Microsoft PowerPoint - Ⅱ(リスク計量化入門）.ppt

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Ⅱ．統計・確率の基礎知識

リスク計量化の前提となる統計・確率の基礎知識につい て整理、復習します。 図解中心の説明ですので、統計・確率は苦手だと感じて いる方も理解度アップに繋がります。

目

次

１．基本統計量（1変量）

２．基本統計量（２変量）

３．確率変数と確率分布

４．推定と検定

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１．基本統計量（１変量）

（１） 平

均

（２） 分

散

（３） 標準偏差

（４） パーセント点

（例） 東証ＴＯＰＩＸ・日次変化率 250個 東証ＴＯＰＩＸ・10日間変化率 250個 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・・ ・ ・ ・ 東証 _日次変化 10日 指 変化 200Ｘ/9/29 1610.73 0.508 0.785 200Ｘ/9/28 1602.57 0.722 1.194 200Ｘ/9/27 1591.04 2.651 0.319 200Ｘ/9/26 1549.41 -0.667 -2.994 200Ｘ/9/25 1559.78 -0.245 -3.783 200Ｘ/9/22 1563.60 -1.048 -3.139 200Ｘ/9/21 1580.08 0.629 -3.894 200Ｘ/9/20 1570.18 -1.379 -5.040 200Ｘ/9/19 1591.98 -0.091 -3.538 200Ｘ/9/15 1593.43 -0.295 -2.474 講義の中では、以下の観測データを使います。 200Ｘ/9/14 1591.04 2.651 0.319

5 東証TOPIX日次変化率の推移 -12 -8 -4 0 4 8 12 東証TOPIX１０日間変化率の推移 -12 -8 -4 0 4 8 12

日次変化率 10日間 変化率 データ _COUNT 250 250 平 ＡＶＥＲＡＧＥ 0.063 0.656 分 ＶＡＲＡ 1.540 14.966 標準偏 ＳＴＤＥＶＡ 1.241 3.869 基本統計 Excel関数 （設問） グラフと基本統計量をみて、どんなことに気付きましたか？ 気付いて欲しいことは４つあります。 答えは、講義の中で・・・ （ヒント）

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（１） 平 均

• 平均は、観測データセットの「中心の位置」を示す指標の

１つ。

データの数 データの和 Ｘ ＝ ＝ Ｎ Ｘ_１＋Ｘ_２＋・・・＋Ｘ_Ｎ

• Ｅｘｃｅｌでは、関数ＡＶＥＲＡＧＥ（データ範囲）を使って求

める。

（２‐ⅰ） 分 散（記述統計の立場で定義）

• 分散は、観測データセットの「バラツキ」を示す指標の１つ。

• Ｅｘｃｅｌでは、関数ＶＡＲＰ（データ範囲）を使って求める。

データの データの偏差平方和 Ｖｐ＝σ２ _＝ ＝ Ｎ （Ｘ_１－Ｘ）２_＋（Ｘ ２－Ｘ）２＋・・・＋（ＸＮ－Ｘ）２ － データの「偏差平方和」（平均との差を２乗して合計）を求めて 「データの数」で割る。 － 分散の「単位」は、データの持つ「単位」の２乗。

9 ４ ３ ６ ７ 偏差 （平均との差） ５ ２ １ ０ －２ －１ 偏差平方 _（－２）２ _（－１）２ _０２ _１２ _２２ 偏差平方和 １０  観測データがバラつく（平均から離れる）と偏差平方和は増える。  しかし、観測データ数が増えても偏差平方和は増えてしまう。 合計すると ゼロ 合計すると 分散 偏差平方和 １０ 観測データ数 ５ 平均：中心の位 観測データ

記述統計： 中学・高校で学習する平均と分散

（例）

（参考）記述統計の考え方

• 観測データを母集団全体と考えて、統計量の算定を 行い、観測データが持つ特性を分析・記述する。 Ｘ ＝ Ｎ Ｘ_１＋Ｘ_２＋・・・＋Ｘ_Ｎ Ｖｐ ＝ Ｎ （Ｘ_１－Ｘ）２_＋（Ｘ ２－Ｘ）２＋・・・＋（ＸＮ－Ｘ）２ 分散 平均 （例）ある特定の集団（Ｎ人）の身長の平均と分散を計算 する。

11 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 母集団＝標本の特性値を調べる 母集団＝標本 平均μ 分散 V 標準偏差σ ＶａＲ など. 計測可

（２‐ⅱ） 分散（推測統計の立場で定義）

• 分散は、観測データセットの「バラツキ」を示す指標の１つ。

• Ｅｘｃｅｌでは、関数ＶＡＲＡ（データ範囲）を使って求める。

データ数－１ データの偏差平方和 Ｖａ＝σ２ _＝ ＝ Ｎ－１ （Ｘ_１－Ｘ）２_＋（Ｘ ２－Ｘ）２＋・・・＋（ＸＮ－Ｘ）２ － データの「偏差平方和」（平均との差を２乗して合計）を求めて 「データの数－１」で割る。 － 分散の「単位」は、データの持つ「単位」の２乗。

