• 検索結果がありません。

測度の積分汎関数に関する双対公式について

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "測度の積分汎関数に関する双対公式について"

Copied!
6
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)Title. 測度の積分汎関数に関する双対公式について. Author(s). 小室, 直人; 山崎, 俊博. Citation. 北海道教育大学紀要. 自然科学編, 49(2): 1-5. Issue Date. 1999-02. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/513. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 9巻 第2号 北海道教育大学紀要 (自然科学編) 第4. 平 成 11 年 2 月. 49 2 ion (NaturaI Sc iences)Vol i Journal of Hokkaido Uni ty of Educat vers ‐ ,No‐. February,i 99 9. TBGRAL DUALITY FOR ]MULA OF AN m才 EASUR震 FUNCT10NAL 。F M[ NAOTO KOMUR0, TOSH工H]呪O YAMAZAKI i i kawa Campus ty of Educat A4athemat i rs on c s Laboratory , Hokk山do Unive , Asahi As可h ikawa 070 I Col l logy Kushi iona ege of Techno ro Nat i Kush ro 084. 測度の積分汎関数に関する双対公式について. 小室 直人、 山崎 俊博 0 7 0 旭川市 北海道教育大学旭川枝数学教室 0 8 4 釧路市 国立釧路工業高等専門学校. A BST RACT. Wedeal with an integral 絹 nctionalofthe お m 穴の,“) where X i sacompact metric 服 i i i l h d t space,ヂニ ”の謬 s pos ve y omogeneous an convex in P, and 鷺i s ): x x 陛 一 a. 園〆-va lued. ぱleast エ ー Fe on. i スご l lg ive a proofofthe dual i ty f s note we wi ・n司応 of or ‐ ln th. the fonn. 六のの り =s up{ム <〆@) 1に)EEC ぽ 凪α ) ,り@)> に凶〆 ,り@ ※ Kz 7 の E x},. i s a nonnegative bounded 回‐measurable 坑 nction. Theset ofcon 山tions which 6 we a [ 1 s s皿eislessrestrictivethan in previous papers[2],[31, ‐. where. I D EFINITIONS AND S. THE DUALITY FORMULA. Let “ = ( ぬ … b 眼α ‐valued 6nite Borelregm ar measure on a compact metr ic , , 撫) e a l d h h i t t t t f t b space ヱ・ Byl L “‘ we eno e e o a va a on measwe o “- etヂ ニ ”の謬) e a real. ,. i v迅ued function on x x 服α wh ch is positively ho]工logeneous of degree one in p,i.eっ for. ion f ( i t each の E x the 和nct s賃es p)= ヂに p)sa. 入の =入た( た( ) p. (1).

