幾何学特論 II 講義ノート【集合論的トポロジー入門】

【集合論的トポロジー入門】

市原一裕

平成

28

5

29

はじめに

このノートは「幾何学特論II」の講義用のノート（講義を実際にするため のメモ，および，学生の自習（予習と復習）用）として作成しています．わ からないところや，ミスだとおもわれるところがあれば，いつでも遠慮なく，

市原まで連絡ください．質問やコメントによって，みんなのノートとして，よ り良いものにしていければと思っています．

講義の概要

第１節は準備です．

第2章は，距離化定理

第二可算公理と第三分離公理を満たすならば距離化可能 第3章被覆コンパクトと点列コンパクト

ティコノフの定理（無限積）

多様体の定義（パラコンパクトとハウスドルフ性）

テキスト

寺澤順

トポロジーへの招待

日本評論社，162ページ，2012/4/16発売，ISBN-13: 978-4535785748

4

目 次

はじめに 3

講義の概要 . . . . 4

参考書 . . . . 4

第1章 準備 7 1.1 第1講 . . . . 7

1.2 第2講 . . . . 7

1.3 第3講 . . . . 7

第2章 距離化定理 9 2.1 距離位相. . . . 9

2.2 ゾルゲンフライ直線 . . . . 12

2.3 距離化定理の証明（１） . . . . 16

2.3.1 第四分離公理と正規空間（T4-空間） . . . . 17

2.3.2 完全正則空間（チコノフ空間，またはT₃1 2-空間） . . . 18

2.3.3 完全正則空間⇒距離化可能 . . . . 19

第 1 _{章 準備}

1.1

1

テキストの第3章「基本概念」の解説 位相空間

開集合系，開集合の定義 近傍の定義

位相空間の定義について 閉集合の定義，性質

1.2

2

テキストの第3章「基本概念」の解説（続き）

位相の強弱

例）密着位相と離散位相 内部，内点

外部，外点 境界，境界点

定理3.4.2（内部は開集合，境界は閉集合）

定理3.4.3（内部は最大の開集合）

1.3

3

テキストの第3章「基本概念」の解説（続き）

閉包（closure）の定義と性質 定理3.5.2，3.5.3

孤立点と集積点

第 2 _{章 距離化定理}

2.1

定義2.1.1. 【距離関数（distance function）】

Xを任意の集合とする．次の３つの性質を満たすような関数d:X×X→ Rを，集合X上の距離関数という．∀P, Q, R∈Xに対して，次が成立．

(1) d(P, Q)≥0かつd(P, Q) = 0ならばP =Q (2) d(P, Q) =d(Q, P)

(3) d(P, Q) +d(Q, R) =d(P, R)（三角不等式）

例 2.1.1. 例えばR²上で，2点 P = (x₁, y₁)とQ= (x₂, y₂)に対して dM(P, Q) =|x1−x2|+|y1−y2|

によって決まる関数dM :R²×R²→Rは距離関数になる．この距離関数を マンハッタン距離関数という．（ニューヨークのマンハッタン島はいわゆる碁 盤状に道路が走っているので．日本だったら京都距離関数？）．

定義2.1.2. 【距離空間（metric space）】

集合Xに，X上の距離関数d:X×X →Rが与えられたとき，組(X, d) を距離空間という．

例 2.1.2. R² とマンハッタン距離関数dM の組(R², dM)で距離空間がひ とつ決まる．この距離空間で考える幾何学を「タクシーの幾何学（Taxicab Geometry）」といったりする．

2.1. 距離位相 第2. 距離化定理

定義2.1.3. 【距離位相】

集合Xに距離関数d:X×X →Rが定められているとする．この時，

∀p∈U,∃ε >0 s.t. {q∈X|d(p, q)< ε} ⊂U

を満たすXの部分集合U ⊂Xを集めると開集合系の定義を満たす．従っ て，{U}によりX に位相が定まる．この位相を距離関数dから定まる 距離位相という．

練習問題 2.1.1. 上のように距離関数から決まる集合族が，開集合系の３つ

条件を満たすことを確かめなさい．

定義2.1.4. 【距離化可能(metrizable)】

位相空間(X,U)に対して，Uで定まる位相が距離位相になる場合，つま り，ある距離関数d:X×X →Rが存在して，dによって定まる開集合 系がUになる場合，位相空間(X,U)は距離化可能 (metrizable)であ るという．

