数学問題集

1

世界一わかりやすい

数学問題集

4 章 二次関数 k

中  ３

と思ってつくった

氏名（      ）

の

比例定数 （      ） 比例定数 （      ）

比例定数 （      ） 比例定数 （      ）

比例定数 （      ）

Step１説明

1 関数 （ y = ax ² ）

^日付( )

名前 ( ）

Point ！

(1) 1辺がxcmの正方形の面積をy㎠

(2) 縦がxcmで, 横が縦の2倍の長方形の面積をy㎠

(3) 底面の半径が xcm, 高さが12cmの円すいの体積y㎤

(4) 半径xcmの球の表面積y㎠

2

〇次の問いについて, yをxの式で表し, 比例定数をいいなさい。

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

・ x と y の関係が , （        ）で表されるとき ,

「 y は x の 2 乗に比例する」という。

y = ax

²

〇次の問いについて

, y

を

x

の式で表し

,

比例定数をいいなさい。

(2) 1 辺の長さが xcm の立方体の表面積 y ㎠ (1) 半径 xcm の円の面積を y ㎠

y = π x

²

比例定数 （      ）  π

y = x

²

× 6 = 6x

²

^６

ヒント!円錐の体積の公式y = 13Sh

ヒント!球の表面積の公式S = 4πr²

y = x²  

1

y = x ×2x = 2x²  

2

y = 1

3 ∙x ∙x ∙π ∙12 = 4πx²  

4π

y = 4πx²  

4π

例題

Step１基本問題

比例定数 （      ）

比例定数 （      ）

比例定数 （      ） Step１説明

1

^日付( )

名前 ( ）

3

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

(1) 1辺が2xcmの正方形の面積をy㎠

(2) 底辺がxcm, 高さが2xcmの三角形の面積y㎠

(3) 半径xcmの球の表面積y ㎠

〇次の問いについて

, y

を

x

の式で表し

,

比例定数をいいなさい。

ヒント!球の表面積の公式S = 4πr² y = 2x ×2x = 4x²

y = x ×2x ÷ 2 =x²  

1

 

4π

(1) 半径xcmの円の周の長さycm

(2) 底面の半径が xcm, 高さが6cmの円すいの体積をy㎤

(3) 半径xcmの球の体積y ㎤

(4) 1辺の長さがxcmの立方体の表面積y㎠

〇次の問いについて

, y

を

x

の式で表し

, y

が

x

の

2

乗に比例するも のには〇

,

そうでないものには

×

印を書きなさい。

ヒント!円錐の体積の公式y = 1 3Sh y = 2πx

◯

y = 43π ∙x ∙x ∙x

y = x ×x ×6 y = 13 ∙x ∙x∙π ∙6 = 2πx²

ヒント!球の体積の公式 V = 43πr³

= 43πx³

×

×

= 6x² ◯

4

S = 4πx²

関数 （ y = ax ² ）

Step１説明

2 関数 y = ax ² の式を求めること

^日付( )

名前 ( ）

4

〇

y

は

x

の

2

乗に比例し

, x=4

のとき

, y=48

である。次の問いに 答えなさい。

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

〇

y

は

x

の

2

乗に比例し

, x=4

のとき

, y=64

である。次の問いに 答えなさい。

(1) y

を

x

の式で表しなさい。

y = 4x

²

y = ax

²

64 = a × 16

a = 4

(2) x=2

のとき

, y

の値を求めなさ い。

y = 4 × 2

²

= 16

(3) y=128

となる

x

の値を求めなさい。

128 = 4x

²

x

²

= 32

x = ± 32 x = ± 4 2

(1) yをxの式で表しなさい。

y = 3x² y =a x² 48 = a ×16

a = 3

(2) x=3のとき, yの値を求めなさい。

y = 3×3² = 27

(3) y=60となるxの値を求めなさい。

60 = 3x² x²= 20

x = ± 20 x = ± 2 5 例題

Step１基本問題

Step１説明

2

^日付( )

