Theorems ln

鹿児島経済論集第61巻第4号(2021年3月） 273

線型代数に於ける或る定理

Theorems

ln

LinearAlgebra

中嶋眞澄 MasumiNAKAJIMA

Dep(zrtmentq/Eco7'omics 肋ｵerna加冗αI[ﾉ ﾉe櫛t!/q/K(M9os/Mmq

Kagos"ma891‑0197;JAPAjV email:[email protected]

概要 Abstract

Wederivelleretwotheorcms(Theoreml,2) illLinearAIgebra whicharellewasfarastheauthorknows・ IIlor(lcrtoProvethem weilltroduceanewconceptcalledsub‑vector.

Keywords; linearalgebra,vector,sub‑vector， liIlearlyill(IGI)eIl‑

dellt.

MathematicsSubjectClilssification; 15AO3

この小論の定理を証明する動機となったものは，著者の講義「経済数学I」

で使用した教科書I1}の中の定理3.1(1).53)の証明が誤りであるからであ る。 （必要条件のみの証明になっていて，全く十分条件については述べて いない。即ち．行列の，，{列ベクトル表現の列ベクトルの7･""A｡｝≧{0でな い小行列式の最大次数}｡､の証明にしかなっていず．定理の主張｛列ベク トル表現の列ベクトルの、nA｝＝｛()でない小行列式の般大次数}，，の証 明になっていない。 ）しかし， この教科沓:は． この点を除き名著である。

274鹿児島経済論集第61巻第4号(2021年3月）

補題1 Rr@ヨα17a29 対して，

,a",A=(@,,a2, ･ ･ ･ ,Q")(行列Aの列ベクトル表現)に

,α"が1次独立<一IAI=￨Q,,a2, ,α"が1次従属<‑IAI=IQ,,Q2,

□００芋一︑冗ａαｑＪ令″

(i)q,,Q2, (ii)Q,,Q2,

A= (…,α恥･･･,Qj9…,Qj,･･･)

li

α〃0 ・ ・ ・ α師 ・ ・ ・ αkj

α"& ・ ・ ・ α鹿 ． ． ． αIj

一

一 ●●

αmﾉL ･ . . ami ・ ・ ・ αwlj

1鷺l鋤‑￨沙』‑￨藁 1

'

ah :==

｜蕊蔑蕊)…

A' :=(α'胆',αを',αj') :=

補題1より

IA'￨≠0

ｰ

Q",ai.,qj'は1次独立^{ノ グ}

‐

{1，1α','十鰯&αを'＋1抄j'=0ならば:I:1="&=鰯§=0}…(*)^グ

００一一Ｊ巧

● 麺 ｇ

︾

ａ３３鉱勿十十ｆ

■︒●ｐタマαａ２

麺 ワ﹄韮

十十

ｏｆＬｆｂａαｌ⑩鎚

甜一

中嶋興澄：線型代数に於ける或る定理275

上記(*)より

一

"1="2="3=0;即ちαb,Qj,qjは1次独立 即ち IA'￨≠O−ah,αf,αjは1次独立

この論法と全く同じ論法によって，

定理

、≦肥，m≦Iとして

M(犯×I;R)orM(泥×I;C)3A=(･ ･ ･ ,qjn,…,α

j' jk jm

…)＝

,Qj"､,

ai,jl ・ ・ ・ αj1jk ． 。 . af'j,n

ailj, ・ ・ . ailjk 。 ． 。 α 汀

二目＝

aimjl ・ ・ ・ αimjk ・ ・ ・ αfmjm ^申申

十 EI1

Qj,ノ ＝＝

ERmorCm,

A' :=(Qj,',･ ･ ･ ,oj偽',…,qj,,2'）

EM(m×m;R)orM(m×m;C)