残念ながら，全ての位相空間が距離化可能ではない．

例 2.1.3. 一点集合でない集合に密着位相により定まる位相空間は距離化可

能でない．

x, y ∈ X かつx ̸= y の時，ε := d(x, y) > 0（距離関数の定義より）．

{z∈X |d(x, z)< ε} ⊂X はdから定まる距離位相では開集合だが，∅でも X でもない．

これから考えたい問題は以下である．

bababababababababababababababab

問題：どんな位相空間が距離化可能だろうか？

密着位相の例から，あまり「弱すぎる」位相は距離化可能でないことが予 想される．つまり，

「距離化可能な位相空間では，開集合（開近傍）が十分豊富にある」

ということが期待される．

実際，次が成り立つ．

10

∀p, q∈X, ∃U, V ∈ U s.t. p∈U, q∈V, U ∩V =∅

この性質は，位相空間論において，とても重要といわれ，特別な名前が付 いている．

定義 2.1.5. 【第二分離公理，T2-空間，ハウスドルフ空間 (Hausdorff space)】

位相空間(X,U)に対して，

∀p, q∈X, ∃U, V ∈ U s.t. p∈U, q∈V, U∩V =∅

が成り立つとき，位相空間(X,U)は第二分離公理を満たす，または，ハ ウスドルフ空間(Hausdorff space)である，という．

フェリックス・ハウスドルフ(Felix Hausdorff)

ドイツの数学者(1869年11月8日-1942年1月26日)。位相空間などの 研究に貢献した。ライプツィヒ大学出身。ボン大学、グライフスヴァル ト大学の教授を務めた。ハウスドルフはユダヤ人であったため、ナチス 政権がドイツを支配していた1942年に強制収容所に送られることが決 定され、妻や義理の妹と共に自殺した（73歳）。

つまり，定理2.1.1は，距離位相を持つ位相空間はハウスドルフ空間になる ことを言っている．

しかし，残念ながら，この逆は成り立たない．つまり，開集合がとにかく 多ければ大丈夫，ということにはなっていない．

もうすこし複雑な例をあげよう．

11

2.2. ゾルゲンフライ直線 第2. 距離化定理

2.2

定義2.2.1. 【ゾルゲンフライ直線（Sorgenfrey line）I】

Rを実数全体からなる集合とする．

U ={∀p∈U | ∃q∈Rs.t. q < pand (q, p]⊂U}

を満たすようなRの部分集合を集めた集合族は開集合系になることが示 せる．この時，(R,{U})で決まる位相空間をゾルゲンフライ直線(Sor- genfrey line)という．

[Reference]: R.H. Sorgenfly,On the topological product of paracompact spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 53, (1947). 631–632.

注意 2.2.1. 他の文献ではゾルゲンフライ直線を定義する際，[q, p)を使って

いる．(https://en.wikipedia.org/wiki/Lower_limit_topology) ゾルゲンフライ直線の位相は，通常のユークリッド直線の位相より強い．な ぜなら，半開区間も開集合なので，通常の意味よりも開集合が多いから．

