信号の畳み込みとシステムの諸性質

ディジタル信号処理 第 2 ^回

信号の畳み込みと

システムの諸性質

記法について

•

•

•

x

−2 −1 0 1 2 x[−2]

x[−1]

x[0]

x[1] x[2]

x

(x[n])

この講義資料での記法 :

x 信号全体

(x[n]) n ∈ Z

x[n] 信号の時刻 n にお

ける値

•

δ

δ[0] = 1, δ[n] = 0(n 6= 0)

•

m

τ

x)[n] = x[n − m]

• (τ

x)[m] = x[0], (τ

x)[m] = x[1], . . .

m

( τm x )[n] = x[n-m]

作用素τm が

信号x に作用して 得られた信号(τmx)の

時刻nにおける値は

信号xの時刻n-mにおける値に等しい

畳み込み

• τ

δ

δ

(τ

δ = δ

δ

• x = P

m=−∞

x [ m ] δ

•

δ

δ[n − m]

(13

),

, δ

m

, δ

n − m

,

.

たとえば, (−1)δ0

+ 2δ

+ (−2)δ

0 1

0 1

0 1

-1 2 -2

0 1

時刻0 時刻0

この講義資料での記法 : δ 単位インパルス τ m 時間軸に関して m

シフトする演算子

δ m δ m = τ m δ

• x =

∞

X

m=−∞

x[m]δ

• x

n

• x[n] =

∞

X

m=−∞

x[m]δ

! [n]

∞

X

m=−∞

(x[m]δ

)[n] =

∞

X

m=−∞

x[m]δ

[n]

• δ

[n] = δ[n − m]

(どちらも n = m

1,

• x[n] =

∞

X

m=−∞

x[m]δ[n − m]

•

14

2.4

• L[·]

y = L[x]

• L [ x ] = L

"

X

m=−∞

x [ m ] δ

#

=

∞

X

m=−∞

x[m]L[δ

]

• δ

= τ

δ

L[·]

L[τ

δ] = τ

L[δ]

• L[τ

δ] = τ

L[δ]

(L[·]

).

⊲

δ

m

⊲

δ

m

同じ

,

,

.

• h = L[δ]

• L[x] =

∞

X

m=−∞

x[m](τ

h)

• y[n] =

∞

X

m=−∞

x[m](τ

h)

! [n]

=

∞

X

m=−∞

x[m](τ

h)[n] =

∞

X

m=−∞

x[m]h[n − m]

•

u

v

u ∗ v

(u ∗ v)[n] =

∞

X

m=−∞

u[m]v[n − m].

これを

u

v

(たたみこみ)

convolution

•

δ

L[δ]

•

h = L[δ]

L[x] = h ∗ x

x

x

L[·]

畳み込みの計算例

•

u: u[0] = 1, u[1] = 2, u[2] = 5, u[n] = 0 (n 6= 0, 1, 2)

•

v: v[0] = 1, v[1] = 1, v[n] = 0 (n 6= 0, 1)

• (u∗v)[−1] = · · ·+u[−2]v[1]+u[−1]v[0]+u[0]v[−1]+

· · · = 0

• (u∗v)[0] = · · ·+u[−1]v[1]+u[0]v[0]+u[1]v[−1]+

· · · = u[0]v[0] = 1

• (u ∗ v)[1] = · · · + u[−1]v[2] +

+

+

· · · = u[0]v[1] + u[1]v[0] = 3

• (u ∗ v)[2] = · · · + u[−1]v[3] +

+

= u[1]v[1]+u[2]v[0] = 7

• (u ∗ v)[3] = · · · + u[−1]v[4] +

+u[4]v[−1]+· · · = u[2]v[1] = 5

• (u ∗ v)[4] = · · · + u[−1]v[5] +

u[3]v[1] + u[4]v[0] + · · · = 0

(u ∗ v)[n] = P

m=−∞

u[m]v[n − m]

v[n-2] v[n-1] v[n] v[n+1]v[n+2]

u[-2] u[-1] u[0] u[1] u[2]

(u * v)[n]=?

(u ∗ v)[0] =?

