は定数とする． 関数

§

6.9

定積分の性質

 定積分に関する定理を幾つか述べます．

定理6.9.1 k

は定数とする． 関数

f(x)

と

g(x)

とが実数

a

から実数

b

まで積 分可能であるとき，関数

k f(x) , f(x) +g(x) , f(x)−g(x)

も

a

から

b

まで積分 可能であり，

Rb

ak f(x)dx=kRb

af(x)dx , Rb

a{f(x)±g(x)}dx=Rb

af(x)dx±Rb

ag(x)dx

（複号同順）

.

 後でこの定理の一部を証明します．

例題 定積分

Z ₂

0

6x²+ cosx

7 dx

を計算する．

〔解説〕 Z ₂

0

6x²+ cosx 7 dx= 1

7 R2

0(6x²+ cosx)dx=1 7

R2

06x²dx+R2

0 cosx dx

= 1 7 6R2

0x²dx+ sinx²

0

= 1 7

6h1 3x³i²

0+ sin 2−sin 0

= 16 + sin 2

7 .

不定積分を計算してもよい． 積分定数を

C

とおくと，

Z 6x²+ cosx 7 dx=1

7

R(6x²+ cosx)dx= 1 7

R6x²dx+R

cosx dx

=1 7 6R

x²dx+ sinx

=1 7

6·1

3x³+ sinx +C

=2x³+ sinx

7 +C ,

Z ₂

0

6x²+ cosx

7 dx=

2x³+ sinx 7

²

0

= 2·8 + sin 2

7 −0 + sin 0 7

= 16 + sin 2

7 . ^終

問題

6.9.1

以下の定積分を計算しなさい．

(1) R0

2(5x³−3e^x)dx . (2) Z _π

0

x−3 sinx 5 dx .

 実数

a , b , c

について

a≤b≤c

と

x y

0 a b c

y=f(x) x=a x=b x=c

します． また，関数

f

は

a

から

c

まで積分可能で，区間

[a , c]

の各実数

x

で

f(x)≥0

とします． 右図のよう に，

xy

座標平面において，

y=f(x)

のグラフと直線

x=a

と

x=c

と

x

軸とで囲まれる領域を，直線

x=b

で仕切ります．

6.2

節で述べたように次のことが成り立ちます：

領域 の面積は

Rb

af(x)dx

， 領域 の面積は

Rc

bf(x)dx

，

この

2

つの領域を併せた領域 の面積は

Rc

af(x)dx

． このことから次の等式が成り立つことが分かります：

Rb

af(x)dx+Rc

bf(x)dx = Rc

af(x)dx .

実は，この等式は，実数

a , b , c

の大小関係に関わらず成り立ちます． 後に一部を証 明します．

定理6.9.2

実数

a , b , c

に対して，関数

f

が

a

から

b

まで積分可能でかつ

b

か ら

c

まで積分可能であるとき，

f

は

a

から

c

まで積分可能であり，

Rc

af(x)dx = Rb

af(x)dx+Rc

bf(x)dx .

 次の定理が成り立ちます． その証明は後にします．

定理6.9.3

実数

a

と

b

とについて

a≤b

で，関数

f

と

g

とは

a

から

b

まで積 分可能であるとする． 区間

[a , b]

の各実数

x

について

f(x)≤g(x)

ならば，

Rb

af(x)dx ≤ Rb

ag(x)dx .

例解 関数

f

を次のように定めます：

f(x) =







x²

（

x6= 1

かつ

x6= 2

のとき）

2

（

x= 1

のとき）

3

（

x= 2

のとき）

.

x= 1

のときと

x= 2

のときだけ

f(x)6=x²

です

x y

1 2 1

2 3 4

y=f(x)

が，それ以外のときは

f(x) =x²

です． このような とき，定積分

R3

0f(x)dx

と

R3

0x²dx

とは同じ値にな ります：

R3

0f(x)dx=R3

0x²dx=h1 3x³i³

0=1

33³−0 = 9 . ^終

 一般的にいうと次のようになります： 関数

f

が

a

から

b

まで積分可能である とき，関数

g

について，区間

[a , b]

の有限個の実数

c1, c2, c3, . . . , cn

を除く

[a , b]

の各実数

x

について

g(x) =f(x)

ならば，つまり，

a≤x≤b

となる実数

x

に

つ い て

x6=c1 , x6=c2 , x6=c3 , · · · , x6=cn

の と き

g(x) =f(x)

な ら ば ，

Rb

ag(x)dx=Rb

af(x)dx

． 証明は省略します．

定 理6.9.4

実 数

a

と

b

と に つ い て

a≤b

で ， 関 数

f

は

a

か ら

b

ま で 積 分 可能であるとする． 関数

g

について，区間

[a , b]

