Langlands 1 (Yoichi Mieda) Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo 0 Lafforgue Langlands [Laf1], [Laf2], [Laf3] 600 Lafforgu

関数体上の Langlands 予想について

東京大学大学院数理科学研究科博士課程1年 三枝 洋一(Yoichi Mieda) Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo

0 はじめに

本稿の目標は，Lafforgueによってなされた関数体上のLanglands予想の証明を解説する ことである．直接関係のある論文[Laf1], [Laf2], [Laf3]だけで600ページ近くあることから 分かるように，Lafforgueの証明はかなり大規模なものであり，そのすべてを数十ページの 講究録で完全に扱うのはもちろん不可能である．その一方で，[Laf4]や[Lau]など，証明の 全体的な流れを概観した優れた解説は既に存在する．そこで本稿では，Lafforgueの証明の

うちLefschetz跡公式の部分のみに焦点を当て，詳細な解説を行うことにした．証明の数あ

るステップのうちLefschetz跡公式を選んだのは，筆者が比較的詳しいこともあるが，

• Langlands予想に関わる論文ではほとんど見られない議論が行われており，Lafforgue

の独自性が発揮されていると思われる

• Lafforgueの仕事の解説を行った文献において（筆者の知る限り）まだ扱われていない

などの理由によるものである．

このようにテーマを狭く絞り込んだため，Lefschetz跡公式以外の部分についての扱いは かなり軽いものにせざるを得なかった．特にshtukaのレベル構造・Hecke対応の定義やモ ジュライスタックCht^r_N の性質を始めとする基本的な事柄，コンパクト化の構成やその境界 の記述などの興味深いトピックに全く触れられなかったのは心残りである．また，解説記 事としては触れるべきであろう，関数体のLanglands予想の解決にいたるまでの歴史も紙 数の関係で割愛した．これらについては[Laf4], [Lau]などの解説記事などを参照されたい．

最後に，本稿の全体的な構成について簡単に述べておく．まず第1節では，Langlands予 想の正確な主張を述べ，非常に大雑把な証明のあらすじを紹介する．第2節では，shtuka とそのモジュライスタックについて必要最低限の説明を行う．第3節はLefschetz跡公式 の概説に充てられている．Lefschetz跡公式は数論幾何において極めて重要な位置を占める ものだと思われるが，そのまとまった解説記事はあまりないようである．そのため第3節 では，Lefschetz-Verdier跡公式およびDeligne予想について細かい解説を行い，可能な限 り証明をつけることにした．第4節では，LafforgueによるLefschetz跡公式について証明 付きで詳しく述べる．最後に，第5節では，第4節の内容をいかにしてshtukaのモジュラ イスタックのコホモロジーの計算に応用するかを概観する．

謝辞 筆者に講演および講究録執筆の機会を与えてくださった渡部隆夫氏（阪大理），なら びに筆者を推薦してくださった織田孝幸氏（東大数理）に深く感謝する．また，伊藤哲史 氏（京大理）には，本原稿について多くの有益なコメントをいただいた．ここに感謝の意 を捧げる．

記号 Fqを有限体とし，ℓをqを割らない素数とする．CをFq上proper smoothかつ幾 何学的に連結な曲線とし，FをCの関数体とする．FをFの分離閉包，G_F = Gal(F /F) をFの絶対Galois群とする．また，Fの素点x∈ |C|に対し，F_xをFのxにおける完備 化とし，その整数環をOx，剰余体をκ_xと書く．κ_xのFq上の拡大次数をxの次数と呼び，

degxと書く．

AFをFのアデール環とし，O_AF =∏

x∈|C|Oxをその整数環とする．a= (a_x)_x∈|C|∈A に対し，dega=∑

x∈|C|degx·v_x(a_x)とおく（これは本質的には有限和である）．ただし，

v_xはOxの正規化された離散付値とする．

コホモロジーといえば常にℓ進エタールコホモロジーを指すものとする．

1 Langlands _予想とは

よく知られているように，Langlands予想とはG_Fのr次元ℓ進表現とGL_r(AF)の保型表 現が対応するであろうという予想である．ここではまず両者の設定を明確にし，Langlands 予想を定式化する．

