と ’ による視角 ２）虚像h' 倍率は物体hによる視角θと虚像h’による視角θ’の比である角倍率 h’ h h θ’ F s(-) x’(-) l(+) s’(-) ている。 の変化を表し は物体位置による倍率 を、 は また 変化を、 は像の位置による倍率 はレンズの横倍率、 ここで は とすると倍率 l s q M S l s l s y y l s q y y l s q l s l s y y l s q y y q yl s y m m l s x l x . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' tan tan ' ' , q(-) （距離による効果） （レンズの効果） 率 近用眼鏡の相対眼鏡倍 ≒ とすると ) D S ( l qS S lS q ) D S ( l lS D S q ) D S ( l lS l s q ) D S ( l lS M . D M . S M . S . R l s q M . D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D (ロービジョンケアマニュアルより）R.S.M.nの計算
レンズ前方4cmに物体を置き、レンズと眼の距離を20cmにして使用する20D（表示倍率5倍）のス タンドルーペの実際の倍率はいくらか。 ・基準距離を30cmとする ・表示倍率を得るにはレンズと眼の距離をいくらにすればよいか。 ・近用加入度はそれぞれいくら必要か。 <解答> レンズ前方4cm(S=-1/0.04=-25D)にある物体の像はレンズ前方20cm(S’=S+D=-25+20=-5D s’=-1/5=-0.2m)。 よって、倍率は公式より 75 . 3 ) 5 ( 20 . 0 1 1 33 . 3 25 ) ( 1 1 33 . 3 . . D S l S M S R この場合、像は眼前20+20=40cmにあるので近用加入度は1/0.4=2.5D 倍率を5倍にするには 。 は にあるので近用加入度 この場合、像は眼前 倍になる。 にして使用すると 離を よってレンズと眼の距 となり、 D cm cm m l l 3 . 3 3 . 0 / 1 30 10 20 5 10 1 . 0 5 ) 5 ( 1 1 33 . 3 25 (ロービジョンケアマニュアルより）ルーペの倍率(1)
近用眼鏡の倍率 ) D S ( l qS M . D M . S M . S . R 1 １）像を無限遠方に作って見る場合の倍率（基準距離25cm) 物体をレンズの物側焦点に置くと、その像は無限遠方にできる。このとき、R.S.M式に、 S=1/s=1/(-f’)=-Dを代入すると4
)
(
1
1
4
.
.
D
D
D
l
D
M
S
R
２）眼をレンズの像側焦点に置いて見る場合の倍率(基準距離25cm) レンズの像側焦点F’を眼の入射瞳Eに一致させると、F’を通る光線が主光線となり、視覚θ’は 一定となる。従って倍率は常に同一となる。4
1
4
)
(
1
1
1
4
)
(
1
1
4
.
.
D
D
S
S
D
S
D
S
D
S
l
S
M
S
R
（ロービジョンケアマニュアルより）ルーペの倍率(2)
) D S ( l qS M . D M . S M . S . R 1 ３）レンズを眼に近付け像を基準の位置に作って見る場合： 像h’が基準距離（s’=q=-0.25m)にできるように物体を焦点位置Fの内側に置きレンズを眼に密 着させて(l=0)見ると、レンズの中心を通る光線が主光線とみなせる。 l=0, S+D=S’=-4Dを
R.S.Mの式に代入すると4
1
)
(
0
1
1
4
4
)
(
1
1
4
.
.
D
D
S
D
D
S
l
S
M
S
R
（ロービジョンケアマニュアルより）ルーペの倍率(3) -別解
とする。 における物体の視角を １）基準距離q )
(
q
との比。 と ’ による視角 虚像 ' ) 2 h ルーペの倍率は物体hによる視角θと虚像h’による視角θ’の比である角倍率 h’ h h θ’ F k(-) f(-) d(+) k’(-) などが使用） ルーペの基準拡大率 とすると となり、 上に物体があると ここで、焦点 は とするとルーペの倍率 PEAK SPIEGEL ZEISS NIKON F F M m q qF qL M F L k L F d L qL d L qL L d q L L k d q L L k d q k k k d q h h q h k d h m m L k L k , , , ( 4 ) 25 . 0 ( 25 . 0 ), ' ( , 0 ' ' 1 1 ' ' 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' tan tan ' 1 ' , 1 ルーペの倍率(4) -別解