の有限個の実数を除く

[a , b]

の 各 実 数

x

に つ い て

g(x) = f(x)

な ら ば ，

g

は

a

か ら

b

ま で 積 分 可 能 で あ り，

Rb

ag(x)dx=Rb

af(x)dx

．

例題 実数全体を定義域とする関数

g

を次のように定める：

g(x) =

3^x

（

x6= 2

のとき）

5

（

x= 2

のとき）

.

g

の定積分

R4

0g(x)dx

を計算する．

 

0≤x≤4

である各実数

x

について

x6= 2

のとき

g(x) = 3^x

なので，定理

6.9.4

により

R4

0g(x)dx=R4

03^xdx

．

R4

03^xdx

を計算する：

R4

03^xdx = e^x

ln 3 ⁴

0

= e⁴−1 ln 3 .

故に

R4

0g(x)dx=e⁴−1

ln 3

．

終

問題

6.9.2

実数全体を定義域とする関数

g

を次のように定める：

g(x) =





 9

2x²+ 6

（

x6= 2

のとき）

7

（

x= 2

のとき）

.

定積分

R3

1g(x)dx

を計算しなさい．

例題 関数

f

について，

3< x <7

のとき

f(x) = 1

x

とする． 定積分

R7 3f(x)dx

を計算する．

 

3≤x≤7

である各実数

x

について，

x6= 3 , x6= 7

のとき

f(x) = 1

x

なので，

定理

6.9.4

より

R7

3f(x)dx= Z ₇

3

1

xdx

． よって，

R7

3f(x)dx= Z ₇

3

1 xdx=

lnx⁷

3= ln 7−ln 3 = ln7

3 . ^終

問題

6.9.3

関数

f

について，

0< x < 3

2

のとき

f(x) = r 5

6−2x²

とします． 定 積分

R³₂

0 f(x)dx

を計算しなさい．

例題 実数全体を定義域とする関数

ψ

を次のように定める：

ψ(x) =

cosx

（

x≤5

のとき）

sin 5

（

x >5

のとき）

.

定積分

R2π

0 ψ(x)dx

を計算する．

〔

解説〕 定理

6.9.2

より

R2π

0 ψ(x)dx= R5

0ψ(x)dx+R2π

5 ψ(x)dx

．

R5

0ψ(x)dx

及び

R2π

5 ψ(x)dx

を計算する．

0≤x≤5

である各実数

x

について

ψ(x) = cosx

なので，

R5

0ψ(x)dx = R5

0 cosx dx = sinx⁵

0 = sin 5−sin 0 = sin 5 . 5≤x≤2π

である実数

x

について

x6= 5

のとき

f(x) = sin 5

なので，

R2π

5 ψ(x)dx = R2π

5 sin 5dx = (sin 5)R2π

5 1dx = (sin 5) x^2π

5 = (2π−5) sin5 .

従って，

R2π

0 ψ(x)dx=R5

0ψ(x)dx+R2π

5 ψ(x)dx= sin 5 + (2π−5) sin5

= (2π−4) sin5 . ^終

問題

6.9.4

実数全体を定義域とする関数

ϕ

を次のように定めます：

ϕ(x) =

sinx

（

x≤2

のとき）

cos 2

（

x >2

のとき）

.

定積分

Rπ

0ϕ(x)dx

を計算しなさい．

 変数

x

の関数

f(x)

の絶対値

|f(x)|

の定積分を計算するためには，

f(x)≥0

で ある

x

の値の範囲と

f(x)≤0

である

x

の値の範囲とに分けて定積分します．

例題 定積分

R3

0|e^x−5|dx

を計算する．

〔

解 説

〕 0≤x≤3

で あ る 実 数

x

に つ い て ，

e^x−5 = 0

と す る と

x= ln 5

．

0≤x≤ln 5

のとき，

e^x≤5

，

e^x−5≤0

，

|e^x−5|= 5−e^x

．

ln 5≤x≤3

のと き，

e^x≥5

，

e^x−5≥0

，

|e^x−5|=e^x−5

． これより，

R3

0|e^x−5|dx=Rln 5

0 (5−e^x)dx+R3

ln 5(e^x−5)dx= [5x−e^x]^{ln 5}0 + [e^x−5x]³ln 5

= 5 ln5−e^{ln 5}+e⁰+e³−15−e^{ln 5}+ 5 ln5

= 5 ln5−5 + 1 +e³−15−5 + 5 ln5

=e³+ 10 ln5−24 . ^終

問題

6.9.5

定積分

Z _π

0

cosx−1 2

dx

を計算しなさい．

定理の証明

 定理

6.9.1

のうち次のことを証明します： 実数

a , b

について

a≤b

で，関数

f(x)

