最適所得課税について

(1)

最適所得課税について

―所得税が所得のベキ乗に比例する場合の労働供給―

市田浩三中橋創

目次はじめに

Ⅰ．モデルの定式化

Ⅱ．所得税が所得に比例するとき

Ⅲ．所得税が所得の

2

乗に比例するとき

Ⅳ．所得税が所得の

s

乗

(1 < < s 2)

に比例するとき

Ⅴ．計算結果おわりに

はじめに

Mirrlees

の先駆的な研究以後，線形および非線形モデルを扱った最適所得課税に関する多くの論文等が発表されてきた［1–13］．これまで

Mirrlees

に従って最適所得課税の定式化を行い，

Pontriagin

の最大値原理や

Lagrange

の未定乗数法を利用して数値シミュレーションを行ってきた

［14–16］．Mirrleesのモデルにおける問題点の

1

つは，能力が小さい個人の所得税が負になることである．ここでは，その問題が生じないようにモデルを変更し，所得税が所得の

s

乗

(1 ≤ ≤ s 2)

で与えられたときのシミュレーションを行い，労働供給がどのように変化するか考察した．

Ⅰ．モデルの定式化

Mirrlees

による最適所得課税モデルはつぎのとおりである［1］．個人（家計）は同一の効用関数

( , )

u x y

をもつ．

x

は消費（

x> 0

）で

y

は労働供給（

0 ≤ < y 1

）である．貯蓄は考えない．

u

は

x> 0

，

0 ≤ < y 1

において連続微分可能であり，一般に

∂ ∂ u x / > 0

，

∂ ∂ u y / < 0

であると仮定される．個人の稼得能力を表すパラメータ

n

は

f n ( )

で表される連続な密度関数を持ち，区間

n n n

0

≤ ≤

N において

( ) 0

f n ≥

であるとする（

n

0

> 0, n

_N

<∞

）．

u

としては，通常

( , ) log log(1 )

u x y = x + − y (1)

(2)

または

( , ) ( 1/ ) 1/(1 )

u x y = − x − − y (2)

が用いられる．課税前所得

z ny =

に対する非線形所得税関数を

T z T ny ( ) = ( )

とすると

( ) ( )

x z T z ny T ny = − = − (3)

となるが，(3)では所得

ny

が

0

または

0

に近いとき，

x

が正であるためには

T

が負になる必要がある．しかし，一般に所得が小さいときは所得税が

0

であると考えられるので，

u

として

(1)

の代わりに

( , ) log( ) log(1 )

u x y = x b + + + − c y (4)

を考える．ここで

b

と

c

はあらかじめ定める正の定数である．これによって

0 ≤ ≤ y 1

におけるすべての

y

について計算を行うことができ，

T ≥ 0

となる．社会的厚生関数

G u ( )

，個人の稼得能力密度関数

f n ( )

としてはこれまでと同様

[14,15]，次の関数形を仮定する．

( ) 1

^u

G u e

^β

β

⁻

=− (5)

2 2

1 (log )

( ) exp[ ]

2 2

f n n

n

μ

πσ σ

= − − (6)

( )

G u

は個々の効用

u

が社会的厚生に与える影響を表した関数である．最適所得課税は積分

0^N

( ) ( )

n

W = ∫

n

G u f n dn ⁽⁷⁾

を最大にする課税政策である．また，社会の総生産額に対する政府の税収が一定値

1 − r

（

1 > > r 0

）であるとすると

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

N N

n n

z x f n dn T ny f n dn r

zf n dn nyf n dn

− = ∫ − = ∫

∫ ∫ ⁽⁸⁾

と表され，これより

0^N

( ) ( )

0^N

( ( )) ( ) 0

n n

n

x rz f n dn − =

n

ny rny T ny f n dn − − =

∫ ∫ ⁽⁹⁾

となる．

Ⅱ．所得税が所得に比例するとき

所得税が所得に比例するとき，所得税は

(3)

( )

T ny any = (10)

で表される（

a

は定めるべきパラメータ）．このとき

log( ) log(1 )

u = ny any b − + + + − c y (11)