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• 観測データを、母集団から抽出した標本（サンプル）

と考えて、統計量の算定を行い、母集団の特性を推測

し、検証する。

Ｘ ＝ Ｎ Ｘ_１＋Ｘ_２＋・・・＋Ｘ_Ｎ Ｖａ ＝ Ｎ－１ （Ｘ_１－Ｘ）２_＋（Ｘ ２－Ｘ）２＋・・・＋（ＸＮ－Ｘ）２ 分散（不偏標本分散） 平均 （例）任意に抽出したＮ人（標本）の身長を計測して、日本人 全体（母集団）の身長の平均と分散を推定する。

（参考）推測統計の考え方

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 母集団の特性値（真の値）は分からない 母集団 標本 推定 平均μ 分散 V 標準偏差σ ＶａＲ など. 標本の特性値 平均μ＊ 分散 V＊ 標準偏差σ＊ ＶａＲ＊ _など

15 ･ 母集団の「真の分散」を、統計的手法で「推定」するときに N-1で割った「標本分散」を使うのは、以下のような特徴が あるため。 （一致性） ・ 「標本分散」は、Nが大きくなると、母集団の「真の分散」 に限りなく近づく （不偏性） ・ 「標本分散」は、母集団の「真の分散」の偏りのない推定 値となることが知られている

Ｎ－１で割った「標本分散」の特徴

母集団の 真の分散 Ｖ （誰も知らない） 標本分散Ｖ＊_（１） 標本分散Ｖ＊_（２） 標本分散Ｖ＊_（３） 標本分散Ｖ＊_（４） 標本分散Ｖ＊_（５） 標本分散Ｖ＊_（６） 標本分散Ｖ＊_（７） 標本分散（Ｖ＊_{）を、標本を変えて繰り返し計算すると、} 真の分散を中心にして偏りなく分布する（不偏性）

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講義の中で、VaRを計測する際に使う

分散、標準偏差は、推測統計の立場

から定義したもの（Ｎ－１ で割ったもの）

です。

（３） 標準偏差（推測統計の立場で記載）

• 標準偏差は、観測データセットの「バラツキ」を示す指標

の１つ。分散の平方根（ルート）をとって定義する。

－ 標準偏差の「単位」は、データの持つ「単位」と同じ。

• Ｅｘｃｅｌでは、関数ＳＴＤＥＶＡ（データ範囲）を使って求める。

データ数－１ データの偏差平方和 σ ＝ ＝ Ｎ－１ （Ｘ_１－Ｘ）２_＋（Ｘ ２－Ｘ）２＋・・・＋（ＸＮ－Ｘ）２

19 －４ －２ ２ ４ －１ －２ １ ２ 平均 標準偏差 標準偏差 標準偏差 標準偏差 ３．１６２ １．５８１ １．５８１ ３．１６２ ０ 【サンプル①】 【サンプル②】 ０

東証TOPIX日次変化率の推移 -12 -8 -4 0 4 8 12 日次変化率 標準偏差 －標準偏差 東証TOPIX１０日間変化率の推移 -8 -4 0 4 8 12 10日間変化率 標準偏差 －標準偏差

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• 平均をみると、日次変化率、１０日間変化率とも概ね

ゼロとなっている。

• 分散をみると、１０日間変化率の分散は、日次変化率

の 分散の概ね１０倍となっている。

• 標準偏差をみると、 １０日間変化率の標準偏差は、

日次変化率の標準偏差の概ね√１０倍（＝3.162倍）

となっている。

日次変化 10日 変化 データ COUN 250 250 平 ＡＶＥＲＡＧ 0.063 0.656 分 ＶＡＲ 1.540 14.966 標準偏 ＳＴＤＥＶ 1.241 3.869 基本統計 Excel関

株価・金利・為替等の変化率に関して

① その平均をゼロと仮定したり、

② T日間変化率の標準偏差は、日次変化率

の標準偏差の√T倍と仮定して

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（４）パーセント点

• パーセント点とは、観測データを小さい順に並べたときに、

その値よりも小さな値の割合が指定された割合（百分率）

になるデータの値として定義される。

• 例えば、９９パーセント点というのは、その値より小さな

データの割合が９９％となるデータの値のことを指す。

－ ５０パーセント点のことを中央値（メジアン）と呼ぶ。 － ２５パーセント点を第１四分位点、７５パーセント点 を第３四分位点と呼ぶ。

• Ｅｘｃｅｌでは、関数ＰＥＲＣＥＮＴＩＬＥ（データ範囲,率）を使っ

て求める。

99％ （例） 1000個の損失データが観測されている場合、 ９９％点というのは、損失額を小さい順に並べて ９９０番目になるデータ値のこと。 百 分 位 損 失 額 9 8 5 番 目 9 8 .5 % 5 2 9 9 8 6 番 目 9 8 .6 % 5 5 8 9 8 7 番 目 9 8 .7 % 5 8 9 9 8 8 番 目 9 8 .8 % 6 1 8 9 8 9 番 目 9 8 .9 % 6 2 1 9 9 0 番 目 9 9 .0 % 6 3 2 9 9 1 番 目 9 9 .1 % 6 5 4 9 9 2 番 目 9 9 .2 % 6 7 1 9 9 3 番 目 9 9 .3 % 6 9 8 9 9 4 番 目 9 9 .4 % 7 0 3 9 9 5 番 目 9 9 .5 % 7 1 2 9 9 6 番 目 9 9 .6 % 7 7 6 9 9 7 番 目 9 9 .7 % 7 9 4 9 9 8 番 目 9 9 .8 % 8 1 0 9 9 9 番 目 9 9 .9 % 8 3 1 順 位