l D S lS l D S S l S S L l d S k d D L L d k d L qL D L L d k q d L qL ) ( 1 1 ) ( 1 1 , , 1 ) ( 1 ) ( ' 1 ' , ' 1 ) 1 ( を代入すると を代入すると に ると めた公式に変形してみ 近用眼鏡の倍率でもと で求めた倍率の公式を ルーペの倍率ルーペの倍率(5) –別解
使用。 などがこの表示方法を 、 、 、 とすると 大となり、 となるとき、倍率が最 近づけ、 ここで、目をレンズに より に結ぶようにすれば、 距離 り、虚像を基準とする り短い距離に物体があ さらに一般的に焦点よ WINNER CARTON ESCHENBACH COIL F m m q qF m d q d F Fk d k d k Fk d k k dF F k k d dF F k k d k d dF F k k d k d dF F k k d k d dF k k F k d L dL dF L k F k d L L F d k d L L d k d L qL m k L L F L L F L d k q d k q q 1 4 25 . 0 1 0 1 ) ( 1 ' 1 ' ) ' ( ' 1 ' ' ) ' ( 1 ' 1 ' ' 1 ' 1 ' ' 1 ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' ' 1 ) ' ' ' ' ( ' 1 ) ' )( ' ( ' 1 ) ' ( ' 1 ' 1 ' ' ' ' ' ルーペの倍率(6) -屈折異常がある場合の一般式-
D Re d １）レンズと眼をdだけ離すときの倍率 中和の考え方を用いるとこの眼は-Reのレンズを持っているのと同じことなので、ルーペとの 合成屈折力を求めればよい。公式より、 D+(-Re)-d・D(-Re)=D-Re+d・D・Re=-Re(1-d・D)+D ルーペの基準倍率は基準距離をq(m)とするとqを掛ければよいので、 D:ルーペの屈折力 Re:屈折異常値（遠点屈折度）
4 D Re ) D d 1 ( m 25 . 0 q D Re ) D d 1 ( q D ) D d 1 Re( q m とすると ２）レンズと眼を密着させるとd=0より 4 D Re m (ロービジョンケアマニュアルより）ルーペの倍率(7) –屈折異常がある場合の倍率変化-
a. 屈折異常眼の遠点位置(R)に物体の虚像を作ると無調節で鮮明な拡大像が見られる。 F R b. 眼をレンズに近づけて見るとき（眼の入射瞳Eが拡大鏡の像側焦点Fよりレンズに近い): 近視度が強い（遠点が眼に近い）ほど拡大率は大きくなる。 F’ P1 P2 P’2=R2 P’1=R2 θ2 θ1 近視度の弱い遠点R1にできる像P1の方が 近視度の弱い遠点R2にできる像P2より小さ く見える。 θ2>θ1 E (ロービジョンケアマニュアルより）ルーペの倍率(8) –屈折異常がある場合の倍率変化-
c. 屈折異常眼の入射瞳Eにルーペの像側焦点F’を一致させる。。 d. 眼をレンズから遠ざけて見るとき（眼の入射瞳Eが拡大鏡の像側焦点Fよりレンズより遠 い): 近視度が強い（遠点が眼に近い）ほど拡大率は小さくなる。 P1 P2 P’1=R2 P’1=R1 θ2 θ1 近視度の弱い遠点R1にできる像の方が 近視度の弱い遠点R2にできる像より小 さく見える。 θ2<θ1 E P1 P2 θ2 θ1 E F’を通る光線が主光線となり、物体位 置(P1やP2）の変化に応じてできる像位 置も変化するが、視角θ1θ2は一定となり、 倍率は同一になる。 θ2=θ1 P’1=R1 P’1=R2 (ロービジョンケアマニュアルより）ルーペの倍率(9)-近視の場合
－3Dの眼鏡をかけて＋20Dのルーペを使用している人が眼鏡なしでルーペを使用すると、 ルーペの倍率はどうなるか。 +20D -3D 5cm 33cm 4.35cm -20D -3D -3D -23D +20D X 4 5 20 3 ) 3 ( 0 0 20 20 ルーペの倍率は ならない。 ーペに近づけなければ いた時よりも物体をル となり、眼鏡を掛けて ≒ 物体までの距離は となる。 を意味し、倍率は として働いていること の屈折力を持つルーペ のルーペが これは cm X D D x x 35 4 23 100 75 5 4 23 23 20 23 3 20 . . ルーペの倍率(10) –近視でレンズから眼を遠ざける
-3Dの近視で近見視力0.1(30cm)の場合、新聞の本活字を読めるようにしたい。近方視力と して0.5程度は必要であり、眼をレンズに密着させて見るとする。ルーペの度数はいくらにす ればよいか。 またこのルーペを眼から15cm離して見るときの倍率はどうなるか。 <解答> 眼をレンズに密着させて見る場合 基準距離は30cm、必要拡大倍率は0.5/0.1=5倍だから -0.3(Re-D)=-0.3(-3-D)=5よりD=13.67D、よって15D(焦点距離6.7cm)を処方。 像が眼前(レンズ前方）33cmにできるように物体はレンズ前方5.6cmに置く。(∵x+15=-3 x=-18D 100/18≒5.6cm) 眼をルーペから15cm離して見る場合