となる．個人は効用関数を最大にするように労働供給

y

を定めるので

1 0

1 u n an

y ny any b c y

∂

= − − =

− + + − (12)

から

(1 )(1 ) 1

2(1 ) 2 2(1 )

a c n b c b

y a n a n

− + − +

= = −

− − (13)

となる．

n

を順次与えればこの式から

y

が計算できる．なお，

n→∞

のとき

y → + (1 )/2 c

となる．

パラメータ

a

は

(9)

において

T ny any ( ) =

とおくと

0^N

( ) ( ) (1 )

0^N

( ) 0

n n

n

ny rny any f n dn − − = − − r a

n

nyf n dn =

∫ ∫ ⁽¹⁴⁾

から

1 a = − r (15)

となる．

a

と

y

が定まると，

T

と

x

は

T any = (16)

x ny any = − (17)

で計算される．

u

は

(11)

から計算される．

n

が小さいとき（シミュレーションでは

n

の最小値を

n= 0.1

とした）

y≥ 0

となることが必要なので，(13)より

b

と

c

は

(1 )(1 + c − ≥ a ) 10 b (18)

を満たす必要がある．

Ⅲ．所得税が所得の

2

乗に比例するとき

所得税が所得の

2

乗に比例するときは

(10)

の代わりに

( )

2 2

T ny an y = (19)

(4)

となる（

a

(11)(12)

は

log(

2 2

) log(1 )

u = ny an y − + + b + − c y (20)

2 2 2

2 1 0

1 u n an y

y ny an y b c y

∂

= − − =

− + + − (21)

である．(21)より

2 2 2

3 an y − 2[(1 ) + c an + n y ] + + − = (1 ) c b 0 (22)

が得られ，この

y

の

2

次方程式を解くと（2次方程式から解は

2

つ得られるが，大きい方の解は

1

を超え

0 ≤ ≤ y 1

を満たさないので捨てる）

1 ( 1)

2

3 ( )

3 an can an can a n cn b

y an

+ + − + + − + −

= (23)

となる．パラメータ

a

は

(9)

において

T ny an y ( ) =

^{2 2}とおくと

0 0 0

2 2 2 2

( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) 0

N N N

n n n

n

ny rny an y f n dn − − = − r

n

nyf n dn a −

n

n y f n dn =

∫ ∫ ∫ ₍₂₄₎

から 0

0 2 2

(1 ) ( )

( )

N N

n n n n

r nyf n dn a

n y f n dn

= − ∫

∫ ⁽²⁵⁾

を満たす必要がある．(23)(25)から

a

と

y

が定まれば

T

と

x

は

( )

2 2

T ny an y = (26)

x ny an y = −

2 2

(27)

u

は

(20)

から計算される．ただし，Ⅱの場合と同様

n

が小さい（

n= 0.1

）とき

y≥ 0

となるためには，(23)より

1 + ≥ c 10 b (28)

であることが必要である．なお，(23)から

n→∞

のとき

y → 2(1 )/3 + c

となる．

Ⅳ．所得税が所得の

s

乗（1 < s < 2）に比例するとき

s

乗に比例するときは

(19)

の代わりに

( )

^{s s}

t ny an y = (29)

(5)

となる（

a

と

s

(20)(21)

は

log(

^{s s}

) log(1 )

u = ny an y − + + b + − c y (30)

1

1 0

1

s s s s

u n asn y

y ny an y b c y

∂

−

= − =

− + + − (31)

となる．(31)より

(1 )

^{s s}

(1 )

^{s s} 1

2 (1 ) 0

a + s n y a − + c sn y

⁻

− ny + + c n b − = (32)

が得られ，この

y

の方程式を解いて，

0 ≤ ≤ y 1

における解を求める．パラメータ

a

は

(9)

において

( )

^{s s}

T ny an y =

とおくと

0^N

( ) ( ) (1 )

0^N

( )

0^N

( ) 0

n s s n n s s

n

ny rny an y f n dn − − = − r

n

nyf n dn a −

n

n y f n dn =

∫ ∫ ∫ ⁽³³⁾

から

0 0

(1 ) ( )

( )