名前 ( ）

5

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

〇

y

は

x

の

2

乗に比例し

, x=-3

のとき

, y=72

である。

y

を

x

の式で 表しなさい。

(1)yをxの式で表しなさい。

y = −2x² y =a x²

−8 = 4a

a =−2

(2) x=5のとき, yの値を求めなさい。

y =−2×5²

=−50

(3) y=-16となるxの値を求めなさい。

x = ± 2 2

〇

y

は

x

の

2

乗に比例し

, x=2

のとき

, y=-8

である。次の問いに 答えなさい。

y = 8x² y = a x²

72 = 9a

a = 8

y =−2x²

−16 =−2x²

x² = 8

〇

y

は

x

の

2

乗に比例し

, x=6

のとき

, y=9

である。

x= -4

のとき

, y

の値を求めなさい。

(1)yをxの式で表しなさい。

y = 2x² y = a x²

18 = 9a

a = 2

(2) y=50のとき, xの値を求めなさい。

50 = 2x² x²= 25

(3) xの値が4倍になると, yの値は何倍になるか答えなさい。

〇

y

は

x

の

2

乗に比例し

, x=3

のとき

, y=18

である。次の問いに 答えなさい。

y = 1 4x² y =a x²

9 = 36a

a = 1 4

y = 2(4x)²

x = ± 5

xを4倍すると4xになる。これを代入すると,

y = 32x² y = 2x²

16倍

関数 y = ax ² の式を求めること

y = 14 ×(−4)²

= 4

32x²÷ 2x² = 16

Step１説明

3 関数 y = ax ² のグラフ

^日付( )

名前 ( ）

(1)下の表を完成させなさい。

6

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

①

a>0

のとき

x Point ！

・関数 のグラフは放物線で , その軸は y 軸 , 頂点 は原点である。

y = ax

²

②

a<0

のとき

y y

x

・

x

軸の上側にあり

,

（  ）に開いている。

・関数 のグラフは

,

比例定数

a

の絶対値が大きいほ ど

,

開き方が（    ）くなる。

y = ax

²

・

x

軸の下側にあり

,

（  ）に開いている。

上 下

小さ

〇

y = x

²のグラフについて

,

次の問いに答えなさい。

x …

・ -3 -2 -1 0 1 2 3 …

・

y …

・ …

9 4 1 0 1 4 9 ・

(2) 図にグラフを書きなさい。

例題

Step１説明

3 関数 y = ax ² のグラフ

^日付( )

名前 ( ）

7

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

(1)下の表を完成させなさい。

〇

y = − x

²のグラフについて

,

次の問いに答えなさい。

x …

・ -3 -2 -1 0 1 2 3 …

・

y …

・ …

-9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ・

(2)

図にグラフを書きなさい。

(1)下の表を完成させなさい。

〇

y = 2 x

²のグラフについて

,

次の問いに答えなさい。

x …

・ -3 -2 -1 0 1 2 3 …

・

y …

・ …

18 8 2 0 2 8 18 ・

(2)

図にグラフを書きなさい。

例題

Step１基本問題

Step１説明

3

^日付( )

名前 ( ）

8 Step２練習問題

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

関数 y = ax ² のグラフ

(1)下の表を完成させなさい。

〇

y = − 2x

²のグラフについて

,

次の問いに答えなさい。

x …

・ -3 -2 -1 0 1 2 3 …

・

y …

・ …

-18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ・

(2) 図にグラフを書きなさい。

〇下のア

~

オのグラフについて

,

次の問いに答えなさい。

ア  イ ウ

エ オ

y =−x² y =x² y = 12 x² y =−2x² y = 2x²

(1)上に開いているグラフはどれか。

(2) x軸の下側にあるグラフはどれか。

(3) イとオではどちらのグラフの開き方が大きいか。

(4) グラフがx軸についてたがいに対称になっているものは, どれと どれか。

(5) 点(2, 2)を通るグラフはどれか。

イ , ウ , オ

ア , エ

イ

アとイ , エとオ

ウ

Step１説明

3

^日付( )

名前 ( ）

9

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

関数 y = ax ² のグラフ

(1)下の表を完成させなさい。

〇

y = 1

のグラフについて

,

次の問いに答えなさい。

2 x

²

x …

・ -3 -2 -1 0 1 2 3 …

・

y …

・ …

0 ・

(2) 図にグラフを書きなさい。

〇下のア

~

オのグラフについて

,

次の問いに答えなさい。

ア  イ ウ

エ オ

y =−2x² y = x² y =− 1

4x² y = 2x² y =−x²

(1)上に開いているグラフはどれか。

(2) x軸の下側にあるグラフはどれか。

(3) アとウではどちらのグラフの開き方が大きいか。

(4) グラフがx軸についてたがいに対称になっているものは, どれと どれか。

(5) 点(4, -4) を通るグラフはどれか。

イ , エ

ア , ウ , オ

ウ

アとエ , イとオ

ウ

Step３ 確認テスト

1 2 1

2 2

2 9

2 9

2

Step１説明

4 グラフから式を求める

( )

