解答例＋引用題 理系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

[ [ HH [

I とおく。ただしH は自然対数の底とする。このとき次の問いに答

えよ。

\ I[の増減凹凸漸近線を調べグラフをかけ。

I[の逆関数 _{I[を求めよ。}

OLP

^

`

f

o Q Q Q

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２ 解答解説のページへ

からまでの番号がつずつ書かれた枚のカードがある。Nをからまで

の整数の つとする。よくきった 枚のカードから 枚を抜き取りそのカードの

番号が N より大きいなら抜き取った番号を得点とする。抜き取ったカードの番号が

N以下ならそのカードを戻さずに残りの枚の中から枚を抜き取り 回目に抜

き取ったカードの番号を得点とする。このとき次の問いに答えよ。

得点がである確率とである確率をそれぞれ求めよ。

以上以下の整数Qに対して得点がQである確率を求めよ。

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３ 解答解説のページへ

△2$% において辺$%上に点4 をとり直線24上に点3をとる。ただし点

3 は点 4 に関して点 2 と反対側にあるとする。 つの三角形△2$3△2%3

$%3

△ の面積をそれぞれDEFとする。このとき次の問いに答えよ。

24を2$ 2%およびDEを用いて表せ。 23を2$ 2%およびDEFを用いて表せ。

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４ 解答解説のページへ D＞ に対して I[ DORJ[ [＞ J[ [ [≧とおく。 曲線

[

\ I \ J[がある点3を共有しその点で共通の接線Oをもつとする。こ

のとき次の問いに答えよ。

Dの値点3の座標および接線Oの方程式を求めよ。

曲線は点3以外の共有点をもたないことを示せ。

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５ 解答解説のページへ

いくつかの半径の円を半径の円4に外接しかつ互いに交わらないように配

置する。このとき次の問いに答えよ。

半径の円のつを5とする。円4の中心を端点とし円5に接する本の半

直線のなす角をTとおく。ただし ＜T＜Sとする。このとき VLQTを求めよ。

S＜T＜Sを示せ。

配置できる半径の円の最大個数を求めよ。

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１ 問題のページへ [ [ HH [

I に対して

˜

c [ [ _[ [ [ _[ [

H H H H H

H H [ I ˜

cc [ [ _[ [ [ [

H H H H H H [ I [ _[ [ HH H

また _[

H [

I と変形すると

OLP_of [

[ I [OLPof I[

これより \ \ の 本の漸近線が存在し

[

\ I のグラフは右図のようになる。

\ I[⇔ _{[ I\より}

[ [

HH

\ とおき[について解くと

\ H \ [

[ ORJ\_\ ＜\＜

よって \ \_\

ORJ

I より [ [_[

ORJ

I ＜[＜

Q ORJ ORJ ORJ ORJ _I

I から

^

`

of of

f

o I I

ORJ_H

［解 説］

関数のグラフに関する基本問題です。でひとひねりがあると予測しましたが

これははずれてしまいました。

[ … …

[

Ic _{＋ ＋}

[

Icc _{＋ −}

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２ 問題のページへ

得点がであるのは回目に以上N以下のカードを抜き取り回目にのカ

ードを抜き取る場合よりその確率は

u N

N

また得点がであるのは 回目にのカードを抜き取る場合か 回目にN

以下のカードを抜き取り回目にのカードを抜き取る場合よりその確率は

N u N

まず Nzのとき得点QがN以下の場合とNより大の場合に分ける。

L ≦Q≦Nの場合

回目にQを除くN以下のカードを抜き取り 回目にQのカードを抜き取る場

合よりその確率は

u N

N

LL N＜Q≦の場合

回目にQのカードを抜き取る場合か 回目にN以下のカードを抜き取り 回

目にQのカードを抜き取る場合よりその確率は

N u N

なお N のとき得点がQである確率は u である。

得点の期待値を(とすると

¦

Q

N Q (

_¦

˜

N Q

N

Q N˜NNN˜NN

_{NN NNN NN}

この値は N のときも満たしている。

［解 説］

において N のときはLLの場合がありません。そのため補足のコメントを

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３ 問題のページへ $44% △2$3△2%3 DEより

E D D E

2% 2$

24

△2$% DEFより2443 △2$%△$%3 DEFFとなり

23

24 DEF DE よって 23 _DD_EE_F24 E2$_DED2%_F

高さの等しい三角形の面積比は底辺の長さの比になる

ことより

$% 2% 2$

E F

D

よってより23 2$2% 2$2%

［解 説］

は三角形の傍心のベクトル表示ですが の誘導を利用すると計算は不要で

す。なお内角や外角の二等分線の定理を用いる解も可能ですがこれは出題者の善

意に反します。

2

$ %

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４ 問題のページへ まず I[ DORJ[ J[ [に対し

[ [ c I c [ [ J

さて 曲線\ I[ \ J[が [ Sで接す

るとき

S J S

I より DORJS S………①

S J S

Ic c より

S S ………②

②より S S _{S SからS となり 3 である。}

①に代入してD ORJ

さらに 3 における接線Oは

[ \ \ [

K[ I[J[とおくとより

ORJ ORJ [ [ [ K c [ [[ [ [ [ [ K [ [ [ [ [

よってK[ の解は[ のみであり 曲線\ I[ \ J[は点 3

以外の共有点をもたない。

まず \ ORJORJ[に対して ORJ[ \ _{[ H}\

また \ [に対して _{[ \}

すると曲線と[軸で囲まれた部分の面積6は

>

@

³

6

［解 説］

では計算を少し簡単にするために\軸方向に積分しています。

[ … …

[

K − −

[

Kc ORJ

2 S [

\

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５ 問題のページへ 条件より VLQT

すると FRVT となり

FRV VLQ

VLQT T T ˜ ˜

FRV_T VLQT _{＞よりT は鋭角である。}

さて ＜ なので ＜＜となり

VLQ VLQ

VLQS＜ T＜ S

よって S＜T＜S

配置できる半径の円の最大個数をQとすると

T S

T Q

Q ≦ ＜ Q≦_TS＜Q………＊

さてD Sとおくと D S Dとなり

D

D VLQ

VLQ _VLQD_FRVD _VLQD_VLQD

VLQD z から _FRVD _VLQD _FRVDFRVD

FRVD

また FRVT であり ＜ から ＜

よって FRVT＜FRVDとなるのでT＞D Sからと合わせて

S＜T＜S ＜TS＜

すると＊より配置できる円の最大個数QはQ である。

［解 説］

の結論がアバウトすぎて ではそのまま利用できません。そのため Sを

用いてT を評価しようとしましたが意図に反してうまくいきません。ただTが

S

に近い値であることはわかりましたので求める Q は らしいと推測はできま

す。しかし決め手不在のまま時間はどんどん経過していきます。

5

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