無人島の食糧問題とその分配

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無人島の食糧問題とその分配

千葉商科大学商経学部教授

内海　幸久

UTSUMI Yukihisa

プロフィール

博士（経済学）。主にゲーム理論を中心に研究活動を行っていたが、数年前から以前より関心があった人工知能の研究に邁進。徐々に研究成果もあがってきている。「機械学習を利用した注意機構を持つ回帰モデルによる影響度分析」(2020) 千葉商大論叢など。

とある無人島の食糧問題１

無人島に３人の男が流された。食糧が問題だ。たまたま、缶詰があったのでそれを食糧として利用することとなったのだが、問題が起こる。この缶詰には、開け口がないのだ。３人は考える。１人は、焚き火をはじめた。缶詰を火に炙って膨脹させようと考えたのだ。

もう１人は、小さな石と木を拾ってくる。小木をうまく組合せて道具を作り、高い場所から缶詰めがけて石を当てて、缶詰の開けようと考えたのだ。残りの１人はというと、しばらく物思いに耽っていたのだが、思い立ったように、こう喋った。「３人でどの様に食糧を分けるのかが問題だ。いい方法を思いついた。まず缶詰の蓋が開いていると仮定しよう！」さて、この寓話では、３人目の人物が経済学者とされていて、経済学が有用でないことが描写されている。なぜ経済理論はこのように揶揄されるのだろうか。今一度、経済学における基本的な理論を確認しておこう。

経済学のモデルの「型」

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経済学とりわけ理論経済学は、数学的な構造を有したモデルを利用して、経済現象を分析する。他の社会科学の分野と大きく異なり、共有知識とでも呼べる一般均衡の理論モデルが存在し、それを補完するように数々のモデルが提案されている。一般均衡モデルの数学的構造は、ワルラスにまで遡るが、現代的な構造を持ち合わせたのは、1950年頃であろう。アロー、ドブリュー、宇沢、根岸他多数によって、精緻な数学的構造を持つ豊かなモデルが組み上げられていった。

共通認識とされる一般均衡モデルの枠組みを非常に簡単に紹介する。一般均衡理論は、市場経済の分析に焦点をあてたモデルで、２つの柱がある。

（1）各経済主体は価値基準を持ち、その価値基準の下で合理的に行動する。

（2）競争的な市場では、需要量と供給量が一致するように価格が調整される。

経済主体とは、消費者と生産者である。消費者は、

選好関係と呼ばれる好みを表現する二項関係を持ち、

1. 完備性　すべての財ベクトル x と y について x ≽ y または y ≽ x が成立する、

2. 推移性すべての財ベクトル x と y と z について x ≽ y かつ y ≽ z ならば

x ≽ z が成立する、

などを仮定する。消費者は財の価格 p を所与として、

予算集合と呼ばれる自分の実現可能な選択肢 B（p）

の中から、選好を最大にするように行動すると想定される。これが、第一の柱である経済主体の合理的な行

特集

社会科学におけるモデル分析

特集社会科学におけるモデル分析

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動の具現化である。消費者の行動は、財の価格 p が与えられた下での、条件付の最大化問題に帰着される。

具体的には、

すべての z ∈ B（p）について x≽z

となる財ベクトル x を購入するという形で定式化される。他方、生産者は集合によって表現される技術 Y を持ち、利潤を最大にするように行動すると仮定する。生産者の行動は、財の価格 p が与えられた下での、

条件付最大化問題に帰着され、

すべての z ∈ Y について py ≧ pz

となる財ベクトル y を生産するという形で定式化される。生産者の行動も、第一の柱である合理的な選択の一部となる。経済主体の行動が、市場取引という場で調整される。これが第二の柱である需給の一致であり、

x = y

として書かれる。このように、条件付最大化問題と需給一致の連立方程式という３種類の式で特徴づけられるのが一般均衡のモデルの基本となる。３種類の式に、

様々な思いが込められているのである。この数学的に精緻化された一般均衡モデルを使って、市場制度の効率性、情報量、衡平性など、市場経済の理論的な性質が明らかにされた。現在では、一般均衡のモデルは、

世界中のほぼすべての経済学のクラスで標準的に学修される内容に至っている。

（１）の精神を受け継ぎ拡張していったのがゲーム理論と呼ばれる分野である。ゲーム理論はフォン・

ノイマンとモルゲンシュテルンの研究書 Theory of Games and Economic Behavior によって登場した。

彼らは、１人の意思決定主体の行動から徐々に理論を組み上げ、最終的に多人数での状況を記述できる豊富な理論を導くことに成功した。Nash はこれを飛躍的に発展させ、社会科学に多大な影響を与えた。Nash のアイディアによって、それまでの一般均衡の枠組みに加えて、意思決定主体が相互に依存するという戦略的な状況の記述が可能となった。これにより、一般均衡の枠組みでは分析が難しい経済現象を説明することが可能となった。経済学は分析できる対象を一気に広げたのだ。