名前 ( ）

10

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

〇次の問いに答えなさい。

(1)

のグラフが

(2, 8)

を通るとき

, y

を

x

の式で求めなさ い。

y = ax

²

y = 2x

²

8 = a2

²

8 = 4a a = 2

(2)

次の放物線の式を求めなさい。

x y

3

-3 O

y = − 1 3 x

²

a = − 1

3

− 3 = a 3

²

9a = − 3

(3)

次の放物線の式を求めなさい。

y = x

²

9 = a3

²

y = ax

²

9a = 9

a = 1

y

O

x y = 3x

A

3

9 (3, 9)

例題

y = 3 × 3 = 9

Step１説明

4 グラフから式を求める

( )

名前 ( ）

11

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

〇次の問いに答えなさい。

(1) のグラフが(4, 16)を通ると

き, yをxの式で求めなさい。

y = a x²

y = x² 16 = a4²

16 = 16a a = 1

(2) 次の放物線の式を求めなさい。

x y

4 -4

y =− 1 4x² a = − 1

−4 = a4² 4 16a =−4 (3) 次の放物線の式を求めなさい。

y = 12x² 2 =a2² y = a x²

4a = 2

y

x y = x + 4

A -2

2 (-2, 2) a = 12

Step２練習問題

(1) のグラフが(-3, 3) を通

るとき, yをxの式で求めなさい。

y = a x²

y = 1 3x² 3 = a(−3)² 9a = 3

a = 1 3

(2) 次の放物線の式を求めなさい。

x y

2 2

y = 1 2x² a = 12 2 =a2²

4a = 2

(3) 次の放物線の式を求めなさい。

y = − 2 9x²

−2 =a(−3)² y = a x²

9a =−2

y

x y = − x − 5

A -3

-2 (-3, -2)

a = − 2 9

O

O O

O Step１基本問題

y = (−2) + 4 = 2

y = −(−3)−5 =−2

Step１説明

4 グラフから式を求める

( )

名前 ( ）

12

4章 関数y =a x²１節 関数とグラフ

〇次の問いに答えなさい。

(1) のグラフが点(2, 4)を通る

とき, yをxの式で求めなさい。

y = a x²

y = x² 4 = a2² 4a = 4

a = 1

(2) 次の放物線の式を求めなさい。

x y

-6

y =− 2 3x² a = − 2

−6 =a(−3)² 3 9a = −6

(3) 次の放物線の式を求めなさい。

y = 316x² 3 =a4² y = a x²

16a = 3

y

x

y = 1

2 x + 1

a = 316

(1) のグラフが点(-3, 27) を

通るとき, yをxの式で求めなさい。

y =a x²

y = 3x² 27 =a(−3)² 9a = 27

a = 3

(2) 次の放物線の式を求めなさい。

x y

1 2

ya= 2x= 2 ² 2 =a1²

a = 2 (3) 次の放物線の式を求めなさい。

y =− 1 4x²

−4 =a4² y = a x²

16a =−4

y

x

a =− 1 4

Step３ 確認テスト1 Step３ 確認テスト2

−3 O

A

4

3 (4,3)

〇 次の問いに答えなさい。

A

y =− 1 4 2x−2

−4 (4,−4)

O

O

O

y = 1

2 ×4 + 1 = 3

y =− 1

2 ×4−2 =−4

Step１説明

1 変域とグラフ

( )

名前 ( ）

13

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

〇関数

y = x

²の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

(1) −2 ≦ x ≦ 1 (2) −3 ≦ x ≦ − 1

y

x

y = x

²

-2

4

1 1

y

x

y = x

²

-3

9

-1

1

x=−2 のとき , y=4 x=1 のとき , y=1 よって , 0≦y≦4

x=−3 のとき , y=9 x=−1 のとき , y=1 よって , 1≦y≦9

〇 関数

y = − x

²の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

(1) − 3 ≦ x ≦ 1 (2) − 3 ≦ x ≦ − 1

y

x

y = − x

²

-3

-1 1

-9

y

x

y = − x

²

-3

-1 -1

-9

x=−3 のとき , y=−9 x=1 のとき , y=−1 よって , −9≦y≦0

x=−3 のとき , y=−9 x=−1 のとき , y=−1 よって , −9≦y≦−1

例題1 例題2

Step１説明

1 変域とグラフ

( )