が実数

a

から実数

b

まで積分可能であるとき，定数

k

に対して関数

k f(x)

も

a

か ら

b

まで積分可能であり，

Rb

ak f(x)dx=kRb

af(x)dx

．

証明

実数

a , b

について

a≤b

で，関数

f(x)

が実数

a

から実数

b

まで積分可能

であるとする．

 正の各自然数

n

に対して，

a= x0 ≤ξ1 ≤ x1 ≤ξ2 ≤ x2 ≤ξ3 ≤ x3 ≤ · · · ≤xn−1 ≤ξn ≤xn =b

となる実数

x0, x1, x2, x3, . . . , xn−1, xn

及び

ξ1, ξ2, ξ3, . . . , ξn

をとり，

δn= max{x1−x0, x2−x1, x3−x2, . . . , xn−xn−1} , Sn=

∑n

k=1{f(ξk) (xk−xk−1)} , Tn=

∑n

k=1{k f(ξk) (xk−xk−1)} ,

とおく；

Sn

は関数

f(x)

のリーマン和であり，

Tn

は関数

k f(x)

のリーマン和であ る． このとき，

Tn =

∑n

k=1{k f(ξk)(xk−xk−1)} =k

∑n

k=1{f(ξk)(xk−xk−1)} = kSn .

 

lim

n→∞δn = 0

と す る ． 関 数

f(x)

は 実 数

a

か ら 実 数

b

ま で 積 分 可 能 な の で

n→∞limSn=Rb

af(x)dx

． 故に，

Rb

ak f(x)dx = lim

n→∞Tn = lim

n→∞(kSn) = k lim

n→∞Sn = kRb

af(x)dx .

（証明終り）

 定理

6.9.1

のうち次のことを証明します： 実数

a , b

について

a≤b

で，関数

f(x)

と

g(x)

とが実数

a

から実数

b

まで積分可能であるとき，関数

f(x) +g(x)

も

a

か ら

b

まで積分可能であり，

Rb

a{f(x) +g(x)}dx=Rb

af(x)dx+Rb

ag(x)dx

．

証明

実数

a , b

について

a≤b

で，関数

f(x)

と

g(x)

とが実数

a

から実数

b

ま で積分可能であるとする．

 正の各自然数

n

に対して，

a= x0 ≤ξ1 ≤ x1 ≤ξ2 ≤ x2 ≤ξ3 ≤ x3 ≤ · · · ≤xn−1 ≤ξn ≤xn =b

となる実数

x0, x1, x2, x3, . . . , xn−1, xn

及び

ξ1, ξ2, ξ3, . . . , ξn

をとり，

δn= max{x1−x0, x2−x1, x3−x2, . . . , xn−xn−1} , Sn =

∑n

k=1{f(ξk) (xk−xk−1)} , Tn=

∑n

k=1{g(ξk) (xk−xk−1)} , Un=

∑n

k=1[{f(ξk) +g(ξk)}(xk−xk−1)] ,

とおく；

Sn

は関数

f(x)

のリーマン和であり，

Tn

は関数

g(x)

のリーマン和であり，

Un

は関数

f(x) +g(x)

のリーマン和である． このとき，

Un= ∑ⁿ

k=1

[{f(ξk) +g(ξk)}(xk−xk−1)]

= ∑ⁿ

k=1

{f(ξk) (xk−xk−1) +g(ξk) (xk−xk−1)}

=

∑n

k=1{f(ξk) (xk−xk−1)}+

∑n

k=1{g(ξk) (xk−xk−1)}

=Sn+Tn .

 

lim

n→∞δn= 0

とする． 関数

f(x)

と

g(x)

とは実数

a

から実数

b

まで積分可能な ので，

lim

n→∞Sn=Rb

af(x)dx , lim

n→∞Tn=Rb

ag(x)dx

． 故に，

Rb

a{f(x) +g(x)}dx= lim

n→∞Un = lim

n→∞(Sn+Tn) = lim

n→∞Sn + lim

n→∞Tn

=Rb

af(x)dx+Rb

ag(x)dx .

