Tokyo University of Science
NII-Electronic Library Service Tokyo Unlverslty of Solenoe
2
次 関数
の
グ
ラ
フ
の
構
造
The
Structure
ofgrafh
onquadratic
functions
目次
1
．研 究 発 表の動機2
．従来 の、2
次 関数 ・3
次関 数の グラ フの指導法3
．研 究 し た新 しい 指導 法 グラ フの構 造1
グラ フ の構 造2
グラフ の構 造3
グ ラ フ の構 造4
グラ フ の構造5
グ ラ フの構 造6
グ ラ フ の構 造7
グ ラフ の構造8
｛
グラ フ の 構 造9
グ ラフ の構造10
筑 波 大学 附属 駒 場 高 等学校 駒 野 誠2
次関数の グラ フ の概 形、 本 研 究の中心概 念 合同 自己点 対称 相似 相 似の 中心、 拡 大 倍率 グ ラフ の 分類 頂 点、 解 と係 数の関係の 図示 対称 な グラ フ の式 a，b
，cの 一っ を動か し た グ ラ フ3
次関 数の グラ フ の概形 自己点 対 称 （3
重 解） 極大 ・極小 （2
重 解 ）［
塞轟 疆醗］
本稿の 目的 は，2
次 関 数のグ ラフの構 造 を 明 らかにす る もの である．2
次 関 数の 自分自身が内包する事柄 を用 いて2
次 関数の概 形 を 描 く 方 法である． 『コ ロ ンブス の卵』 と同様言わ れて見 ればな る ほ ど と 思 え るが 明 治以来気がつ かなかっ たこと で ある．こ の稿の本 質 的 な ね らいは，数 学 教 育 は 論 理 性 や精緻 な解析の みが 重 要 であ るか の ように誤 解 さ れてき らいが あ る．物 事 を 大 局 的にと らえること，そこ に美しさ を 見い 出 すことなど の 指導がおざな りになって き た といえるので はないか．この稿に関して書えば，例えばy
＝−o
．123x2
＋1
．32x
＋3
．21
．＿．＊のグラ フが 大雑把にどう なるか は，平 方完成し頂 点 を求 め ることな く 描 け る とい うこと で あ る． どこで最 大にな る か 必 要 が 生 じた ら，じゃ計 算して み よ う か，と い う2
段階が大切 では ないのか と考 え る，実 際，＊がx軸 と交 わる か，また交わり は 正負どうなる かなどを 調べ るのに 判 別 式 など 必 要は ない の であ る．こ の よ うに論 理 性，精 緻の みでは現 在の カ リキュ ラムは行き詰まる し，科学技術が急速 の 進 歩 をし て いる状 況下 で は，個々 の知 識を多少増 や した ところ で 対応し きれ ない．もっ と，概 念 を 強 調し た カ リキュ ラ ム が望 ま れ る．こ の こと は 『数 学 を 通 じて 』生 徒 を育て るという本 来の数 学教育の 目的 を再 確認 す ること だ と信 じて いる． 一92
一 N工 工一Eleotronlo Llbrary1
．研究発表の動機y
＝ ax2 ＋bx
＋ c の 係数 a ，b
， c の役 割 を、高 校 一年 生 に対して 、 微分を用いずに明確に 教えるこ と が で き た ら と長い間思っ て きたが、1994
年10
月 頃 はっ と気が付 い たこ と が あっ た，こ れ によ り、2
次 関 数の 指 導 法 が変り、 また3
次関数の指導にも厚みが でて き た．新 しい 数学教 育の き っ か け に なれば とこ こ に発 表 する．2
．従 来の 、2
次 関 数 ・3
次 関数のグラ フ の指導法 ★2
次 関 数y
； ax2 ＋bx
＋ c の グ ラフを描か せ る とき 、 学 校 教 育が始 まっ て 以来、 次のよ うな指 導が 一 般的で あっ た． （1
）軸が y 軸で ある場合中 学で学習 した
y
＝ ax2 を平行移動さ せ たy