25 99パーセント点 損失額 小 大 ９９％

99％ＶａＲは、文字通り、99パーセント点

のことです。

（１）散布図

（２）共分散

（３）相関係数

（４）相関行列

27 ・ ・ ・ ・・・ ・ ・ ・

（１） 散布図

 以下のような２変量の関係を調べるためには、 散布図を書くのが直感的に理解しやすい。 東証ＴＯＰＩＸ 10年割引国債 10日間変化率 10日間変化率 （Ｘ） （Ｙ） 200Ｘ/9/29 0.785 -0.098 200Ｘ/9/28 1.194 0.010 200Ｘ/9/27 0.319 0.177 200Ｘ/9/26 -2.994 0.315 200Ｘ/9/25 -3.783 0.688 200Ｘ/9/22 -3.139 0.560 200Ｘ/9/21 -3.894 -0.088 200Ｘ/9/20 -5.040 0.295 200Ｘ/9/19 -3.538 -0.010 200Ｘ/9/15 -2.474 0.098

-2.500 -2.000 -1.500 -1.000 -0.500 0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 -15.000 -10.000 -5.000 0.000 5.000 10.000 東証ＴＯＰＩＸ 国債10日間 変化 率 Ⅰ Ⅱ Ⅳ Ⅲ  Ⅱ、Ⅳのエリアに分布が多い。  株価変化率がプラス（マイナス）のとき、 国債価格 変化率はマイナス（プラス）となる傾向がある。

株価変化率と国債価格変化率との関係

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（２）共分散（推測統計の立場で記載）

• 共分散は、２つの変量（Ｘ、Ｙ）の間の「直線的な比例

関係の強さ」を示す指標。

－ データの「偏差積和」を求めて、「データ数－１」で割る。 － 共分散の「単位」は、 Ｘの持つ「単位」 掛ける Ｙの持つ「単位」。 （Ｘ_１－Ｘ）（Ｙ_１－Ｙ）＋（Ｘ_２－Ｘ）（Ｙ_２－Ｙ）＋・・＋（Ｘ_Ｎ－Ｘ）（Ｙ_Ｎ－Ｙ） ＣＯＶ（Ｘ、Ｙ） Ｎ－１ データ数－１ データの偏差積和 ＝ ＝

• Ｅｘｃｅｌでは、関数ＣＯＶＡＲ（データ範囲（Ｘ）、データ範囲

（Ｙ））を使って求める。

（注）Ｅｘｃｅｌでは、データの偏差積和をＮ－１ではなく、Ｎで割って共分散を定義して いる（記述統計の立場で定義している）ため、別途、調整を行う必要がある。

偏差積和 ＝ （Ｘ_１－Ｘ）（Ｙ_１－Ｙ）＋ （Ｘ_２－Ｘ）（Ｙ_２－Ｙ）＋・・・＋（Ｘ_Ｎ－Ｘ）（Ｙ_Ｎ－Ｙ） （Ｘ_ｉ－Ｘ）（Ｙ_ｉ－Ｙ）＞０ （Ｘ_ｉ－Ｘ）（Ｙ_ｉ－Ｙ）＜０ （Ｘ_ｉ－Ｘ）（Ｙ_ｉ－Ｙ）＜０ （Ｘ_ｉ－Ｘ）（Ｙ_ｉ－Ｙ）＞０ Ｙ Ⅰ Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅰ、Ⅲのエリアに多く分布 ⇒ 偏差積和 ＞ ０ ： 正の相関 Ⅱ、Ⅳのエリアに多く分布 ⇒ 偏差積和 ＜ ０ ： 負の相関 Ｘ_ｉ Ｙ_ｉ

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（３）相関係数

• 相関係数は、２つの変量（Ｘ、Ｙ）間の「直線的な比例

関係の強さ」を示す指標。

• 共分散を、２つの標準偏差の積で割って定義する。

－ 相関係数は－１～＋１までの値をとる。「単位」を持たない無名数。 － 相関係数の定義には、データ数Nが含まれていない（定義は１通りの み）。 ＣＯＶ（Ｘ、Ｙ） ＝ σ（Ｘ） σ（Ｙ） ρ（Ｘ、Ｙ） （Ｘ_１－Ｘ）（Ｙ_１－Ｙ）＋ ・・・＋（Ｘ_Ｎ－Ｘ）（Ｙ_Ｎ－Ｙ） ＝ （Ｘ_１－Ｘ）２_{＋・・・＋（Ｘ} Ｎ－Ｘ）２ （Ｙ１－Ｙ）２＋・・・＋（ＹＮ－Ｙ）２