1.1 ガロア表現

r≥1に対し，Gℓ^r(F)をG_F の連続な既約r次元ℓ進表現σ:G_F −→GL_r(Qℓ)で，条件

• 有限個の素点を除いて不分岐である

• detσが有限位数，すなわちあるn̸= 0に対して(detσ)^⊗nが自明な指標となる を満たすものの同型類の集合とする．

σ∈ Gℓ^r(F)はある開集合V ⊂C上のsmoothなℓ進層，あるいはC上の構成可能なℓ進 層とみなすことができる．

定義1.1

x∈ |C|に対し，F上の埋め込みF ,−→F_xを1つ固定し，Gal(F_x/F_x)⊂G_F とみな す．σのGal(F_x/F_x)への制限をσ_xとする．また，xにおける惰性群をI_xと書く．この とき，σのxにおける局所L因子を，

L_x(σ_x, Z) = 1 det(

Id−Frob_x·Z^degx;σ^Ix)

と定める．ただし，Frob_xはxにおける幾何的Frobenius元である．これは上で固定した 埋め込みによらない．また，σの大域的L関数を

L(σ, Z) = ∏

x∈|C|

L_x(σ_x, Z)

と定める．

注意1.2

L(σ, Z)はZの有理式であり，関数等式をもつことがℓ進コホモロジーの一般論を用い ることにより証明される（合同ゼータ関数の有理性，関数等式の証明と全く同じである）．

x∈V のときは，σ_xのI_xの制限は自明なので，σ_x(Frob_x)の固有値をz₁(σ_x), . . . , z_r(σ_x) と書くと，次が成立する：

L_x(σ_x, Z) = ∏

1≤i≤r

1

1−z_i(σ_x)Z^degx．

1.2 保型表現

写像φ: GL_r(AF)−→Cで次の4条件を満たすもの全体をAut^r_cと書く：

i) φはGL_r(F)の作用で左不変．

ii) φはあるGL_r(AF)の開部分群の作用で右不変．

iii) dega̸= 0となるa∈A^×Fが存在して，任意のg∈GL_r(AF)に対してφ(ag) =φ(g)．

iv) GL_rの標準的放物部分群P に対して，

∫

NP(F)\NP(AF)

φ(n_Pg)dn_P = 0

が成り立つ．ここでN_P はPの羃単根基であり，dn_P はN_PのHaar測度である．

Aut^r_cはGL_r(AF)の表現，あるいはGL_r(AF)のHecke環H^rF上の加群になるが，これを 既約表現に分解したときに現れる表現を尖点的保型表現という．GL_r(AF)の尖点的保型表 現で中心指標が有限位数であるもの全体をA^r(F)と書く．

π∈ A^r(F)に対して，局所L因子L_x(π_x, Z)および大域的L関数L(π, Z)が定義され，

解析接続と関数等式をもつ．さらに，πがx∈ |C|で不分岐ならば，z₁(π_x), . . . , z_r(π_x)を

Hecke固有値とすると，次が成り立つ：

L_x(π_x, Z) = ∏

1≤i≤r

1

1−z_i(π_x)·Z^degx．

1.3 Langlands 予想

定義1.3

σ∈ Gℓ^r(F)とπ∈ A^r(F)が「（Langlandsの意味で）対応する」とは，次が成立するこ とをいう：

σ,πがともに不分岐である素点x∈ |C|において，σ_xのFrobenius固有値とπ_x のHecke固有値が（順序を除いて）一致する，すなわちL_x(σ_x, Z) =L_x(π_x, Z) が成り立つ．

注意1.4

strong multiplicity one theoremより，σに対応するπは高々1つである．また，Cheb-

otarev密度定理より，πに対応するσは高々1つである．

次がLafforgueの主定理である：

定理1.5（F に対するLanglands予想）

次が成り立つ：

i)（Langlands対応）

π∈ A^r(F)に対して，対応するσ_π ∈ Gℓ^r(F)が定まり，π7−→σ_πは全単射である．

さらに，π_xが不分岐である素点の集合と(σ_π)_xが不分岐である素点の集合は一致 する．

ii)（局所因子の一致）

任意のx∈ |C|,π∈ A^r(F),π^′∈ A^r′(F)に対して，次が成り立つ：

L_x(π_x×π^′_x, Z) =L_x(

(σ_π)_x⊗(σ_π′)_x, Z) , ε_x(π_x×π_x^′, Z, ψ_x) =ε_x(

(σ_π)_x⊗(σ_π′)_x, Z, ψ_x)