名前 ( ）

14

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

〇関数

y = 2x

²の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

(1) −1 ≦ x ≦ 2 (2) −3 ≦ x ≦ − 1

y

x

y = 2x

²

-1 8

2

2

y

x

y = 2x

²

-3

18

-1

2

x=−1 のとき , y=2 x=2 のとき , y=8 よって , 0≦y≦8

x=−3 のとき , y=18 x=−1 のとき , y=2 よって , 2≦y≦18

〇 関数

y = − 2x

²の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

(1) −3 ≦ x ≦ 2 (2) − 5 ≦ x ≦ − 1

y

x

y = − 2x

²

-3

-8

2

-18

y

x

y = − 2x

²

-5

-2 -1

-50

x=−3 のとき , y=−18 x=2 のとき , y=−8 よって , −18≦y≦0

x=−5 のとき , y=−50 x=−1 のとき , y=−2

よって , −50≦y≦−2

Step１基本問題

Step１説明

1 変域とグラフ

( )

名前 ( ）

15

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

〇関数

y = 1 2 x

²の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

(1) −4 ≦ x ≦ 2 (2) −3 ≦ x ≦ − 2

y

x

y

x

x=−4 のとき , y=8 x=2 のとき , y=2 よって , 0≦y≦8

x=−3 のとき , y= 9 2 x=−2 のとき , y=2 よって , 2≦y≦ 9

2

〇 関数

y = − 1

の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

4 x

²

(1) 2 ≦ x ≦ 4 (2) −4 ≦ x ≦ 2

y

x

y

x

x=4 のとき , y=−4 x=2 のとき , y=−1 よって , −4≦y≦−1

x=−4 のとき , y=−4 x=2 のとき , y=−1 よって , −4≦y≦0

Step２練習問題

y = 1

2x² y = 1

2x²

−4 2 −3 −2

8 2

9 2 2

2 4

− 1

− 4

2

−1

−4

−4 y = − 1

4 x

²

y = − 1

4 x

²

Step１説明

1 変域とグラフ

( )

名前 ( ）

16

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

〇関数

y = 3x

²の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

(1) −1 ≦ x ≦ 2 (2) −3 ≦ x ≦ − 2

y

x

y

x

x=−1 のとき , y=3 x=2 のとき , y=12 よって , 0≦y≦12

x=−3 のとき , y= 27 x=−2 のとき , y=12 よって , 12≦y≦ 27

〇 関数

y = − 1

の変域が次のとき

, y

の変域を求めなさい。

2 x

²

(1) 2 ≦ x ≦ 4 (2) − 4 ≦ x ≦ 2

y

x

y = − 2x

²

y

x

y = − 2x

²

x=2 のとき , y=−2 x=4 のとき , y=−8 よって , −8≦y≦−2

x=−4 のとき , y=−8 x=2 のとき , y=−2 よって , −8≦y≦0

y = 3x² y = 3x²

−1 2 −3 −2

12 3

27 12

2 4

− 2

− 8

2

−2

−4

−8

Step３ 確認テスト1 Step３ 確認テスト2

Step１説明

2 変化の割合（基本）

( )

名前 ( ）

17

Point ！

・変化の割合＝

（   ） 増加量

（   ） y 増加量 x

〇関数 について

, x

の値が次のように変化するときの変 化の割合を求めなさい。

y = x

²

(1) 1

から

3

x の増加量 3−1=2

y の増加量

= 9−1=8 3

²

− 1

²

変化の割合＝ 8 4 2 =

(2) −4

から

−1

x の増加量 −1−(−4)=3

y の増加量

= 1−16=−15 (−1)

²

− (−4)

²

変化の割合＝ − 15

3 = − 5

〇関数 について

, x

の値が次のように変化するときの変 化の割合を求めなさい。

y = − x

²

(1) 2

から

5 (2) −5

から

−1

変化の割合＝ − 21

3 = − 7 x

の増加量

5−2=3

y

の増加量

=−25+4=−21

−5

²

+ 2

²

変化の割合＝ 24 6 4 = x

の増加量

−1−(−5)=4

y

の増加量

= −1+25=24

−(−1)

²

+ 5

²

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

例題1

例題2

Step１説明

2 変化の割合（基本）

( )