練習問題 2.2.1. ゾルゲンフライ直線において，(a, b)が開集合であることを

示しなさい．

実際，ゾルゲンフライ直線は，ハウスドルフ空間になる．

練習問題 2.2.2. ゾルゲンフライ直線はハウスドルフ空間になること（第二

分離公理を満たすこと）を示しなさい．

しかし，この場合は，密着空間とは逆に，開集合が多すぎるために，距離 化可能ではなくなってしまっている．

定理2.2.1. 【ゾルゲンフライ直線は距離化不可能】（命題7.4D）

S = (R,U)の位相は距離位相にならない，つまり，U は，Rを定義域 とする距離関数によって定まる位相にならない

以下，この定理の証明をしてみよう．

S= (R,U)に対して，

有理数全体から成る集合Q⊂Rを考える．

（本来なら，実数の定義をきちんとしないと，以下の議論の本質を見るこ とはできないが，ここではその厳密な定義は省略する．）

この時，以下のことが成り立つ．

12

∀ ⊂R ∩Q̸ ∅

注意 2.2.2. 通常のユークリッド位相に関しては，このことはよく知られて

いる．実は，ゾルゲンフライ直線の位相についても，このことは成り立つ．

練習問題 2.2.3. ゾルゲンフライ直線S = (R,U)の位相についても，任意の r∈Rの近傍∀U ∈ U,r∈U に対して，U∩Q̸=∅が成り立つ，ことを示し なさい．

以下，背理法によって，定理2.2.1の証明を行う．

つまり，U が距離位相であると仮定して，矛盾を導く．

R上の距離関数dが存在して，ゾルゲンフライ直線における任意の開集合 U に対して，

∀p∈U,∃ε >0 s.t. {q∈X |d(p, q)< ε} ⊂U

が成り立っているとする．

一方で，

{q∈R| ∃p∈Q,∃n∈Ns.t. d(p, q)< 1 n}

と言う集合全体Vを考える．ここで，V の濃度は可算無限である，つまり，

V の要素の個数は可算個であることに注意．

この時，Rの完備性，より正確には，アルキメデスの原理，から，

「任意の実数ε >0に対して，ある自然数n∈Nが存在して，¹_n < εが成 り立つ」

が成り立つので，ゾルゲンフライ直線における任意の開集合U に対して，

∀p∈U,∃V ∈ V s.t. p∈V andV ⊂U

が成り立つ．

従って，p∈Rに対して，

Vp∈ V s.t. p∈Vp andVp⊂(p−1, p]

を満たす集合 Vp を見つけることができる¹ この写像R→ V を考えると，

「p < p^′ ならば，Vp⊂(p−1, p]よりp^′̸⊂Vp だが，仮定よりp^′∈Vp^′」 が成り立つ．従って，Vp̸=Vp′ となる．これはつまり，写像R→ V が単射 であることを意味する．