． ここで左辺は「pairの局所L因子」「pairの局所ε因子」を表す．

iii)（Ramanujan-Petersson予想）

π∈ A^r(F)とπ_xが不分岐である素点x∈ |C|に対し，z_i(π_x)= 1．

1.4 証明の方針

ここでは定理1.5の証明の方針について簡単に述べる．

まず注意すべきことは，定理1.5はrについての帰納法で証明されるということである．

すなわち，rについての定理1.5の主張をMT_rと書くと，次が成り立つ：

命題1.6

i) r^′ < rについてMT_r′ が成立するならば，σ ∈ Gℓ^r(F)に対してそれと対応する π_σ∈ A^r(F)が存在し，x∈ |C|に対し，σ_xが不分岐ならば(π_σ)_xも不分岐である．

ii) さらに，全てのπ∈ A^r(F)に対して，それと対応するσ_π ∈ Gℓ^r(F)で，π_xが不分 岐ならば(σ_π)_xも不分岐であり，かつ重さ0であるものが構成できるなら，MT_rは 従う．

この命題の本質的な部分はガロア表現から対応する保型表現を構成する部分であるが，

ガロア表現の大域的L関数は解析接続および関数等式をもつので，逆定理（[C-P], [Laf1]

Appendice B）を用いることによってそれと同じ大域的L関数をもつ保型表現が得られる

（より正確には，ε因子の積公式も必要である）．これは代数体の場合とは著しく異なる部 分である．

したがって，保型表現π∈ A^r(F)から出発してそれに対応するガロア表現を構成する方 法を与えればよい．Langlands予想に関する多くの仕事と同様に，数論幾何学的な構成を 行う．すなわち，Hecke環H^rFが作用するF上のモジュラー多様体Chtを考え，そのℓ進

コホモロジーH_c^∗(Cht_F,Qℓ)をG_F およびH^rF の作用で分解することによって対応を構成 するのである．これがLanglandsの意味での対応になっていることは，Selberg跡公式と ChtについてのLefschetz跡公式を比較することによって得られる．

この方針は現在Langlands対応を構成するアプローチの1つとして広く用いられており 特に珍しいものではないが，Lafforgueの証明において用いられるモジュラー多様体Chtは 有限型ではなく，したがってコホモロジーの次元や固定点の個数などが無限になってしま うため，その取り扱いに著しい困難が生じるのである．

2 shtuka とそのモジュライスタック

ここでは，shtukaの定義について簡単に復習する．[Laf4]や[Lau]など，優れた解説が 少なからず存在するので，詳細はそちらをご覧いただきたい．

shtukaの定義 定義2.1

SをFq上のスキームとする．S上の階数rのshtukaとは，次の条件を満たす図式 Ee= (E ,−→ E^{j ′}←−^t -^τE)

のことである：

• E,E^′はC×S上の階数rの局所自由OC×S加群層である．

• ^τE= (Id×Frob_S)^∗E．ただしFrob_Sはq乗Frobenius射である．

• j,tは単射であり，その余核はある射∞,0 :S −→Cのグラフ上にサポートをもち，

グラフ上では可逆OS加群層である．

関手S7−→(S上の階数rのshtuka)はDeligne-Mumfordスタックになる．これをCht^r と書く（Chtはshtukaのフランス語表記chtoucaの頭文字である）．shtukaの定義より，射 (∞,0) : Cht^r−→C×Cが定まる．これはsmoothであり，相対次元は2r−2となる．

レベル構造

N ,−→CをCの有限部分スキームとするとき，shtukaのレベルN構造を考えることが できる．ここでは簡単のため，∞, 0がNと交わらない場合のみ定義する．

S上のshtukaEe= (E ,−→ E^{j ′}←−^t -^τE)のレベルN 構造とは，EのN×S上の自明化 u:E ⊗_OC ON =E ⊗_OC×S ON×S ∼=O^⊕N^r×S