目二三

はAの、次正方小行列

276鹿児島経済論染第61巻第4号(2021年3月）

と置くと

aj,',…,α侭',…'Qjwa'が1次独立，即ちIA'￨≠0

一

@j''…,α九,…'Qjwuも1次独立

となる。□

が得られる。

この定理の逆が成り立つが､この定理の逆を述べる為に部分ベクトルsub‑

vector或いは小ベクトルと云う概念(中嶋)を導入する：

7">nとして，

n個のベクトルα,,α2,…,a"ERmo7°C",から一斉にそれらの第j,,j2,…9in 成分を取って作った加個のベクトルαi,α&,…,αAER"orC"を元のベ クトルα,,α2,…,QnER'no7･C"!の部分ベクトルsub‑vector或いは小

ベクトルと名附ける。即ち

H

α1，2 (l1,1

(Iil,2 (Ijl,1

ゥ ・ ・ ・ ？α ：＝＝

α1 ：＝ αj苫,1 (Ii2,2

(Ij,0.2 ,0,1

(Iwl.1 αm､2

ER"'oﾉ･C'"

抑加皿５８つ一●①伽■分■Ｃ勺ｑ申８各ａαα

ノＪｌＩＩＩＩｌｌｌ︑

一 一

〃卸α

︑１ｌｌｌｌｌｌｊノ２２２︒■＆つ一●︒︒ｎ．刃号︒●８●■■α︑

／ＪＩＩｌｌｌｌｌｌ︑

｜

｜

グウーα

︑︑ⅡＩＩＩｌｌｌｊノ﹄ＪＪＱ■凸少今ロＣＧ卯凸●５．℃８●■ｑａα側

ノｊｌｌｌｌｌｌｌｌ︑

ｆｌａ

ER''oﾉ･C''

中鴫填澄：線型代数に於ける或る定理277

｜澱

A'=(Qi,α&,…,｡Im)=

EM(7D×汎;R)of･M("×孔;c),

｜激

A=(Q,,Q2,…,a")=

EM(m×抑;R)orM(m×n;c).

１

以上の準備の下，以下の定理1,2を証明する 定理1(中嶋）

7n>nとして，上記α11Q27…,α ER'"o7･Cmが1次独立であれば，そ れらの部分ベクトルsub‑vectorci,α&,…,α$､ER"oI･C"で1次独立で

あるものが存在するexist.

この定理を証明するには， この定理の次の対偶(定理2)を証明すれば良

い。

定理2(中嶋）

nl>沌として，上記α,,α2,…,"mERmo7･Cmの全ての部分ベクトル sub‑vectorai,α&,…,α；､ER"orC''が1次従属であれば，元のベクト