• Ｅｘｃｅｌでは、関数ＣＯＲＥＬＬ（データ範囲（Ｘ）、データ範囲

（Ｙ））を使って求める。

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

相関係数と散布図

ρ＝0.7 ρ＝－0.7 ρ＝1.0 （正の完全相関） ρ＝－1.0 （負の完全相関） ρ＝0 （無相関） 相関係数の定義 ρｘｙ＝ COV(X,Y）/σｘσｙ

COV（X,Y） ： X,Yの共分散 ＝（1/N-1）*Σ（Xｔ－EX）（Yt－EY） σｘ ： Xの標準偏差 EX ： Xの平均値

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（４）相関行列と分散共分散行列

・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ 1 ρ（Ｘ_Ｎ、Ｘ_３） ρ（Ｘ_Ｎ、Ｘ_２） ρ（Ｘ_Ｎ、Ｘ_１） Ｘ_Ｎ ρ（Ｘ_１、Ｘ_２） 1 ρ（Ｘ_３、Ｘ_２） ρ（Ｘ_３、Ｘ_１） Ｘ_３ ρ（Ｘ_２、Ｘ_Ｎ） ρ（Ｘ_２、Ｘ_３） 1 ρ（Ｘ_２、Ｘ_１） Ｘ_２ ρ（Ｘ_１、Ｘ_Ｎ） ρ（Ｘ_１、Ｘ_３） ρ（Ｘ_１、Ｘ_２） 1 Ｘ_１ Ｘ_Ｎ Ｘ_３ Ｘ_２ Ｘ_１ ・・ ・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ρ（Ｘ_ｉ、Ｘ_ｉ）＝１ ： 同じ変量（Ｘ_ｉｉ）同士の相関は１ ρ（Ｘ_ｉ、Ｘ_ｊ）＝ρ（Ｘ_ｊ、Ｘ_ｉ） ： ２つの変量（Ｘ_ｉ、Ｘ_ｊ）の順序を変えて計算しても 相関係数の値は同じ。

太枠内が相関行列

太枠内が分散共分散行列

・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ Ｖ_ＸＮ ＣＯＶ（Ｘ_Ｎ、Ｘ_３） ＣＯＶ（Ｘ_Ｎ、Ｘ_２） ＣＯＶ（Ｘ_Ｎ、Ｘ_１） Ｘ_Ｎ ＣＯＶ（Ｘ_１、Ｘ_２） Ｖ_Ｘ３ ＣＯＶ（Ｘ_３、Ｘ_２） ＣＯＶ（Ｘ_３、Ｘ_１） Ｘ_３ ＣＯＶ（Ｘ_２、Ｘ_Ｎ） ＣＯＶ（Ｘ_２、Ｘ_３） Ｖ_Ｘ２ ＣＯＶ（Ｘ_２、Ｘ_１） Ｘ_２ ＣＯＶ（Ｘ_１、Ｘ_Ｎ） ＣＯＶ（Ｘ_１、Ｘ_３） ＣＯＶ（Ｘ_１、Ｘ_２） Ｖ_Ｘ１ Ｘ_１ Ｘ_Ｎ Ｘ_３ Ｘ_２ Ｘ_１ ・・ ・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・

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ＶａＲの計測手法として、分散共分散法

の説明をします。

ＶａＲの計測において、分散共分散行列、

相関行列が重要な働きをします。

Ⅲ．ＶａＲの計測と検証より

分散共分散法（デルタ法）による計算例② － リスクファクターが２つのケース ＶａＲの計算シート 分散共分散法（デルタ法） 【ポートフォリオ】 株式投信 100 億円 単独ＶａＲ 標準偏差 ×信頼係数 ×感応度 10年割引国債 100 億円 株式投信 9.00 ＝ 3.8686 2.33 100 割引国債 1.99 0.8568 2.33 100 保有期間 10日 信頼水準 99.00 ％ ポートＶａＲ 単純合算 10.99 ① 観測データ 250 日 相関考慮後 8.35 ② ①＞②：ポートフォリオ効果 東証ＴＯＰＩＸ 10年割引国債 投信VaR 国債VaR 10日間変化率 10日間変化率 9.00 1.99 1 -0.4233 9.00 投信VaR 2006/9/29 0.785 -0.098 -0.4233 1 1.99 国債VaR 2006/9/28 1.194 0.010 ↓ ↓ 2006/9/27 0.319 0.177 2006/9/26 -2.994 0.315 8.1560 -1.8162 9.00 2006/9/25 -3.783 0.688 1.99 2006/9/22 -3.139 0.560 ↓ 行列計算式 2006/9/21 -3.894 -0.088 VaR2: 69.78 2006/9/20 -5.040 0.295 VaR : 8.35 2006/9/19 -3.538 -0.010 2006/9/15 -2.474 0.098 投信感応度 国債感応度 2006/9/14 -2.248 -0.197 100.00 100.00 14.96626 -1.3938 100.00 投信感応度 2006/9/13 -1.822 0.187 -1.3938 0.7364709 100.00 国債感応度 2006/9/12 -1.875 0.403 ↓ ↓ 2006/9/11 -0.235 0.433 2006/9/8 0.007 0.118 1357.2481 -65.7303 100.00 2006/9/7 -0.591 1.179 100.00 2006/9/6 0.155 1.228 ↓ 行列計算式 2006/9/5 0.582 1.051 ポート分散 : 12.92 （単位調整） 2006/9/4 1.534 1.296 ポート標準偏差 : 3.59 相関行列 分散共分散行列 行列計算式 行列計算式

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（１）確率変数

（２）確率分布

－ 確率密度関数、分布関数

（３）様々な確率分布

－ 一様分布、正規分布、対数正規分布

ポワソン分布、２項分布

（４）確率変数の独立

３．確率変数と確率分布

（１）確率変数

• 予め定まった確率にしたがって値が変動する数のこと

を「確率変数」という

（例）サイコロを振ったときに出る目の数 １／６ １／６ １／６ １／６ １／６ １／６ 確 率 ６ ５ ４ ３ ２ １ サイコロの目（Ｘ） １／６ １ ２ ３ ４ ５ ６ Ｘ 確率 ― 離散的な確率変数