であって，次の図式を可換にするものである：

E ⊗_OC ON

∼= //

u

&&

NN NN NN NN NN

N E^′⊗_OC ON

τE ⊗_OC ON

∼=

oo

τu

wwppppppppppp

O^⊕_N^r_×S

レベルN 構造つきshtukaのモジュライスタックをCht^r_N と書く．また，レベル構造を

忘れる自然な射Cht^r_N −→Cht^r×C×C(C\N)×(C\N)は表現可能であり，Galois群が GL_r(ON)である有限Galois ´etale被覆となる．

Hecke対応 K_N = Ker(

GL_r(O_AF)−→GL_r(ON))

とし，K_N で両側不変なHの元全体をHN とお く．HN はCht^r_N にcorrespondenceの線型和として作用する．より正確に述べると，次の ようになる：

f ∈ HNに対し，f_xがGL_r(Ox)の特性関数1_GL

r(Ox)の定数倍でないような素点xの集合 をT_fと書く．fはg_i∈∏

x /∈T_fGL_r(Ox)×∏

x∈T_fGL_r(F_x)を用いてf =∑

iλ_i1_KN·gi·KN と表すことができる．各g_iに対して，´etaleなcorrespondence

Γ^r_N(g_i)−→(Cht^r_N ×C×CCht^r_N)×C×C(C\T_f)×(C\T_f)

を定めることができ（[Laf2], I.4c, Proposition 3参照），fの作用はこの線型結合とする．

truncation

shtukaEe= (E ,−→ E^{j ′}←−^t -^τE)のうち，degE=dを満たすものを分類する代数スタック をCht^r,dと書く．このとき，Cht^r=⨿

d∈ZCht^r,dである．

Cht^r,dは，r≥2のとき有限型ではない．これは階数2以上のベクトル束のモジュライ空 間が有限型でないことに起因する．そこでベクトル束のモジュライの場合に倣い，shtuka に対してHarder-Narasimhanフィルトレーションの類似物を用いることで，Cht^r,dを有限 型の開部分スタックの合併として書くことを考える．

kをFq上の代数閉体とすると，k上のshtuka Ee= (E ,−→ E^{j ′} ←−^t -^τE)に対して，その Harder-Narasimhanフィルトレーションと呼ばれるEeのフィルトレーションと，canonical polygonと呼ばれる上に凸な折れ線写像p^Ee: [0, r]−→R(p^Ee(0) =p^Ee(r) = 0)を対応させ ることができる（[Laf2] II.2b, Th´eor`eme 8）．p^Eeはpと略記することも多い．

p: [0, r]−→Rをp(0) =p(r) = 0を満たす折れ線写像とするとき，Cht^rの開部分スタッ クCht^r,p≤pで次の条件を満たすものが唯一存在する：

k上のshtukaEeについて，p^Ee≤pであることとEeで決まる射Speck−→Cht^r がCht^r,p≤pを経由することは同値である．

さらに，Cht^r,d,p≤p = Cht^r,d∩Cht^r,p≤pはFq 上有限型になる．これにより，Cht^r,d =

∪

pCht^r,d,p≤pと有限型開部分スタックの合併で書くことができる．

レベルつきの場合も同様にしてCht^r,p_N ^≤p, Cht^r,d,p_N ^≤pを定めることができ，後者は有限型 になる．

注意2.2

ここで定めたCht^r,p≤pはHecke対応では保たれない．後にまた述べるが，これがLefschetz 跡公式の適用を困難にする1つの要因である．

固定点の個数

a∈ A^×_F でdega= 1となるものを固定する．このとき，Cht^r_N/a^Z =⨿

0≤d≤r−1Cht^r,d_N である．このスタックのコホモロジー層（C\N×C\Nへの自然な射による高次順像）の 交代和として得られるHN/a^Z×π₁(C\N×C\N)のvirtual表現

V_N =

4r∑−4

ν=0

(−1)^νH_c^ν(

Cht^r_N/a^Z)

を考える．V_N を分解することで，

π∈ {π}^rN =（Nの外で不分岐な尖点的保型表現全体）

に対応するσ_π を構成したい．このためには，f ×Frobⁿ_x ∈ HN ×π₁(C \N ×C \N) のV_N への作用のトレースを求めることが重要なステップである．以下では，幾何学的点 x∈(C×C)(Fq)でのファイバー(Cht^r,p_N ^≤p/a^Z)_xにおけるf ×Frobⁿ_xの固定点の個数（よ り正確には，Γ^r_N(g_i)×Frobⁿ_xの固定点の個数の線型和）

