ターム学芸学部数学科

(1)

数学特別講義 B (1) ^参考資料 7 ( ^{演習問題解答} )

2021

^年度第

1

^ターム学芸学部数学科

3

^年

(

^月曜

1

^限

/

ハイブリッド講義南校舎

S107

^教室

)

担当

:

^{原隆}

(

学芸学部数学科・准教授

)

■演習問題解答問題

7-1.

固有値の計算および各広義固有空間への射影子の計算については演習問題

5-1.

^{の解答を参照す} ること

!!

計算する上では、半単純成分

H

は直接計算して羃零成分は

N =A−H

と計算するのが簡単かと思います

(

^検算では

N

がちゃんと羃零行列となっていることを確認しましょう

)

^。

(1) A1=

"

1 2 2 1

#

A1

の固有値は

−1

^および

3

^であり、

fW(−1 ;A1)

^および

Wf(3 ;A1)

^{への射影子}

P1,P2

は

P1=−1

4(A1−3I2) =−1 4

−2 2 2 −2

= 1 2

1 −1

−1 1

, P2= 1

4(A1+I2) = 1 4

2 2 2 2

= 1 2

1 1 1 1

で与えられる。したがって

A1

のジョルダン分解

A1=H1+N1

の各成分は

H1=−P1+ 3P2=−1

2

1 −1

−1 1

+3 2

1 1 1 1

=

1 2 2 1

(=A), N1=A1−H1= O2

となる。

※

A1=−P1+ 3P2

は

A1

のスペクトル分解である。

(2) A2=







0 1 2 1 0 2 2 2 3







A2

の固有値は

−1

^および

5

^であり、

fW(−1 ;A2)

^および

Wf(5 ;A2)

^{への射影子}

P1,P2

は

P1=−1

36(A2+ 7I3)(A2−5I3) =−1 36



7 1 2 1 7 2 2 2 10







−5 1 2 1 −5 2

2 2 −2





=−1 36



−30 6 12 6 −30 12

12 12 −12



= 1 6



 5 −1 −2

−1 5 −2

−2 −2 2



,

P2= 1

36(A2+I3)²= 1 36



1 1 2 1 1 2 2 2 4





2

= 1 36



6 6 12

6 6 12

12 12 24



= 1 6



1 1 2 1 1 2 2 2 4





(2)

で与えられる。したがって

A2

のジョルダン分解

A2=H2+N2

の各成分は

H2=−P1+ 5P2=−1 6



 5 −1 −2

−1 5 −2

−2 −2 2



+ 5 6



1 1 2 1 1 2 2 2 4



=



0 1 2 1 0 2 2 2 3



 (=A2),

N1=A2−H2= O3

となる。

※

A2=−P1+ 5P2

は

A2

のスペクトル分解である。

(3) A3=







0 1 0

−1 −2 0

2 2 −1







A3

の固有値は

−1

^のみ

(3

^重根

)

^{であり、広義固有空間}

fW(−1 ;A) =R³

^{への射影子は}

I3

である。したがって

A3

のジョルダン分解

A3=H3 +N3

の各成分は

H3=−I3=



−1 0 0 0 −1 0

0 0 −1



, N3=A3−H3=



 1 1 0

−1 −1 0

2 2 0





となる。

※ 実際

N₃²=O3

となるので

N3

は羃零行列である。

(4) A4=







4 2 5

4 2 4

−6 −3 −7







A4

の固有値は

0

^と

−1

^であり、

Wf(0 ;A4)

^および

Wf(−1 ;A4)

^{への射影子}

P1,P2

は

P1=−(A4−I3)(A4+I3) =−



 3 2 5

4 1 4

−6 −3 −8







 5 2 5

4 3 4

−6 −3 −6





=−



−7 −3 −7 0 −1 0

6 3 6



=



 7 3 7

0 1 0

−6 −3 −6



,

P2=A²₄=



 4 2 5

4 2 4

−6 −3 −7





2

=



−6 −3 −7

0 0 0

6 3 7





で与えられる。したがって

A4

のジョルダン分解

A4=H4+N4

の各成分は

H4= 0P1−P2=



 6 3 7

0 0 0

−6 −3 −7



, N4=A4−H4=



−2 −1 −2

4 2 4

0 0 0





となる。

※ 実際

N₄²=O3

となるので

N4

は羃零行列である。

(3)