＝ axa ＋q
を指導（
2
）軸がy
軸で ない 場合はy
＝ ax2 との関係 （平行移 動）平方完成
y
＝ a （x −p
）2＋q
頂 点（p
，q
）を プロ ッ ト2
次の 係数a の正負に よっ て上向き ・ 下向 きを決 定定 数 c に よ り
y
切 片 （0
，c ）を通過 する よ うに描く．、 ★3
次 関 数y
＝ axs ＋bx2
＋ cx ＋d
の グラ フ を2
次微分を指導せ ず高校二 年 生に描かせ る と き、 学校 教育が始ま っ て以 来、 次の ような指導が 一般 的 であっ た ． 微 分 増 減 表 を書 くy
切片 ・極 大 極小 な と を とる グラ フ を描 く 凹 凸につ い て は不 問で あっ た．つ まり、 従来の形式的な指導 法では 凹凸は困 難で あっ た．変数x を
1
ヵ所に閉 じ込 める とい う 『平 方完成』 の考え方 は大変重要であるこ とは 言 う までも ない ．し か し、頂 点の座 標が分か ら な くて も式か ら分か る こと はない のかを探 っ た り、 必要に応 じ て詳 しく計 算し求 めてい くとい う姿勢も大切 であ る． こ の ような考え に立 っ て、2
次 関数の新た な指導法を試み た。 これに よっ て、 「数 学1
」 ， 「数 学A
」 の 恒 等 式， 「数 学B
」 の解 と係 数の 関係 な ど3
つ の教 科 書の2
次関数に関する部分が ド ヅ キン グして指導で きる こ と に な る． 現 地 調達の好 例であると考 える． （た だし、 虚数解につ い て は別で あ る が ．）「
ど
あ
羸
あ
墓禾蔽
ヲヲ薙
マ
’騨 蘓 薦蘚 募摂騨 凋 膩欝 そ
「
璽 轡
鴨
蠶 誘
黌
1
、，疑問 、 予想が 出。 ，る．1
で は それを探求 し て み よう・L
葱
．三五
迭慝必堊塗蟹鋲
∴聾塑≧墾窶
」』盛」
▲ 一．＿＿．＿．＿．＿．＿．＿＿．＿．−e．＿．」 一93
一Tokyo University of Science
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3
．研究し た新 しい指 導 法《
グ
ラ
フの
構造
1
》
中学校で学習し た内容との 関連か ら出発1
既習事項1
次 関数y
＝bx
十 c 中2
〔
2
次関数y
＝ ax2 （2
乗 に 比例）中3
これ らの 合成関数の グラ フの 定義をし、その グラ フ を描く ． 合成 関 数
y
＝h
（x ）の グ ラフ と は 、y
＝9
（X ）：＝bx
十 C〔
y
＝f
（x ）＝ ax2に対 して 、
h
（x ）ニf
（x ）＋g
（x ）とお く．任意の x に対 し て、 点（x ，
h
（x ））の集合の こ と． これに より、2
つ の グラ フ ；y
＝h
（x ）とy
＝g
（x ）の 位 置関 係が見 えて くる． 【作業 プ リン ト1
】 一 一 の 予心 ：conJec ure て い ．』2
つ の 関 数の グ ラ フ が接する こ との定 式化 （定 義 ） y ＝F
（x ）（
y ＝G
（x ） 一般に 、 上の2
つ の関 数が、 x ＝ α で接 するとは、F
（x ）−G
（x ）≡0
（皿od （x 一α ）2 ）を満たす実 数α が存 在す ることである． 特に、 次の場 合に2
つ が接 するとは、y
＝h
（x ）＝ ax2 ＋bx
＋ c … …⊂
y
＝9
（x ）＝bx
十 c ・・一 ・・・・・…一
h
（x ）− g （x ）≡0
（mod （x −
O
）2）． 言い換え れ ば、h
（x ）＝ ax2 十g
（x ）に おい て、 は のx ＝0
（y
切 片 ）で の接線であ る．［
1
三
1
三
三壷ヨ玉
1
亜蔓亜
三
麺豆≦
］
y
C0
x ＊接線につ い て ： 中学3