名前 ( ）

18

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

〇関数 について, xの値が次のように変化するときの変化の割合を 求めなさい。

y = 2x²

(1) 1から3

xの増加量 3−1=2 yの増加量 18−2=16 変化の割合＝16 8

2 =

(2) −5から−2

xの増加量 −2−(−5)=3 yの増加量 8−50=−42 変化の割合＝−42 -14

3 =

〇関数 について, xの値が次のように変化するときの変化の割合 を求めなさい。

y =−2x²

(1) 1から3

xの増加量 3−1=2 yの増加量 -18-(−2)=-16 変化の割合＝−16 -8

2 =

(2) −3から−1

xの増加量 −1−(−3)=2 yの増加量 (−2)−(−18)=16 変化の割合＝ 16 8

2 =

Step２練習問題

〇関数 について, xの値が次のように変化するときの変化の割合を 求めなさい。

y = 3x²

(1) 1から4

xの増加量 4−1=3 yの増加量 48−3=45 変化の割合＝45 15

3 =

(2) −5から−3

xの増加量 −3−(−5)=2 yの増加量 27−75=−48 変化の割合＝−48 −24

2 =

〇関数 について, xの値が次のように変化するときの変化の割合 を求めなさい。

y =− 1 4x²

(1) 1から4

xの増加量 4-1=3 yの増加量−4−(−1

4) =− 15 4 変化の割合＝

−154

3 =− 15 12

(2) 0から4

xの増加量 4−0=4 yの増加量 -4−0=−4 変化の割合＝ −4

4 =−1

= − 5 4 Step１基本問題

Step１説明

2 変化の割合（基本）

( )

名前 ( ）

19

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

〇関数 について, xの値が次のように変化するときの変化の割合を 求めなさい。

y = 4x²

(1) 3から5

xの増加量 5-3=2 yの増加量 100-36=64 変化の割合＝64

2 = 32

(2) −4から−2

xの増加量 −2−(−4)=2 yの増加量 16−64=-48 変化の割合＝ −48

2 =−24

〇関数 について, xの値が次のように変化するときの変化の割 合を求めなさい。

y =− 1 2x²

(1) 1から3

xの増加量 3−1=2 yの増加量−9

2 −(−1

2) =−4 変化の割合＝−4

2 =−2

(2) −4から−2

xの増加量 (−2)−(−4)=2 yの増加量−2−(−8) = 6 変化の割合＝ 6

2 = 3 Step３ 確認テスト

Step１説明

3 変化の割合（応用）

( )

名前 ( ）

20

Point ！

・変化の割合＝

（   ） 増加量

（   ） y 増加量 x

〇

y

が

x

の

2

乗に比例し

, x

の値が

2

から

4

まで増加するとき

,

変化の 割合が

3

となる関数の式を求めなさい。

x=2 のとき y=4a x=4 のとき y=16a

3 = 16 a − 4a 4 − 2 y = ax

²

3 = 12 a 2 6a = 3

a = 1 2 y = 1 2 x

²

〇

y

が

x

の

2

乗に比例し

, x

の値が

1

から

3

まで増加するとき

,

変化の 割合が

8

となる関数の式を求めなさい。

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

x=1のときy=a x=3のときy=9a

8 = 9a−a 3−1 y =a x²

8 = 8a 2 4a = 8

a = 2 y = 2x²

〇 関数 で

, x

の値が

a

から

a+2

まで増加するとき

,

変化の割 合が

8

である。このとき

a

の値を求めなさい。

y = x

²

x=aのときy = a²

x=a+2のときy = (a + 2)²

8 = a²+ 4a+ 4−a² a+ 2−a 8 = 4a+ 4

2 2a = 6

a = 3 y = 3x²

= a²+ 4a+ 4

8 = 2a+ 2 例題

Step１基本問題

Step１説明

3 変化の割合（応用）

( )

