線形代数
I演習
2012年6月20日
学籍番号 氏名
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例題
10-1.次の連立一次方程式を解け。
(1)
11x1−2x2 = 8 4x1−x2 = 3
(2)
4x1 −x2 −8x3 =−16
−6x1+ 2x2+ 13x3 = 25
−3x1+x2+ 6x3 = 12 (3)
x1−2x2+ 3x3 = 7 x1−2x2−3x3 =−11 x1−2x2 =−2
例題9-1の解答：(1) 2 (2) 2 (3) 2 (4) 3
例題 10-1 の解答：
(1) (2
− /3,
1/3)(2)
− ( 2, 0, 1)(3) (2
− t 2,t, 3)(4) 3
1
例題
10-2.次のベクトルが一次従属であることを示し。それらの間の非自明な一次関係を一つ 求めよ。
(1)
6
−2 4
,
−2 1
−3
,
−5 2
−5
(2)
1 2 1
,
−1 2 1
,
1 4 3
,
−2 3 1
(3)
1 2 5 2
,
2 2 1 1
,
8 8 1 1
,
8 7
−1 2
例題9-2の解答：(1) (−1
−2 )
, (1
1 )
(2)
3 2
−2
,
1 1
−1
,
−1 0 1
(3)
1 2
−2
,
−2
−3 4
例題 10-2 の解答：
(1) x
− 1
2x
+2 2
x
=0,(2) 3
x
+4 1
x
− 2
x
− 3
2x
=0,(3) 4
6x
− 1
23x
− 2
x
+6 3
x
=0 4
2
線形代数
I演習
2012年6月20日
学籍番号 氏名
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問題
10-1.次の連立一次方程式に解があるとき、その解を求めよ。
(1)
x1+x2−4x3 = 0
−3x1−3x3+x4+x5 = 11
−2x1−x2+ 3x3+x4+x5 = 5
(2)
x1−3x2+ 4x3 =−3 2x1−4x2+ 6x3 =−5 2x1−5x2+ 7x3 =−5
問題8-1の解答：(1) 1 6
1 1 −2
1 1 4
−3 3 6
(2)
E −1
kA
O 1
kE
(3) 1 5
−1 1 3
1 −1 2
4 1 −2
(4)
1 0 0 −13 −7
0 1 0 −6 −4
0 0 1 1 1
0 0 0 7 4
0 0 0 2 1
問題9-1の解答：(1) x̸= 0のとき階数は2,x= 0のとき、階数は1 (2) x̸=±1のとき階数2,x=±1のと き、階数は1 (3)x= 1のとき階数は1,x=−2のとき階数は2,x̸= 1,−2のとき階数は3 (4) 2
問題 10-1 の解答：
(1)
− (
− s
3, 5s +3
− ,s, t +2 ,t )(2) 解なし。
3
問題
10-2.(1)
縦ベクトルの基本変形は右から基本行列を掛けることに対応する。
行列
1 0 0 3 1 0 3 −2 1
にどのような基本行列を右からかけることで、単位行列に変形で
きるか。（3 回の変形でできるか？）
(2)
行列
Aの
(ij)成分を
aijとする。A が上三角行列とは
aij = 0 (i > j)となる行 列をいう。A を上三角行列とし、さらに
aii = 1であると仮定する。このとき
Aは逆 行列をもち、その逆行列も上三角行列であることを示せ。（基本変形を使え。）
(3) A
が下三角行列とは
aij = 0 (i < j)を満たすことをいう。ここで記号は
(3)と同 じ意味である。任意の正則行列は上三角行列と下三角行列の積にかけることを証明 せよ。
問題8-2の解答：(1) abc̸= 0 (2) a̸=±1,0 (3) abcd̸= 0 (4-1)
1 0 0 −7/12
0 1 0 −7/12
0 0 1 −47/12
(4-2) (x1, x2, x3) =
(−7/12,−7/12,−47/12) 問題9-2の解答：(1) 2x1−3x2+x3 = 0(2) x1+ 4x2−2x3+x4= 0
問題 10-2 の解答：
(1)
1 0 0
0 1 0
0 2 1
,
1 0 0
0 1 0
− 3 0 1
,
1 0 0
−3 1 0
0 0 1
(2)(3) 略
4