ルα,,α2,…,anER"lo7･C'"も1次従属である。

証明

nn>nとしてmに関する帰納法inductiononmで証明する。

m＝nのときは，明らかに成り立つ。

m−1≧〃('1は任意)のとき成り立つと仮定して77Z>nのときを考える。

おlal+fr2Q2+…＋ユア,,αγa=0

‐

278鹿児島経済論集第61巻第4号(2021年3月）

２２１２ａａ

１１１２ａａ

＋鉦、

〃1 α ,2

Qn+1,2 α油.1

an+1,1

am,1 am,2

ぐ＝今(*）

定理2の前提では「全ての部分ベクトル…」とあるので，特に／ｆＩ１ＩＩＩＩ０Ｉ１︑ ａαα １△︑畠︒︒︒卯 ︐︑九

１

一 一

Ｊ蛇α

︑１１０１１１１１Ｊノ

ハ

〃 一 句

〃 ハ ク

︾

１１９﹄・・尋ｍａαα

ノＪｌｌｌｌＩＩｌ１︑

一 一

Ｊワーα

︑１−１１１１Ｊノ似ｊ１１凸ワニ︒︒︒沌ααα

／ＪＩＩＩＩｌｌｌｌ︑

ｌ

−

ｊｌａ

が1次従属, ･ ･ ･(#）

即ち,A' :=￨Qi,α&,…,α;､￨=0

と仮定とする。

中嶋眞澄：線型代数に於ける或る定理279

＝

００００瓠一声二

一 一 一 一

ｆ抑冗施ｚ〃⁝蜘裡⁝〃抑冗鯉Ｌｎｌ２抑十ｍａαａｎα＋＋＋和＋

＋＋＋＋＋

２鞄が鞄２２〃必２２２Ｌ２１２．：卸十・：ｍａαａ抑α＋＋＋知十

１鋤煙轍１ｌ砥範１１：．ｊ１．：１１２＋ｍａαａ塊α

α

今ＩＩＩＩＩＩＩＩｊ︑ＩＩＩＩＩＩＩＩ１

(*）

ｰ

００

一 一

沌勿ねれ︒：範

ね０００１＋ｍ一二一一恥α＋流ｎ加十麺〃．：勿沌刀沌︒Ⅱワ﹄兜ａαα十＋＋＋＋

２●●毎２２〃＋＋＋１２＋：︒ｍ流α２２２α〃範工＋２２２＋１＆ワ一・・︒加ａαａ１＋＋＋〃１１〃

︒■且■Ｇ■︒■■凸十ｍｌ１１範ｚ麺池ａ︒■且●■ａ●●●ＣＨ４ａ︒Ⅱワー狐ａαａグーＩＩＩ１１１１ｒＩＩＩノー１１１１Ｊ＊ｊ＊︐ａ＊＊＊犯ｉｔαｉｔ

(#)より(**)は非自明な解を持つ。ベクトルαi,α畠,…,αAの添え字の番 号を付け替える事により〃'≠oとして良い。そしてα1,11a2,17…7(ZTD,1の 全てがOとなることはない。 もし全てが0であるとすると解",≠0が連立 1次方程式(**)の中に存在しなくなり鉱1==α沌I/re(II(comple")number となってしまう。従って(**)の式の番号(係数行列の行番号)を付け替え る事によりα1,,≠Oとしても構わない。これより

"1==一坐(q,,2"2+…+iz,,""")≠0･･･(****)

α1，1

280鹿児島経済論集第61巻第4号(2021年3月）

となり， これを(**), (*＊*)に代入して"1を消去すると

lMl

(*＊＊＊*）

上記(*****)は未知数の個数＝ ‑1,式の個数=m‑‑1でm‑1>沌一1 であるので帰納法の仮定を満たし， （**')は非自明な解を持つ。何故なら ば(**')の解がZ2＝錐3＝…＝範"＝0のみであれば(*＊**)より〃!＝0 となり， （**)が非自明な解を持つ事に反するからである。従って(*****）

はm‑1>n‑1のときの帰納法の仮定全てを満たしているので帰納法 の仮定により（*＊＊＊*)は非自明な解躯2,"3, ･ ･ ･ ,範,@を持つ。これをその まま(*＊**)に代入すれば(このとき鉦2,"3， ． ． ． ，砥"の値に応じて鯵,の値 は先の値と異なっても良く勿論範1=0でも良い。 ), これは(*)の解であ り．従って(*)は、≧肥の場合非自明な解を持つ事となり,m‑1Zn‑1

の場合定理が成り立つ事を仮定すればnZ>冗の場合も成り立つ事となり 帰納法により定理3.11の証明は完成する。□

定理，定理1,2より，m×7'行列のrankを次のように定義する

liil

A=(a,,a2, ･ ･． ,｡")=

をそれぞれAの列ベクトル表現，行ベクトル表現として rank列A:=rank{a,,Q2,…,a"},

rank行A:=rank{b,,b2,･･･,b"},

rallk行列式A:={Aの0でない小行列式の最大次数}.

と定義すると定理，定理1,2より

rank列A=rank行A=rank行列式A

中嶋興澄：線型代数に於ける或る定理281

となる。これを改めて

rankA:=rank列A=rank行A=rank行列式A と定義して行列Aのrankと云う。

参考文献

lll木村英紀Kimura,H. 『線形代数』L伽"rAj9e6m, (inJapanese):

東京大学出版会theUniv.of'IbkyoPress,2003,(x+233)pp..

(received30January2021.)