39 株価、金利、為替等の変化率を、 「確率変数」として捉えることも可能。 Ｘ 確率 下落（－） 上昇（＋） Ｘ Ｘ _Ｘ X_０（現在値） X_‐１ X_‐２ X_‐３ Ｘ ― 連続的な確率変数

• ＶａＲを２５０回計測して、ＶａＲを超える損失が 発生する回数 • 事件・事故発生に伴う損失の発生額（１回当たり） • 事件・事故の年間発生件数 • 個別企業の信用状態 その他の確率変数

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• 確率分布を表わすとき、２種類の関数がある。

① 確率密度関数

確率変数（Ｘ）が 「ある値」 をとる確率（確率密度）

を表わす関数

② 分布関数（累積確率密度関数）

確率変数（Ｘ）が 「ある値

以下

」 になる確率を表わ

す関数

（２）確率分布

0 ₁ 1 ｆ（Ｘ） Ｘ 0 ₁ 1 F（Ｘ） Ｘ_０＝ Ｘ 確率密度関数 分布関数 0.7 Ｆ（Ｘ_０）＝ 0.7 ｆ（Ｘ_０）＝ Ｘ_０＝0.7 0.7 （例）数直線上で、０から１までの値をランダムにとる 確率変数（X）を考える。 面積 0.7×１（確率密度） Xは 0～１の間で無限の値をとる可能性がある Xが 0.7の値をとる確率はゼロ Xが 0.7以下の値をとる確率は 0.7（斜線部の面積） 確率は面積で捉える

43 ｆ（Ｘ） ：各地域の広さ（km２_） ：人口密度（万人/km２_） （参考）人口と人口密度 Ｘ 人口は面積で 表される ：各地域の広さ（km２_） Ｘ Ｆ（Ｘ）：人口（万人）

0％ 確率密度関数 P％ P％ ｆ（Ｘ） Ｘ_０ Ｘ _Ｘ Ｘ ０ 分布関数 F（Ｘ） 100％ 斜線部の面積 縦軸上の点 Ｘ＝Ｘ_０となる確率（確率密度） Ｘ≦Ｘ_０となる確率 積分  より一般的に概念図で示すと

45

一様分布

： ある区間の中の値が同じ確率で生起する分布。

（３）様々な確率分布

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ｆ（Ｘ） 確率密度関数 Ｆ（Ｘ） 分布関数 ａ ｂ 0 1 Ｘ _Ｘ • 一様分布にしたがう乱数（一様乱数）は、Ｅｘｃｅｌ関数ＲＡＮＤ（） を使って生成することができる。 １/（b－ａ）

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

正規分布

： 左右対称の釣鐘型をした確率分布。 平均（μ）、標準偏差（σ）を与えると分布の 形状が決まる。 ⇒ N（μ,σ2_{）と表す。} • 平均（μ）＝０、標準偏差（σ）＝１の正規分布を標準正規分布 と言い、N（０,１）と表す。 Ｘ _Ｘ μ μ ｆ（Ｘ） 確率密度関数 Ｆ（Ｘ） 分布関数 σ＝１ σ＝0.5 σ＝２ σ＝0.5 σ＝１ σ＝２ ＥＸＣＥＬ関数 ＮＯＲＭＤＩＳＴ（Ｘ，μ，σ，関数形式）

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確率変数 Ｘ が 標準正規分布にしたがうとき

確率変数 σＸ＋μ は 正規分布にしたがう。

ｆ（Ｘ） 確率密度関数 Ｘ ～ N（0,１） σＸ+μ ～ N（μ, σ2_） σＸ ～ N（0, σ2_） 0 _μ Ｘ

確率変数 Ｘ が 正規分布にしたがうとき

確率変数 Δ

×

Ｘ＋定数項 は 正規分布にしたがう。

ｆ（Ｘ） 確率密度関数 Ｘ ～ N（μ, σ2_） Δ×Ｘ + 定数項 ～ N（Δ×μ+定数項 , （Δσ）2） μ _{Δ×μ+定数項} Ｘ 標準偏差がΔ倍になる

49 ・ 平均からどれだけ離れているか（標準偏差の何倍か）という 情報から、Ｘ以下の値をとる確率が分かる。 ・ 例えば、XがN（0，σ2 _{）の正規分布にしたがって生起するとき} X ≦ σとなる確率は 84.1％ X ≦ 2σとなる確率は 97.7％ X ≦ 2.33σとなる確率は 99.0％ X ≦ 3σとなる確率は 99.9％ となることが知られている。 ・ このとき、σの前に付いている係数 を「信頼係数」という。 ・ 正規分布は、Xが 「信頼係数」×σ以下となる確率が分かる 便利な確率分布の１つ。

正規分布の特徴

2.33σ 2σ σ X 99％ 99％点

株価、金利、為替等の変化率は、正規分布にしたがうと 想定されることが多い。 （注） 裾野部分の分布が厚くなることをいう。 東証TOPIX日次変化率の分布 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 実分布 正規分布 ファット・テール － しかし、実際の分布をみると、正規分布と比較して、歪み、 偏りやファット・テール が観察されることも少なくない。 （注）