(5) A5=







0 −1 0 0

1 2 0 0

2 −2 −2 −1

−2 −2 1 0







A5

の固有値は

−1

^と

1 (

^ともに

2

^重根

)

^であり、

Wf(−1 ;A5)

^および

Wf(1 ;A5)

^{への射影子}

P1,P2

は

P1= 1

4(A5+ 2I4)(A5−I4)²= 1 4







2 −1 0 0

1 4 0 0

2 −2 0 −1

−2 −2 1 2













−1 −1 0 0

1 1 0 0

2 −2 −3 −1

−2 −2 1 −1







2

= 1 4







2 −1 0 0

1 4 0 0

2 −2 0 −1

−2 −2 1 2













0 0 0 0

−8 4 8 4 4 0 −4 0





= 1 4







0 0 0 0

−4 0 4 0

0 4 0 4







=







0 0 0 0

−1 0 1 0

0 1 0 1





,

P2=−1

4(A5−2I4)(A5+I4)²=−1 4







−2 −1 0 0

1 0 0 0

2 −2 −4 −1

−2 −2 1 −2













1 −1 0 0

1 3 0 0

2 −2 −1 −1

−2 −2 1 1







2

=−1 4







−2 −1 0 0

1 0 0 0

2 −2 −4 −1

−2 −2 1 −2













0 −4 0 0

4 8 0 0

0 −4 0 0

−4 −8 0 0





=−1 4







−4 0 0 0 0 −4 0 0

−4 0 0 0

0 4 0 0







=







1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 −1 0 0







で与えられる。したがって

A5

のジョルダン分解

A5=H5+N5

の各成分は

H5=−P1+P2=







0 0 0 0

1 0 −1 0

0 −1 0 −1





+







1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 −1 0 0





=







1 0 0 0

0 1 0 0

2 0 −1 0

0 −2 0 −1





,

N5=A5−H5=







0 −1 0 0

1 2 0 0

2 −2 −2 −1

−2 −2 1 0





−







1 0 0 0

0 1 0 0

2 0 −1 0

0 −2 0 −1





=







−1 −1 0 0

1 1 0 0

0 −2 −1 −1

−2 0 1 1







となる。

※ 実際

N₅²=O4

となるので

N5

は羃零行列である。

(4)

(6) A6=







0 −1 −2 −2

1 2 2 2

1 0 0 −1

−1 0 −1 0







A6

の固有値は

−1

^と

1 (3

^重根

)

^であり、

Wf(−1 ;A6)

^および

Wf(1 ;A6)

^{への射影子}

P1,P2

は

P1=−1

8(A6−I4)³=−1 8







−1 −1 −2 −2

1 1 2 2

1 0 −1 −1

−1 0 −1 −1







3

=−1 8







−1 −1 −2 −2

1 1 2 2

1 0 −1 −1

−1 0 −1 −1













0 0 4 4

0 0 −4 −4

−1 −1 0 0

1 1 4 4





=−1 8







0 0 −8 −8

0 0 8 8

0 0 0 0

0 0 −8 −8







=







0 0 1 1

0 0 −1 −1

0 0 0 0

0 0 1 1





,

P2= 1

8(A²₆−4A6+ 7I4)(A6+I4) = 1 8







6 2 8 8

−2 2 −8 −8

−3 −1 6 2

3 1 6 10













1 −1 −2 −2

1 3 2 2

1 0 1 −1

−1 0 −1 1







= 1 8







8 0 −8 −8

0 8 8 8

0 0 8 0

0 0 −8 0





=







1 0 −1 −1

0 1 1 1

0 0 1 0

0 0 −1 0







で与えられる。したがって

A6

のジョルダン分解

A6=H6+N6

の各成分は

H6=−P1+P2=







0 0 −1 −1

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 −1 −1





+







1 0 −1 −1

0 1 1 1

0 0 1 0

0 0 −1 0





=







1 0 −2 −2

0 1 2 2

0 0 1 0

0 0 −2 −1





,

N6=A6−H6=







0 −1 −2 −2

1 2 2 2

1 0 0 −1

−1 0 −1 0





−







1 0 −2 −2

0 1 2 2

0 0 1 0

0 0 −2 −1





=







−1 −1 0 0

1 1 0 0

1 0 −1 −1

−1 0 1 1







となる。

※ 実際

N₆³=O4

となるので

N6

は羃零行列である。

(5)

babababababababababababababababababab

チェックポイント

演習問題

5-1.