しかし，V の濃度は可算無限ℵ0 であり，Rの濃度は連続無限なので，こ

れはカントールの定理に反する． （証明終）

1ここで実は，選択公理を使っている．

13

2.2. ゾルゲンフライ直線 第2. 距離化定理

この定理2.2.1の証明をよく見直してみると，次のように一般化できるこ

とがわかる．

定理2.2.2. 【距離化可能の条件】（定理7.4C）

距離位相空間は可分なら第２可算公理を満たす．

定義2.2.2. 【可分（separable）】

位相空間X にある部分集合Dが存在して，Dが可算集合，かつ，Dが X で稠密であるとき，X は 可分（separable）であると言う．

定義2.2.3. 【開基】

位相空間X の部分集合族V が 開基 であるとは，∀p∈X の任意の近 傍U に対して，あるV ∈ V が存在して，p∈V かつV ⊂U を満たす こと．

注意 2.2.3. 「開基」の定義の同値な言い換えとして，

「Xの任意の開集合が，V の要素の和集合として表される」

というのもある．

定義2.2.4. 【第二可算公理】

位相空間X が可算集合である開基V を持つとき，Xは 第二可算公理 を満たすと言う．

練習問題 2.2.4. 定理2.2.1の証明を基にして，定理2.2.2を証明しなさい．

なお定理2.2.1の逆も一般に成り立つ．

定理2.2.3. 【第二可算公理と可分性】（定理7.4B）

位相空間は第２可算公理を満たすならば可分である．

補足１

ちなみに，第一可算公理の定義も紹介しておこう．

位相空間X が，Xの各点で可算集合である基本近傍基V を持つとき，X は 第一可算公理を満たすと言う．

14

⊂

例 2.2.1. 距離空間(S, d)において，p∈S と自然数nに対して，

Un(p) :={q∈S|d(p, q)< 1 n}

とすると，{Un}n∈Nは，dから定る距離位相に関して，pにおける可算近傍 基になる．従って，dから定る距離位相を入れた位相空間は，第一可算公理 を満たす．

例 2.2.2. ゾルゲンフライ直線は，第一可算公理を満たす．実際，p∈ Rに

対して，{(p−_n¹, p]}n∈Nを考えると，これはpにおける可算近傍基を与えて いる．

15

2.3. 距離化定理の証明（１） 第2. 距離化定理

2.3

この章の目的は以下の定理を証明すること．

定理2.3.1. 【ウリゾーンの距離化定理】（定理12.8B）

第２可算公理を満たし第三分離公理を満たす位相空間（正則空間）は 距離化可能．

原論文：

P. Urysohn, Zum Metrisationsproblem, Math. Ann. 94 (1925), no. 1, 309–315.

パベル・ウリゾーン (Pavel Samuilovich Urysohn)

ロシアの数学者（1898年2月3日 - 1924年8月17日）。ロシア帝国の オデッサ生まれ。モスクワ大学で1915年から1921年まで学んだ。卒業 後、モスクワ大学で数学の助教授となったが、1924年フランスブルター ニュ地方の海岸で溺死した（26歳）。上記論文は，生前，1924年の4月 に彼によって投稿され，翌年，死後に出版された．

前節で見たように，開集合が少なすぎても多すぎても距離化可能にならない．

ゾルゲンフライ直線の例で見たように，「第２可算公理を満たす」という条 件は，開集合が多すぎてはいけない，ということを（なんとなく）言っている．

密着位相空間のように，開集合が少なくすぎても良くない．距離空間は，例 えば，ハウスドルフ性（第二分離公理）を満たす（定理2.1.1）けれども，そ れだけでは不十分（ゾルゲンフライ直線はハウスドルフ空間になっている）．