# Fix^r,p_x ^≤p(f×Frobⁿ_x)

を表す式を紹介する．この式とf×Frobⁿ_xのV_Nへの作用のトレースをLefschetz跡公式に よって結びつけるのが次節以降の目標になる．

∞,0∈ |C\T_f|に対し，sをdeg∞とdeg 0の公倍数とし，s= deg∞ ·s^′= deg 0·u^′と 書く．また，∞,0∈C(Fq)を∞, 0の上にある幾何学的点とし，x= (∞,0)∈(C×C)(Fq) とする．このとき，次が成り立つ：

定理2.3

f ∈ HN を固定する．折れ線写像pが十分上に凸であるとき，有限個の実数c_ι, λ_ι ≥0，

整数m_ι ≥0, 0< r_ι, r_ι^′ < rとGL_rι(AF), GL_r′

ι(AF)の尖点的保型表現π^ι, π^′ιが存在し て，deg∞, deg 0,sが十分大きいとき，周期関数

n7−→# Fix^r,p≤p

Frobⁿ(∞),0

(f×Frob^s/degx

Frobⁿ(∞),0

)

の平均は次の式で与えられる：

∑

π∈{π}^r_N

Tr_π(f)q^(r−1)s(

z₁(π_∞)^−s′+· · ·+z_r(π_∞)^−s′)(

z₁(π₀)^u′+· · ·+z_r(π₀)^u′)

+∑

ι

c_ιs^mιλ^s_ι(

z₁(π_∞^′ι)^−s′+· · ·+z_r′

ι(π^′_∞^ι)^−s′)(

z₁(π^ι₀)^u′+· · ·+z_rι(π₀^ι)^u′)

．

この定理は，

i) (Cht^r,p_N ^≤p)_xのf ×Frobⁿ_xによる固定点のアデール表示 ii) GL_rについてのfundamental lemma

iii) Arthur-Selberg跡公式

の3つをまとめて書いたものであり，[Laf2]の主定理である．i), ii)については，Drinfeld

やLaumonらの仕事がほとんどそのまま拡張できるため，さほど難しくはない．iii)は，

shtukaのHarder-NarasimhanフィルトレーションによるtruncationとSelberg跡公式に

おけるArthurのtruncationが対応していることを証明する必要があり，かなり難解なも

のとなっている．

3 Lefschetz _{跡公式の復習}

ここでは，kを分離閉体とし，すべてのスキームはk上有限型であり，直積はk上のファ イバー積を指すものとする．スキームX₁,X₂に対し，properな射a: Γ−→X₁×X₂を X₂からX₁へのcorrespondence（代数的対応）と呼ぶ．a_i= pr_i◦aとおく．

properな射f:X₂ −→X₁はγ_f =f×Id :X₂−→X₁×X₂によってX₂からX₁への correspondenceとみなせる．また，第1成分と第2成分を入れかえる射X₁×X₂−→X₂×X₁ をa: Γ−→X₁×X₂に合成したものはX₁からX₂へのcorrespondenceになる．これを

taと書き，aの転置と呼ぶ．

3.1 最も簡単な場合

まず，位相幾何学などでもよく出てくる，「普通の」Lefschetz跡公式を紹介する（後の 都合上，少し一般化した形で述べる）．X₁,X₂をk上properかつsmoothなスキームとす る．d_i= dimX_iとする．a: Γ−→X₁×X₂を（X₂からX₁への）correspondenceとし，

Γはk上smoothかつd₂次元であると仮定する．このとき，aはX_iの定数層係数コホモ ロジーH^ν(X_i,Qℓ)間に次のように準同型を誘導する（これもaで表すことにする）：

H^ν(X₁,Qℓ) ^a

∗

−−→1 H^ν(Γ,Qℓ)−−→^a2∗ H^ν(X₂,Qℓ)．

ここでa_2∗はa^∗₂:H^2d2−ν(

X₂,Qℓ(d₂))

−→H^2d2−ν(

Γ,Qℓ(d₂))