• (u ∗ v)[n] = P

m=0

u[m]v[n − m]

n = 0

• (u ∗ v)[0] = · · · + u[−2]v[2] + u[−1]v[1] +

u [0] v [0] + u [1] v [−1] + u [2] v [−2] + · · ·

. . . u[−2] × v[2]

u[−1] × v[1]

u [0] × v [0]

u[1] × v[−1]

u[2] × v[−2]

. . .



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



X

(u ∗ v)[1] =?

• (u ∗ v)[n] = P

m=0

u[m]v[n − m]

n = 1

• (u ∗ v)[1] = · · · + u[−2]v[3] + u[−1]v[2] +

u [0] v [1] + u [1] v [0] + u [2] v [−1] + · · ·

. . . u[−2] × v[3]

u[−1] × v[2]

u [0] × v [1]

u[1] × v[0]

u[2] × v[−1]

. . .



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



X

(u ∗ v)[2] =?

• (u ∗ v)[n] = P

m=0

u[m]v[n − m]

n = 2

• (u ∗ v)[2] = · · · + u[−2]v[4] + u[−1]v[3] +

u [0] v [2] + u [1] v [1] + u [2] v [0] + · · ·

. . . u[−2] × v[4]

u[−1] × v[3]

u [0] × v [2]

u[1] × v[1]

u[2] × v[0]

. . .



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



X

n = 0 n = 1 n = 2 . . .

u[−2] × v[2] v[3] v[4]

u [−1] × v [1] v [2] v [3]

u[0] × v[0] v[1] v[2]

u[1] × v[−1] v[0] v[1]

u [2] × v [−2] v [−1] v [0]

. . .

•

pp. 15–18

•

散

Fourier

(教科書 5

環畳み込みと呼ばれる概念との混乱を防ぐた めに用いられる.

復習

δ

= τ

δ x =

∞

X

m=−∞

x[m]δ

h = L[δ]

L [ x ] = L

"

X

m=−∞

x [ m ] δ

#

=

∞

X

m=−∞

x[m]L[δ

] =

∞

X

m=−∞

x[m]τ

h

L[x]

n

(L[x]) [n] =

∞

X

m=−∞

x[m]τ

h

! [n]

=

∞

X

m=−∞

x[m]τ

h[n]

=

∞

X

m=−∞

x[m]h[n − m]

畳み込みの性質 ^{(教科書pp. 18–19)}

以下では,

u ∈ l

P

m=−∞

|u[m]| < ∞

• l

u, v ∈ l

u ∗ v = v ∗ u

• l

u, v, w ∈ l

u ∗

( v + w ) = u ∗ v + u ∗ w

u ∗ v = v ∗ u

• nを固定すると, (u∗v)[n] =P∞

m=−∞u[m]v[n−m]).

• nを固定すると, (v∗u)[n] =P∞

k=−∞v(k)u[n−k])(変数 kで和を取る). n−k=mとおく. nを固定したとき, kが−∞から∞まで動けば,m=n−kも−∞から∞ まで動く. 第2の式で和をとる変数をkからmに変え てn−k=mを代入すると, (v∗u)[n] =P∞

m=−∞v[n− m])u[m] =P∞

m=−∞u[m]v[n−m]).

• よって∀n, (u∗v)[n] = (v∗u)[n]. したがってu∗v=v∗u.

u ∗ (v + w) = u ∗ v + u ∗ w

• 以下, 曖昧さが発生しないときは, 和の範囲を略し, P∞

m=−∞をP

mと書くことがある.

• nを固定すると, (u∗(v+w))[n]

=P

mu[m](v+w)[n−m]

=P

mu[m](v[n−m] +w[n−m])

=P

mu[m]v[n−m] +P

mu[m]w[n−m]

= (u∗v)[n] + (v∗w)[n].

• よって∀n, (u∗(v+w))[n] = (u∗v)[n] + (v∗w)[n]だ から,u∗(v+w) =u∗v+v∗w

• l

u, v, w ∈ l

u ∗ (v ∗

w) = (u ∗ v) ∗ w

u ∗ (v ∗ w) = (u ∗ v) ∗ w

(1)

• u, v, w∈l1とする.