上の定理の「正則空間（regular space）」というのは，「第三分離公理」を満 たす空間のことで，ハウスドルフ空間を強めたものになっている．

定義2.3.1. 【第三分離公理と正則空間】（p.94, 11.2節）

位相空間(X,U)に対して，

∀p, q∈X,∃U, U^′, V ∈ U s.t. p∈U, q∈V, U∩V =∅, p∈U^′, cl(U^′)⊂U

が成り立つとき，位相空間(X,U)は第三分離公理を満たすという．

第二と第三分離公理を満たす位相空間を，正則空間(regular space)と

いう．T3-空間と表すこともある．

注意 2.3.1. 上の定義は，通常，よく知られている定義とは，少し異なって

いる．例えば，岩波の数学辞典による第三分離公理は次のものである．

16

∈ 1 ⊂ 2 1∩ 2 ∅ であるものが存在する．

テキストによる定理2.3.1の証明は，以下の３つのステップからなる．（原 論文の証明と同じかどうかは不明）

• 第二可算公理＋第三分離公理⇒第四分離公理（正規空間，T4-空間）

• 第二可算公理＋第四分離公理⇒完全正則空間（チコノフ空間，または T₃1

2-空間）

• 第二可算公理＋完全正則空間⇒距離化可能

2.3.1

-空間）

定理 2.3.2. 【第二可算公理＋第三分離公理 ⇒ 第四分離公理】（系

12.8A）

第三分離公理を満たす位相空間（正則空間）が第二可算公理を満たす ならば，それは第四分離公理も満たす．

定義2.3.2.【第四分離公理と正規空間（normal space）】（p.94, 11.2節）

位相空間(X,U)に対して，

∀F, G⊂X, closed, F∩G=∅ ∃U, V ∈ U s.t. F ⊂U, G⊂V, U∩V =∅

が成り立つとき，位相空間(X,U)は第四分離公理を満たすという．

第四分離公理を満たす位相空間を，正規空間(normal space) という．

T₄-空間と表すこともある．

定理2.3.3. 【距離空間は正規空間】（定理12.1A）

距離位相空間は第四分離公理を満たす．つまり，正規空間になる．

定理2.3.2の証明：

Xを正則空間とする．つまり，第二分離公理と第三分離公理を満たす位相 空間とする．

さらにXは第二可算公理を満たすとする．つまり，X が可算集合である 開基V を持つとする．ここで，Vが開基であるとは，∀p∈X の任意の近傍

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2.3. 距離化定理の証明（１） 第2. 距離化定理

U に対して，ある V ∈ V が存在して，p ∈V かつ V ⊂ U を満たすこと，

だった．

p∈F を任意にとってくる．このとき，F∩G=∅より，X\Gはpを含 む開集合だから，X\Gはpの近傍．ここで，Xが第三分離公理を満たすこ とから，

∃S ∈ U s.t. p∈S, S⊂X\G, cl(S)∩G∅ さらに，Vが開基なので，

∃V_p∈ V ⊂ U s.t. p∈V_p

この時，Vp⊂S⊂X \Gより，Vp∩G=∅．また，Vp ⊂Sより，cl(Vp)⊂ cl(S)⊂X\G（3.5.1参照）なので，

cl(V_p)∩G=∅

さらに，Vが可算集合であることから，{Vp}p∈F はたかだか可算なので，改 めて{S_n}n=1,2,···とおきなおすことができる．以上より，

F⊂ ∪

n=1,2,···

Sn andcl(Sn)∩G=∅(∀n)

が成り立つ．

あとは，補題12.7Bを適用すれば良い．

2.3.2

T

2

-空間）

定理2.3.4. 【第二可算公理＋第四分離公理 ⇒完全正規空間】

第四分離公理を満たす位相空間（正規空間）は完全正則空間になる．

定理2.3.5. 【ウリゾーンの補題】（定理12.2A）

Xを第四分離公理を満たす位相空間（正規空間）とし，F, G ⊂X を 互いに交わらない空でない閉集合とする．このとき，f(F) ={0}かつ f(G) ={1}を満たす連続関数f :X →[0,1]が存在する．

定理2.3.4の証明：

Xを第四分離公理を満たす位相空間（正規空間）とする．

任意のp∈Xと，pの近傍U ∈ U （つまり，p∈U となる開集合）を取っ てくる．

このとき，

∃f :X →[0,1] continuous function s.t. f(p) = 0, f(X\U) ={1}

18

定義2.3.3. 【完全正則空間またはチコノフ空間】（p.94, 11.2節）

位相空間(X,U)に対して，

∀p∈X, U∈ U withp∈U, ∃f :X →[0,1] continuous function s.t. f(p) = 0, f(X\U) ={1}

が成り立つとき，位相空間(X,U)は完全正則空間（completely regular space）または，チコノフ空間（Tychonoff space）という．T3¹₂-空間と 表すこともある．

チコノフは後で出てくる無限積位相を導入したことで有名．また，チコノ フの定理「コンパクト空間の（無限）積空間はコンパクト」でも有名．

定義2.3.4. 【連続写像の定義】

位相空間X, Y に対して，写像f :X →Y が連続写像（continuous map）

であるとは，Y の任意の開集合V に対して，その逆像f⁻¹(V)がXの 開集合になることである．

注意 2.3.2. 完全正則空間は正則空間．（V =f⁻¹[0,¹₂)と取ればいい）しか し，逆は成り立たない．

2.3.3

⇒

定理2.3.6. 【完全正則空間と距離化】（系11.3B）

第二可算公理を満たす完全正則空間は距離化可能である．

チコノフ空間の距離化可能性は，次のチコノフの埋め込み定理による．

定理2.3.7. 【チコノフの埋め込み定理】（定理11.3A）

位相空間X が完全正則空間になるための必要十分条件は，X が積空 間I^m に埋め込まれることである．（I= [0,1]）

ヒルベルト立方体

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