N N

n n n s s n

r nyf n dn a

n y f n dn

= − ∫

∫ ⁽³⁴⁾

を満たす必要がある．

a

と

y

が定まれば

T

と

x

は

( )

^{s s}

T ny an y = (35)

x ny an y = −

s s

(36)

u

は

(30)

から計算される．ただし，Ⅱの場合と同様

n

が小さい（

n= 0.1

）とき

y≥ 0

となることが必要である．なお

(31)

から

n→∞

のとき

y → + (1 ) /(1 ) c s + s

となる．

Ⅴ．計算結果

シミュレーションにおいて

b

，

c

以外のパラメータの値は

Mirrlees [1] を参考にして定めた．個

人の稼得能力

n

の密度関数

f n ( )

の式

(6)

において，

μ =− 1

，

σ = 0.39

と定め，

n

₀

= 0.1

，

n

_N

= 1.5

とした．

f (0.1) 0.03868 ≈

，

f (1.5) 0.00103 ≈

となる．

f n ( )

のグラフを図

1

に示す．

(4)

の

b

と

c

については，

b= 0.1

，

c = 1

とした．また，政府の税収に関するパラメータについては，

0.9 r =

と

r = 0.7

の

2

つの場合について計算した．いずれの場合も目標関数

W

に関係なく，

y

，

ny

，

T

，

x

，

u

が計算できる．

① 所得税が所得に比例するとき

0.9 r =

の場合の計算結果を表

1

および図

2

に示す．

a = − = 1 r 0.1

となる．

y

，

ny

，

T

，

x

，

u

はすべて

n

とともに単調に増加した．

y

は最初急速に増加するが，

n

が

0.3

を越えると増加は緩やか

(6)

図1

図2

㪇㪇㪅㪉㪇㪅㪋㪇㪅㪍㪇㪅㪏㪈㪈㪅㪉㪈㪅㪋㪈㪅㪍

㪇㪇㪅㪌㪈㪈㪅㪌

n

y ny T

図3

(7)

になるが，最後まで増加は続く．(13)から

(1 )(1 ) 1

2(1 ) 2 2(1 )

a c n b c b

ny n

a a

− + − +

= = −

− − (37)