年で円 と直線の位 置 関係で学 習 し てい る が 、 一般的 な接 線の定 義に つ い て は、 数II
の 微分 法で行 うことになる ．微 分 を学 習する一つ の 目的である． 一94
一 N工 工一Eleotronlo Llbrary【作 業プ リン ト
1
】 課 題1
．すぺ て の x に対する、
y
＝ − x2 ・・ と y ＝2x
＋4
・・ の関数値を加え た グラ フを描け． X圏
鞭 耀 多
ヒ
窃 御
てみて どん なこ と1
こ 予1
騰
鍍
〕
作業プ リ ン ト1
か ら、 予想された こ と を調べ て み る． 予想 『y
・一 x2 ＋2x
＋4
の グラフ は、y
＝ − x2 をず ら し た よ う だ ．』 予想を確か めるた め 頂点 （1
，5
），対 称 軸 x ＝1
であるy
＝ − x2 の グラ フ と合同 で あ る グ ラ フ を考える．頂点を新た な 基準 と考え、そ の グラ フ上の 任意の点
P
（x ， y ）まで の x 方 向の変化をX
，y
方 向の 変化をY
とすると、Y
＝ −X2
X
＝ x −1
（
Y
＝y
−5
y −
5
＝ 一（x −1
）2y ＝ 一（x −
1
）2十5
y
＝ − x2 十2x
十4
y
＝ − x2 ＋2x
＋4
とy
＝ − x2 の グラフ は合 同で あ る． 作 業プ リン ト1
の ま とめ ：y
ニ ーx2 ＋2x
＋4
の特徴 ・y ； − x2 と合 同である． ・y
＝ 一（x −1
）2＋5
と変形 で きる． ・頂点（1
，5
）， 線対称で その軸の方程 式は x ＝1
・直線y
＝2x
＋4
が y 切片 での接 線 一95
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《
グ
ラ
フ
の
構造
2
》
y
＝ axy
＝ ax 十 X 十 C ラフ 、 口 tiで る． 作 業プ リン ト1
こと が、 一 般 的にい える の だ ろ う か ？ 疑 問が で るか or 問 題を投げ か け る か．そ の場 合 こ の 段 階で一般 的 な平 方完 成 を考えさせ る or 指導 する。 、 ） ず ∵ ま y ＝ ax 十 X 十 C … 、 ve x ＝ − a こ して ・ 1で あ ．上の 任 意の 点
P
（x ，y
）と直線x ＝ −b
／2a
に関し て線 対称 な 点 をQ
（X
，y
＞とする と、 x ＝ −b
／a−X
で あるか ら 、 に代入 して、 y ＝ a （−b
／a−X
）2十b
（−b
／a−X
）＋ cy
＝ a （−b
／a −X
＞2十b
（−b
／a −X
）十 c ＝b
’／a＋2bX
十 aX2 −b2
／a−bX
十 c ＝ aX2 十bX
十 c よっ て、Q
（X
，y
）は、 上の点で あ る，ゆえに、 は線 対称で あ る ． 以上から、 次の変形が考 え られて く る． は、 （） 1 の展開 公式の応 用
b
y
＝ ax2 ＋bx
＋ C ＝ ax （X ＋ 一）＋ e ab
b2
＝ a （x ＋ 一 ）2 ＋ c − 一 一2a
4a
b
b2
b2
y ＝ ax2 十bx
十 c ＝ a （x2 十一x 十 一 一 一 ）十 c a4a2
4a2
b
b2
＝ a （X 十 一 ）2 十 C − −2a
4a
y
C 鹽一9曹凾一幽■一一．曹一 ノ ー 曹 ・ ・尸 F 冒 ． 璽r 卩 一 卩 ．9− … ： ： ； ：0
＿ 堂2帆 か 一一 鼠 X 一96
一 N工 工一Eleotronio Library《
グ
ラ
フ
の
構
造
3
》
すべ て の2
次 関数の グラフは相似 ・y
＝ ax2 ・・ のグラフ はy
＝ x2 ・・ の グ ラフ と相 似で あ り 、 相 似の 中心 は原点で あ り、 拡大倍率は、11
／
al で ある ． 一般に 、2
っ の2
次 関 数が、y
＝ ax2 ＋bx
＋ c ・・ ，y
＝kx2
＋ rx ＋ s ・・k