に置く。 レンズ前方 にできるように物体は 像はレンズ前方 とが困難になる。 を読むこ 倍と倍率が下がり新聞 cm cm D D d q 9 . 4 ) 3 . 18 15 3 . 33 ( 3 . 18 68 . 3 15 ) 3 )( 15 15 . 0 1 ( 3 . 0 Re ) 1 ( (ロービジョンケアマニュアルより)ルーペの倍率(11)-遠視の場合
+3Dの眼鏡をかけて＋20Dのルーペを使用している人が眼鏡なしでルーペを使用すると、 ルーペの倍率はどうなるか。 +20D +3D 5cm 33cm 5.88cm -20D +3D +3D -17D +20D X 4 5 20 3 ) 3 ( 0 0 20 20 ルーペの倍率は ならない。 ペから遠ざけなければ りも物体をルー 眼鏡を掛けていた時よ となり、 ≒ 物体までの距離は となる。 意味し、倍率は いていることを を持つルーペとして働 の屈折力 のルーペが これは cm X D D x x 88 5 17 100 25 4 4 17 17 20 17 3 20 . . ルーペの倍率(12) –遠視でレンズから眼を遠ざける
+3Dの遠視で近見視力0.1(30cm)の場合、新聞の本文活字を読めるようにしたい。近見視力 として0.5程度は必要であり、眼をレンズに密着させて見るとする。どの程度の屈折度のルーペ を処方すればよいか。 また眼をルーペから15cm離して見るときはどうなるか。 <解答> 眼をルーペに密着させて見る場合 -0.3・(+3-D)=5よりD=19.67D, よって20D(焦点距離5cm）処方。 像が眼の後ろ（レンズ後方）33cmにできるように物体はレンズ前方5.9cmに置く。(∵x+20=3 よりx=-17。100/-17=-5.9）
倍と倍率が上がる。 に代入すると 一般式 ルーペの倍率を求める 屈折異常がある場合の 離して見る場合 眼をルーペから 8 . 7 20 ) 3 ( 20 15 . 0 1 ) 3 . 0 ( Re ) 1 ( 15 q d D D cm (ロービジョンケアマニュアルより）ルーペの倍率(13) -算定方法、正視眼の場合
新聞記事の文字の2倍の文字を20cmで読めた場合に、新聞記事を読むために必要なルー ペの倍率。 2X 20cm 1X 10cm 2Xの文字を20cmで読める(5D;1/0.2の 調節力を使用）ので、10cm (20cm/2X) に1Xの文字を持ってくれば網膜上には 同じ大きさで結像し、見える。しかし調 節力がないのでルーペで10D(1/0.1)だ け補完する必要がある（眼が無調節で 眼とレンズの距離が０と仮定する）。 10D 10Dのルーペは10cmにある1Xの文字 の虚像を無限遠上に結像し、眼は 20cmにあった2Xの文字と同じ大きさの 像を無調節の状態で見ることができる。ルーペの倍率(14) -算定方法、近視眼の場合
-3Dの近視眼の人が裸眼で新聞記事の文字の2倍の文字を20cmで読めた場合に、新聞記 事を読むために必要なルーペの倍率。 2X 20cm 1X 10cm -3Dの近視眼は眼の中に+3Dのレンズ が組み込まれていると仮定する。2Xの 文字を読むときの調節力は5-3=2Dだ けでよい。 7D 組み込まれた+3Dと合わせて+10Dとな るようなルーペを考えればよいので、 必要なルーペは10-3=7Dとなる。 +3 +3 33cmルーペの倍率(15) -算定方法、遠視眼の場合
-3Dの近視眼の人が裸眼で新聞記事の文字の2倍の文字を20cmで読めた場合に、新聞記 事を読むために必要なルーペの倍率。 2X 20cm 1X 10cm +3Dの遠視眼は眼の中に-3Dのレンズ が組み込まれていると仮定する。2Xの 文字を読むときの調節力は5-(-3)=8D 必要になる。 13D 組み込まれた-3Dと合わせて+10Dとな るようなルーペを考えればよいので、 必要なルーペは10-(-3)=13Dとなる。 -3 -3 33cmルーペの倍率(16) -算定方法、頂間距離を考慮した公式
眼の屈折異常値をRe、頂間距離をdとし、近見視力チャートのMサイズがM、視距離がa であるときのルーペの屈折力Dを求める。 2 ' ) ' ( ' ' ) 1 ( ) ( 1 2 1 2 1 2 1 C C S S R R C S C S dR a a R M D a M R dD R D R D D D a M D dD D D X e e e e e e e してやると、 に等価球面度数を代入 として、 、円柱度数を を 、常用眼鏡の球面度数 、円柱度数を 度数を 目の屈折異常値の球面 更に、乱視を考慮し、 を代入し、 、 に、 。 な屈折力となればよい 要 の文字を見るために必 成屈折力が、正視眼で のレンズとルーペの合 眼に組み込まれた仮想 d a M M a D Reルーペの倍率(17) –倍率の算定例題
眼の屈折異常値がsph-4.75 cyl-2.5 Ax180、常用眼鏡の度数がsph-3 cyl-1.0 Ax180で、 頂間距離を5cmとし、近見視力チャートのMサイズが2倍、視距離が20cmであるときの ルーペの屈折力Dを求める。