• nを固定; (u∗(v∗w))[n] =P

mu[m](v∗w)[n−m] = P

m

P

ku[m]v[k]w[n−m−k]

• nを固定; ((u∗v)∗w)[n] = P

p(u∗v)[p]w[n−p] = P

p

P

mu[m]v[p−m]w[n−p]

=P

m

P

pu[m]v[p−m]w[n−p]

(ここで和の順番の入れ換えをしている).

u ∗ (v ∗ w) = (u ∗ v) ∗ w

(2)

• mを固定したとき,k=p−mとおくと,pが−∞から∞ まで動けばkも−∞から∞まで動くから,和を取る変 数をkに変えて, ((u∗v)∗w)[n] =P

m

P

ku[m]v[k]w[n−

m−k]. これは(u∗(v∗w))[n]の式と同じ.

• ∀n, (u∗(v∗w))[n] = ((u∗v)∗w)[n]だから, u∗(v∗w) = (u∗v)∗w.

• 上述の議論では,和の順番の入れ換えが本質的に重要.

• u, v, w ∈l1という仮定は重要で, この仮定が満たされ ないときには, 上記の性質が成り立つことは必ずしも 保証されない.

• 数学的に言うと,条件収束するが絶対収束しない級数は 項の並べ換えることにより任意の数に収束するように できる. (たとえばG. E. Shilov, Elementary Real and Complex Analysis, Dover, 1996参照). よって,絶対収 束(l1のこと)を仮定しないと,いろいろな不都合が発 生する.

システムの直列接続

•

L

[·]

L

[·]

L

[·]

L

[·]

h

, h

x

y

= L

[L

[x]], y

= L

[L

[x]]

• L

[·]

h

∗ h

= h

∗ h

• h

, h

, x ∈ l

(結合則を用いるた

• y

= L

[ L

[ x ]] = L

[ h

∗ x ] = ( h

∗ ( h

∗ x )) = (h

∗ h

) ∗ x.

• y

= L

[L

[x]] = L

[h

∗ x] = (h

∗ (h

∗ x)) = (h

∗ h

) ∗ x = (h

∗ h

) ∗ x.

•

L

[L

[x]] = L

[L

[x]] = L

[x]

(教科書 p.20

2.5)

システムの並列接続

•

L

[·]

と

L

[·]

• L

[·]

h

+ h

• L

[x] = (h

+ h

) ∗ x = h

∗ x + h

∗ x =

L

[x] + L

[x] (教科書 p.20

2.6)

因果的なシステム

•

y = L[x]

• L[·]

h

• y[n] = P

m=−∞

h[m]x[n − m]

x[n + 1], x[n + 1, . . .

m < 0

h[m] = 0

•

1

安定性

•

(大辞林 第 3

⊲

⊲

•

• y = L[x]

x

y

BIBO

(Bounded Input

Bounded Output Stable)

•

BIBO

•

h

L[·]

•

x

x[n] = sgn(h[−n])

(sgn

∗ x)[0] = P

m=−∞

h[m]x[−m] = P

m=−∞

h[m]sgn(h[m]) = P

m=−∞

|h[m]|.

P

m=−∞

|h[m]| < ∞

•

P

m=−∞

|h[m]| < ∞

x

∃K ≥ 0, ∀n, |x[n]| ≤ K

|L[x](n)| ≤ K P

m=−∞

|h[m]|

BIBO

•

L[·]

BIBO

h

P

m=−∞

|h[m]| < ∞

•

22

2

教科書では畳み込みの応用例として音響システム が挙げられているが,畳み込みは線形時不変システ ムを取り扱うときにはつねに出て来るものであり, 殊更に音響システムを強調する意味はないので,講 義では割愛する.

l

•

⊲

⊲

•

長である

(でなければ記録できない).

号は,信号がない部分を零とおくことにより,

l

る

(すなわち,

個)と仮定しておけば, 畳み込みの性質の項 で述べた諸問題が発生することはない.

•

l