名前 ( ）

21

〇

y

が

x

の

2

乗に比例し

, x

の値が

−1

から

5

まで増加するとき

,

変化 の割合が

6

となる関数の式を求めなさい。

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

x=−1のときy=a x=5のときy=25a

6 = 25a−a 5−(−1) y =a x²

6 = 24a 6 4a = 6

y = 3 2x²

〇 関数 で

, x

の値が

a

から

a+2

まで増加するとき

,

変化の割 合が

8

である。このとき

a

の値を求めなさい。

y = x

²

x=aのときy = a²

x=a+2のときy = (a + 2)²

8 = a²+ 4a+ 4−a² a+ 2−a 8 = 4a+ 4

2 2a = 6

a = 3 y = 3x²

= a²+ 4a+ 4

8 = 2a+ 2

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

〇

y

が

x

の

2

乗に比例し

, x

の値が

2

から

4

まで増加するとき

,

変化の 割合が

−12

となる関数の式を求めなさい。

x=2のときy=4a x=4のときy=16a

−12 = 16a−4a 4−2 y = a x²

−12 = 12a 2 6a = −12

a =−2 y =−2x²

〇関数 で

, x

の値が

a

から

a+3

まで増加するとき

,

変化の割 合が

39

である。このとき

a

の値を求めなさい。

y = 3x

²

x=aのときy = 3a²

x=a+3のときy = 3(a+ 3)²

39 = 3a²+ 18a+ 27−3a² a+ 3−a 39 = 18a+ 27

3 6a = 30

a = 5 y = 5x²

= 3a²+ 18a+ 27

39 = 6a+ 9

a = 32

Step１説明

4 変化の割合（応用）

( )

名前 ( ）

22

〇関数 で

, x

の変域が

-2≦x≦1

のとき

, y

の変域が

0≦y≦12

となった。このとき

a

の値を求めなさい。

y = ax

²

y の変域をみると , 最小値が 0 より , グラフは上に開いている（① である）ことがわかる。

また , x=−2 のとき , y=12 とわかるので ,

y = ax

²

① a>0 のとき

x

② a<0 のとき

y y

x

4a = 12 a = 3

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

〇関数 で

, x

の変域が

-3≦x≦4

のとき

, y

の変域が

-4≦y≦0

となった。このとき

a

の値を求めなさい。

y = ax

²

yの変域をみると, 最大値が0より, グラフは下に開いていることがわかる (a<0)。

また, x=4のとき, y=-4とわかるので,

y = a x² 16a =−4 a = − 1 4

〇 関数 で

, x

の変域が

-1≦x≦2

のとき

, y

の変域が

0≦y≦12

と なった。このとき

a

の値を求めなさい。

y = ax

²

yの変域をみると, 最小値が0より, グラフは上に開いていることがわかる (a>0)。

また, x=2のとき, y=12とわかるので, y = a x² 4a = 12 a = 3 例題

Step１基本問題

Step１説明

4 変化の割合（応用）

( )

名前 ( ）

23

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

yの変域をみると, 最大値が0より, グラフは下に開いていることがわかる (a<0)。

また, x=3のとき, y=-12とわかるので,

y =a x² 9a =−12 a =− 4 3

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

yの変域をみると, 最小値が0より, グラフは上に開いていることがわかる (a<0)。

また, x=-8のとき, y=16とわかるので, y = a x² 64a = 16 a = 1

4

yの変域をみると, 最大値が0より, グラフは下に開いていることがわかる (a<0)。

また, x=2のとき, y=-8とわかるので,

y =a x² 4a =−8 a = −2

〇関数 で

, x

の変域が

-2≦x≦3

のとき

, y

の変域が

-12≦y≦0

と なった。このとき

a

の値を求めなさい。

y = ax

²

〇関数 で

, x

の変域が

-8≦x≦2

のとき

, y

の変域が

0≦y≦16

となった。このとき

a

の値を求めなさい。

y = ax

²

〇関数 で

, x

の変域が

-1≦x≦2

のとき

, y

の変域が

-8≦y≦0

となった。このとき

a

の値を求めなさい。

y = ax

²

Step１説明

5 平均の速さ

( )

名前 ( ）

24

〇ボールがころがりはじめてからの時間を

x

秒

,

その間にころが る距離を

ym

とすると

,

という関係がある。このとき次の 問いに答えなさい。

y = 2x

²

(1) 2

秒のときの進む距離を求めなさい。

8m

y = 2x

²

y = 2 × 2

²

(2) 4

秒のときの進む距離を求めなさい。

32m y = 2x

²

y = 2 × 4

²

(3) 2

秒から

4

秒までの平均の速さを求めなさい。

平均の速さ = 32 − 8

4 − 2 = 24 2 = 12 秒速 12m

〇 ボールがころがりはじめてからの時間を

x

秒

,

その間にころ がる距離を

ym

とすると

,

という関係がある。このとき

3

秒から

5

秒までの平均の速さを求めなさい。

y = 2x

²

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

① 3秒のときの進む距離を求める。

18m y = 2×3²

= 18

② 5秒のときの進む距離を求める。

50m y = 2×5²

= 50

③ 3秒から5秒までの平均の速さを求める。

平均 速 =

50 − 18

5 − 3 = 32 2 = 16

秒速16m 例題

Step１基本問題

Step１説明

5 平均の速さ

( )

