微分空間 II- 微分空間の基本的な性質 II-

微分空間

II

-微分空間の基本的な性質

II-Diffeological spaces II

Fundamental properties of diffeological spaces II

-原口 忠之

Tadayuki Haraguchi

要旨

(Abstract)

本稿は，微分空間I[1]に引き続き，Zemmourの著書“Diffeology[2]”を参考にして，微分空間の基本的な性 質について解説することを試みる．ここでは，位相空間で代表される重要な概念を，微分空間に導入できるこ とを紹介する．内容は，以下の通りである． ■1 直和空間 任意個の微分空間の直和集合に，微分構造の引き戻し[1,命題3.1]の概念を利用して直和微 分構造を導入する． ■2 微分構造の押し出し 微分空間X と集合Y の間に写像f : X → Y が与えられたとき，Xの微分構造 と写像fを用いて集合Y に微分構造を導入する方法（微分構造の押し出し）を紹介する．また，これに関す る性質について触れる． ■3 商空間 微分空間X 上の同値関係“∼”に関する同値類全体からなる商集合をX/∼とする．自然な射 影X → X/ ∼によるXの微分構造の押し出しによって，X/∼に商微分構造を導入する． ■4 直積空間 任意個の微分空間の直積集合に，微分構造の押し出しの概念を利用して，直積微分構造を導 入する． 微分空間と滑らかな写像からなる圏は，直和空間，商空間，直積空間，部分空間を定義できることから極 限・余極限に関して閉じている．これは，微分空間の極めて重要な性質の1つである． キーワード：微分空間，微分構造の押し出し，直和空間，商空間，直積空間

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直和空間

定義 1.1. {(Xλ, Dλ)}λ∈Λ を微分空間の族とする．直和集合 ⨿ λ_∈ΛXλ において，次の条件 ■Dを満たす ユークリッド空間の開集合U から⨿_λ∈ΛXλへの写像P全体からなる集合をD⨿で表す．D⨿は微分構造と なる．これを直和微分構造とよび，微分空間(⨿_λ∈ΛXλ, D⨿)を直和空間とよぶ．

■D U の任意の元rに対してrのある開近傍Vrと，あるλ∈ ΛにおけるXλのプロットQλ: Vr→ Xλ が存在して，P|Vr= iλ◦ Qλが成り立つ．ただし，iλ: Xλ→ ⨿ λ_∈ΛXλを包含写像とする． Vr P|Vr $$I I I I I I I I I I ∃Qλ  Xλ iλ // ⨿ λ∈ΛXλ 定理1.2. 集合D⨿は直和集合⨿_λ∈ΛXλの微分構造となる．また，各λ∈ Λに対して，包含写像iλ: Xλ→ ⨿ λ∈ΛXλが滑らかな写像となるような微分構造において，D⨿は最も弱い微分構造となる． Proof. D1を示す．Cx: Rn → ⨿ λ_∈ΛXλ をxへの定置写像とする．このとき，あるλ ∈ Λが存在して x∈ Xλが成り立つ．Cx′: R n _{→ X} λをxへの定置写像とするとき，Cx = iλ◦ Cx′ が成り立つ．よって， Cx∈ D⨿となる．D2を示す．ユークリッド空間の開集合U から直和集合 ⨿ Xλへの写像P は，Uの任意 の元rに対して，rのある開近傍Wrが存在してP|Wr∈ D⨿を満たすとする．このとき，rのある開近傍Vr と，あるλ∈ ΛにおけるQλ: Vr → Xλ ∈ Dλが存在して，P|Vr= iλ◦ Qλが成り立つ．VrはU の開集合 であるから，P : U→⨿_λ∈ΛXλ∈ D⨿となる．D3を示す．D⨿の任意の元P : U → ⨿ λ∈ΛXλと，ユーク リッド空間の開集合の間の任意の滑らかな写像Q : W → Uにおいて，W の任意の元wに対して，Q(w)の ある開近傍_V˜ Q(w)と，あるλ∈ Λに関するQ˜λ: ˜VQ(w)→ Xλ∈ Dλが存在して，P|VQ(w)= iλ◦ ˜Qλを満た す．このとき，Vw= Q−1_λ ( ˜VQ(w))はW の開集合であり， P◦ Q|Vw= (iλ◦ ˜Qλ)◦ Q|Vw を満たす．このとき，_Q˜_{λ◦ Q|Vw∈ Dλであるから，P◦ Q ∈ D}⨿_である． 次にD⨿が最も弱い微分構造であることを示す．各λ∈ Λに対して，包含写像iλ: Xλ→ ⨿ λ_∈Λが滑らか であるような⨿_λ∈ΛXλの任意の微分構造をDとする．任意のP : U → ⨿ λ_∈ΛXλ∈ D⨿と，任意のr∈ U に対して，rのある開近傍Vrとあるλ∈ ΛにおけるQλ: Vr→ Xλ∈ Dλが存在して，P|Vr= iλ◦ Qλを満 たす．このとき，Dの条件からP|Vr= iλ◦ Qλ∈ Dとなる．D2の条件からP ∈ DよりD⨿⊂ D．

