３章 高次方程式・式と証明 解答 １節 高次方程式 練習１ ①
(
)(
)
2 2 6 4 12 a a a a = + − = − − = （右辺） （左辺） ∴恒等式 ②(
)
2 2 2 1 2 1 1 a a a a = + = + + + = （左辺） （右辺） ∴恒等式でない ③(
)(
)
2 2 1 3 2 3 2 3 x x x x x x = − + = + − − − = （左辺） （右辺） ∴恒等式でない ④(
)
2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x + − = − = = = + + + （左辺） （右辺） 恒等式 以上より，恒等式は①，④ 練習２ ⑴ a x(
+3) (
+b x−1)
=5x+3(
a+b x)
+3a− =b 5x+3 5 3 3 a b a b + = − = ① ② ①，②を解いて ∴ a=2, b=3 ⑵(
)
2(
)
2 1 1 2 4 a x+ +b x+ + =c x − −x 2(
)
2 2 2 4 ax + a+b x+ + + =a b c x − −x 2 2 1 4 a a b a b c = + = − + + = − ① ② ③ ①，②，③を解いて ∴ a=2, b= −5, c= −1 ⑶(
)
2(
)
2 2 3 0 a− x + a− b+c x+ a+ − =b c 2 0 2 0 3 0 a a b c a b c − = − + = + − = ① ② ③ ①，②，③を解いて ∴ a=2, b=8, c=14 ⑷(
)
(
) (
)(
)
2 1 1 1 1 3 ax x+ +bx x− +c x+ x− =x +(
)
2(
)
2 3 a+ +b c x + a−b x− =c x + 1 0 3 a b c a b c + + = − = − = ① ② ③ ③よりc = − これを①に代入し3 a+ =b 4…④ ②，④よりa=2 これを④に代入し b=2 =a 2, b=2, c= −3練習３
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 x a x x x b x x c c x x cx b x b x b c x b x c b x b c + − − = − + + + = + + − − − = + − + − − 1 1 2 a b c b b c = − − = − − = − ① ② ③ ②よりb= +c 1 ① これを③に代入し − = −2(
c+1)
c 2 2 0 2, 1 c + − =c = −c c= −2のとき② より b= −1 ①より a=2 c=1のとき② より b=2 ①より a= −1 =a 2, b= −1, c= −2またはa= −1, b=2, c=1 練習４ ⑴(
2)
2(
)
2 2 2 a b a b x a x x x x+ = + + = + + 0 2 2 a b a + = = ① ② ①，②を解いて ∴ a=1, b= −1 ⑵ 2 3 3(
)
2 3 2 1 2 x a b x a b x a b x x x x − = + − = + − − − + − − 1 2 3 a b a b + = + = ① ② ①，②を解いて ∴ a=2, b= −1 練習５( )
3 2 2 7 5 4 P x = x − x − x+ とおく。 ⑴ P( )
1 = −6 ⑵ P( )
2 = −18 ⑶ P −( )
1 =0 練習６( )
3 4 3 1 P x = x − x+ とおくと ⑴ 1 4 1 3 1 1 2 2 8 2 P − = − − − + = ⑵ 2 8 2 5 4 3 1 3 27 3 27 P = − + = 練習７( )
3( )
8 3 3 19 2 7 P x =x +ax+ とおくとP − = − a− = = −a練習８ P x
( ) (
を x+1)(
x−3)
で割った商をQ( )
x , 余りをax+bとおくと P x( ) (
= x+1)(
x−3) ( )
Q x +ax+b( )
( )
31 3 97 P a b P a b − = − + = = + = − ① ② ①，②を解いて a= −4, b=3 −4x+ 3 練習９( )
( )
( )
( )
3 2 5 3 1 0 1 2 9 2 3 0 3 P x x x x P x P x P x = − − − − = + = − − = − とおくと よ り は因数である。 より は因数でない。 より は因数である。 以上より，因数であるものはx+1, x− 3 練習10 ⑴( )
