数列の推定、あるいは我々の直観の破綻

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数学特論Ｂ 第１回

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数列の推定、あるいは我々の直観の破綻

1

^参考資料

行列



 

 

 



1 1 1 ² 1 ³ 1 ⁴ 1 2 2 ² 2 ³ 2 ⁴ 1 3 3 ² 3 ³ 3 ⁴ 1 4 4 ² 4 ³ 4 ⁴ 1 5 5 ² 5 ³ 5 ⁴



 

 

 



の逆行列の掃き出し法による計算例。

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 (1)

1 2 2

²

2

³

2

⁴

0 1 0 0 0 (2)

1 3 3

²

3

³

3

⁴

0 0 1 0 0 (3)

1 4 4

²

4

³

4

⁴

0 0 0 1 0 (4)

1 5 5

²

5

³

5

⁴

0 0 0 0 1 (5)

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 (1)

0 1 3 7 15 − 1 1 0 0 0 (2) − (1) = (9)

0 1 5 19 65 0 − 1 1 0 0 (3) − (2) = (8) 0 1 7 37 175 0 0 − 1 1 0 (4) − (3) = (7) 0 1 9 61 369 0 0 0 − 1 1 (5) − (4) = (6) 1 0 − 2 − 6 − 14 2 − 1 0 0 0 (1) − (9) = (13)

0 1 3 7 15 − 1 1 0 0 0 (9)

0 0 2 12 50 1 − 2 1 0 0 (8) − (9) = (12) 0 0 2 18 110 0 1 − 2 1 0 (7) − (8) = (11) 0 0 2 24 194 0 0 1 − 2 1 (6) − (7) = (10) 1 0 0 6 36 3 − 3 1 0 0 (13) + (12) = (16)

0 1 3 7 15 − 1 1 0 0 0 (9)

0 0 2 12 50 1 − 2 1 0 0 (12)

0 0 0 6 60 − 1 3 − 3 1 0 (11) − (12) = (15) 0 0 0 6 84 0 − 1 3 − 3 1 (10) − (11) = (14)

1 0 0 6 36 3 − 3 1 0 0 (16)

0 2 6 14 30 − 2 2 0 0 0 2(9) = (17)

0 0 2 12 50 1 − 2 1 0 0 (12)

0 0 0 6 60 − 1 3 − 3 1 0 (15)

0 0 0 6 84 0 − 1 3 − 3 1 (14)

1 0 0 0 − 24 4 − 6 4 − 1 0 (16) − (15) = (21) 0 2 0 − 22 − 120 − 5 8 − 3 0 0 (17) − 3(12) = (18) 0 0 2 0 − 70 3 − 8 7 − 2 0 (12) − 2(15) = (20)

0 0 0 6 60 − 1 3 − 3 1 0 (15)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (14) − (15) = (19)

1 0 0 0 − 24 4 − 6 4 − 1 0 (21)

0 2 0 2 120 − 9 20 − 15 4 0 (18) + 4(15) = (22)

0 0 2 0 − 70 3 − 8 7 − 2 0 (20)

0 0 0 6 60 − 1 3 − 3 1 0 (15)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (19)

1 0 0 0 − 24 4 − 6 4 − 1 0 (21)

0 6 0 6 360 − 27 60 − 45 12 0 3(22) = (23)

0 0 2 0 − 70 3 − 8 7 − 2 0 (20)

0 0 0 6 60 − 1 3 − 3 1 0 (15)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (19)

1 0 0 0 − 24 4 − 6 4 − 1 0 (21)

0 6 0 0 300 − 26 57 − 42 11 0 (23) − (15) = (24)

0 0 2 0 − 70 3 − 8 7 − 2 0 (20)

0 0 0 6 60 − 1 3 − 3 1 0 (15)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (19)

1 0 0 0 0 5 − 10 10 − 5 1 (21) + (19) = (25)

0 6 0 0 12 − 38 105 − 114 59 − 12 (24) − 12(19) = (26)

0 0 2 0 2 6 − 20 25 − 14 3 (20) + 3(19) = (27)

0 0 0 6 12 − 3 11 − 15 9 − 2 (15) − 2(19) = (28)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (19)

1 0 0 0 0 5 − 10 10 − 5 1 (25)

0 12 0 0 24 − 76 210 − 228 118 − 24 2(26) = (29) 0 0 24 0 24 72 − 240 300 − 168 36 12(27) = (30)

0 0 0 12 24 − 6 22 − 30 18 − 4 2(28) = (31)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (19)

1 0 0 0 0 5 − 10 10 − 5 1 (25)