となるので

ny

，

T any =

とも

n

の

1

次式になる．

0.7 r =

2

および図

3

に示す．

a = − = 1 r 0.3

となる．図

3

の形は図

2

とほとんど同じであるが，政府の税収が増えるので

r = 0.9

のときより労働供給

y

は減少し，Tは増加する．

② 所得税が所得の

2

乗に比例するとき

0.9 r =

3

および図

4

に示す．

a= 0.2692

となった．

y

は最初急速に増加するが，nが

0.5

を越えるとゆるやかに減少してゆく．

ny

，T，x，uは

n

表1

n y ny T x u

0.1 0.44444 0.04444 0.00444 0.04000 –1.52428

0.2 0.72222 0.14444 0.01444 0.13000 –1.22455

0.3 0.81482 0.24444 0.02444 0.22000 –0.96954

0.4 0.86111 0.34444 0.03444 0.31000 –0.76154

0.5 0.88889 0.44444 0.04444 0.40000 –0.58779

0.6 0.90741 0.54444 0.05444 0.49000 –0.43908

0.7 0.92064 0.64444 0.06444 0.58000 –0.30929

0.8 0.93056 0.74444 0.07444 0.67000 –0.19423

0.9 0.93827 0.84444 0.08444 0.76000 –0.09092

1.0 0.94444 0.94444 0.09444 0.85000 0.00277

1.1 0.94950 1.04444 0.10444 0.94000 0.08849

1.2 0.95370 1.14444 0.11444 1.03000 0.16747

1.3 0.95727 1.24444 0.12444 1.12000 0.24070

1.4 0.96032 1.34444 0.13444 1.21000 0.30894

1.5 0.96296 1.44444 0.14444 1.30000 0.37284

表2

n y ny T x u

0.1 0.28571 0.02857 0.00857 0.02000 –1.58127

0.2 0.64286 0.12857 0.03857 0.09000 –1.35535

0.3 0.76191 0.22857 0.06857 0.16000 –1.13350

0.4 0.82143 0.32857 0.09857 0.23000 –0.94436

0.5 0.85714 0.42857 0.12857 0.30000 –0.78276

0.6 0.88095 0.52857 0.15857 0.37000 –0.64254

0.7 0.89796 0.62857 0.18857 0.44000 –0.51902

0.8 0.91071 0.72857 0.21857 0.51000 –0.40877

0.9 0.92064 0.82857 0.24857 0.58000 –0.30929

1.0 0.92857 0.92857 0.27857 0.65000 –0.21869

1.1 0.93507 1.02857 0.30857 0.72000 –0.13554

1.2 0.94048 1.12857 0.33857 0.79000 –0.05871

1.3 0.94506 1.22857 0.36857 0.86000 0.01267

1.4 0.94898 1.32857 0.39857 0.93000 0.07932

1.5 0.95238 1.42857 0.42857 1.00000 0.14183

(8)

0.7 r =

4

および図

5

に示す．

a= 1.5388

となった．

y

は最初急速に増加するが，

n

が

0.2

を越えると急激に減少して，能力

n

が大きい個人は労働供給を減らすことがわかる．

ny

，

T

，

x

，

u

は

n

とともに単調に増加するが

r = 0.9

のときより増加は緩やかである．

③ 所得税が所得の

s

乗

(1 < < s 2)

に比例するとき

①のときと②のときで個人の労働供給に大きな差がある．所得税が所得（所得の

1

乗）に比例するときは，労働供給は

n

とともに最後まで増加するが，所得税が所得の

2

乗に比例するときは，労働供給は途中から減少に転じることがわかった．所得税が所得の

s

乗

(1 < < s 2)

に比例するときはこの中間になるが，労働供給が最後に一定になるときの

s

を計算した．

0.9 r =

5

および図

6

に示す．

s= 1.496

，

a= 0.1615

となった．

y

は最初急表4

n y ny T x u

0.1 0.41234 0.04123 0.00262 0.03862 –1.51377

0.2 0.55101 0.11020 0.01869 0.09151 –1.28193

0.3 0.53719 0.16116 0.03996 0.12119 –1.12836

0.4 0.49263 0.19705 0.05975 0.13730 –1.02805

0.5 0.44420 0.22210 0.07590 0.14619 –0.95964

0.6 0.39979 0.23988 0.08854 0.15133 –0.91084

0.7 0.36122 0.25285 0.09838 0.15447 –0.87461

0.8 0.32827 0.26262 0.10613 0.15649 –0.84680

0.9 0.30017 0.27017 0.11232 0.15785 –0.82485

1.0 0.27615 0.27615 0.11735 0.15881 –0.80712

1.1 0.25545 0.28100 0.12150 0.15950 –0.79252

1.2 0.23749 0.28499 0.12498 0.16001 –0.78029

1.3 0.22179 0.28833 0.12793 0.16041 –0.76991

1.4 0.20798 0.29117 0.13046 0.16071 –0.76099

1.5 0.19574 0.29360 0.13265 0.16096 –0.75325

表3

n y ny T x u

0.1 0.48341 0.04834 0.00063 0.04771 –1.49603

0.2 0.71428 0.14286 0.00549 0.13736 –1.18685

0.3 0.78107 0.23432 0.01478 0.21954 –0.94291

0.4 0.80636 0.32254 0.02801 0.29453 –0.75304

0.5 0.81468 0.40734 0.04467 0.36267 –0.60074

0.6 0.81425 0.48855 0.06426 0.42429 –0.47534

0.7 0.80862 0.56604 0.08626 0.47977 –0.37001

0.8 0.79962 0.63969 0.11017 0.52952 –0.28016

0.9 0.78828 0.70945 0.13551 0.57394 –0.20258

1.0 0.77527 0.77527 0.16183 0.61345 –0.13493

1.1 0.76106 0.83717 0.18870 0.64847 –0.07547

1.2 0.74599 0.89519 0.21576 0.67943 –0.02285

1.3 0.73033 0.94942 0.24269 0.70673 0.02399

1.4 0.71428 0.99999 0.26923 0.73075 0.06590

1.5 0.69802 1.04703 0.29516 0.75187 0.10357

(9)