51 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

対数正規分布

： Ｘ _Ｘ ｆ（Ｘ） 確率密度関数 _{Ｆ（Ｘ） 分布関数} 変数Xの対数値（logX）が正規分布にしたがうとき、 変数Xは対数正規分布にしたがう、と言う。 ｌｏｇＸの平均（μ）、ｌｏｇＸの標準偏差（σ）を与えると 分布の形状が決まる。 左右非対象、片側に裾野が長いファットテールな分布。 ｌｏｇＸの平均 = 0 ｌｏｇＸの標準偏差 = １ ｌｏｇＸの平均 = 0 ｌｏｇＸの標準偏差 = １ ＥＸＣＥＬ関数 ＬＯＧＮＯＲＭＤＩＳＴ（Ｘ，μ,σ）

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

ポワソン分布

： Ｋ _Ｋ ｆ（Ｋ） 確率密度関数 Ｆ（Ｋ） 分布関数 所与の領域、あるいは、所与の時間内において、０回、１回、 ２回、３回・・・と発生する事象が、ちょうどＫ回発生する確率を 示す。 平均発生回数（λ回）を与えると分布の形状が決まる。 平均発生回数λ＝2回 _{平均発生回数λ＝2回} ＥＸＣＥＬ関数 ＰＯＩＳＳＯＮ（Ｋ，λ，関数形式）

53 講義（Ⅲ．）の中で、 市場ＶａＲを計測（分散共分散法）するとき 正規分布を利用する例をあげます。 信用ＶａＲを計測（モンテカルロ・シミュレー ション法）するとき、正規分布を利用する例 をあげます。 オペリスクＶａＲを計測（モンテカルロ・シミュレ ーション法）するとき、対数正規分布とポワソン 分布を利用する例をあげます。 ― 実務的には、フィットのよい別の確率分布 を利用することもあります。

２項分布

： （例）サイコロを10回振って １の目が出る回数（Ｋ） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 ｆ（Ｋ） 確率密度関数 Ｆ（Ｋ） 分布関数 0 2 4 6 8 10 Ｋ 0 2 4 6 8 10 Ｋ N=10,ｐ=１/6 N=10,ｐ=１/6 １の目が出る回数 １の目が出る回数 結果が２通りある試行（実験）をＮ回繰り返したとき、片方の 結果が起こる回数（Ｋ）の確率分布。 試行回数（Ｎ回）と、片方の結果が起きる確率（ｐ）を与えると 分布の形状が決まる。

55 ２項分布（Exｃel関数） ＝ _ＮＣ_Ｋ ｐＫ （１－ｐ）Ｎ－Ｋ Ｎ回の試行の中から ある事象が起きるＫ回の試行を 取り出す組み合わせ ある事象が起きる確率は ｐ。 Ｎ回の試行のうち、Ｋ回は ある事象が起きる。 ある事象が起きない確率は１－ｐ。 Ｎ回の試行のうち、Ｎ－Ｋ回は ある事象は起きない。 ＮＣＫ ＝ Ｎ×（Ｎ－１）×・・・×（Ｎ－Ｋ＋１） Ｋ×（Ｋ－１）×・・・×２×１ （例）サイコロを１０回振ったときに２回、１の目が出る確率 ＝ ₁₀Ｃ_２ （1/6）2 _（5/6）10－2 _＝ 10×9 2×1 ×（1/6） 2 _（5/6）8 BINOMDIST(Ｋ，Ｎ，ｐ，false) BINOMDIST(2，10，1/6，false)

講義の中で、

ＶａＲ計測モデルのバックテストを行なう とき、2項分布を利用します。

57 

確率変数 Ｘ

_１

、X

_２

が互いに影響されず、

それぞれの確率分布にしたがって値をとるとき、

確率変数 Ｘ

_１

、X

_２

は、互いに「独立」であると

いう。

（４）確率変数の独立

【定義】

• ２回続けて１の目が出ても、３回目の結果には影響を 及ぼさない。 • ３回目は、いずれの目が出る確率も１／６。

（例）サイコロを振ったときに出る目の数

１／６ １／６ １／６ １／６ １／６ １／６ 確 率 ６ ５ ４ ３ ２ １ サイコロの目（Ｘ_３） ３回目： Ｘ_３ ＝ ？ １回目： Ｘ_１ ＝ １、 ２回目： Ｘ_２ ＝ １

59

株価、金利、為替等の変化について

確率変数 X の推移と、その確率分布 現在 将来 X_０ ｔ_０ Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ 過去 Ｘｔ Ｘｓ ？

互いに独立かつ同一の確率分布にしたがって

変動している、と考えられることが多い。

⇒ ｉ.ｉ.ｄ.の想定

【独立の定義】  確率変数 Ｘ_ｔ、X_ｓの確率関数に関して、以下の式が成り立つ とき、確率変数 Ｘ_ｔ、X_ｓは互いに「独立」と言う Ｐ（Ｘ_ｔ＝ａ、X_ｓ＝ｂ） ＝ Ｐ（Ｘ_ｔ＝ａ）Ｐ（ X_ｓ＝ｂ） 【i．ｉ．ｄ．の定義】  確率変数 Ｘ_ｔ、X_ｓについて、以下の２つの条件を満たすとき、 確率変数 Ｘ_ｔ、X_ｓは互いに「 i．ｉ．ｄ．」（注）であると言う。 （注）ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ａｎｄ ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ①確率変数 Ｘ_ｔ、X_ｓは互いに独立である。 ②確率変数 Ｘ 、X は同一の確率分布にしたがう。

