微 分 方 程 式

微 分 方 程 式

6. _{高階常微分方程式}

1. _{階数降下法}

逐次積分

(I) y⁽ⁿ⁾ = f(x).

一回積分して

y⁽ⁿ⁻¹⁾ =

∫

f(x)dx+c^′₁ さらに積分を繰り返すと一般解：

y =

∫ dx

∫

dx· · ·

∫

f(x)dx+c₁xⁿ⁻¹ +c₂xⁿ⁻² + · · · +c_n 初期条件

y(x₀) = y₀, y^′(x₀) = y₀^′, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = y⁽ⁿ₀ ⁻¹⁾ が与えられているとき一回積分して

y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) =

∫ x x₀

f(t)dt +y₀⁽ⁿ⁻¹⁾

積分を繰り返すと求める解は –2–

y(x) =

∫ x x₀

dt_n

∫ t_n x₀

dt_n−1· · ·

∫ t₂ x₀

f(t₁)dt₁ + y₀⁽ⁿ⁻¹⁾(x − x₀)ⁿ⁻¹

(n − 1)! +y₀⁽ⁿ⁻²⁾(x − x₀)ⁿ⁻²

(n− 2)! +· · · +y^′₀x − x₀

1! + y₀ 補題（演習とする）n = 1,2,3, ... のとき

∫ x x₀

dt_n

∫ t_n x₀

dt_n−1· · ·

∫ t₂ x₀

f(t₁)dt₁ = 1 (n − 1)!

∫ x x₀

f(t)(x − t)ⁿ⁻¹dt

y, y^′, ..., y^(m−1)を含まない微分方程式 –3–

(II) F(x, y^(m), ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 (n > m ≧ 1) のときは p = y^(m) とおく. F(x, p, ..., p^(n−m)) = 0

となり, n − m階常微分方程式が得られる. これを解いて一般解 p = f(x, c₁, ..., c_n−m)が求められた後、(I)の方法により m 回積分 すればよい.

例 F(x, y^′, y^′′) = 0 とyを含まない2階方程式は p = y^′ とおいて F(x, p, p^′) = 0

とすれば1階になるので今まで習った求積法が使えるかもしれない

x_{を含まない微分方程式} –4–

F(y, y^′, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 に対して p = y^′ とおくと d²y

dx² = dp

dx = dp dy

dy

dx = dp dyp, d³y

dx³ = d dx

(dp dyp

)

= d dy

(dp dyp

) dy dx =

[ d²p dy²p+

(dp dy

)2] p より

F(y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁾)

= F (

y, p, dp dyp,

[d²p dy²p+

(dp dy

)2] p, ...

)

= G(y, p, p^′, y^′′, ..., p⁽ⁿ⁻¹⁾)

となり，階数が 1だけ下がった微分方程式となる．

同次形 –5–

f(x, λy, λy^′, ..., λy⁽ⁿ⁾) = λ^αf(x, y, y^′, ..., y⁽ⁿ⁾) のときは、 y = e^u とおくと

y^′ = e^uu^′, y^′′ = e^u(u^′′ + (u^′)²) だから

f(x, e^u, e^uu^′, e^u(u^′′ + (u^′)²), ...) = e^αuf(x,1, u^′,(u^′′ + (u^′)²), ...) となり, u^′ = v とおくことにより, 階数を1だけ下げることがで きる

同次形2 –6–

f(λx, y, 1

λy^′, 1

λ²y^′′, ..., 1

λⁿy⁽ⁿ⁾) = λ^αf(x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁾) のときは、 x = e^t とおくと, t = logx より

dy

dx = dy dt

dt

dx = e^−tdy dt, d²y

dx² = d dx

(dy dx

)

= e^−t d dt

(

e^−tdy dt

)

= e^−2t

(d²y

dt² − dy dt

) , ...

だから

f(x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁾) = f(e^t, y, e^−tdy

dt, e^−2t

(d²y

dt² − dy dt

) , ...)

= e^αtf(1, y, dy

dt, d²y

dt² − dy dt, ...)