で広義固有空間への射影子がきちんと計算出来たのであれば、ジョルダン分解を計算するのはさほど難しいことではありません。色々な行列のジョルダン分解を計算して慣れていきましょう

!!

演習問題

7-2. (

^{行列の同次対角化}

)^∗

^半単純な

n

^{次正方行列}

A,B

^が

AB=BA

^{を満たすとする。}

行列

A

^{の相異なる固有値を}

λ1, λ2, . . . , λr,

^行列

B

^{の相異なる固有値を}

µ1, µ2, . . . , µs

とするとき、

以下の設問に答えなさい。

(1) n

^{次正方行列}

B

^{が定める線形変換を}

fB:Rⁿ→Rⁿ;v7→Bv

^{とするとき、任意の}

1≤i≤r

に対して

fB(W(λi;A))⊆W(λi;A)

が成り立つことを証明しなさい。

【証明】定義より、数ベクトル

v

^が

W(λi;A)

の元であるための必要十分条件は

Aw=λiv

が成り立つことである。ここで、任意の

w∈W(λi;A)

^に対して

A fB(w)

= (AB)w

AB=BA

= B(Aw) =λiBw=λifB(w)

より

fB(w)∈W(λi;A)

^{であり、したがって}

fB(W(λi;A))⊆W(λi;A)

^{が成り立つ。}

□ (2)

^各

1≤i≤r, 1≤j≤s

^に対して

Vλi,µj :=W(λi;A)∩W(µj;B) ={v ∈Rⁿ |Av=λiv, Bv=µjv}

とおくとき、各

i

^に対して

W(λi;A) =

Ms j=1

Vλi,µj

が成り立つことを証明しなさい。

【証明】命題

5.5 (d)

^より

Rⁿ

^は

A

^および

B

^{に関する固有空間分解}

Rⁿ= Mr

i=1

W(λi;A) = Ms

j=1

W(µj;B)

^{を持つので、各}

1 ≤ i ≤ r

^に対して

W(λi;A)

^{への射影子を}

Pi

とし、各

1≤j≤s

に対して

W(µj;B)

への射影子を

Qj

とおく。このとき各

Pi,Qj

は構成からそれぞれ

A, B

の多項式として表されるので、

AB=BA

より可換な行列となることに注意しよう

^*1

。したがって、命題

–

^定義

4.4

より以下の主張を示せば十分である

;

主張

(a) {PiQj}1≤i≤r,1≤j≤s

は命題

–

^定義

4.4

^の

3

^条件

(P1), (P2), (P3)

^{を満たす。}

(b) Im (PiQj) =W(λi;A)∩W(µj;B)

^{が成り立つ。}

先ず

PiQj =QjPi

に注意すると、

(PiQj)²=PiQjPiQj = P_i²

|{z}

Pi

Q²_j

|{z}

Qj

=PiQj

より

(P1)

^が成り立つ。同様に

PiQjPkQℓ =PiPkQjQℓ

であるが、

(i, j)6= (k, ℓ)

^とすると

i6=k

^または

*1演習問題3-3.とほぼ同様に証明出来るので、各自で証明してみよう!!

(6)

j 6=ℓ

^{が成り立つので、}

PiPk =On

と

QjQℓ =On

のいずれかは成り立つ。どちらの場合でも

PiQjPkQℓ =On

となるので

(P2)

^{も成り立つ。最後に}

Xr i=1

X

j=1^s

PiQj= Xr

i1

Pi

Xs j=1

Qj

| {z }

=In

= Xr

i=1

Pi

| {z }

=In

より

(P3)

^{も成り立つ。以上より} ^主張

(a)

^{が証明された。一方で} ^主張

(b)

^{については、}

W(λi;A) = ImPi,W(µj;B) = ImQj

より

W(λi;A)∩W(µj;B) = ImPi∩ImQj

であるから、

ImPi∩ImQj = Im(PiQj)