(3) . 104. .. N.Komuro, T.Yamazaki. l l 入 > o and p e 畔 . For such a 飽 nction f the Borel measure fに の on X is おr a ., ‐ , dei1 ed by 1. ム 絶,の . 絶,熊 M” - 』 “ 嫌 厭tA(x , where. 頭の) =(中畑 の( )isthe Radon‐Nikodym の. der ivative of p wi th respect tor 円‐ 登山 l B l te ore regular measure on X and isindependent ofthe choice of ずに 泌)i saso a d l wi i a norm in 麗 . 工n th th theintegralftmctionaloftheform s note we dea. ム 飼) . The. ications case “ = ▽秘 i s im portant in appl. l whi e 錫 : X ÷→ 麗d i s. a. mapping of. bounded var iation‐. By 亘. i住erent ia lofデー) a to,i we denotethesubd e . . ,. K. ={9E Rdl < p,q >≦ た(p) おra l lp e 眼α} . , The co刈ugate 飽nct ion だ of fzi d s de6ned by f獣q) = sup 覗 < p ) ,q > 「た(p) , an p is pos i tively homogeneous メl is the indicator function of K H h since f e n c e we v a e , の‐ 、の * た( )= 、葛 (p) = supqE氏 < 路 q >- p 工n the f lowing we s tatesome condi ions おr fに p) which we wi t l l as ol sumein our , , main theorem‐. 1) (1 ‐ 2 (1 ‐). 1 3 ( ) .. 又 x 庶d‐ Fbrevery のo E X and e 〉 0 there exists β > o such tha t d(の釣 の) く 6imp=es ,. ずに辺)islowersemicontinuous(1.s.c. 角rsort) on )一手に 辺)<ョp f(のo l ,p ,. 危ra l l pe. 酔‐. herei Th independen oi c >o t of に,p)E x x 服αsuchtha t s some constant c. l ヂに,p)≦c or に辺 )E x pl , f. ×. 眼え. ly homogeneous and convex in p E 醇 the condition ( Though 手is pos i ive t 1 1 )is . , h h 1 i t t t i i i h 1 t M [ t d i ご t i t a e s r on e r n owe r s e ス エ ー E c o n n n shght u v e c o n oreo er ons g y y ‐ フ ivalent‐ (The proof can be seen in [ d( h a e W 1 1 t i 1 2 r 4 t t f e u a n i ] ( ) e ) ) n o a q e s ず . . . α lthese condi tions. Now we statethe main theorem‐ continuous on ヱ x 眼 , ヂ satis賃es al. × 庇 α com 卸ct m drlc spαα αれば Zet ヂ ニ デに,p) 錠 α reαZ 伽 加ed α Zoれ oれ x x 観 ・ S% 卯 ose 仇 αt z ん れcz spo駒痴e毎 んomo死 偏 伽so手de gree 伽e 伽 dco伽ez. Theorem l. 上司. f. 物 p e 賦d 伽ds物 琉e綿んec伽d吻0れ(1 1) 2) 3) (or(1 ) 伽d(1 e . . ‐ . 廃 学 庇 α 醇 りα卿ed万物t βoreZ r町秘Zαγ meαs鯛e oれ X. r脳 偽 たγ α れoれれe Zoれ ‐m 錫 鋤γαるを ん偽ct リ吃れe るoαれdedlpl oれ. も. , 4 ( ) ‐. ‘× 絶,* 柳 {‘又 須の ) ,中 屍 姻 “@= り. lz E X} q x,酵) (の)E K おral ,り ,. zoれs oれ x. ′凋 んれct 勿んeγe C(又,臆d) 歯 れotes t庇 sd ofα” 醇 鵬 彰ed co煽 れ秘o Simi lar results can be seen in other papers q 2 6D,bu t each of them requires ]周, [ h i F t t l i t k 企u 6 R s ronger assump ons an ours. or examp e n { 1 t K has ar assumed tha , oc a d 2 i i s not necessary in ow case ] point which i ‐ Moreoverin [ , t s assume α thatずに辺 )is continuous on 又 × 眼 , and this is more restrictive than the set of our 壷 i t con ons(1 . .1)and(1 ‐3) an intenor. (2).

(4) . ional of Measure t i Dual ty Formula of an 工ntegraI Func. 2 LOWER SEM工CONTINUITY s. OF. K. 105. AND THE SBLBCTION THEOREMS. ich lthe measurableselection theorem andthe continuousselection theorem wh 釈Z erecal 徽d b l 1 d t 2 L r × h a e v a u ed t i t C ose s 1 app1y to prove our ma n e ÷→ 1 : eorem‐ e we Wi iven in sl. r i s s司d to bel ‐ sg mapping, and l et 斜 be the measure on X which i 〆1 f measurablei. r-1 の)n び ≠の} (び)={のE xlr( is 回‐meaSurabIe 危r every open set ひ こ 陛 ‐ The measurableselection theorem asserts fa nonempty closed set valued mapping r : 又 一 服α お 1メーmeasurable,then one thati can take a. 又 ion 中 ofr‐ Thati l t s ec opl -)measurabl ese , 少:. d l1 e 一 服 i s 〆‐measurabl. or an の‐ Forthe det山ls ofthe measurableselection theorem, werefer and 帆の)E r(ェ)f if のo in x and qo E にの to 管 ] ・ r is said to be lower semicontinuous (1・s‐c.) のれ imp員esthe existence of a sequence {qれ} such that qれ E K and qれ 一 釣. r isl ‐s ‐c‐ 1 - お i t の び 買 l d } e ( え r every open s f an on y i fK s open i @) = {z e 又三K n U ≠. →. lowing l i ly impl ieslpl ty i Hence the lower semicontin山ty of r d -measurabi rect ‐ The fol i t ty ft h l h i t e owersen・con inui ・ D Lportanceto t e no on o continuousselection theore・n lendsi ofset valued 江ーappings‐ C ontinuous selection theore m. け α れoれempty cZo5ed co%僻の 総t りαZ傭 d mαppl噂 r :. 又 ÷→ 2庶. 又 ÷→ 麗d z 5 e吻 伽 ≠ ofr, 品 瞬 ぎ eezz sお αc伽tれ 仰%sse 3zふc ‐ゴん 削 妨er , 少:. g s co 煽 れ%o秘s α霧. Zの e 又. 中(ェ)E r(の) たγαZ. 1 5 Forthe de i l ] t 1 ta erto[ softhe continuousselection theorem, weref . ,. t 穴 ,p) 庇 αγeαZりαあ ば た 解 痴 れ o偽 x x 醇, αれ 鰯 岬pose 仇αtf zspos‐ e ば 1 んeれ f s瞬ぎ魂es 流e coれdztzoれ 2誇りe Z んomoリeれeo“s o f de堺ee oれe α 回 comeの れ p E 腿 . 7 Lem ma l.. 1 1 2) f 仇esetりα郷ed mα障 れリ K :の 一 貫 1 fαれd o鯵Z Z ( )(の( )Z . ‐. Zs Z ‐s.cづ mんere に. 23. 仇eset メリeれ れ SI- The proof ofthi s closed and convex, we can sl em ma i s 角und in 園. Since に. i i t 虻の has a continuous selection lulder the condition of our conclude byth em matha sl theorenェ. 3 PROOF OF S. THEOREM. I. i As a 6rst step ofthe proof we wi l lshow a weaker version ofthe dual ty forlnula‐ ,. Lem ma 2. ひれdert庇 勿Potんesesoヂ 仇e. 3 , ( ) ‐. 仇eoγem ,. 1 1◎ - ) ん絶 卵 -叩{ム 鎖の “ ,中 膨 ◎α 回 - measurable, w(の) E K. あr 回 一 α. e .の E X}‐. i ty (3.1) by e and 豆 Sincei ide oftねeident tis easy to see proof . We write each s G ≧ 丑 ([21p-211) we win proveo避y G ≦ 旦‐ Fore > 0,we de負neasetvalued mapping ro:乏て ÷÷一 服d by. (3).