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微分構造の押し出し

定義 2.1. (X, DX)を微分空間，Y を集合とし，f : X → Y を写像とする．次の条件■Dを満たすユーク リッド空間の開集合U からY への写像P 全体からなる集合をf_∗(DX)で表す．このとき，f_∗(DX)はY の 微分構造となり，これを写像f によるXの微分構造DXの押し出しとよぶ． ■D Uの任意の元rに対してrのある開近傍Vrが存在し，次のどちらかの条件を満たす． (1) 制限写像P|Vrは定置写像である． (2) X のあるプロットQr: Vr→ Xが存在してP|Vr= f◦ Qrが成り立つ． 命題 2.2. f_∗(DX)は集合Y の微分構造となる．また，f_∗(DX)は写像f : X → Y が滑らかとなるようなY の微分構造において最も弱い微分構造である． Proof. まずf_∗(DX)がY の微分構造であることを示す．D1については，定置写像Cy: Rn→ Y がf_∗(DX) に属することは，定義から明らかである．D2を示す．ユークリッド空間の開集合U からY への写像Pは，

Uの任意の元rに対して，ある開近傍Vrが存在して，制限写像P|Vrはf_∗(DX)に属するとする．このとき， rのある開近傍Wrが存在して，制限写像P|Wrは定置写像であるか，X のあるプロットQr: Wr→ Xが存 在してP|Wr = f◦ Qrが成り立つ．これは，定義からP ∈ f_∗(DX)である．D3を示す．f_∗(DX)の任意の 元P : U → Y と，ユークリッド空間の開集合の間の任意の滑らかな写像Q : W → U において，W の任意の 元wに対して，Q(w)のある開近傍_V˜ Q(w)が存在して，制限写像P| ˜VQ(w)は定置写像であるか，X のあるプ ロット_{Q : ˜}˜ _{VQ(w)→ Xが存在して，P| ˜VQ(w)= f◦ ˜Qが成り立つ．このとき，Vw = Q}−1_{( ˜VQ(w))はwの開} 近傍であり，P◦ Q|Vwは定置写像であるか，P◦ Q|Vw= f◦ ˜Q◦ Q|Vwを満たす．Q˜◦ Q|Vw: Vw→ X ∈ DX より，P◦ Q ∈ f_∗(DX)となる． 次に，f : X → Y が滑らかな写像となるようなY の任意の微分構造をDY とする．任意のP : U → Y ∈ f_∗(DX)と，任意のr∈ Uに対して，rのある開近傍Vrが存在して，P|Vrは定置写像であるか，ある Qr: Vr→ X ∈ DXが存在してP|Vr= f◦ Qrが成り立つ．定置写像P|Vr∈ DY であり，fは滑らかである からP|Vr= f◦ Qr∈ DY となる．したがって，f∗(DX)⊂ DY が成り立つ． 命題2.3. (X, DX)を微分空間，Y, Zを集合とし，f : X→ Y, g : Y → Z を写像とする．このとき， g_∗(f_∗(DX)) = (g◦ f)∗(DX) が成り立つ． Proof. g_∗f_∗(DX)の任意の元P : U→ ZとUの任意の元rにに対して，rのある開近傍Vrが存在してP|Vr は定置写像であるか，f∗(DX)のある元Qr: Vr → Y が存在してP|Vr = g◦ Qrが成り立つ．さらに，r のある開近傍_V˜_{rが存在して制限写像Qr| ˜Vrが定置写像であるか，DX のある元Q}˜_{r: ˜Vr→ X が存在して，} Qr| ˜Vr= f◦ ˜Qrを満たす．したがって，P| ˜Vrは定置写像であるか， P| ˜Vr= g◦ Qr| ˜Vr= g◦ (f ◦ ˜Qr) を満たすことから，P ∈ (g ◦ f)_∗(DX)である． (g◦ f)_∗(DX)の任意の元P′: U′ → Zと，U′の任意の元rに対して，rのある開近傍Vr′が存在して制限 写像P′|Vrが定置写像となるか，DX のある元Q′r: Vr′ → X が存在してP′|Vr = (g◦ f) ◦ Q′r が成り立つ． このとき，f◦ Q′_r∈ f_∗(DX)であるから，P′|Vr= (g◦ f) ◦ Q′r∈ g∗(f∗(DX)となる．したがって，D2の公 理からP′∈ g_∗(f_∗(DX)である．