^{を証明すれば良い。}

PiQj =QjPi

より

Im(PiQj)⊆ImPi, Im(PiQj) = Im(QjPi)⊆ImQj

だから

Im(PiQj)⊆ImPi∩ImQj

が成り立つ。一方で

v=Piwi=Qjwj ∈ImPi∩ImQj

に対して

Pi

を掛けると

P_i²wi

| {z }

=Piw⁼v

= PiQjwj

であるから

v = PiQjwj ∈ Im(PiQj),

^即ち

ImPi∩ImQj ⊆Im(PiQj)

が成り立つ。以上より題意は証明された。

□ (3)

^行列

A

^と

B

を同時に対角化する正則行列

P (

^つまり

P⁻¹AP

^と

P⁻¹BP

^{がどちらも対角行} 列になるような正則行列

P)

が存在することを証明しなさい。このとき

A

^と

B

^は ^同時対角化可能

simultaneously diagonalisable

^{であるという。}

【証明】直和分解

Rⁿ = Mr

i=1

Mr j=1

Vλi,µj

より、各部分空間

Vλi,µj

の基底を集めて

Rⁿ

^の基底

{p_k}1≤k≤n

を構成すると、各

p_i

^{は構成から}

A

^{の固有ベクトルにも}

B

^{の固有ベクトルにも} なっているため、

A,B

^は

P =

h

p₁ p₂ . . . p_n i

によって対角化される。

□ (4)

^{半単純行列}

A,B

^の和、差

A±B

^および積

AB

が半単純であることを証明しなさい。

【証明】仮定

AB=BA

^より

A,B

を同時に対角化する正則行列

P

^{が存在する}

;

^つまり

P⁻¹AP =







λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · λn





, P⁻¹AP =







µ1 0 · · · 0 0 µ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · µn







を満たす正則行列

P

^{が存在する。このとき}

P⁻¹(A±B)P =P⁻¹AP ±P⁻¹BP

=







λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · λn





±







µ1 0 · · · 0 0 µ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · µn





=







λ1±µ1 0 · · · 0 0 λ2±µ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · λn±µn





,

P⁻¹(AB)P = (P⁻¹A P)(P⁻¹

| {z }

=In

BP)

=







λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · λn













µ1 0 · · · 0 0 µ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · µn





=







λ1µ1 0 · · · 0 0 λ2µ2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · λnµn







(7)

より、

A±B,AB

^{も同じ正則行列}

P

^{によって対角化される}

;

^特に

A±B, AB

^{も半単純で}

ある。

□

babababababababababababababababababab

チェックポイント

同時対角化に関する設問。線形代数学の数あるトピックの中では割とニッチな印象を拭いきれませんが

(

^失礼

)

、実は色々な場面で応用されている話題でもあるので

(

^{例えば量子論} などでは、同時対角化の話題が非常に重要な役割を演じたりします

)

^{、余力のある人はしっ} かりと学習しておきましょう。

1

つの応用として、可換な半単純行列の和、差、積が半単純行列になることが証明出来ます

(

一般には半単純行列の和、差、積が半単純となるとは限りません

;

^例えば

"

3 1 0 2

#

−

"

3 0 0 2

#

=

"

0 1 0 0

#

は半単純行列の差ですが、半単純行列ではありません

)

^。

演習問題

7-3.

^羃零行列

N, N^′

^が

N N^′=N^′N

を満たすとき、その和、差

N ±N^′

^および積

N N^′

も羃零行列であることを示しなさい。

【証明】

N N^′=N^′N

であることから、通常の文字式のように

2

^項定理

(N±N^′)^a=

Xa k=0

a k

N^k(±N^′)^a⁻^k,

a k

= a!

k!(a−k)!

が成り立つ。したがって

N^m=On,N^′^m^′ =On

とすると、

(N ±N^′)^m+m^′ =

m+mX^′

k=0

m+m^′ k

N^k(±N^′)^m+m^′⁻^k

| {z }

=On

=On, (N N^′)^m=|{z}N^m

On

N^′^m=On

が成り立つので、

N±N^′,N N^′

^{も羃零行列である}

^*2

^。

□ babababababababababababababababababab

チェックポイント

可換な羃零行列の和、差、積が羃零行列となることを確認する問題です。可換性から、

N

と

N^′

の積を通常の文字式のように取り扱えてしまうので、証明はさほど難しくはありません。この程度の証明問題は、自力で書き上げられるようにしておきたいものですね。また、二項定理は数学のいたるところで顔を見せる必要不可欠な定理なので、この際しっかりと記憶しておきましょう。

*2もしあるk^に対してN^k(±N^′)^m+m^′^−k ̸=On となったとしたらk < m^かつm+m^′−k < m^′^{が成り立たなけ} ればならない。しかし、この2つの不等式の辺々を足し合わせるとm+m^′< m+m^′となり矛盾するため、すべてのk^に対してN^k(±N^′)^m+m^′^−k=Onが成り立つ。

(8)

演習問題

7-4.