(5) . N.Komuro, T.Yamazaki. 106. r。( の)={pE 醇 - <〆(⑦) )-e} の) ‐ ,p>≧ヂに,戸( Then each r ( oの)is a closed ha甘 spacein 醇 ‐ Take any open set ひ こ 酵 , and let D be b l t t of び. Since ro(の)n び ≠ のi fand o a cot 〕頃yi fro(の)n‐D ≠ の un a e densesubse. ,. r81 の = r81 (D)= U AP, . )-e} ‐Sincethe mappingの → @,戸(の)) p ={のE 又1 <〆(り P>≧ヂに,戸(の). where A. i ion に 頭の t ‐measurabl sl“‘ e mdthe 館nc ) ) 一 手に,戸(の))isl‐s‐c‐,thecomposite 飽nc‐ tion 手@ 瓜の )is 回‐measurable‐ Hence Ap is a 回‐measurable set, and consequently , ) so i sr. (の‐ We put r(の) = ro(ェ)n gt )= ‐ Since 手(船 戸(の). sup e & < 〆 ( の)謬 >, p ば l d t 庶 f a nonemp y c ose set in or every E ヱ. Since the mapping の g is l d b l i l r l t i b i 回一 l 7 Th s h c a n b me a t s u r a e [ D‐ ‐measura e( s a so l“1 n par cu ar, us ‐, , , y e measurable selection theorem, we can take al“1 ‐measurable 絹 nction m on X such that. r( )is の. 一. W(の)E r@) e . ‐ ,i , w(の)E K ,and 〈戸 (み 勿(の)>≧手@,鳶@) )-6 , 賞 ) 1 l ra. E 2て‐ Thus we have. 閥is a inite measure and ヂisbom ded,theintegralinthelastterm is6nite,and in G < 亙. b t weo a. Since. Lem ma 3. Ud eγ 仇e ん〃卿 仇ese踊 れ Tんeoγem も Zd w: X 一 服ば らe α 回 meα鋤γの 庇 Zな E 又. r膨れ たγ eαcん み > 0, tんere 総 煽 り E おれc 痴 れ 5秘cん 仇 諺 w(の) E K. おγ α Z C(x 醇 ) αれd α c osed set Y Zれ x s秘cん 仏α≠ ,. ( ) り(の)E K おr 賜 な E x. c proof By Lus司stheorem,thereis a closed set y こ ズ such thatl l (又\Y)< βand り g 酵 is continuous on y‐ De fme a set ▽a1ued mapping r: ヱ ÷一 2 by. E X \Y . Then r(の)is a nonempty closed convex set おrevery z E X‐ M oreover,i tiseasy to see 1 H h b h i ご 1 i i t r t at eoremフ we o tain a desired s ・s・c・ on ・ ence bythe cont nuous se ect on ion. funct. (4).