名前 ( ）

25

4章 関数y =a x² 2節y =a x²の値の変化

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

〇ボールがころがりはじめてからの時間を

x

秒

,

その間にころ がる距離を

ym

とすると

,

という関係がある。このとき

2

秒から

6

秒までの平均の速さを求めなさい。

y = 2x

²

① 2秒 進 距離 求 。 y = 2×2²

= 8

② 6秒 進 距離 求 。

y = 2×6²

= 72

③ 2秒 6秒 平均 速 求 。

平均 速 =

72 − 8

6 − 2 = 64 4 = 16

〇ボールがころがりはじめてからの時間を

x

秒

,

その間にころ がる距離を

ym

とすると

,

という関係がある。このとき

1

秒から

2

秒までの平均の速さを求めなさい。

y = 2x

²

① 1秒 進 距離 求 。 y = 2×1²

= 2

② 2秒 進 距離 求 。

y = 2×2²

= 8

③ 1秒 2秒 平均 速 求 。

平均 速 =

8 − 2

2 − 1 = 6 1 = 6

秒速

6m

2m

8m

秒速

16m

72m 8m

Step１説明

1 制動距離

( )

名前 ( ）

26

4章 関数y =a x² 3節 y =a x²の利用

〇時速

xkm

で走る自動車の制動距離を

ym

とすると

, y

は

x

の二乗 に比例することが知られている。次の問いに答えなさい。

(1)

時速

40km

のとき

,

制動距離は

9.6m

であった。このとき

y

を

x

の式で表しなさい。

y = ax

²

y = 0.006x

²

9.6 = a 40

²

1600a = 9.6 a = 0.006

(2) (1)

のとき

,

時速

30km

のときの制動距離を求めなさい。

y = 0.006x

²

y = 0.006 × 30

²

y = 0.006 × 900

= 5.4 5.4m

〇時速

xkm

で走る自動車の制動距離を

ym

とすると

, y

は

x

の二乗 に比例することが知られている。次の問いに答えなさい。

(1) 時速 60kmのとき, 制動距離は21.6mであった。このときyをxの式で表

しなさい。

y =a x²

y = 0.006x² 21.6 =a60² 3600a = 21.6 a = 0.006

(2) ①のとき, 時速50kmのときの制動距離を求めなさい。

y = 0.006x² y = 0.006×50²

y = 0.006×2500 = 15 15m (3) 制動距離が2.4mのときの時速を求めなさい。

2.4 = 0.006x² 2400 = 6x²

x² = 400 より, x > 0

x = 20 時速20km

例題

Step１基本問題

Step１説明

2 ふりこ

( )

名前 ( ）

27

4章 関数y =a x² 3節 y =a x²の利用

〇ふりこが

1

往復するのにかかる時間はおもりの重さや振れ幅 に関係なく一定で

,

それを周期という。周期が

x

秒のふりこの長 さを

ym

とすると

,

という関係がある。このとき次の問 いに答えなさい。

y = 1 4 x

²

(1)

周期が

1

秒であるふりこをつくるには

,

ふりこの長さを何

m

にすればよいか。

x = 1 y = 1 4 x

² 代⼊

y = 1 4 × 1

²

= 1 4

1 4 m

(2) 4m

の長さのふりこの周期は

,

何秒になるか。

x > 0 y = 4 y = 1 4 x

² 代⼊

4 = 1 4 x

²

x

²

= 16 x = 4

〇ふりこが1往復するのにかかる時間はおもりの重さや振れ幅に関係なく 一定で, それを周期という。周期がx秒のふりこの長さをymとすると,

という関係がある。このとき次の問いに答えなさい。

y = 14 x²

(1) 周期が2秒であるふりこをつくるには, ふりこの長さを何mにすれば よいか。

x = 2 y = 1 4 x

² 代⼊

y = 14 ×2²= 1

1m

(2) 周期が４秒であるふりこをつくるには, ふりこの長さを何mにすれ ばよいか。

x = 4 y = 1 4 x

² 代⼊

y = 1

4 ×4² y = 4 4m

(3) 1mの長さのふりこの周期は, 何秒になるか。

x > 0 y = 1 y = 1 4 x

² 代⼊

1 = 14x² x²= 4 x = 2

4

秒

2

秒 例題

Step１基本問題

1m

Step１説明

3 重なる部分の面積

( )