61  確率変数 Ｘ_１、X_２ が互いに「独立」のとき、以下のことが 成り立つ。 ① 確立変数 Ｘ₁X₂ の期待値は、それぞれの確率変数の 期待値の積になる。 Ｅ（Ｘ₁X₂）＝Ｅ（Ｘ₁）Ｅ（X₂） ② 確率変数 Ｘ_１＋X_２ の分散は、それぞれの確率変数の 分散の和に等しい。 Ｖ（Ｘ₁＋X₂）＝Ｖ（Ｘ₁）＋Ｖ（ X₂） ③ 確率変数 Ｘ₁ と X₂ は無相関である。 ρ（Ｘ₁、X₂）＝０ 【定理】 （証明省略）

【ルートT倍ルール】 日次ベースの対数変化率 ｏｒ 変化幅を Ｘ_１ 、Ｘ_２ 、Ｘ_３ 、・・・ 、Ｘ_Ｔ とすると、 Ｔ日間の対数変化率 or 変化幅は Ｘ_１＋Ｘ_２ ＋Ｘ_３ ＋・・・ ＋Ｘ_Ｔ と表される。 各期のリスクファクター(Ｘ_１,Ｘ_２,Ｘ_３,・・・Ｘ_Ｔ)が、互いに独立かつ同一 の確率分布にしたがうと想定する。 _{【i.i.dの定義】} 日次ベースの対数変化率 ｏｒ 変化幅 Ｘ_１ 、Ｘ_２ 、Ｘ_３ 、・・・ 、Ｘ_Ｔの 分散を σ２ 標準偏差を σ とすると、 Ｔ日間の対数変化率 or 変化幅 Ｘ_１＋Ｘ_２ ＋Ｘ_３ ＋・・・ ＋Ｘ_Ｔの 分散は Ｔ×σ２ 標準偏差は √Ｔ ×σとなる。

63 （参考）対数変化率の定義

≒

≒

＝

－1

Ｘ_ｔ － Ｘ_t-1 Ｘ_ｔ Ｘ_t-1 Ｘ_t-1

＝

－1

Ｘ_ｔ － Ｘ_t-10 Ｘ_ｔ Ｘ_t-10 Ｘ_t-10

ｌｏｇ

Ｘｔ 日次対数変化率 Ｘ_t-1

ｌｏｇ

Ｘｔ 10日間対数変化率 Ｘ_t-10  対数変化率は、通常の変化率と近似的に等しいことが知られている。  ｌｏｇ（自然対数）は、Ｅｘｃｅｌでは関数ＬＮ（・）で与えられる。

対数変化率の特徴

 対数変化率は、同率の低下、上昇により、元の値に戻る。  10日間対数変化率は、日次対数変化率（10日分）の和となる。 変化率(日次） 対数変化率（日次） 対数変化率（日次） 100 0.0101 0.0101 _X10 100 0.2877 99 -0.0100 -0.0101 _X9 75 -0.4700 100 0.0526 0.0513 _X8 120 1.3863 95 -0.0500 -0.0513 _X7 30 -0.6931 100 0.1111 0.1054 _X6 60 -0.9163 90 -0.1000 -0.1054 _X5 150 0.5108 100 0.2500 0.2231 _X4 90 1.0986 80 -0.2000 -0.2231 _X3 30 -0.6931 100 0.4286 0.3567 _X2 60 -0.2877 70 -0.3000 -0.3567 _X1 80 -0.1178 100 0.6667 0.5108 X0 90 ― 60 -0.4000 -0.5108 0.1054 100 1.0000 0.6931 50 -0.5000 -0.6931 対数変化率（10日間） Σlog(X_t/X_t-1)

65 東証TOPIX日次変化率の推移 -12 -8 -4 0 4 8 12 日次変化率 標準偏差 －標準偏差 東証TOPIX１０日間変化率の推移 -12 -8 -4 0 4 8 12 10日間変化率 標準偏差 －標準偏差

-15 -10 -5 0 5 10 -15 -10 -5 0 5 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  下図は、過去1年間のデータをもとに、東証ＴＯＰＩＸ・ 変化率と、１期前の変化率との相関関係（自己相関） をみたもの。 当期 １期前 当期 １期前 相関係数ρ＝0.037 相関係数ρ＝0.905 東証TOPIX・日次変化率 東証TOPIX・10日間変化率 － 日次変化率の自己相関は弱いが、10日間変化率の自己 相関は強いことが観察される。 － 統計的に厳密に検証すると、多くの時系列データが（日次 変化率でみても10日間変化率でみても）独立とは言えない

67 日次 10日間 対数変化率 対数変化率 データ数 COUNT 250 250 平均 ＡＶＥＲＡＧＥ 0.063 0.656 分散 ＶＡＲＡ 1.540 14.966 標準偏差 ＳＴＤＥＶＡ 1.241 3.869 基本統計量 Excel関数  分散をみると、１０日間対数変化率の分散は、日次対数 変化率の分散の概ね１０倍となっている。  標準偏差をみると、 １０日間対数変化率の標準偏差は、 日次対数変化率の標準偏差の概ね√１０倍（＝3.162 倍） となっている。