のPoincar´e双対である．

また，cl(Γ) =a_∗(1)∈H^2d1(

X₁×X₂,Qℓ(d₁))

をΓのcycle classとすると，projection formulaよりa_2∗(

a^∗₁(x))

= pr_2∗(

a_∗a^∗(pr^∗₁(x)))

= pr_2∗(

pr^∗₁(x)∪cl(Γ))

を得る．

定理3.1

a: Γ₁−→X₁×X₂,b: Γ₂−→X₁×X₂をcorrespondenceとする．Γ₁, Γ₂はそれぞれ d₂次元，d₁次元でsmoothであるとするとき，次が成り立つ：

Tr(_t

b◦a;H^∗(X₁,Qℓ))

=⟨

cl(Γ₂),cl(Γ₁)⟩

X1×X2． ここで⟨, ⟩X₁×X₂はカップ積によるpairingを表し，Tr(_t

b◦a;H^∗(X₁,Qℓ))

はトレース の交代和∑2d₁

ν=0(−1)^νTr(_t

b◦a;H^ν(X₁,Qℓ))

を表す．

注意3.2

上の定理においてX₁ =X₂, a =γ_f, b = ∆_X = γ_Id

X とすると，^tb◦a =f^∗であり，

⟨cl(Γ₂),cl(Γ₁)⟩

X×Xは重複度を込めたfの固定点の個数であるから，上の定理は位相幾何 学などでよく知られているLefschetzの固定点定理に他ならない．

この定理はPoincar´e双対定理とK¨unneth分解定理から形式的に従う．

注意3.3

より一般に，u ∈ H^2d1(

X₁ ×X₂,Qℓ

)は x 7−→ pr_2∗(

pr^∗₁(x)∪u)

によってコホモロ ジー間の写像u_∗: H^ν(X₁,Qℓ) −→ H^ν(X₂,Qℓ)を定める．v ∈ H^2d2(

X₁ ×X₂,Qℓ

)は x7−→ pr_1∗(

pr^∗₂(x)∪v)

によってv_∗:H^ν(X₂,Qℓ)−→H^ν(X₁,Qℓ)を定める．これらにつ いても，次の跡公式が成立する：

Tr(

v_∗◦u_∗;H^∗(X₁,Qℓ))

=⟨ u, v⟩

X1×X2

3.2 Lefschetz-Verdier 跡公式

上に述べた定理3.1では，X_iおよびΓ_iのsmoothnessという強い仮定がついていたが，

Poincar´e双対定理の代わりにVerdier双対定理を利用することでLefschetz跡公式を大きく 一般化することができる．それがここで述べるLefschetz-Verdier跡公式である．

3.2.1 圏D_ctf^b (X,Λ)と6つの関手

以下ではΛをZ/ℓ^k,Zℓ,Qℓ,Qℓのいずれかとする．スキームXに対し，X上のΛ加群層 の複体でコホモロジーが有界かつ構成可能層であるもののなす導来圏をD^b_c(X,Λ)と書く．

また，そのなかでtorsion次元が有限である複体のなす充満部分圏をD_ctf^b (X,Λ)と書く．

D_ctf^b (X,Λ)は6つの関手で保たれる．すなわち，有限型である射f:X −→Y に対し，f_∗, f_!はD_ctf^b (X,Λ)からD_ctf^b (Y,Λ)の関手になり，f^∗,f^!はD^b_ctf(Y,Λ)からD^b_ctf(X,Λ)の関手 になる．また，L₁, L₂∈objD^b_ctf(X,Λ)に対し，RHom(L₁, L₂), L₁⊗^LL₂∈objD_ctf^b (X,Λ) である．

K ∈ D_ctf^b (Speck,Λ)は射影的Λ加群の有界複体と同型であり，したがってKの自己 準同型のトレースを考えることができる．この事実は主にL∈D^b_ctf(X,Λ)であるときに，

RΓ(X, L)あるいはRΓ_c(X, L)に適用する．

Xをスキームとし，構造射をf:X −→Speckとする．このとき，K_X =f^!Λとおく．ま た，D_X(L) =RHom(L, K_X)とおく．上に述べたことから，D_Xは圏D^b_ctf(X,Λ)を保つ．