3( )
( )
7 6 1 0 1 P x =x − x+ とおくとP = だから P x は x− で割り切れる。( ) (
)
(
2)
(
)(
)(
)
1 6 1 2 3 P x = x− x + −x = x− x− x+ ⑵( )
3 2( )
( )
3 4 1 0 1 P x =x − x + とおくと P − = だから P x は x+ で割り切れる。( ) (
)
(
2)
(
)(
)
2 1 4 4 1 2 P x = x+ x − x+ = x+ x− ⑶( )
3 2( )
( )
8 12 2 0 2 P x =x +x − x− とおくとP − = だから P x は x+ で割り切れる。( ) (
)
(
2)
(
) (
2)
2 6 2 3 P x = x+ x − −x = x+ x− ⑷( )
3 2( )
( )
2 13 6 2 0 2 P x = x +x − x+ とおくとP = だからP x は x− で割り切れる。( ) (
)
(
2)
(
)(
)(
)
2 2 5 3 2 2 1 3 P x = x− x + x− = x− x− x+練習11 ⑴
(
)
(
2)
1 1 0 x+ x − +x = と因数分解できるから， 2 1 0 1 0 x+ = または x − + =x 1, 1 3 2 i x = − ⑵(
)
(
2)
2 3 3 9 0 , 3 0 3 9 0 x− x + x+ = と因数分解できるから x− = または x + x+ = 3, 3 3 3 2 i x − = ⑶(
)
(
2)
2 2x−1 4x +2x+1 =0と因数分解できるから, 2x− =1 0 または 4x +2x+ =1 0 1, 1 3 2 4 i x − = 練習12 ⑴(
2)
(
)(
)
2 1 1 1 0 , 1 0 1 0 1 0 x + x+ x− = と因数分解できるから x + = または x+ = または x− = = x 1, i ⑵ 2 2 , 2 8 0 X =x とおくと X − X − =(
)(
)
(
)(
)
2 2 4 2 0 4 2 0 2 , 2 X X x x x i + − = + − = = ⑶ 2 2 , 8 12 0 X =x +xとおくと X − X + =(
)(
)
(
2)(
2 2)
(
)(
)(
)(
)
2 6 0 2 6 0 2 1 3 2 0 3, 2, 1 X X x x x x x x x x x − − = + − + − = + − + − = = − ⑷ x4+3x2+ =4 x4+4x2−x2 =(
x2+2)
2−x2 =(
x2− +x 2)(
x2+ +x 2)
= 0 2 2 2 0 2 0 1 7 2 x x x x i x − + = + + = = または練習13 ⑴
( )
3 2( )
( )
4 8 2 0 2 P x =x + x − とおくと P − = だからP x は x+ で割り切れる。( ) (
)
(
)
2 2 2 4 0 2, 1 5 P x x x x x = + + − = = − − ⑵( )
3 2( )
( )
2 7 4 1 0 1 P x =x − x − x− とおくとP − = だから P x は x+ で割り切れる。( ) (
)
(
)
(
) (
)
2 2 1 3 4 1 4 0 1, 4 P x x x x x x x = + − − = + − = = − ⑶( )
3 2( )
( )
4 4 3 3 0 3 P x =x − x + x− とおくと P = だから P x は x− で割り切れる。( ) (
)
(
2)
3 1 0 1 3 3 2 P x x x x i x = − − + = = ⑷( )
4 3 2( )
( )
5 3 2 1 0 1 P x =x −x − x + x+ とおくとP = だから P x は x− で割り切れる。( ) (
)
(
)
( )
( )
( )
( ) (
)(
)
(
)
3 3 2 1 5 2 , 5 2 2 0 2 1 2 2 1 0 1, 2, 1 2 P x x x x x x x x x P x x x x x x = − − − = − − − = + = − + − − = = − と お く と だ か ら は で割 り切 れ る。 Q Q Q 練習14 ⑴( )
3 2 1( )
3 4 2 1 0 3 1 3 P x = x − x − x+ P = P x x− とおくと だから は で割り切れる。( ) (
)
(
2)
3 1 1 0 1 5 1, 3 2 P x x x x x = − − − = = ⑵( )