≠ a の場 合につ い て 、 相似な関係がある ．k
＝ a の場 合は合同 で あ る ． 相似の中心 と拡大倍率につ い て2
つ の2
次関数が、y
＝ ax2 ＋bx
＋ c ・・ ，y
＝kxz
＋ rx ＋ s ・・ の と き、≡ ， CO で あ る か ら、 co
の頂点 を
T
、 ， の頂 点をT
，と す る と、・
脳 恥こつ い て
＝ ×
Ia1
、 ＝ x11／
k1
で あ るか ら、＝ ×
【
a／
kl
よっ て、 y ＝
kx2
＋ rx 十 s はY
＝ ax2 ＋bx
＋ c のia
／kl
倍である ．・
翻
a ，
k
が 同符 号の場 合 ：線分T
，T
，をk
： a に外 分し た点K
〔
a ，
k
が異 符号の場 合 ：線 分T
、T
，をk
： −a に内 分 した 点S
2
次の係数が 同符 号2
次の係数が異 符 号 （倒 ）＼
y
・’「 丶、 丶、 るド… 帽 丶 豊 ＠ 丶、■遇
盟£
一・ 下 ’ ／0
、嘱
癖
・玉
Xy
r
、 ◎τ
を
〜 ’ ．・ 恥丶、 x ◎ 、玉
9
ノ 陶． 丶 亀 ！ i、
・ 一を
癬
・ 十 2LZ ［3
齒 ＝、
一97
一Tokyo University of Science
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【作 業プ リン ト
2
】 課 題2
−1
．y
＝ （x −3
）2＋4
上の 任 意の点P
と ある点K
（2
，4
）に対し て、PK
：KQ
＝1
：4
を満 た す点Q
の集 合 をグラ フに表せ ． X匯到
点Q
の満た す グラ フ の式 を求め て み よ う． 頂点 （−2
，4
）であるか ら、y
＝ a （x ＋2
） s ＋4
の形 点 （2
，0
）を通 過 する か ら、0
＝ a （2
＋2
） 2 ＋4
これ よ り、 a ＝ −1
／4
よっ て求 める式 は、1
y
＝ 一 一（x 十2
）2十4
4
一98
一 N工 工一Eleotronlo Llbrary課 題
2
−2
．y
＝ （x −5
）2＋2
上の任意の点P
と あ る点K
（7
，5
＞に対 して 、PK
：QK
＝1
：5
を 満たす点Q
の集合を グ ラフに表せ．y
X圃
点Q
を満た すグラフの式を求めて み よ う． 頂点（−3
， −10
）で あ る か ら 、y
＝ a （x ＋3
） 2 −10
の形 点 （2
， −5
》を通過 する か ら 、 −5
＝ a （2
＋3
） 2−10
よっ て 、 a ＝1
／5
ゆ えに 、 求める式は、1
y
＝ 一（x 十3
）a −10
5
一99
一Tokyo University of Science
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《
グ
ラ
フ
の
構造
4
》
IJmalli
y
＝ ax2 ＋bx
＋ c の グラフは26
通 りに分 類さ れ る． ［従 来 は 判別 式に よ る3
×2
ニ6
分類］ y ＝bx
＋ c のグラフ を利 用 し て 、 y ＝ ax2 ＋bx
十 c の グラ フ の概 形を調べ る．26
通 りの完全 分 類 ： （○の 中の数は、 x 軸と の位 置 関係に よる グ ラ フ の種 類の数 ） （b
，c，D
）は、b
，cの 正 ，負orO 、D
の 正，負，O
or 場 合の数 a＞0
の とき、鞘
讐螺鞴 螺
脂熟
（＋，O
，＋） a〈0
の と き は、 （＋，＋，＋） （一，＋，＋）爺
1
撫
（一，0
，＋〉 y （0
，0
，0
） x （＋ ，一， 〉（ 一 厂 ， ）（0
，＋，＋〉 （0
， − s→叢
X⊥
備
湘
ゐ
寄
（＋ ，0
，＋） ←，O
，＋）庵詣
焉
（0
，0
，0
） 以 上合 計26
通 り場 合分 けが容 易に で き る． 式か らグラフ とx 軸との位置関係が確 定 され る の は、上 記