以下で用いるK¨unneth同型を復習しよう．f₁:X₁−→Y₁,f₂: X₂−→Y₂を有限型であ る射とし，f =f₁×f₂:X₁×X₂−→Y₁×Y₂をその直積とする．L_i ∈D_ctf^b (X_i,Λ)に対 し，L₁^L L₂= pr^∗₁L₁⊗^L pr^∗₂L₂∈D_ctf^b (X₁×X₂,Λ)と定める．

命題3.4

L_i∈D^b_ctf(X_i,Λ),K_i∈D^b_ctf(Y_i,Λ)に対し，次が成り立つ：

i) f^∗(K₁^LK₂)∼= (f₁^∗K₁)^L (f₂^∗K₂)．

ii) f^!(K₁^L K₂)∼= (f₁^!K₁)^L (f₂^!K₂)．

iii) f_∗(L₁^LL₂)∼= (f_1∗L₁)^L (f_2∗L₂)．

iv) f_!(L₁^LL₂)∼= (f_1!L₁)^L(f_2!L₂)．

3.2.2 cohomological correspondence 定義3.5

X₁, X₂をスキームとし，L_i ∈objD_ctf^b (X_i,Λ)とするとき，Hom(pr^∗₁L₁,pr^!₂L₂)の元 をL₁からL₂へのcohomological correspondenceという．その全体をCoh-corr(L₁, L₂) と書くことにする．

注意3.6

上の設定において，

D_X1L₁^L L₂=RHom(L₁, K_X1)^LRHom(Λ, L₂) =RHom(L₁^L Λ, K_X1^LL₂)

=RHom(pr^∗₁L₁,pr^!₂L₂)

である（最後の等号に命題3.4 ii)を用いた）から，cohomological correspondenceはD_X1L₁^L L₂のX₁×X₂上のsectionとみなすこともできる．

定義3.7

a: Γ −→ X₁ × X₂ を correspondence とするとき，Hom(a^∗₁L₁, a^!₂L₂) の元をa に サポートをもつL₁ からL₂ へのcohomological correspondence という．その全体を Coh-corr(a;L₁, L₂)と書くことにする．

自然な写像

Coh-corr(a;L₁, L₂) = Hom(a^∗₁L₁, a^!₂L₂) = Hom(pr^∗₁L₁, a_∗a^!pr^!₂L₂)

= Hom(pr^∗₁L₁, a_!a^!pr^!₂L₂)−→Hom(pr^∗₁L₁,pr^!₂L₂)

= Coh-corr(L₁, L₂)

により，Coh-corr(a;L₁, L₂)の元はCoh-corr(L₁, L₂)の元を定める．

RHom(a^∗₁L₁, a^!₂L₂) =a^!RHom(pr^∗₁L₁,pr^!₂L₂) = a^!(D_X

1L₁^L L₂)であるから，aにサ ポートをもつcohomological correspondenceはa^!(D_X

1L₁^L L₂)のΓ上のsectionとみな すこともできる．

3.2.3 押し出し

f_i:X_i−→X_i^′を射とし，a: Γ−→X₁×X₂, a^′: Γ^′ −→X₁^′ ×X₂^′ をcorrespondenceと し，下図左のような可換図式が存在するとする．このとき，Γ^′′= (X₁^′×X₂^′)×X₁×X₂Γと おき，下図右の通りにi,a^′′,g^′を定める：

X₁×X₂

f₁×f₂

a Γ

oo

g

X₁^′×X₂^′ oo ^a′ Γ^′,

X₁×X₂

f₁×f₂

Γ^′′

a^′′

oo

g^′

Γ

vv a oo _i

 g

X₁^′ ×X₂^{′ a} Γ^′ oo ′

そして，L₁, L₂∈objD_ctf^b (X^′,Λ)に対し，押し出し

(f₁×f₂)_∗: Coh-corr(a^′;L₁, L₂)−→Coh-corr(a;f_1!L₁, f_2∗L₂) を次で定める：

Coh-corr(a;L₁, L₂) =H⁰(

Γ, a^!(D_X1L₁^L L₂))

=H⁰(

Γ^′′, i_!i^!a^′′!(D_X1L₁^L L₂))

−−→adj H⁰(

Γ^′′, a^′′!(D_X

1L₁^L L₂))