3 2 1( )
2 3 4 3 0 2 1 2 P x = x − x + x+ P− = P x x+ とおくと だから は で割り切れる。( ) (
2 1)
(
2 2 3)
0 1, 1 2 2 P x x x x x i = + − + = = − 節末問題 １． ⑴ 3
(
)
(
2)
3(
)
2(
)
3 1 1 x +ax+ = x− x +bx+c =x + b− x + c−b x−c 1 0 3 b a c b c − = = − = − ① ② ③ ①，②，③を解いて a= −4, b=1, c= −3 ⑵ 分母を払って(
2)
(
)(
) (
)
2(
)
1=a x − + +x 1 bx+c x+1 = a+b x + − + +a b c x+ +a c 0 0 1 a b a b c a c + = − + + = + = ① ② ③ ①，②，③を解いて 1, 1, 2 3 3 3 a= b= − c= ２． ⑴(
3)(
1 1)
3 1 a b x x x− x+ = − + + とおくと(
)(
)
(
) (
)
(
1)(
)
3 1 3 1 3 1 a x b x x x x x + + − = − + − + 分母を払って(
) (
)
(
1)
3 3 11 3 01 a x b x a b a b x a b a b + + − = + = + + − = − = ① ② ①，②を説いて 1, 1 4 4 a= b= −(
x 3)(
1 x 1)
14 x13 x11 = − − + − + ⑵(
)(
)
2 3 1 3 1 1 1 1 1 1 x x a b x x x x x + = + = + − + − + − とおくと(
) (
)
(
)(
)
2 1 1 3 1 1 1 1 a x b x x x x x − + + + = − + − 分母を払って(
) (
)
(
)
3 1 1 1 3 1 x a x b x a b a b x a b a b + = − + + + = = + − + − + = ① ② 32 1 1 2 1 1 1 x x x x + = + − + −３．
( )
(
)(
)
( )
( ) (
)(
) ( )
2 3 4 4 1 , 4 1 , 4 , 1 5 P x x x x x x ax b P x x x x ax b x x − − = − + + = − + + + − + を で割った商を 余りを とおくと であり で割り切れ で割ると 余るから Q Q( )
( )
41 4 05 P a b P a b = + = − = − + = ① ② ①，②を解いて a= −1, b=4 よって，求める余りは− + x 4 ４． ⑴( )
2( )
2 P x を x + −x で割った商をQ x とすると( )
(
2)
( )
(
)(
) ( )
2 5 3 2 1 5 3 P x = x + −x Q x + x− = x+ x− Q x + x− だから…①( )
( )
12 1 8 4 2 13 4 1 5 P a b a b P a b a b − = − + + = − + = − = + + = + = ② ③ ②，③を解いて a= −2, b=3 また，これを①に代入して 3 2(
2)
( )
2 3 2 5 3 x − x + = x + −x Q x − x+ さらに商は( )
(
3 2) (
2)
2 5 6 2 3 x = x − x − x+ x + −x = −x Q ⑵( )
3 2 3次式 P x のx の係数が なので1 , x −2x+2 で割った商を x+1とおいてよい。( )
(
2)
(
)
3(
)
2(
)
2 2 2 2 2 2 P x = x − x+ x+c =x + c− x + − +c x+ c 2 2 2 0 2 a c c b c = − − + = = ① ② ③ ①，②，③を解いて a= −1, b=2 商は x+1 ５． ⑴ 4 2(
2)(
2)
2 2 2x +7x + =3 2x +1 x +3 =0 だから, 2x + =1 0 または x + =3 0 1 , 3 2 x i i = ⑵ 2(
2)(
2)
(
)
2 , 2 2 1 6 1 6 X =x + xとおくと x + x x + x− = は X X− =(
)(
)
2 2 2 6 0 3 2 0 3 0 2 0 2 3 0 2 2 0 X X X X X X x x x x − − = − + = − = + = + − = + + = = − − ま た は ま た は よっ て ,⑶