3

商空間

定義3.1. (X, DX), (Y, DY)を微分空間とする．写像f : X → Y がsubductionであるとは次の2つの条件 を満たすときをいう． (1) f は全射である． (2) f_∗(DX) = DY を満たす． subduction fは自然に滑らかな写像である． 命題2.3から次は明らかである．

系 3.2. (X, DX), (Y, DY), (Z, DZ)を微分空間とする．f : X → Y, g : Y → Zをsubductionとするとき， 合成写像g◦ fもsubductionである． Proof. (g◦ f)_∗(DX) = g_∗(f_∗(DX) = g_∗(DY) = DZ 次の結果は明らかである． 命題3.3. (X, DX), (Y, DY)を微分空間とし，f : X→ Y を写像とする．このとき，fがsubductionである ことは，f が次の2つの条件を満たすことと同値である． (1) f は全射である． (2) DY の任意の元 P : U → Y と，U の任意の元 r に対して，r のある開近傍 Vr とDX のある元 Qr: Vr→ Xが存在してP|Vr= f◦ Qrを満たす． Vr P_|Vr @ @ @ @ @ @ @ ∃Qr  X f // Y 命題3.4. (X, DX), (Y, DY)を微分空間とする．subduction f : X→ Y が単射であるならば，f は微分同相 写像である． Proof. fは滑らかな全単射であるため，逆写像f−1: Y → Xが滑らかであることを示せばよい．DY の任意 の元P : U → Y と，U の任意の元rに対して，rのある開近傍VrとDXのある元Qr: Vr→ Xが存在して， P|Vr= f◦ Qrを満たす．したがって， f−1◦ P |Vr= f=1◦ f ◦ Qr= Qr∈ DX であるからf−1は滑らかである． 定義 3.5. 微分空間 (X, DX) に同値関係 ∼が与えられているとき，商集合を X/ ∼と表し，射影を π : X → X/ ∼とする．このとき，πによるDXの押し出しにより定まるX/∼の微分構造π∗(DX)を商微 分構造とよび，微分空間(X/∼, π_∗(DX))を同値関係∼により定まるXの商微分空間とよぶ．また，自然に 定まるsubduction πを商写像とよぶ． 定理 3.6. (X, DX), (Y, DY), (Z, DZ)を微分空間とする．π : X → Y を商写像とし，f : Y → Zを写像と する．このとき，次の条件を満たす． (1) f ◦ πが滑らかであることは，f が滑らかであることと同値である． (2) f ◦ πがsubductionであることは，fがsubductionであることと同値である． (3) f ◦ πがsubductionであり，f が単射であるならばf は微分同相写像である． X f◦π // π  Z Y f >>~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Proof. まず(1)を示す．f◦πが滑らかとする．DY の任意の元P : U→ Y に対して，πはsubductionである から，Uの任意の元rに対して，rのある開近傍VrとDXのある元Qr: Vr→ Xが存在して，P|Vr= π◦ Qr