の場合の
14
通 りである． （判別 式 不要 ） 残 る 上 記 の 場合の12
通 りは判別式必要で あ る． 一100
一 N工 工一Eleotronlo Llbrary《
グ
ラ
フの
構造
5
）
）
，、 の ，、の ’ 那 y ＝ ax2 十bx
＋ c ＝0
の解の和 と積をグラフ上に表 示 する こ とが で き る． 解 と係数の関係を 「数学1
」 で指導 するこ とが 可能 ，y
＝ ax2 ＋bx
＋ c …｛
y
＝bx
＋ c … … … y ＝ o … … … この3
つ を用いて 、 の グ ラフ を か く方法 ： ※ 頂点につ い て ：頂点の座標は
と
の連立方程 式の解 x 座標 ax2 ＋
bx
＝ x （ax ＋b
）＝O
x ＝
Oorx
＝ −b
／
a これ らが とx 軸 と 平行な直線 との2
つ の 交 点で，それ らの中 点 一b
／2a
が 頂点の x 座標で あ り、 y 座標は、 に 一b
／2a
を代 入 し、 cとの平均がy
座 標 c−b
’ ／4a
＝ 一（b
’一一4ac
）／4a
※ 解 と係 数の図示 ＝0
の解 をα ，β
（α ＜ β） とする と（
1
）α ＋ βの値が図 示できる． （2
）α βの値が図 示で き る． が 可能 ，y
＝−bx
＋c−b2
／ayy
；bx
＋c c−b2
／2a
P ・ ■ 曽 ， ・ 一 ． 冒1
■ ：8
●1
● c−b2
／4a
1
● 一一；
…恥
渤
駕 ，［
， C「
●1
‘ 二 ：』
， 一 一 ノ 一 一 一 儒 一 ， 、 ノ ！1
’＼
1 、1 ！ ’ 「 1 亀 一c／b
1
、 ． 卩
l
l、i
il
●1
一去
1
…
ヴ ・ x ！ α ：丶 、i
、 ・π…
…搾
鷲
1
−c ‘’l
I
l
‘ 、鹽l
l
l
〜
l
i
l
t
馳l
l
1
’l
l
掏 8 ・ ’ 亀 3 1 1 覧 ■ 鹽 ・ 、 幽l
l
l
” ∫ 亀 1．1
π、
旦 αβ→ c／a 1 ． 81
／
i
ノ
， 覧 、 、1
1
・1
ノ 、i
！
一101
一ル
隔
岬
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《
グラ
フ
の
構造
6
》
m
a
・
2
次関数の グラ フ をx 軸対 称，y
軸対 称， 原 点 対 称，y
切 片 点 対 称移 動 をしたグ ラ フ の式 を 求 める．元のグラフ をy
＝ ax2 ＋bx
＋ c とする， x 軸 対称移動y
軸対称 移 動 原 点 対称移動y
y
‘y ＝ − ax2 −
bx
− cy
＝ ax2 −bx
十 cy
＝ − aX2 十bx
− Cy
切片 点 対称 移動y
‘
畑
y
ニ ー ax2 十bx
十 C 一102
一 N工 工一Eleotronlo Llbrary《
グ
ラ
フ
の
構造
7
》
y
＝ ax2 ＋bx
＋ c の係 数 a ，b
， c の 一つ だ けを 動か し て み ると どん な様子が わ かる か。 【作業プ リン ト3
】 次の シュ ミレイ シ ョ ン の イ メー ジ図 をか け。 （各文字
の値を正負 零を混ぜ て8
つ 変化 させ た図） Y ＝ ax2 ＋2x
＋3
y
＝ x2 ＋bx
＋3
Y
＝ x2 ＋2x
＋ c 一103
一Tokyo University of Science
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《
グ
ラ
フ
の
構造
8
》
一
1
2
次 関数の グラ フ の発展として 、 一次の項、2
次の項を含む3
次 関数 の グラフ の概形 を描 く． 微分に よ り増 加 ・減 少を調べ 、 増 減表を書 き、 それに よっ て グラ フ を描 くの であるが 、2
次微 分 を使わずに 凹凸を考え さ せるよ うな授業が ほ と んど行われてい なかっ た よ うに感 じる ． は じめ に、y