ゲーム理論におけるモデルは、各主体の合理的行動に加え、Nash 均衡と呼ばれる均衡概念によって記述される。今から見ると、1980年代からのゲーム理論

には Nash 均衡を用いたモデル化が、戦略的状況を分析するのに適しているという空気ができあがったようであった。共通の分析手法の登場によって、一般均衡では補えない経済現象に対しては、モデルを構築して分析する流儀が流布していった。

一般均衡モデルでは、各経済主体の変数の違いによって経済現象を説明する。対して、ゲーム理論によって構成されるモデルは、社会現象毎にモデルを構築する。モデルを変えることで適宜、現象を説明していく形となる。具体的には、寡占市場の行動を分析する Cournot モデル、金融や労働市場の分析に利用される逆選択モデル、オークションを分析するモデルなど、無数に存在する。一見、それぞれの現象ごとにモデルを構成し、数理のモデルの寄せ集めのように見えるが、その根底には共通の考え方・分析手法がある。

（１）の「経済主体は価値基準を持ち、その価値基準の下で合理的に行動する」である。どのモデルも、徹頭徹尾、経済主体は何らかの価値基準に従い合理的に意思決定を下している。経済主体の合理的な意思決定に、

こだわりを持っているのが現在の経済学の隠れた特徴とも考えられる。このように経済学におけるモデル分析は一貫した「型」を持つことになる。型の存在によって、経済学におけるモデル分析は一体感を持ち、型の存在によって、経済学は他の社会科学の数理モデルと様相を異にする。

経済モデルにおける型の存在、時にこれが枷となりモデルを矮小化させる原因になっている。数学的に高度化・体系化されていたとしても、社会現象を説明するために、非現実的な仮定が想定されることもある。

直面する様々な経済問題に対しても、経済理論が有用かつ明快な回答を示すことができない場面もあり得る。結果、理論経済学が有用でないと誤解されているのだ。

このような批判を乗り越えるべく、この半世紀の間、

様々な分析手法が考案されてきた。実験による理論の検証と反芻、統計データによる理論の検証や推定、シミュレーション分析である。経済学は共通の型を持つ数理モデルの集まりであったため、ひとたび分析手法が利用可能となると、瞬く間に主要な経済分析の手法として普及していった。共通の型の存在が、経済モデルを進化させている原動力の一つとなっている。経済理論モデルは、より豊かになり、着実に缶詰の蓋を開

特集

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けられる方向に進んでいる。

余剰分配問題３

缶詰の蓋が開いていると仮定して、その配分方法について紹介する。例えば、次のような状況を想定しよう。とある無人島に３人の男が流された、まず、食糧が問題だ。たまたま、缶詰があったのでそれを食糧にすることにした。さて３人はどのように食糧を分けるだろうか？紙面の制約もあるので、経済学の共通の型である合理的な意思決定をあえて捨象してモデル分析をしてみよう。紹介される分配方法の公式からモデル分析の有用性がわかるはずである。

２人の状況

食糧を全員で均等に分けるという素朴な、しかし、

よく観察される状況から考察してみよう。図で表現できるように、無人島に流されたのは、２人であるとする。それぞれ、１さん、２さんと呼んでおこう。食糧を10L とする。２人で均等に分けるということは、

１さんも、２さんも５L を得られることになる。

グラフで表現すると、図１のように描ける。原点を通る右上がりの45度線が、２人を均等に分ける直線となる。食糧10L を表す直線、これが、右下がりのグラフである。２人の食糧を足すと10というグラフ

である。２人で均等に分ける状況は、グラフの交点で示されることになる。２人の缶詰を開ける貢献度に関わらずに、均等に食糧が分けられるので、この食糧の与え方には、不満や羨望といった感情が生まれる可能性がある。１さんだけが、缶詰の蓋を開ける方法を考えていた状況などである。懸命に試行錯誤しても、なにもしなくても同じ食糧の分け前であるのならば、懸命に思考錯誤するインセンティブがない状況と言ってもよいであろう。このように、完全平等配分な分配は、インセンティブを引き出せるような仕組みになっていない¹。不満や羨望といった感情を表現する試みもなされている。他人を羨望したい状況とは何か、不満が小さくなるような配分は何かというような発想である。

３人の状況

いよいよ本題の缶詰の中身をどのように分けるのかについてである。無人島の３人を便宜的に１さん、２さん、３さんと呼ぶ。

• １さん「缶詰を火にかけて膨脹させる方法」

• ２さん「石ころをぶつける方法」

• ３さん「私が分配方法について解説しよう」

３さん「まず、缶詰の食糧を10L と仮定しよう。１さんの方法では、缶詰が爆発して中身が飛び出してしまう。この方法では２L 程度しか取り出せないかもし

1 無人島の食糧は死活問題に関わる。従ってインセンティブは減らないと思われるがこの寓話では、「考えない」こととしよう。

０ 1

10

5

5 1さんの取り分

２さんの取り分

45度線

１さん

A

C

３さん２さん

B

５

５２

２

１さん

A

C

３さん２さん

B

E

P

１さん

A

C

３さん２さん

B

２

N

４

図 1　２人均等配分の状況

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れない。２さんの方法で缶詰を開けることができたとしよう。穴が開くかもしれないが、そこからすべてを取り出すのは難しいだろう。やはり２L 程度しか食糧は取り出せないはずだ。私の貢献はもちろん０L としよう。」