が成り立つ．f◦ πは滑らかであるから，合成写像 f◦ P |Vr= f ◦ (π ◦ Qr)∈ DZ となる．したがって，D2の公理からf ◦ P ∈ DZであるから，f は滑らかである．反対は明らかである． 次に(2)を示す．f◦ πはsubductionとする．f が全射であることは明らかであり，πがsubductionで系 3.2より DZ = (f◦ π)_∗(DX) = f_∗π_∗(DX) = f_∗(DY) が成り立つ．したがって，fはsubductionである． (3)は命題3.4と(2)の条件から明らかである． 系 3.7. (X, DX), (Y, DY)を微分空間とし，f : X → Y をsubductionとする．このとき，X の任意の元 x, x′に対して，同値関係x∼ x′をf (x) = f (x′)で定める．このとき，X/∼とY は微分同相である． Proof. 自然な射影π : X → X/ ∼はsubductionである．xの同値類を[x]で表すとき，_{f : X/}˜ _{∼→ Y を} ˜ f ([x]) = f (x)で定めると，同値関係_∼の定義から_f˜_{はwell-definedで単射である．次の可換図を得る．} X f // π  Y X/∼ ˜ f <<z z z z z z z z このとき，定理3.6の(3)よりf˜は微分同相写像である．

4

直積空間

定義 4.1. {(Xλ, Dλ}を微分空間の族とする．次の条件■Dを満たすユークリッド空間の開集合U から直 積集合∏_λ∈ΛXλへの写像P 全体からなる集合をD∏で表す．このとき，D∏ は ∏ λ∈ΛXλ の微分構造と なる．これを直積微分構造とよび，微分空間(∏_λ∈ΛXλ, D∏)を直積空間とよぶ．命題4.2からD∏ は各射 影prλ: ∏ λ∈ΛXλ → Xλが滑らかな写像となるような ∏ λ∈ΛXλの微分構造において，最も強い微分構造で ある． ■D 任意のλ∈ Λに対して，射影prλ: ∏ λ∈ΛXλ→ Xλとの合成写像prλ◦ P : U → XλはDλに属する． 命題4.2. D∏は射影prλによる微分構造Dλの引き戻しの共通部分∩λ∈Λprλ∗(Dλ)と等しい． Proof. D∏の定義から明らかである． 命題4.3. 各λ∈ Λに対して，prλ: ∏ λ∈ΛXλ→ Xλ はsubductionである． Proof. 各λ∈ Λに対して，P : U→ XλをDλの任意の元とする．写像iλ: U → ∏ λ_∈ΛXλを iλ(r) = { xi∈ Xi i̸= λ P (r)∈ Xλ i = λ と定めるとiλはD∏の元であり， prλ◦ iλ= P を満たす．したがって，prλはsubductionである．

参考文献

[1] Tadayuki Haraguchi,微分空間I,人間教育学部紀要「人間教育 第1巻第8号」，2018 掲載予定

[2] P. Iglesias-Zemmour, Diffeology, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 165, American Math-ematical Society, Providence, RI, 2013.