半単純な羃零行列は零行列に限ることを証明しなさい。

【証明】

N

を半単純な羃零行列とし、

N^m=On

とする。

N

^{の対角化を}

P⁻¹N P =







α1 0 · · · 0 0 α2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · αn







とすると、

P⁻¹|{z}N^m

=On

P = (P⁻¹N P)^m=







α1 0 · · · 0 0 α2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · αn







m

=







α^m₁ 0 · · · 0 0 α^m₂ · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · α^m_n







となるので、

α^m₁ =α₂^m=. . . =α^m_n = 0,

^即ち

α1=α2=. . . =αn = 0

^{が従う。つまり}

P⁻¹N P

は零行列なので、左から

P

^{を、右から}

P⁻¹

^を掛けて

N =On

を得る。

□ babababababababababababababababababab

ターム 学芸学部数学科

数学特別講義 B (1) 参考資料 7 ( 演習問題解答 )

年度第

ターム 学芸学部数学科

年

月曜

限

ハイブリッド講義 南校舎

教室

担当

原 隆

学芸学部数学科・准教授

■演習問題解答 問題

固有値の計算および各広義固有空間への射影子の計算については 演習問題

の解答を参照す ること

計算する上では、半単純成分

は直接計算して羃零成分は

と計算するのが簡単かと 思います

検算では

がちゃんと羃零行列となっていることを確認しましょう

。

の固有値は

および

であり、

および

への射影子

は

で与えられる。したがって

のジョルダン分解

の各成分は

となる。

※

は

のスペクトル分解である。

の固有値は

および

であり、

および

への射影子

は

で与えられる。したがって

のジョルダン分解

の各成分は

となる。

※

は

のスペクトル分解である。

の固有値は

のみ

重根

であり、広義固有空間

への射影子は

で ある。したがって

のジョルダン分解

の各成分は

となる。

※ 実際

となるので

は羃零行列である。

の固有値は

と

であり、

および

への射影子

は

で与えられる。したがって

のジョルダン分解

の各成分は

となる。

※ 実際

となるので

は羃零行列である。

の固有値は

と

ともに

重根

であり、

および

への射影子

は

ターム学芸学部数学科

数学特別講義 B (1) ^参考資料 7 ( ^{演習問題解答} )

^年度第

^ターム学芸学部数学科

^年

^月曜

^限

ハイブリッド講義南校舎

^教室

^{原隆}

■演習問題解答問題

固有値の計算および各広義固有空間への射影子の計算については演習問題

^{の解答を参照す} ること

と計算するのが簡単かと思います

^検算では

^。

^および

^であり、

^および

^{への射影子}

^および

^であり、

^および

^{への射影子}

^のみ

^重根

^{であり、広義固有空間}

^{への射影子は}

である。したがって

^と

^であり、

^および

^{への射影子}

^と

^ともに

^重根

^であり、

^および

^{への射影子}

^と

^重根

^であり、

^および

^{への射影子}

で広義固有空間への射影子がきちんと計算出来たのであれば、ジョルダン分解を計算するのはさほど難しいことではありません。色々な行列のジョルダン分解を計算して慣れていきましょう

^{行列の同次対角化}

^半単純な

^{次正方行列}

^が

^{を満たすとする。}

^{の相異なる固有値を}

^行列

^{の相異なる固有値を}

^{次正方行列}

^{が定める線形変換を}

^{とするとき、任意の}

【証明】定義より、数ベクトル

^が

^に対して

^{であり、したがって}

^{が成り立つ。}

^各

^に対して

^に対して

【証明】命題

^より

^は

^および

^{に関する固有空間分解}

^{を持つので、各}

^に対して

^{への射影子を}

は構成からそれぞれ

より可換な行列となることに注意しよう