となり, 独立変数tを含まない形になるので, 階数を1だけ下げる ことができる

同次形3 –7–

f(λx, λ^βy, λ^β−1y^′, λ^β−2y^′′, ..., λ^β−ny⁽ⁿ⁾) = λ^βf(x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁾) のときは、 x = e^t, y = e^βtu とおくと, t = logx より

dy

dx = dt dx

d

dt(e^βtu) = e^(β−1)t

(du

dt +βu )

, d²y

dx² = dt dx

d dt

(dy dx

)

= e^(β−2)t

(d²u

dt² + (2β − 1)du

dt +β(β − 1)u )

だから

f(x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁾)

= f(e^t, e^βtu, e^(β−1)t (du

dt +βu )

, e^(β−2)t

(d²u

dt² + (2β −1)du

dt +β(β−1)u )

, ...)

= e^βtf(1, u, du

dt +βu, d²u

dt² + (2β −1)du

dt +β(β −1)u, ...)

となり, 独立変数tを含まない形になるので, 階数を1だけ下げることができる

完全微分形 –8–

f(x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁾) = d

dxg(x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾) のとき

g(x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾) = C となって階数を下げることができる．

その他の解法 –9–

(1) y^′′ = f(y) のとき.

両辺に2y^′を掛けると 2y^′′y^′ = 2f(y)y^′. xについて積分すると (y^′)² = 2

∫

f(y)y^′dx+ c₁ = 2

∫

f(y)dy + c₁ より

y^′ = ±

√ 2

∫

f(y)dy +c₁ と変数分離形になるので一般解は

±

∫ dy

√ 2

∫

f(y)dy +c₁

= x +c₂

その他の解法2 –10–

(2) y⁽ⁿ⁾ = f(y⁽ⁿ⁻¹⁾) のときは u = y⁽ⁿ⁻¹⁾ とおいて一階方程式 u^′ = f(u) になる。

(3) y⁽ⁿ⁾ = f(y⁽ⁿ⁻²⁾) のときは u = y⁽ⁿ⁻²⁾ とおいて2階方程式 u^′′ = f(u) になるので両辺に2u^′ をかけて積分すればよい

演習問題

1. つぎの微分方程式を解け.   (1) y^′′ = 1

x², y(1) = 0, y^′(1) = 0 (x > 0) 2回積分すると

y^′ = −1

x + c₁, y = −logx +c₁x +c₂. 初期条件より −1 + c₁ = 0, c₁ +c₂ = 0. よって

y = −logx +x − 1.

(2) y^′′ = x

1 −x²y^′ + 1 1− x²

u = y^′ とおくと一階線形になる

(3) yy^′′ + (y^′)² = 1 –12–

[完全微分] (yy^′)^′ = yy^′′+ (y^′)² に注意して積分すると yy^′ = x+c₁. 2 倍すると (y²)^′ = 2yy^′ = 2x + 2c₁. もう一度積分すると

y² = x² + 2c₁x +c₂.  

(4) √yy^′′ = 1. –13–

[_その他(1)] 両辺に 2y^′/√y を掛けると 2y^′y^′′ = 2y^′

√y. 書き直して ((y^′)²)^′ = 4(√y)^′. 積分すると

(y^′)² = 4√

y + 4c₁

となって変数分離型 y^′ = ±2(√y + c₁)^1/2 になるので

∫ dy

(√y +c₁)^1/2 = ±(x +c₂) 左辺の積分は

4 3(√

y +c₁)^1/2(√

y − 2c₁) = ±(x + c₂) 答: (√

y +c₁)(√

y − 2c₁)² = 9

4(x +c₂)²

(5) yy^′′ − (y^′)² −xy² = 0. –14–

[_同次形] y = e^u とおいてy^′ = e^uu^′, y^′′ = e^u(u^′′ + (u^′)²) を代入 e^2u[u^′′ + (u^′)²] − e^2u(u^′)² − xe^2u = 0.

よって u^′′ −x = 0.

2 回積分すると

u = x³

6 +c₁x +c₂ より

y = exp (x³

6 +c₁x +c₂ )

問 つぎの微分方程式の一般解を求めよ． –15–

(1) y^′′ = 2x, y(1) = 1, y^′(1) = 2.

(2) xy^′′ + y^′ = x² (3) xy^′′ = √

1 + (y^′)² (4) yy^′′ + (y^′)² + 1 = 0.

(5) yy^′′ − (y^′)² = 4y²logy. (6) xyy^′′ +x(y^′)² +yy^′ = 0.

(7) y^′′ − y^′

x + 2y(y^′)²

y² + 1 = 0.

(8) xyy^′′ +yy^′ + (1 − y²)x(y^′)² = 0.