３さんの説明は、全員で10L の食糧があり、それぞれの方法で得られる食糧を量で表すと、１さんが２L、２さんが２L、３さんが０L となる。３さんは続ける「さて、10L の食糧を３人で均等に分けるなら 10/3で、3.333…となる。割り切れないではないか。

冗談は横に置いて、１さんや２さん、君達は、僕に不満を言うだろう。『君は何もしていないのに食糧を得られるのかって』。その通りだ。だから、均等配分は駄目なんだよ。じゃあ、比例配分はどうだろう。缶詰を開けるのに等しく貢献した２人が、５L ずつもらう。

僕は０L だ。当然、僕も不満を言わせてもらうよ。『分

配方法を解説しているのだから少しは食糧を分けてもらいたいってね』。だから、比例配分も駄目なんだ」

３人の均等配分の状況は、図２の点 E と表すことができる。つまり、高さ10の正三角形の重心 E から垂線の長さがちょうど分配量の10/3になっている。

一方、比例配分の状況は、図３の点 P で表される。

３さんの取り分が０で、残りの10の長さをちょうど２人で分け合っている状況になっている。点 P からの各辺への垂線が、各人の分配量となる。

３さんは続ける。「均等配分、比例配分ともに良い性質を持つ。しかし、それぞれ不満もある。ではどのようにすれば、不満が減るのだろうか？比例配分のように貢献量を使いつつ、均等配分のように平等に分ける分配方法はどうだろうか？具体的には、1さんに 4=2+2を、２さんに4=2+2を、私（３さん）2=2+0と分配するとしよう。この分け方なら、足し算の部分で貢献度を使っているし、３人とも基本の２を平等にもらっていることになる。」この分け方は、図４の点 N で表現される。図４は高さを10とする正三角形で、

正三角形の点 N からの垂線の長さで各人の取り分を表している。

０ 1

10

5

45度線

１さん

A

C

３さん２さん

B

５

５２

２

１さん

A

C

３さん２さん

B

E

P

１さん

A

C

３さん２さん

B

２

N

４

０ 1

10

5

45度線

１さん

A

C

３さん２さん

B

５

５２

２

１さん

A

C

３さん２さん

B

E

P

１さん

A

C

３さん２さん

B

２

N

４

０ 1

10

5

45度線

１さん A

C ３さん２さん B

５

５２

２

１さん A

C ３さん２さん

B

E

P

１さん A

C ３さん２さん

B

２ N

４４図 2　高さ 1 0 の正三角形による３人均等配分（点 E）の状況

図 3　高さ 1 0 の正三角形による３人比例配分（点 P）の状況　図 4　高さ 1 0 の正三角形による３人の Nash 交渉解の状況

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やや抽象的に表すと、以下の式でまとめられる。3 人で得られた食糧をπで表す。１さん独力での食糧の抽出量、即ち、貢献度を d1、２さんの貢献度を d2、３さんの貢献度を d3とする。個人の貢献度を考慮した公平な分け方は、数式の上では

１さんに、

1

3 （π -d1-d2-d3 ）+d1

２さんに、

1

3 （π -d1-d2-d3 ）+d2

３さんに、

1

3 （π -d1-d2-d3 ）+d3

を与える仕組みと書き下すことが出来よう。

人数がｎ人の状況

最後にやや一般的な状況で概略を説明する。とある無人島に流された人が n 人の状況ではどのようになるだろうか。n 人で得られた食糧をπとする。通常、

π は余剰と呼ばれる。個人 i の貢献度を diとおく。

食糧を分配する問題は、（π ,d1 ,…,dn ）という（n+1）

次元のベクトルで特徴づけられる。（π ,d1 ,…,dn ）は、

π≧∑ⁿⁱ⁼¹ di が成立する状況では余剰分配問題と呼ばれ、逆に π < ∑ⁿⁱ⁼¹ di では破産問題と呼ばれる。これは、π - ∑ⁿⁱ⁼¹di ≧0 の時、π - ∑ⁿⁱ⁼¹di は余剰とみなせ、

反対に、 π - ∑ⁿⁱ⁼¹ di<0 の時、π - ∑ⁿⁱ⁼¹ di は負債とみなせることに起因する。３人の状況で考察した個人の評価を考慮した公平な分け方は、数式の上では i さんに

1

n

（

^{π -}

^∑

ⁱ⁼¹ⁿ^dⁱ

）

^+dⁱ

を与える仕組みと書き下すことができる。この分配方法は Nash 交渉解と呼ばれる解として知られている。

４帰結

本稿では、経済学におけるモデル分析のあり方について紹介を行った。経済モデルには基本的な「型」があり、多くのモデルが「型」に従って構築されている。

型の存在により、多種多様なモデルが存在しつつも一体感を持っている。その一方で、型の存在ゆえに現実をモデルに矮小化せざるを得ないこともある。数理的な構造を持つため、多くの分析手法が取り入れられ、

また独自に発展している。今後も研究者らの地道な改良により、高度な分析力を持つ豊かなモデルが開発されていくだろう。

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