図4

図5

図6

(10)

速に増加するが，

n

が

0.2

を越えると増加は緩やかになり，最後は一定になる．

ny

，

T

，

x

，

u

は

n

0.7 r =

6

および図

7

に示す．

s= 1.260

，

a= 0.3968

となった．

y

，

ny

，

T

，

x

，

u

の変化は

r = 0.9

のときとほとんど同じである．

おわりに

効用関数を変更して，労働供給

y

が

0 ≤ ≤ y 1

の全範囲で計算でき，

T

が負にならないようにして，

s

乗（

s= 1

，

s= 2

および1

< < s 2

）のときの労働供給の変化を計算した．所得税が所表6

n y ny T x u

0.1 0.35709 0.03571 0.00596 0.02975 –1.54567

0.2 0.62125 0.12425 0.02867 0.09558 –1.31059

0.3 0.71249 0.21375 0.05679 0.15696 –1.10612

0.4 0.75748 0.30299 0.08814 0.21485 –0.93851

0.5 0.78348 0.39174 0.12183 0.26991 –0.79850

0.6 0.79990 0.47994 0.15735 0.32259 –0.67895

0.7 0.81082 0.56758 0.19438 0.37320 –0.57497

0.8 0.81833 0.65466 0.23268 0.42199 –0.48319

0.9 0.82352 0.74117 0.27206 0.46911 –0.40116

1.0 0.82712 0.82712 0.31240 0.51472 –0.32712

1.1 0.82956 0.91252 0.35357 0.55895 –0.25973

1.2 0.83109 0.99730 0.39545 0.60185 –0.19796

1.3 0.83200 1.08160 0.43802 0.64358 –0.14099

1.4 0.83243 1.16540 0.48121 0.68419 –0.08817

1.5 0.83243 1.24864 0.52491 0.72373 –0.03898

表5

n y ny T x u

0.1 0.46774 0.04677 0.00165 0.04512 –1.50345

0.2 0.71274 0.14255 0.00876 0.13379 –1.20082

0.3 0.79324 0.23797 0.01886 0.21912 –0.95426

0.4 0.83218 0.33287 0.03115 0.30172 –0.75686

0.5 0.85452 0.42726 0.04526 0.38200 –0.59398

0.6 0.86850 0.52110 0.06091 0.46019 –0.45593

0.7 0.87778 0.61444 0.07794 0.53651 –0.33645

0.8 0.88413 0.70730 0.09620 0.61110 –0.23130

0.9 0.88846 0.79961 0.11558 0.68403 –0.13756

1.0 0.89151 0.89151 0.13601 0.75550 –0.05307

1.1 0.89359 0.98294 0.15740 0.82555 0.02376

1.2 0.89487 1.07384 0.17966 0.89418 0.09413

1.3 0.89566 1.16436 0.20279 0.96157 0.15900

1.4 0.89603 1.25444 0.22670 1.02774 0.21913

1.5 0.89603 1.34404 0.25135 1.09269 0.27513

(11)

得に比例するとき（

s= 1

）は労働供給は個人の能力の増加とともに増加するが，所得税が所得の

2

乗に比例するとき（

s= 2

）は労働供給は能力の増加とともに途中から減少に転じることがわかった．

そして労働供給が能力の増加とともに最後に一定となる

s (1 < < s 2)

の値を計算した．能力の大きな個人が労働供給を減少しないのは所得税が所得の

s

乗

(1 < < s 2)

であるという結果が得られた．

s

の値は

r

によって異なる．日本の所得税率のように階段関数の場合を計算することが今後の課題である．

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A Note on Optimal Income Tax Theory

—Study of Labour Supply When Individual Income Tax is Proportional to the Power of Income—

Kozo ICHIDA Sou NAKAHASHI

ABSTRACT

Since the pioneering work of Mirrlees there have been published a number of papers concerning optimal income taxation. In this paper a study on labour supply is made when the individual income tax is proportional to s-th power of income ( 1 ≤ ≤ s 2 ). Labour supply at the large value of n (ability of individual) changes with the value of s. When s = 1 labour supply is increasing with increasing n.

最適所得課税について