0 12 0 0 0 − 77 214 − 234 122 − 25 (29) − (19) = (32) 0 0 24 0 0 71 − 236 294 − 164 35 (30) − (19) = (33) 0 0 0 12 0 − 7 26 − 36 22 − 5 (31) − (19) = (34)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (19)

24 0 0 0 0 120 − 240 240 − 120 24 24(25)

0 24 0 0 0 − 154 428 − 468 244 − 50 2(32)

0 0 24 0 0 71 − 236 294 − 164 35 (33)

0 0 0 24 0 − 14 52 − 72 44 − 10 2(34)

0 0 0 0 24 1 − 4 6 − 4 1 (19)

従って係数行列の逆行列は



 

 

 



1 1 1 ² 1 ³ 1 ⁴ 1 2 2 ² 2 ³ 2 ⁴ 1 3 3 ² 3 ³ 3 ⁴ 1 4 4 ² 4 ³ 4 ⁴ 1 5 5 ² 5 ³ 5 ⁴



 

 

 



− 1

= 1 24



 

 

 



120 − 240 240 − 120 24

− 154 428 − 468 244 − 50 71 − 236 294 − 164 35

− 14 52 − 72 44 − 10

1 − 4 6 − 4 1



 

 

 



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Exercise

^解答例

基本演習

1

平面内に直線が

n

本あり、どの２本も平行ではなく、またどの３本も １点では交わっていません。このとき平面は幾つの領域に分割されているでしょう か。漸化式を作り、それを解いて計算して下さい。

【解答例】 問題の分割数を

P n

とすると、

P 1 = 2, P 2 = 4

です。

この状況で題意のようにもう１本の直線を引くわけですが、一方の無限遠点からもう 一方の無限遠点まで他の直線と交わる様子に注意しながら見て行きます。まず１つの分 割領域の中を進んで来た直線が、最初の直線と交わった瞬間に今進んで来た領域が２つ に分割され、全体としての分割領域数は１つ増えます。同様に更に進んで全部で

n

本の 直線と交わる度に領域数が増えて、全部の直線と交わり終えた時に合計

n

個増えていま す。その後無限遠点に到達するまでもう他の直線とは交わりませんが、最後、無限遠点 に到達した瞬間に最後に進んでいた領域が２つに分割され、領域がもう一個増えます。

以上から

n + 1

本目の直線を引くと領域の分割数は

n + 1

個増える事が分かり、数列

P n

は漸化式：

P n+1 − P n = n + 1

を満たす事が分かりました。

すると

P n = (P n − P n − 1 ) + (P n − 1 − P n − 2 ) + · · · + (P 2 − P 1 ) + P 1

= n + (n − 1) + · · · + 2 + 2

= 1

2 n(n + 1) + 1

により、問題の分割数は

¹

2 n(n + 1) + 1

である事が分かりました。

基本演習

2

数列

a n

が漸化式：

a n+1 − a n = n ²

を満たし

a 1 = 1

であるとき、その 一般項を求めて下さい。

【解答例】

a n+1 = (a n+1 − a n ) + (a n − a n − 1 ) + · · · + (a 2 − a 1 ) + a 1

= n ² − (n − 1) ² + · · · + 1 ² + 1

= 1

6 n(n + 1)(2n + 1) + 1 a n = 1

6 (n − 1)n(2n − 1) + 1

基本演習

3

数列

a n

が漸化式：

b n+1 − b n = 2 ⁿ

を満たし

b 1 = 0

であるとき、その 一般項を求めて下さい。

【解答例】

b n+1 = (b n+1 − b n ) + (b n − b n − 1 ) + · · · + (b 2 − b 1 ) + b 1

= 2 ⁿ + 2 ^{n − 1} + · · · + 2 ¹

= 2 ⁿ⁺¹ − 1 2 − 1

= 2 ⁿ⁺¹ − 1

b n = 2 ⁿ − 1

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数学特論Ｂ 第１回

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基本演習

4

数列

c n

が漸化式：

c n+1 − 3c n − 3 ⁿ = 0

を満たし

c 1 = 0

であるとき、

その一般項を求めて下さい。

【解答例】 まず両辺を

3 ⁿ⁺¹

で割れば

c n+1

3 ⁿ⁺¹ − c n

3 ⁿ − 3 ^{− 1} = 0

ですからここで

d n = ₃ ^c

ⁿn と置けば

d n+1 − d n = 3 ^{− 1} , d 1 = 0

となって、

d n = (d n − d n − 1 ) + (d n − 1 − d n − 2 ) + · · · + (d 2 − d 1 ) + d 1

= 3 ^{− 1} + 3 ^{− 1} + · · · + 3 ^{− 1}

= n − 1 3 c n

3 ⁿ = n − 1 3

c n = (n − 1)3 ^{n − 1}

が分かります。