(6) . ional of 醍l easure i Dual ty For ・nula of an lntegraI Funct. 107. ly ive t i ty (1‐4) by G and ″ resPeC ideoftheident . e筋 ヱ. we write each s Proof げ T庇or 2 L ○ F 〃 E l G > emma 2 f o r f L o v e d r ≦ . en1ma , we on y P As remarke in 七he proo o , h h i f t t b l t s c k o n c u a w e u n t t a l l l叫 u r me a s a a e s o a ows u. - ) 鎖の メドβ ム ー〆‐ ,中 隣 ◎α. G. 2) (3.. ion uる we apply Le lnαLa 3 and take a continuous function り satisfying Forsuch a funct )i c nthelem ma. Then (a )(b)(. , ,. 3 3 ) ( .. )障) 畔 柳‘ ム 須の. ≠. d -+ ん - 鎖の ) “ ,◎ 〉 *). 1 熱 m@)> 煙 - に. 1 i - ふ く〆の りに) ~ ◎d 〆. -ム メ メ q +ム 絶,砕ル 鋼厳 -- フ 、 I頻り1 ・. where H りH = sup EX. Here we note that. w@)E K. mems 〈 戸(の) ,w(ェ) >≦. ) ヂに,戸( の) ‐Bythecondition(1‐3), 11 回 ニ ー llqe K.,のE x}=sup{駅の,p) l sup{ q ,のE x}. =- ≦ c‐ Hence by combining(3‐2)and(3‐3), weobtain. ln partictaar we have. G < 亙 +2cLI 1 1 (x) 1 (X \Y)十LE に 〆 , < 互 + 2c上6十 LE回(X) trary a nd where L isthe essentialsupremum of り on X, Since β,6 〉 ois arbi. 回(X)is. 亙 垣 ild 云ni te ,t s ye s G ≦ ‐ REFBRENCES l -Ber亙n(1990) 1rBase rkhiuser 筋α毎魂s . ,Bosto , Bi h i M m t Z Z Ad ば 如k 脇 Z “ ≠ の a D v N K i 悌 s G f れ α 1 Y 偽 卿 α P i α o r m% α s α A . Sc . r o “ 2 omu . a g 〃 t] . V es , , , ‐ g, ‐ 7 2 2 8 2 0 ‐ AppL I-2 (1992) ‐ , U i M th J di l餌≠おれs fo%sofα me鯛%だ αれd αppi α れりeの んれct l 図 F‐ Demenge ,ln ana nv. a ◆ . , R. Temam 7 9 0 6 7 3 33 (1984) - . , 園 N.Komuro,Semlc伽 お 卿 吻 ofco醐eのse卿α卿ed mα卿 煎りs 伽 商んe 削pportんれctわれs,J‐ofHokkaido Univ‐ofEduc . ‐.47-2 (1997) l h α E M i 5 1 . c ae, 偽髭%%○賜sseZeczlo偽s,ヱ,Ann-of Math.63 (1956),361一382‐ [ 6 [ 1 R‐T‐Rocka発1lar, 座 k9γぬ w脳cん α陀 のれりeの ん 俄tをoれ ぬ, 互,PaciicJ‐ Math.39(1971),439‐469. inger Lecture Notes l tのれs ec 7 [] gr叫 んれctあれα毒, %om 煽 れ≠egrαれ毒 αれd meα鋤 mもた se ,Spr , 廓≠e 7 5 7 2 0 1 in Math‐543 (1976) - . , i ty Press(1970) A 〆 舶,Prmceton Univer s 8 [ 1 . , C◇れりeの れ. 1 [ ] J‐P‐ Aubin and H‐ 恥ankowska,S 昨 伽 彰ed. (5).

(7)

参照

関連したドキュメント

|﹁ひとつむすびてはゆひ︐I︑して﹂

(4)スポーツに関するクラブやサークルなどについて

等に出資を行っているか? ・株式の保有については、公開株式については5%以上、未公開株

前掲 11‑1 表に候補者への言及行数の全言及行数に対する割合 ( 1 0 0 分 率)が掲載されている。

次に、 (4)の既設の施設に対する考え方でございますが、大きく2つに分かれておりま

斜面の崩壊角度については,添付第 2-20 図に示すとおり,安息角と内部摩

E国の製造者S(売手S)は、ある漫画キャラクタの著作権者及び漫画キャラクタに関

海難に関するもの 密漁に関するもの 浮流油に関するもの 廃棄物・廃船に関するもの 外国船舶の通航に関するもの