ルートＴ倍ルール

10日間対数変化率 X_１＋Ｘ_２＋・・・＋Ｘ_T の確率分布 日次対数変化率 Xの確率分布 σ －σ √Ｔ×σ －√Ｔ×σ 仮定

69

ルートＴ倍ルール

仮定 リスクファクターの確率分布は ｉ．ｉ．ｄ． Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ ？ 日次対数 変化率 日次対数 変化率 日次対数 変化率 日次対数 変化率 Ｔ日間 対数変化率 σ －σ √Ｔ×σ －√Ｔ×σ

（１） 推 定

（２） 検 定

71 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 母集団確率密度関数  母集団の確率分布、特性値は、誰にも分からない。  標本の特性値から母集団の特性値を統計的に推測する。 母集団 標本（実現値） 特性値 平均μ 標準偏差σ 分散Ｖ ＶａＲ など. 特性値 平均μ＊ 標準偏差σ＊ 分散Ｖ＊ ＶａＲ＊ _など

（１） 推 定

推定

×

• 一定の確率分布を前提にして推定した値について、

その値をとる確率が十分に低いとき、

「偶然、珍しいことが起きた」と考えるのではなく、

「推定の際に置いた前提が誤っていた」

と結論付ける。

（２） 検 定

真の確率分布 推定の際に前提とした確率分布 ① 実現する確率が十分に低い ② 推定の前提（確率分布）が 誤っていたと結論付ける。 実現値

73 （設問） １の目がでやすいサイコロがあります。 サイコロを割ったり、Ｘ線透視などをせず、 サイコロを振るだけで、このサイコロが 「イカサマ」かどうかを決めたいと思います。 あなたは、このサイコロを６００回振って、 何回、１の目が出たら、「イカサマ」だと判断しますか？ １２０回で 「イカサマ」だと判断しますか？ １５０回で 「イカサマ」だと判断しますか？ ２００回で 「イカサマ」だと判断しますか？ ３００回で 「イカサマ」だと判断しますか？ ４００回で 「イカサマ」だと判断しますか？

 このサイコロを振ったとき、１の目が出る確率は 1/6 である。  このサイコロを600回振ったとき、１の目が？回以上発生した。  このサイコロを振ったとき、１の目が出る確率が 1/6 だとする と、６００回のうち？回以上、１の目が出る確率は十分に低い （例えば0.1％未満）ことが分かる。

（例）１の目がでやすい「イカサマ・サイコロ」の

見付け方

 このサイコロを振ったとき、１の目が出る確率は 1/6 とは 言えない。

75

２項分布

_Ｎ

C

_K

p

K

_(1-p)

Ｎ-K

Ｎ回の観測で、Ｋ回、1の目が出る確率

Ｎ＝６００回 ｐ＝1/6 １－ｐ＝5/6 K回 確率 確率 K回以上 0 0.000% 100.000% 0回以上 100 4.264% 60.278% 100回以上 110 2.904% 20.634% 110回以上 120 0.652% 3.051% 120回以上 130 0.052% 0.184% 130回以上 140 0.002% 0.004% 140回以上 150 0.000% 0.000% 150回以上 160 0.000% 0.000% 160回以上 170 0.000% 0.000% 170回以上 180 0.000% 0.000% 180回以上 190 0.000% 0.000% 190回以上 200 0.000% 0.000% 200回以上 300 0.000% 0.000% 300回以上 400 0.000% 0.000% 400回以上 500 0.000% 0.000% 500回以上 600 0.000% 0.000% 600回以上

①「帰無仮説」を立てる。 ② 「帰無仮説」 が「真」（true）であるという仮定の下に 「検定統計量」を決定する。 ― ただし「検定統計量の確率分布は既知とする。 ③試行や標本（サンプル）の抽出により、「検定統計量」 を計算する。 ④「検定統計量」の実現値（計算値）がどの程度の確率 でおき得ることかを確認する。 ⑤ 「検定統計量」の実現値（計算値）が十分に低い確率 （「有意水準」以下）でしか置きえないとき、 「帰無仮説」 を棄却する。

検定の一般的手続き

77  「検定」では、次の2通りの「過誤」（エラー）が起きる可能性が ある。

第１種の過誤（エラー）

本当は帰無仮説が正しいのに、

検定の結果、

帰無仮説が誤っていると結論付けてしまう。

第２種の過誤（エラー）

本当は帰無仮説が正しくないのに、

検定の結果、

帰無仮説が正しいと結論付けてしまう。

２種類の過誤

 したがって、バックテストの結果も 「過誤」（エラー）を伴って いる可能性がある点、注意を要する。

実現値 真の確率分布 推定に利用した確率分布 ＝ 真の確率分布 推定に利用した確率分布 ＝ 第１種の過誤 第２種の過誤

79

ＶａＲ計測モデルのバックテストは

参考文献・資料

「イラスト・図解 確率・統計のしくみが分かる本」

長谷川勝也 著

技術評論社

「初等統計学」

P.G.ホーエル 著

浅井晃、村上正康 訳

培風館

日本銀行「市場リスク管理の基礎」セミナー

補足１ 「確率・統計の基礎」

金融高度化センター 碓井茂樹