＝ xs の グ ラフ を描 く． 作業プ リン ト4
次に、 一般の3
次 関 数につ い て3
〜欠関数 y ＝ ax3 ＋bx2
＋ cx ＋d
…
（a≠
0
，b
≠0
，c≠0
）2
次 関数y
＝bx2
＋ ex ＋d
…1
次 関数y
＝cx ＋
d
… と の位置 関係は、 axs ＋
bx2
＋ cx ＋d
＝ cx ＋d
（a≠0
） axa ＋bx2
＝0
（a≠0
） x2 （ax ＋b
）＝0
（a≠0
） x ＝0
（重解）orx ； −b
／a と の位置 関係は、 axs 十bx2
十 ex 十d
＝bx2
十 cx 十d
（a ≠0
） axn ＝0
（a≠0
） x ＝G
（3
重解 ） y鯵
髦・ 一b
／a0
三 … ，x 一
104
一 N工 工一Eleotronlo Llbrary【作 業プ ワ ン ト
4
】 課 題 y ニ xs の グラ フを描い て み よう ． Xy
＝ xs の グ ラフ とy
＝0
との 交点は、 xs ＝O
よ り x ＝0
（3
重解）3
重解の ときは、 直線が曲線 を横 切るよ うに接 する． 一105
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《
グ
ラ
フ
の
構
造
9
》
鬮
課題 ：匿瑟囓
匱
軈：：
茎藝三
彊報頸
［
〕
匸
三
ζ
簸
莖
i
蘯：
蓋：き
≡
亟
｝
編
『隶
’iO
一ぞみ『写
ニーi
3
次関数y
＝ ax3 ＋bx2
＋ cx ＋d
の グ ラ フがある直 線y
＝ ＝ px ＋q
と3
重解を もつaxs ＋
bx2
＋ cx ＋d
＝px
＋q
がx ＝ γ を3
重 解に もつaxs ＋
bx2
＋ （c − p ）x ＋d
−q
＝0
がx ＝ γ を3
重 解に もつa （x 一γ）3 ＝
O
a （x3 −
3x2
γ＋3x
γ 2一γ3）ニO
で あるか ら 、 係 数比較して
b
＝ −3a
γ， c −p
＝3a
γ 2 ，d
−q
＝ ＝ a γ 3γ＝ −
b
／3a
，
p
＝ c −3a
α 1 ，q ＝ ＝d
＋a γ 3p
＝ c −b2
／3a
， q ＝d
−bS
／27a2
x 座標が、 −b
／3a
で あ る点H
にお ける接線の方 程式 は、y
＝ （c −b2
／3a
）x 十（d
−bs
／27a2
） 点H
のy
座標は、y
＝ ：（c −b2
／3a
）・（−b
／3a
）十 （d
−b3
／27a2
） ＝d
−bc
／3a
＋2bS
／27aa
∴
H
（−b
／3a
，d
−bc
／3a
＋2bS
／27a2
＞ に て、y
＝ ax X 十 CX の フ フ “ ・ 1 ・ ∵ ＞H
に関し て対称 なグ ラフ上の点 を （X
，Y
）と す ると、X
，Y
は 次 の関 係 式 を満た す ．2
（d
−bc
／3a
＋2bs
／27a2
）−Y
＝a（−2b
／3a
−X
）s＋b
（−2b
／3a
−X
）2＋c （−2b
／3a
−X
）＋d
こ れを展開して、 整理 す る． −Y
＝a（−2b
／3a
−X
）s＋b
（−2b
／3a
−X
＞2＋c（−2b
／3a
−X
）＋d
−2
（d
−bc
／3a
＋2bs
／27a2
）＝−a （
X3
＋2bX2
／a＋4b2x
／3a2
＋8bs
／9as
）＋b
（x2
＋4bX
／3a
＋4b2
／9a2
＞＋c（−
2b
／3a
−X
）＋d
＋2
（d
−bc
／3a
＋2bs
／27a2
）＝ −aXs −
2bX2
二
4
⇔⊃
2
〜
∠
爭
旦一8b3
27a2
＋壁
t
タh
芝
〜F
∠
3a
＋4bs
ga2
−2bc
3a
−cX＋d
−2d
＋2bc
3a
−4b3
27a2
＝−axs −bX2
−cX−d
よっ て 、
Y
＝axs ＋bX2
＋cX＋d
こ の点対 称の中心
H
を変 曲 点 とい うこ と に す る．一