（証明終り）

 定理

6.9.2

の一部を大雑把に証明します： 実数

a , b , c

について

a≤b≤c

であり，

関数

f

が

a

から

b

まで積分可能でかつ

b

から

c

まで積分可能であるとき，

f

は

a

から

c

まで積分可能であり，

Rc

af(x)dx = Rb

af(x)dx+Rc

bf(x)dx . 証明

正の各実数

n

に対して，

a= x0 ≤ξ1 ≤ x1 ≤ξ2 ≤ x2 ≤ξ3 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn−1 ≤ξn ≤xn =c

となる実数

x0, x1, x2, x3, . . . , xn−1, xn

及び

ξ1, ξ2, ξ3, . . . , ξn

をとり，

δn= max{x1−x0, x2−x1, x3−x2, . . . , xn−xn−1} , Sn= ∑ⁿ

k=1{f(ξk) (xk−xk−1)}

とおく．

Sn

は関数

f(x)

のリーマン和である． 次のような正の自然数

l

をとる：

l < n

で，

a=x0≤ξ1≤x1≤ξ2≤x2≤ξ3≤x3≤ · · · ≤xl−1≤ξl≤xl≤b , b≤ξl+1≤xl+1≤ξl+2 ≤xl+2≤ξl+3≤xl+3≤ · · · ≤xn−1≤ξn≤xn=c . m=n−l

とおき，

xl

を

b

に入れ替えることとして

Tl=

∑l

k=1{f(ξk)(xk−xk−1)} , Um= ∑ⁿ

k=l+1{f(ξk)(xk−xk−1)}= ∑^m

j=1{f(ξl+j)(xl+j−xl+j−1)}

とおく．

Tl

は近似的に

a

以上

b

以下の範囲の関数

f(x)

のリーマン和であり，

Um

は近似的に

b

以上

c

以下の範囲の関数

f(x)

のリーマン和である．

Sn =

∑n

k=1{f(ξk)(xk−xk−1)}=

∑l

k=1{f(ξk)(xk−xk−1)}+

∑n

k=l+1{f(ξk)(xk−xk−1)}

=Tl+Um .

n→∞lim δn= 0

とする． 関数

f(x)

が

a

から

b

まで積分可能でありかつ

b

から

c

まで 積分可能であるので，

l→∞limTl = Rb

af(x)dx , lim

m→∞Um = Rc

bf(x)dx . Sn=Tl+Um

なので，

Rc

af(x)dx= lim

n→∞Sn = lim

l,m→∞(Tl+Um) = lim

l→∞Tl+ lim

m→∞Um

=Rb

af(x)dx+Rc

bf(x)dx . （証明終り）

 定理

6.9.3

を証明します： 実数

a , b

について

a≤b

で，関数

f

と

g

とが

a

から

b

まで積分可能であるとき，区間

[a , b]

の各実数

x

について

f(x)≤g(x)

ならば，

Rb

af(x)dx≤Rb

ag(x)dx

．

証明

実数

a , b

について

a≤b

で，関数

f , g

は

a

から

b

まで積分可能であると

する． 更に，区間

[a , b]

の各実数

x

について

f(x)≤g(x)

とする．

 正の各自然数

n

に対して，

a= x0 ≤ξ1 ≤ x1 ≤ξ2 ≤ x2 ≤ξ3 ≤ x3 ≤ · · · ≤xn−1 ≤ξn ≤xn =b

となる実数

x0, x1, x2, x3, . . . , xn−1, xn

及び

ξ1, ξ2, ξ3, . . . , ξn

をとり，

δn= max{x1−x0, x2−x1, x3−x2, . . . , xn−xn−1} , Sn = ∑ⁿ

k=1

{f(ξk) (xk−xk−1)} , Tn= ∑ⁿ

k=1

{g(ξk) (xk−xk−1)} ,

とおく；

Sn

は関数

f

のリーマン和であり，

Tn

は関数

g

のリーマン和である．

k= 1,2,3, . . . , n

に対して，

ξk

は区間

[a , b]

に属すので仮定より

f(ξk)≤g(ξk)

， 更に

xk−1≤xk

より

xk−xk−1≥0

なので，

f(ξk) (xk−xk−1) ≤g(ξk) (xk−xk−1) ;

よって

∑n

k=1{f(ξk) (xk−xk−1)} ≤

∑n

k=1{g(ξk) (xk−xk−1)}

つまり

Sn≤Tn

．  

lim

n→∞δn= 0

とする． 正の各自然数

n

について

Sn≤Tn

なので，定理

5.6.3

より

n→∞limSn ≤ lim

n→∞Tn .

関 数

f , g

は 実 数

a

か ら 実 数

b

ま で 積 分 可 能 な の で ，

lim

n→∞Sn = Rb

af(x)dx ,

n→∞limTn=Rb

ag(x)dx

； 故に

Rb

af(x)dx≤Rb

ag(x)dx

．

（証明終り）