=H⁰(

Γ^′, g^′_∗a^′′!(D_X

1L₁^L L₂))

∼=H⁰(

Γ^′, a^′!(f₁×f₂)_∗(D_X

1L₁^L L₂))∼=H⁰(

Γ^′, a^′!(f_1∗D_X

1L₁^L f_2∗L₂))

∼=H⁰(

Γ^′, a^′!(D_X′

1(f_1!L₁)^Lf_2∗L₂))

= Coh-corr(a^′;f_1!L₁, f_2∗L₂)．

注意3.8

特にX₁=X₂= Speck，a=a^′= Id_Speckのときは，上の構成によって Coh-corr(L₁, L₂)−→Hom(

RΓ_c(X₁, L₁), RΓ(X₂, L₂))

を得る（この写像は実は同型である）．これによるu∈Coh-corr(L₁, L₂)の像をu_∗と書く．

さらにX₁がk上properである場合は，u_∗は次の合成と一致する：

RΓ(X₁, L₁) ^pr

∗1

−−→RΓ(X₁×X₂,pr^∗₁L₁)−−→^u∗ RΓ(X₁×X₂,pr^!₂L₂)

=RΓ(X₂,pr_2∗pr^!₂L₂)−−→^adj RΓ(X₂, L₂)．

3.2.4 pairing

a: Γ₁−→X₁×X₂,b: Γ₂−→X₁×X₂を2つのcorrespondenceとし，Ξ = Γ₁×X1×X2Γ₂ とおく．c: Ξ−→X₁×X₂を自然な射とし，L_i∈objD_ctf^b (X_i,Λ)とする．このとき，以下 のようにpairing

⟨, ⟩Ξ: Coh-corr(a;L₁, L₂)⊗Coh-corr(^tb;L₂, L₁)−→H⁰(Ξ, K_Ξ) を定める：

P =D_X

1L₁^LL₂,Q=L₁^LD_X

2L₂とおく．K¨unneth同型c_!(a^!P^Lb^!Q)∼=a_!a^!P⊗^Lb_!b^!Q とadjunction mapa_!a^!P⊗^Lb_!b^!Q−→P⊗^LQを合成することで，射c_!(a^!P^Lb^!Q)−→P⊗^LQ ができる．これからadjointによりa^!P^Lb^!Q−→c^!(P⊗^LQ)が得られ，c_∗を施してもう一 度K¨unneth同型を使うと，a_∗a^!P^L b_∗b^!Q−→c_∗c^!(P⊗^L Q)が得られる．また，

P⊗^L Q= (D_X1L₁^LL₂)⊗^L(L₁^LD_X2L₂) = (D_X1L₁⊗^LL₁)^L(L₂⊗^LD_X2L₂)

ev^Lev

−−−−→K_X

1

L K_X

2 =K_X

1×X₂

よりP⊗^L Q−→K_X

1×X2が定まる．この2つの射を組み合わせて a_∗RHom(a^∗₁L₁, a^!₂L₂)^L b_∗RHom(b^∗₂L₂, b^!₁L₁)−→c_∗c^!K_X

1×X2 =c_∗K_Ξ を得る．これのH⁰をとることで⟨, ⟩Ξが得られる．

注意3.9

X₁ =X₂ = Γ₁ = Γ₂ = Speck, a=b= Idの場合は，L₁, L₂はΛ加群の複体であり，

Coh-corr(a;L₁, L₂) = Hom(L₁, L₂), Coh-corr(^tb;L₂, L₁) = Hom(L₂, L₁)である．さらに，

H⁰(Ξ, K_Ξ) =H⁰(Speck,Λ) = Λであり，⟨u, v⟩Ξ= Tr(v◦u)となる．

上のpairingは´etale局所化と可換である．すなわち，次の命題が成り立つ：

命題3.10

X₁,X₂, Γ₁, Γ₂, Ξを上の通りとし，下図の左のcartesian diagram上´etaleな（必ずし もcartesianでない）右のdiagramが与えられているとする．

Γ₂

b

oo Ξ

X₁×X₂ oo _a Γ₁,

Γ^′₂

b^′

Ξ^′

oo

X₁×X₂ Γ^′₁

a^′

oo