名前 ( ）

28

4章 関数y =a x² 3節 y =a x²の利用

〇次の図のように

, AC=BC=6cm

の直角二等辺三角形

ABC

と

PS=4cm, PQ=8cm

の長方形

PQRS

が直線ℓに接している。長方形

PQRS

は固定されており

,

直角二等辺三角形

ABC

は

,

直線ℓ上を矢印の方向に動く。いま

,

直角二等辺三角形の頂点

A

は

,

点

R

から点

S

まで 動いて止まるものとする。

AR

の長さが

xcm

のとき

, 2

つの図形の重なった部分の面積が

ycm²

であるとして

,

次の場合について

, y

を

x

の 式で表しなさい。

(1) 0≦x≦4

重なる部分の面積は

,

直角二等辺三角形になる。

= 12x²

y=

底辺

×

高さ

÷2 y=x×x÷2

A B

C S

Q

R

P

ℓ ８ cm

４ cm ６ cm

４ cm xcm xcm ４ cm

例題

Step１説明

3 重なる部分の面積

( )

名前 ( ）

29

4章 関数y =a x² 3節 y =a x²の利用

〇次の図のように

, AC=BC=6cm

の直角二等辺三角形

ABC

と

PS=4cm, PQ=8cm

の長方形

PQRS

が直線ℓに接している。 長方形

PQRS

は固定されており

,

直角二等辺三角形

ABC

は

,

直線ℓ上を矢印の方向に動く。いま

,

直角二等辺三角形の頂点

A

は

,

点

R

から点

S

まで 動いて止まるものとする。

AR

の長さが

xcm

のとき

, 2

つの図形の重なった部分の面積が

ycm²

であるとして

,

次の場合について

, y

を

x

の 式で表しなさい。

A B

C S

Q

R

P

ℓ ８ cm

４ cm ６ cm

４ cm ２ cm

６ cm ４ cm

２ cm

(2) 4≦x≦6

重 部分 ⾯積 台形 。

y=( 上底 + 下底 )× 高さ ÷2

={(x-4)+x}×4÷2

=(2x-4)×4÷2

=(8x-16)÷2

=4x-8

例題

Step１説明

3 重なる部分の面積

( )

名前 ( ）

30

4章 関数y =a x² 3節 y =a x²の利用

〇次の図のように

, AC=BC=6cm

の直角二等辺三角形

ABC

と

PS=4cm, PQ=8cm

の長方形

PQRS

が直線ℓに接している。 長方形

PQRS

は固定されており

,

直角二等辺三角形

ABC

は

,

直線ℓ上を矢印の方向に動く。いま

,

直角二等辺三角形の頂点

A

は

,

点

R

から点

S

まで 動いて止まるものとする。

AR

の長さが

xcm

のとき

, 2

つの図形の重なった部分の面積が

ycm²

であるとして

,

次の場合について

, y

を

x

の 式で表しなさい。

A B

C S

Q

R

P

ℓ ８ cm

４ cm ６ cm

４ cm ２ cm

６ cm ４ cm

２ cm

(3) 6≦x≦8

重なる部分の面積は台形になる。

y=( 上底 + 下底 )×x÷2

=(2+6)×4÷2

=8×4÷2

=16

例題

Step１説明

3 重なる部分の面積

( )

名前 ( ）

31

4章 関数y =a x² 3節 y =a x²の利用

〇下の図のように

,

直角をはさむ

2

辺の長さが

,

それぞれ

10cm

の合同な

2

つの直角二等辺三角形△

ABC

と △

PQR

があ る。△

PQR

は

,

直線ℓにそって矢印の方向に毎秒

2cm

の速さ で動く。次の問いに答えなさい。

(1) 点Rが点Bの位置にきたときからx秒後の△PQRと△ABCが重なった部 分の面積を, y とする。点 Rが点Bから点Cまで動くとき, xとyの関係を式 に表しなさい。

重なる部分の面積の面積は, 直角二等辺三角形になる。また, 点Rはがx 秒間で進む距離は2xなので,

y=底辺×高さ÷2 y=2x×2x÷2=2x²

(2) (1)の関数について, yの変域を求めなさい。

点RがBからCまで移動するのにかかる時間は5秒間である。

よってxの変域は 0≦x≦5 である。

このグラフはa>0なので,

x=0のとき, yは最小で, yの最小値は0, x=5のときyが最大で, yの最大値は50 したがって, yの変域は 0≦y≦50

(3) (1)の関数について, グラフを書きなさい。

Step１基本問題