素粒子物理学特論
期末テスト
以下のようなスカラー場のハミルトニアンを考える。
(
すべて時刻t = 0
で考え ていることに注意せよ)
H = Z
d 3 x
· 1
2 π 2 + 1
2 ( ∇ φ) 2 + 1 2 m 2 φ 2
¸ .
また，場とその共役量についての交換関係を以下のように仮定する：
[φ(x), π(y)] = iδ 3 (x − y) , [φ(x), φ(y)] = [π(x), π(y)] = 0 .
このとき，ハミルトニアンは次のように書き換えられることを示せ。
H =
Z d 3 q (2π) 3 ω q
µ
a † q a q + 1 2
£ a q , a † q ¤ ¶ .
ここで，フーリエ変換は次で与えられるものとする。φ(x) =
Z d 3 q (2π) 3
p 1 2ω q
¡ a q e iq · x + a † q e − iq · x ¢ , π(x) =
Z d 3 q (2π) 3 ( − i)
r ω q
2
¡ a q e iq · x − a † q e − iq · x ¢ .
ここまで，ω q ≡ p
q 2 + m 2を用いている。また，R
d 3 x e iq · x = (2 π) 3 δ 3 (q)
である。ちなみに，交換関係から
h
a q , a † q0i
= (2π) 3 δ 3 (q − q 0 )
である。以上
